第57講 空間線線距、異面直線間的距離、線面距和面面距的求法-高中數(shù)學常見題型解法歸納反饋訓練及詳細解析

【知識要點】一、四種距離的定義及常見求法1、線線距：線線距指的是兩條平行直線之間的距離，其中一條直線上的任意一點到另外一條直線的距離.常見求法：(1)幾何法：在其中一條直線上任意取一點，然后作另外一條直線的垂線段，求垂線段的長度.（2）向量法：，其中，是的方向向量2、異面直線間的距離：異面直線間的距離為間的公垂線段的長．常見求法①幾何法：先證線段為異面直線的公垂線段，然后求出的長即可．②向量法：如下圖所示，是兩異面直線，是和的法向量，點，則異面直線與之間的距離是；ababEF3、直線到平面的距離：只存在于直線和平面平行之間，為直線上任意一點到平面間的距離.常見求法：（1）幾何法：找作證（定義）求（解三角形）；（2）向量法.利用直線與平面之間的距離公式：，其中是平面的法向量4、平面與平面間的距離：只存在于兩個平行平面之間，為一個平面上任意一點到另一個平面的距離.常見求法（1）幾何法：找作證（定義）求（解三角形）；（2）向量法.一般利用兩平行平面之間的距離，其中是平面的法向量二、上面四種距離都是對應圖形上兩點間的最短距離.所以均可以用求函數(shù)的最小值法求各距離..三、上面四種距離是可以相互轉(zhuǎn)化的，最終都可以轉(zhuǎn)化成點點距來求解.四、在上面四種距離的解法中，最常用的是幾何的方法和向量的方法.【方法講評】兩平行直線的距離方法一幾何法使用情景直線和直線的距離比較容易作出.解題步驟找作證（定義）求（解三角形）方法二向量法使用情景直線和直線的距離不容易作出，根據(jù)已知條件比較容易建立坐標系，寫出點的坐標.解題步驟建立空間直角坐標系求直線的方向向量求代入公式，其中，是的方向向量由于高考關(guān)于立體幾何中兩平行線間的距離考得相當少，幾乎不考，所以這里不再贅述.異面直線間的距離方法一幾何法使用情景異面直線的公垂線段存在或比較容易作出.解題步驟證線段為異面直線的公垂線段求出的長即可．方法二向量法使用情景異面直線的公垂線段不存在或不容易作出，根據(jù)已知條件比較容易建立坐標系，寫出點的坐標.解題步驟建立空間直角坐標系求和的法向量(是兩異面直線)求向量()代入異面直線和之間的距離公式【例1】已知正四棱柱，點在棱上，截面,且面與底面所成的角為,,求：(1)截面的面積；(2)異面直線與之間的距離；(3)三棱錐的體積.(3)連結(jié)交于，交于，推證出⊥面∴是三棱錐的高，得【點評】本題就是利用利用幾何法求兩異面直線的距離，先證明是異面直線與間的公垂線，再求.學科.網(wǎng)【反饋檢測1】直三棱柱的底面為等腰直角三角形，，，點到的距離為=，為的中點.（1）求證：⊥平面；（2）求異面直線與之間的距離；（3）求二面角的平面角的正切.【例2】如圖1，正四棱錐的高，底邊長.求異面直線和之間的距離？ABABCDOS圖1【點評】由于本題已知條件適用于建立空間直角坐標系，所以選用向量的方法求兩異面直線間的距離.【反饋檢測2】已知正方體的棱長為2，點為棱的中點，求：（Ⅰ）與平面所成角的余弦值；（Ⅱ）二面角的余弦值；（Ⅲ）異面直線與之間的距離．直線到平面的距離方法一幾何法使用情景直線上一點在平面的射影位置比較容易確定.解題步驟找作證（定義）求（解三角形）方法二向量法使用情景直線上的點在平面內(nèi)的射影位置不好確定，根據(jù)已知條件比較容易建立坐標系，寫出點的坐標.解題步驟建立空間直角坐標系求平面的法向量求平面的斜向量的坐標（）代入公式，即得直線到平面的距離.【例3】在直三棱柱中,,，求：（1）異面直線與所成角的大?。唬?）直線到平面的距離．【點評】線面距離往往轉(zhuǎn)化成點面距離來處理，最后可能轉(zhuǎn)化為空間幾何體的體積求得，體積法不用作垂線.學科.網(wǎng)BACD【反饋檢測3】已知正三棱柱的底面邊長為8，對角線，D是的中點.（1）求點到直線的距離.（2）求直線到平面的距離.BACD【例4】如圖①在直角梯形中，，，，，分別是線段、，的中點，現(xiàn)將折起，使平面⊥平面（如圖②）（1）求證∥平面；（2）求直線與平面之間的距離；（3）在線段上確定一點，使⊥平面，試給出證明．(2)由(1)知∥平面，則到平面的距離為點到平面的距離平面的法向量，(2,0,0),(1,2,0),=(-1,2,0)所以點到平面的距離為｜｜==∴到平面的距離為（3）假設在線段上存在一點，使⊥平面，【點評】本題就是把直線到平面的距離轉(zhuǎn)化成點到平面的距離，再利用公式求解.平面到平面的距離方法一幾何法使用情景一個平面內(nèi)的點在另外一個平面的射影位置比較容易確定.解題步驟找作證（定義）求（解三角形）方法二向量法使用情景一個平面內(nèi)的點在另外一個平面內(nèi)的射影位置不好確定，根據(jù)已知條件比較容易建立坐標系，寫出點的坐標.解題步驟建立空間直角坐標系求平面的法向量求平面的斜向量的坐標（）代入公式，即得平面到平面的距離.【例5】在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，如圖：（1）求證：平面A1BC1∥平面ACD1；（2）求(1)中兩個平行平面間的距離；（3）求點B1到平面A1BC1的距離.（3）解：由于線段B1D1被平面A1BC1所平分，則B1、D1到平面A1BC1的距離相等，則由（2）知點B1到平面A1BC1的距離等于.【點評】（1）立體幾何圖形必須借助面的襯托，點、線、面的位置關(guān)系才能顯露地“立”起來.在具體的問題中，證明和計算經(jīng)常依附于某種特殊的輔助平面即基面.這個輔助平面的獲取正是解題的關(guān)鍵所在，通過對這個平面的截得，延展或構(gòu)造，綱舉目張，問題就迎刃而解了.（2）本題中求面面距利用到了轉(zhuǎn)化的思想，把面面距靈活地轉(zhuǎn)化成了點面距.【反饋檢測4】已知是兩條異面直線，是三個互相平行的平面，分別交于和，，，，又與成角，則與的距離是__________；=__________

高中數(shù)學常見題型解法歸納及反饋檢測第57講：空間線線距、異面直線間的距離、線面距和面面距的求法參考答案【反饋檢測1