人教版高中數(shù)學(xué)精講精練選擇性必修三8.2 一元線性回歸模型及其應(yīng)用（精講）（原卷版）

8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用（精講）考點(diǎn)一樣本中心的應(yīng)用【例1】（2022春·河南新鄉(xiāng)·高二?？计谥校┠成鐓^(qū)醫(yī)院統(tǒng)計(jì)了該社區(qū)在夏季某4天患腸道感染類疾病的人數(shù)與平均氣溫（℃）的數(shù)據(jù)如下表，由表中數(shù)據(jù)算得線性回歸方程中的，預(yù)測當(dāng)平均氣溫為35℃時(shí)，該社區(qū)患腸道感染類疾病的人數(shù)為（

）平均氣溫（℃）22262932患腸道感染類疾病的人數(shù)12252756A．57 B．59 C．61 D．65【一隅三反】1．（202四川宜賓·高二四川省宜賓市南溪第一中學(xué)校?？计谀┠承^(qū)流感大爆發(fā)，當(dāng)?shù)蒯t(yī)療機(jī)構(gòu)使用中西醫(yī)結(jié)合的方法取得了不錯(cuò)的成效，每周治愈的患者人數(shù)如表所示，由表格可得y關(guān)于x的線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則測此回歸模型第4周的治愈人數(shù)為（

）周數(shù)（x）12345治愈人數(shù)（y）51535？140A． B． C． D．2．（2022秋·陜西榆林·高二?？计谥校┮阎?，的取值如下表所示：x0134y2.24.34.86.7若與線性相關(guān)，且，則（

）A．2.2 B．2.9 C．2.8 D．2.6考點(diǎn)二線性回歸方程【例2】（2022春·河南新鄉(xiāng)·高二?？计谥校┠承履茉雌囍圃旃?，為鼓勵(lì)消費(fèi)者購買其生產(chǎn)的特斯拉汽車，約定從今年元月開始，凡購買一輛該品牌汽車，在行駛?cè)旰?，公司將給予適當(dāng)金額的購車補(bǔ)貼.某調(diào)研機(jī)構(gòu)對已購買該品牌汽車的消費(fèi)者，就購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值進(jìn)行了抽樣調(diào)查，得其樣本頻率分布直方圖如圖所示.(1)估計(jì)已購買該品牌汽車的消費(fèi)群體對購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值的平均數(shù)和中位數(shù)（精確到0.01）；(2)統(tǒng)計(jì)今年以來元月~5月該品牌汽車的市場銷售量，得其頻數(shù)分布表如下，預(yù)測該品牌汽車在今年6月份的銷售量約為多少萬輛？月份元月2月3月4月5月銷售量（萬輛）0.50.61.01.41.7參考公式：，【一隅三反】1．（2022秋·上海虹口·高二華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)?？计谀┤鐖D是我國2016年至2022年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖.注：年份代碼1—7分別對應(yīng)年份2016—2022.(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預(yù)測2024年我國生活垃圾無害化處理量.附注：參考數(shù)據(jù)：，，，.參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距最小二乘估計(jì)公式分別為，.2．（2022秋·四川·高二四川師范大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）為了調(diào)查成年人體內(nèi)某種自身免疫力指標(biāo)，去年七月某醫(yī)院從在本院體檢中心體檢的成年人群中隨機(jī)抽取了人，按其免疫力指標(biāo)分成如下五組:，，，，，其頻率分布直方圖如圖所示.今年某醫(yī)藥研究所研發(fā)了一種疫苗，對提高該免疫力有顯著效果.經(jīng)臨床檢測，將自身免疫力指標(biāo)比較低的成年人分為五組，各組分別按不同劑量注射疫苗后，其免疫力指標(biāo)與疫苗注射量個(gè)單位具有線性相關(guān)關(guān)系，樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖所示.附:對于一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，其線性回歸方程的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為，.(1)求體檢中心抽取的100個(gè)人的免疫力指標(biāo)的平均值；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）(2)由于大劑量注射疫苗會(huì)對身體產(chǎn)生一定的副作用，醫(yī)學(xué)部門設(shè)定：自身免疫力指標(biāo)較低的成年人注射疫苗后，其免疫力指標(biāo)不應(yīng)超過普通成年人群自身免疫力指標(biāo)平均值的3倍.以體檢中心抽取的100人作為普通人群的樣本，據(jù)此估計(jì)，疫苗注射量不應(yīng)超過多少個(gè)單位？3（2022春·重慶沙坪壩·高二重慶八中校考期末）有一個(gè)開房門的游戲，其玩法為:盒中先放入兩把鑰匙和兩把鑰匙，能夠打開房門，不能打開房門.每次從盒中隨機(jī)取一把試開，試開后不放回鑰匙.第一次打開房門后，關(guān)上門繼續(xù)試開，第二次打開房門后停止抽取，稱為進(jìn)行了一輪游戲.若每一輪取鑰匙不超過三次，則該輪“成功”，否則為“失敗”，如果某一輪“成功”，則游戲終止；若“失敗”，則將所有鑰匙重新放入盒中，并再放入一把鑰匙，繼續(xù)下一輪抽取，直至“成功”.(1)有名愛好者獨(dú)立參與這個(gè)游戲，記表示“成功”時(shí)抽取鑰匙的輪次數(shù)，表示對應(yīng)的人數(shù)，部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:若將作為關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，估計(jì)抽取輪才“成功”的人數(shù)（人數(shù)精確到個(gè)位）；(2)由于時(shí)間關(guān)系，規(guī)定：進(jìn)行游戲時(shí)，最多進(jìn)行三輪，若均未“成功”也要終止游戲.求游戲要進(jìn)行三輪的概率.參考公式：最小二乘估計(jì)，.參考數(shù)據(jù)：取，，其中，.考點(diǎn)三非線性回歸方程【例3-1】（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某縣依托種植特色農(nóng)產(chǎn)品，推進(jìn)產(chǎn)業(yè)園區(qū)建設(shè)，致富一方百姓．已知該縣近年人均可支配收入如下表所示，記年為，年為，…以此類推．年份年份代號(hào)人均可支配收入（萬元）(1)使用兩種模型：①；②的相關(guān)指數(shù)分別約為，，請選擇一個(gè)擬合效果更好的模型，并說明理由；(2)根據(jù)（1）中選擇的模型，試建立關(guān)于的回歸方程．（保留位小數(shù)）附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．參考數(shù)據(jù)：，令，．【例3-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）為了研究某種細(xì)菌隨天數(shù)變化的繁殖個(gè)數(shù)，收集數(shù)據(jù)如下：天數(shù)123456繁殖個(gè)數(shù)612254995190(1)在圖中作出繁殖個(gè)數(shù)關(guān)于天數(shù)變化的散點(diǎn)圖，并由散點(diǎn)圖判斷（為常數(shù)）與（為常數(shù)，且）哪一個(gè)適宜作為繁殖個(gè)數(shù)關(guān)于天數(shù)變化的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)對于非線性回歸方程（為常數(shù)，且），令，可以得到繁殖個(gè)數(shù)的對數(shù)z關(guān)于天數(shù)x具有線性關(guān)系及一些統(tǒng)計(jì)量的值．3.5062.833.5317.50596.5712.09（?。┳C明：“對于非線性回歸方程，令，可以得到繁殖個(gè)數(shù)的對數(shù)關(guān)于天數(shù)具有線性關(guān)系（即為常數(shù)）”；（ⅱ）根據(jù)（?。┑呐袛嘟Y(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)保留2位小數(shù)）．附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為．【一隅三反】1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）多年來，清華大學(xué)電子工程系黃翔東教授團(tuán)隊(duì)致力于光譜成像芯片的研究，2022年6月研制出國際首款實(shí)時(shí)超光譜成像芯片，相比已有光譜檢測技術(shù)，實(shí)現(xiàn)了從單點(diǎn)光譜儀到超光譜成像芯片的跨越，為制定下一年的研發(fā)投入計(jì)劃，該研發(fā)團(tuán)隊(duì)為需要了解年研發(fā)資金投入量x（單位：億元）對年銷售額（單位：億元）的影響，結(jié)合近12年的年研發(fā)資金投入量x，和年銷售額，的數(shù)據(jù)（，2，，12），該團(tuán)隊(duì)建立了兩個(gè)函數(shù)模型：①②，其中均為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)，經(jīng)對歷史數(shù)據(jù)的初步處理，得到散點(diǎn)圖如圖，令，計(jì)算得如下數(shù)據(jù)：206677020014460312500021500(1)設(shè)和的相關(guān)系數(shù)為和的相關(guān)系數(shù)為，請從相關(guān)系數(shù)的角度，選擇一個(gè)擬合程度更好的模型；(2)（i）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；（ii）若下一年銷售額需達(dá)到80億元，預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量是多少億元？附：①相關(guān)系數(shù)，回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，；②參考數(shù)據(jù)：.2．（2023云南）經(jīng)觀測，某種昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x有關(guān)，現(xiàn)將收集到的溫度和產(chǎn)卵數(shù)（）的10組觀測數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如下圖的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量表．275731．121．71502368．3630表中，．(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，，與哪一個(gè)適宜作為y與x之間的回歸方程模型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，試求y關(guān)于x的回歸方程．3（2023·全國·高二專題練習(xí)）根據(jù)黨的“扶貧同扶志、扶智相結(jié)合”精準(zhǔn)扶貧、精準(zhǔn)脫貧政策，中國兒童少年基金會(huì)為了豐富留守兒童的課余文化生活，培養(yǎng)良好的閱讀習(xí)慣，在農(nóng)村留守兒童聚居地區(qū)捐建“小候鳥愛心圖書角”.2016年某村在寒假和暑假組織開展“小候鳥愛心圖書角讀書活動(dòng)”，號(hào)召全村少年兒童積極讀書，養(yǎng)成良好的閱讀習(xí)慣，下表是對2016年以來近5年該村莊100位少年兒童的假期周人均讀書時(shí)間的統(tǒng)計(jì)：年份20162017201820192020年份代碼12345每周人均讀書時(shí)間（小時(shí)）1.32.85.78.913.8現(xiàn)要建立關(guān)于的回歸方程，有兩個(gè)不同回歸模型可以選擇，模型一:；模型二:，即使畫出關(guān)于的散點(diǎn)圖，也無法確定哪個(gè)模型擬合效果更好，現(xiàn)用最小二乘法原理，已經(jīng)求得模型一的方程為.(1)請你用最小二乘法原理，結(jié)合下面的參考數(shù)據(jù)及參考公式求出模型二的方程（計(jì)算結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后一位）；(2)用計(jì)算殘差平方和的方法比較哪個(gè)模型擬合效果更好，已經(jīng)計(jì)算出模型一的殘差平方和為.附：參考數(shù)據(jù)：，其中，.參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為，.考點(diǎn)四殘差【例4-1】（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）經(jīng)驗(yàn)表明,樹高與胸徑具有線性關(guān)系,為了解回歸方程的擬合效果,利用下列數(shù)據(jù)計(jì)算殘差,用來繪制殘差圖.胸徑x/cm18.219.122.324.526.2樹高的觀測值y/m18.919.420.822.824.8樹高的預(yù)測值18.619.321.523.024.4則殘差的最大值和最小值分別是（

）A．0.4,-1.8 B．1.8,-0.4 C．0.4,-0.7 D．0.7,-0.4【例4-2】（2022·廣西）現(xiàn)代物流成為繼勞動(dòng)力、自然資源外影響企業(yè)生產(chǎn)成本及利潤的重要因素.某企業(yè)去年前八個(gè)月的物流成本和企業(yè)利潤的數(shù)據(jù)（單位:萬元)如表所示:月份12345678物流成本x8383.58086.58984.57986.5利潤y114116106122132114m132殘差0.20.61.8-3-1-4.6-1根據(jù)最小二乘法公式求得線性回歸方程為.(1)求m的值，并利用已知的線性回歸方程求出八月份的殘差值(2)通過殘差分析，懷疑殘差絕對值最大的那組數(shù)據(jù)有誤，經(jīng)再次核實(shí)后發(fā)現(xiàn)其真正利潤應(yīng)該為116萬元.請重新根據(jù)最小二乘法的思想與公式，求出新的線性回歸方程.附1附2附3【一隅三反】1．（2023春·河南開封）某部門統(tǒng)計(jì)了某地區(qū)今年前7個(gè)月在線外賣的規(guī)模如下表：月份代號(hào)x1234567在線外賣規(guī)模y（百萬元）111318★28★35其中4、6兩個(gè)月的在線外賣規(guī)模數(shù)據(jù)模糊，但這7個(gè)月的平均值為23．若利用回歸直線方程來擬合預(yù)測，且7月相應(yīng)于點(diǎn)的殘差為，則（

）A．1.0 B．2.0 C．3.0 D．4.02．（2023·福建）（多選）自2020年初，新型冠狀病毒引起的肺炎疫情爆發(fā)以來，各地醫(yī)療機(jī)構(gòu)采取了各種有針對性的治療方法，取得了不錯(cuò)的成效，某地開始使用中西醫(yī)結(jié)合方法后，每周治愈的患者人數(shù)如表所示，由表格可得y關(guān)于x的二次回歸方程為，則下列說法正確的是（

）周數(shù)(x)12345治愈人數(shù)（y）2173693142A．B．C．此回歸模型第4周的殘差（實(shí)際值與預(yù)報(bào)值之差）為5D．估計(jì)第6周治愈人數(shù)為2203．（2023·安徽）近年來，美國方面濫用國家力量，不擇手段打壓中國高科技企業(yè)，隨著貿(mào)易戰(zhàn)的不斷升級(jí)，中國某科技公司為了不