江蘇省宿遷市沭陽如東中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)階段測試數(shù)學(xué)試卷（解析）

高二階段測試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每個(gè)小題紿岀的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.過兩點(diǎn)的直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線的斜率，結(jié)合直線傾斜角的范圍即可得出結(jié)果.【詳解】由已知直線的斜率為，所以傾斜角．故選：D.2.設(shè)a∈R，則“a＝－2”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”得到a＝－2或a＝1，即得解.【詳解】解：若a＝－2，則直線l1：－2x＋2y－1＝0與直線l2：x－y＋4＝0平行；若“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”，∴，解得a＝－2或a＝1，∴“a＝－2”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的充分不必要條件．故選：A3.點(diǎn)到直線的距離大于5，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線距離公式列不等式即可求得.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離大于5，所以，解得：或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B4.古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，他指出，平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線.則方程表示的圓錐曲線的離心率等于（）A. B. C. D.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意得到點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離比為，即可得到.【詳解】因?yàn)?，所以，表示點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離比為，所以.故選：B5.已知點(diǎn)，且是橢圓的左焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，則的最小值是（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】D【解析】【分析】結(jié)合橢圓的定義求得的最小值【詳解】，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，，當(dāng)在的正上方時(shí)，等號成立.故選：D6.若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線與半圓的位置關(guān)系可求的取值范圍.【詳解】曲線即為半圓：，其圖象如圖所示，曲線與軸的交點(diǎn)為，而直線為過的動(dòng)直線，當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，有，解得，當(dāng)直線過時(shí)，有，因?yàn)橹本€與半圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，故，故選：D.7.已知直線與直線相交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】求出點(diǎn)的軌跡方程，確定點(diǎn)軌跡，然后通過幾何意義求得最大值．詳解】由，消去參數(shù)得，所以在以為圓心，為半徑的圓上，又點(diǎn)B是圓上的動(dòng)點(diǎn)，此圓圓心為，半徑為，，∴的最大值為．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查交軌法求軌跡方程，考查兩點(diǎn)間的距離公式．由圓的性質(zhì)知某點(diǎn)到圓上的點(diǎn)間距離的最大值可以轉(zhuǎn)化為到圓心的距離與半徑的和．8.已知橢圓和雙曲線有相同的左、右焦點(diǎn)，，若，在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P，且滿足，設(shè)，分別是，的離心率，則，的關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由結(jié)合外角定理可得，然后可得，再結(jié)合橢圓和雙曲線定義、勾股定理列式整理可得.【詳解】因?yàn)?，所以，所以所以，記橢圓長半軸長為，雙曲線實(shí)半軸長為，則由橢圓和雙曲線定義可得：…①…②①2+②2可得由勾股定理知，，代入上式可得整理得，即所以故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多頂符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選頂，每選對一個(gè)得3分;若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對一個(gè)得2分．9.下列說法正確的是（）A.直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是B.若三條直線不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)的取值集合為C.經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為或D.過兩點(diǎn)的直線方程為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)直線的方程即位置關(guān)系分別判斷.【詳解】A選項(xiàng)：直線與軸和軸的交點(diǎn)分別為和，三角形面積為，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：三條直線不能構(gòu)成三角形，可得或或直線過點(diǎn)，解得或或，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：當(dāng)直線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)直線不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，代入點(diǎn)，即，解得，故直線為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：由兩點(diǎn)式方程可直接判斷D選項(xiàng)正確；故選：AD.10.法國著名數(shù)學(xué)家蒙日首先發(fā)現(xiàn)橢圓兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)軌跡是以橢圓的中心為圓心的圓，后來這個(gè)圓被稱為蒙日圓．已知橢圓，其蒙日圓為圓，過直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.圓方程為 B.四邊形面積的最小值為4C.的最小值為 D.當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，直線的方程為【答案】BD【解析】【分析】利用橢圓的性質(zhì)，找特殊位置容易求得圓的方程，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，可以推出.【詳解】當(dāng)切線的切點(diǎn)分別為橢圓上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)時(shí)，可以得到兩切線的交點(diǎn)為，所以蒙日圓的方程為，故A不正確；四邊形面積為：，只需求出的最小值，而的最小值為點(diǎn)到直線的距離，所以的最小值為，故B正確；設(shè),則，故，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，而的最小值，故的最小值8，故等號取不到，故C不正確；當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，點(diǎn)，，，四點(diǎn)共以為直徑圓上，所以這個(gè)圓的方程為，與圓方程聯(lián)立，可得直的方程為，故D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：C選項(xiàng)中等號取不到，容易出錯(cuò)，同時(shí)考查推理運(yùn)算能力.11.2022年4月16日9時(shí)56分，神舟十三號返回艙成功著陸，返回艙是宇航員返回地球的座艙，返回艙的軸截面可近似看作是由半圓和半粗圓組成的“曲圓”．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過橢圓的焦點(diǎn)，橢圓的短軸與半圓的直徑重合，下半圓與軸交于點(diǎn)．若過原點(diǎn)的直線與上半橢圓交于點(diǎn)，與下半圓交于點(diǎn)，則下列說法正確的有（）A.橢圓的長軸長為B.線段長度的取值范圍是C.面積的最小值是4D.的周長為【答案】ABD【解析】【分析】結(jié)合圓的半徑長可求得，結(jié)合橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)可求得，由此可判斷A；根據(jù)，結(jié)合的范圍可判斷B；設(shè)，利用結(jié)合面積公式可求得，取可判斷C；結(jié)合橢圓定義可判斷D.【詳解】對于A，∵半圓所在圓過點(diǎn)，∴半圓的半徑，又橢圓短軸為半圓的直徑，∴，即，又，∴，即，∴橢圓長軸長為，故A正確；對于B，∵，，∴，故B正確；對于C，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對于D，由題意知：，則為橢圓的下焦點(diǎn)，由橢圓定義知：，又，∴的周長為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分．12.已知直線l的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，且l經(jīng)過點(diǎn)，則直線l的方程為______．【答案】【解析】【分析】先設(shè)出所求直線和已知直線的傾斜角，利用直線的一般式方程得到已知直線的斜率，再利用二倍角的正切公式求出所求直線的斜率，進(jìn)而寫出直線的點(diǎn)斜式方程，化為一般式即可.【詳解】設(shè)所求直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則，且，所以，所以可得直線l的方程為，即．故答案為：.13.已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，點(diǎn)滿足．則當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，面積的最大值為__________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，由可整理得到點(diǎn)軌跡為以為圓心，為半徑的圓，可知當(dāng)在圓心的正上方或正下方時(shí)，到的距離最大，由此可求得面積的最大值.【詳解】設(shè)，則由得：，即，整理可得：，即，點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓，如圖所示：當(dāng)在圓心的正上方或正下方時(shí)，到的距離最大，且為半徑，.故答案為：.14.設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P滿足，記的外接圓和內(nèi)切圓半徑分別是R，r，則的值為_______．【答案】【解析】【分析】化標(biāo)準(zhǔn)，得到，，然后根據(jù)正弦定理求出.進(jìn)而根據(jù)余弦定理推出的面積.根據(jù)等面積法，可知，即可求出.【詳解】將橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，.所以，，，.所以，，，所以，.根據(jù)正弦定理可得，，所以.設(shè)，則.由余弦定理可得，，所以，，整理可得，，顯然是方程的兩個(gè)解，所以，所以的面積.又，所以.所以，.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共計(jì)77分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知平行四邊形的兩條邊所在直線的方程分別為，，且它的對角線的交點(diǎn)為，求這個(gè)平行四邊形其他兩邊所在直線的方程．【答案】和【解析】【分析】依題意，由方程組可解得平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)，再結(jié)合對角線的交點(diǎn)是，可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式即可求得其他兩邊所在直線的方程.【詳解】解：聯(lián)立方程組，解得.所以平行四邊形的頂點(diǎn).設(shè)，由題意知點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，解得，所以.由已知，得直線的斜率，因?yàn)榕c平行，所以直線的方程為，即由已知，得直線的斜率，因?yàn)榕c平行，所以直線的方程為，即故這個(gè)平行四邊其它兩邊所在直線的方程是和16.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，且過點(diǎn).（1）求雙曲線C的虛軸長；（2）求與雙曲線C有相同漸近線，且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由雙曲線的定義可知，，又，求得即可．（2）設(shè)與雙曲線有相同漸近線的雙曲線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述方程得即可．【小問1詳解】由題意，易知，，且.在中，由雙曲線的定義可知，，，即.∵雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，∴.又∵，∴故雙曲線C的虛軸長為【小問2詳解】由（1）知雙曲線C的方程為.設(shè)與雙曲線C有相同漸近線的雙曲線的方程為將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述方程，得故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為17.已知點(diǎn)M(3，1)，圓O1：(x﹣1)2+(y﹣2)2=4.（1）若直線ax﹣y+4=0與圓O1相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的長為，求a的值；（2）求過點(diǎn)M的圓O1的切線方程.【答案】（1）；（2）x=3或3x﹣4y﹣5=0.【解析】【分析】（1）由直線與圓的位置關(guān)系可得圓心到直線ax﹣y+4=0的距離d，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得d=，解可得a的值，即可得答案；（2）根據(jù)題意，分切線的斜率是否存在2種情況討論，分別求出切線的方程，綜合即可得答案.【詳解】（1）根據(jù)題意，圓O1：(x﹣1)2+(y﹣2)2=4，圓心為(1，2)，半徑r=2，若弦AB的長為，則圓心到直線ax﹣y+4=0的距離d=，又由圓心為(1，2)，直線ax﹣y+4=0，則有d=，解得；（2）根據(jù)題意，分2種情況討論：當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，其方程為x=3，與圓相切，符合條件，當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y﹣1=k(x﹣3)，圓心到它的距離，解得，切線方程為3x﹣4y﹣5=0，所以過點(diǎn)M的圓的切線方程為x=3或3x﹣4y﹣5=0.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓相交的性質(zhì)，涉及弦長的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.18.如圖，已知橢圓的離心率為，與軸正半軸交于點(diǎn)，過原點(diǎn)不與軸垂直的動(dòng)直線與交于，兩點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線、的斜率分別為、，證明：為定值，并求出該定值；（3）以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與直線、分別交于異于點(diǎn)的點(diǎn)和點(diǎn)，求與面積之比的取值范圍．【答案】（1）（2）證明見解析，定值為（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率可得的關(guān)系，再根據(jù)可求，故可求標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)Ax1,y1，則可得（3）求出的方程，分別聯(lián)立直線方程和橢圓方程、直線方程和圓的方程后可得的橫坐標(biāo)，從而可得面積之比，結(jié)合換元法可得范圍.【小問1詳解】由題設(shè)有，且，故，故橢圓方程為：.【小問2詳解】設(shè)Ax1,y1而，故.故為定值且定值為.【小問3詳解】由題設(shè).圓，直線，由可得即，故，由可得即，同理，而，，而，故，令，故，其中，故，而，故，故.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中的范圍問題，往往需要用斜率或點(diǎn)的坐標(biāo)表示目標(biāo)函數(shù)，后者需要結(jié)合不等式、函數(shù)性質(zhì)或?qū)?shù)等工具來求范圍.19.歷史上第一個(gè)研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375年——325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：如圖甲，從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，其中法線表示與橢圓的切線垂直且過相應(yīng)切點(diǎn)的直線.已知圖乙中，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，由發(fā)出的光線經(jīng)橢圓兩次反射后回到經(jīng)過的路程為.（1）點(diǎn)是橢圓上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，橢圓在點(diǎn)處的切線為在上的射影滿足，利用橢圓的光學(xué)性質(zhì)求橢圓的方程；（2）在:（1）的條件下，設(shè)橢圓上頂點(diǎn)為，點(diǎn)為軸上不同于橢圓頂點(diǎn)的點(diǎn)，且，直線分別與橢圓交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），，垂足為，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，延長，交于點(diǎn)，利用，求出，進(jìn)而得到橢圓方程.（2）設(shè)直線，聯(lián)立直線與，結(jié)合題干，得到點(diǎn)軌跡，求得的最小值.【小問1詳解】由題