高中數(shù)學(xué)新教材人教A版選擇性必修培優(yōu)練習(xí)：32 離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征（學(xué)生版+解析版）

專(zhuān)題32離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征

一、單選題

1.（2020?尤溪縣第五中學(xué)高一期末）若一組數(shù)據(jù)占，尤2,七，…，x”的平均數(shù)為2,方差為3,則2%+5,

2x,+5,2七+5,…，2x“+5的平均數(shù)和方差分別是（）

A.9,11B.4,11C.9,12D.4,17

2.（2020.海林市朝鮮族中學(xué)高二期末（理））若隨機(jī)變量X的分布列如下表，則E（X）=（）

X012345

P2x3x7x2x3xX

3.（2020.浙江寧波高二期末）己知隨機(jī)變量J的取值為=若P（J=0）=g,=則

。（24-3）=（

2

A.-

5

4.（2020?廣東東莞高二期末）隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，則￡（2X-1）=（）

X-2-11

J.

pa

63

1

5.（2020.渝中重慶巴蜀中學(xué)高二期末）隨機(jī)變量X的取值范圍為0,1,2,若P（X=0）=LE（X）=1,

4

則。（X）=（

1R四

A.-D.----

4

6.（2020?浙江西湖學(xué)軍中學(xué)高三其他）設(shè)0＜p＜g,隨機(jī)變量J的分布如下表所示，則當(dāng)〃在（0,3）內(nèi)

增大時(shí)，（）

J012

p1-2〃PP

A.￡（?先減少后增大B.E（J）先增大后減少

C.0（3先減小后增大D.。（為先增大后減小

7.（2020?西夏寧夏大學(xué)附屬中學(xué)高二月考（理））設(shè)0＜。＜1,則隨機(jī)變量X的分布列是:

X0a1

P￡

J33

則當(dāng)。在（0,1）內(nèi)增大時(shí)（）

A.Q（X）增大B.￡）（X）減小

c.。（X）先增大后減小D.￡＞（x）先減小后增大

8.（2020.浙江海曙效實(shí)中學(xué)高三其他）盒中有5個(gè)小球，其中3個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中任取i（i=l,2）個(gè)

球，在取出的球中，黑球放回，白球涂黑后放回，此時(shí)盒中黑球的個(gè)數(shù)記為X,（i=l,2）,則（）

A.P（X,=2）＞P（X2=2）,E（X,）＞E（X2）

B.P（X,=2）＜P（X2=2）,E（X,）＞E（X2）

C.P（X,=2）＞P（X2=2）,E（X,）＜E（X2）

D.P（X,=2）＜P（X2=2）,￡（%,）＜￡（%2）

二、多選題

9.（2020?江蘇海陵泰州中學(xué)高二月考）若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其中尸（X=0）=g,E（X）、D（X）

分別為隨機(jī)變量X均值與方差，則下列結(jié)論正確的是（）

A.P（X=l）=E（X）B.E（3X+2）=4

4

C.D（3X+2）=4D.r＞（X）=-

10.（2020.海南海口高三其他）小張上班從家到公司開(kāi)車(chē)有兩條線路，所需時(shí)間（分鐘）隨交通堵塞狀況有

所變化，其概率分布如下表所示：

所需時(shí)間（分鐘）30405060

線路一0.50.20.20.1

線路二0.30.50.10.1

則下列說(shuō)法正確的是（）

A.任選一條線路，“所需時(shí)間小于50分鐘''與"所需時(shí)間為60分鐘''是對(duì)立事件

B.從所需的平均時(shí)間看，線路一比線路二更節(jié)省時(shí)間

C.如果要求在45分鐘以內(nèi)從家趕到公司，小張應(yīng)該走線路一

D.若小張上、下班走不同線路，則所需時(shí)間之和大于100分鐘的概率為0.04

11.（2020.山東濰坊高二期中）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為

X01245

Pq0.30.20.20.1

若離散型隨機(jī)變量y滿足y=2x+i,則下列結(jié)果正確的有（）

A.E（X）=2B.￡＞（%）=2.4C.D（X）=2.8D.￡＞（7）=14

12.（202。福建城廂莆田一中高二期中）（多選）設(shè)隨機(jī)變量J的分布列如下，則下列結(jié)論正確

的有（）

0012

2

Pp-p2l-p

A.E（C）隨著。的增大而增大B.E（二）隨著。的增大而減小

c.P（4=0）<P（?=2）D.P（?=2）的值最大

三、填空題

13.（2020?黑龍江南崗哈師大附中高三其他（理））已知隨機(jī)變量X的分布列為

X012

￡

pab

3

若E（X）=1,則E（aX+b）=.

14.（2020.江西高一期末）數(shù)據(jù)修，x2,人的均值為I"，方差為2,現(xiàn)增加一個(gè)數(shù)據(jù)天后方差不變，

則工9的可能取值為.

15.（2020?重慶高三其他（理））甲、乙兩人同時(shí)參加當(dāng)?shù)匾粋€(gè)勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)，該活動(dòng)有任務(wù)需要完成，甲、

乙完成任務(wù)的概率分別為0.7,0.8,且甲、乙是否完成任務(wù)相互獨(dú)立互不影響.設(shè)這兩人中完成任務(wù)的總?cè)?/p>

數(shù)為X,則EX=.

16.（2020?浙江竦州高三三模）已知0<4<,，0</?<-,隨機(jī)變量X的分布列是：

22

X012

J_

pab

2

9

若E（X）=§,則。=,D（X）=.

四、解答題

17.（2019?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量&與％且&,11

的分布列為

（2）計(jì)算匕,n的均值與方差，并以此分析甲、乙的技術(shù)狀況.

18.（2020.大連市普蘭店區(qū)第一中學(xué)高二月考）某人投彈擊中目標(biāo)的概率為P=0.?.

（1）求投彈一次，擊中次數(shù)X的均值和方差；

（2）求重復(fù)投彈10次，擊中次數(shù)y的均值和方差.

19.（2018?江西九江高二期末（理））某運(yùn)動(dòng)員射擊一次所得環(huán)數(shù)X的分布列如下:

X8910

P0.40.40.2

現(xiàn)進(jìn)行兩次射擊，且兩次射擊互不影響，以該運(yùn)動(dòng)員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績(jī)，記為久

（1）求該運(yùn)動(dòng)員兩次命中的環(huán)數(shù)相同的概率；

（2）求&的分布列和數(shù)學(xué)期望

20.甲、乙兩個(gè)同學(xué)同時(shí)報(bào)名參加某重點(diǎn)高校2010年自主招生，高考前自主招生的程序?yàn)閷徍瞬牧虾臀幕?/p>

測(cè)試，只有審核過(guò)關(guān)后才能參加文化測(cè)試，文化測(cè)試合格者即可獲得自主招生入選資格.已知甲，乙兩人

3134

審核過(guò)關(guān)的概率分別為審核過(guò)關(guān)后，甲、乙兩人文化測(cè)試合格的概率分別為

（1）求甲，乙兩人至少有一人通過(guò)審核的概率；

（2）設(shè)J表示甲，乙兩人中獲得自主招生入選資格的人數(shù)，求J的數(shù)學(xué)期望.

21.(2020?全國(guó)高三(理))在某次投籃測(cè)試中，有兩種投籃方案：方案甲：先在A點(diǎn)投籃一次，以后都在

3

B點(diǎn)投籃；方案乙：始終在B點(diǎn)投籃.每次投籃之間相互獨(dú)立.某選手在A點(diǎn)命中的概率為一，命中一次記3

4

4

分，沒(méi)有命中得0分；在B點(diǎn)命中的概率為二，命中一次記2分，沒(méi)有命中得0分，用隨機(jī)變量J表示該

選手一次投籃測(cè)試的累計(jì)得分，如果&的值不低于3分，則認(rèn)為其通過(guò)測(cè)試并停止投籃，否則繼續(xù)投籃，但

一次測(cè)試最多投籃3次.

(1)若該選手選擇方案甲，求測(cè)試結(jié)束后所得分J的分布列和數(shù)學(xué)期望.

(2)試問(wèn)該選手選擇哪種方案通過(guò)測(cè)試的可能性較大？請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.袋中有同樣的球5個(gè)，其中3個(gè)紅色，2個(gè)黃色，現(xiàn)從中隨機(jī)且不返回地摸球，每次摸1個(gè)，當(dāng)兩種顏

色的球都被摸到時(shí)，即停止摸球，記隨機(jī)變量《為此時(shí)已摸球的次數(shù)，求：.

(1)隨機(jī)變量€的概率分布列；

(2)隨機(jī)變量J的數(shù)學(xué)期望與方差.

專(zhuān)題32離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征

一、單選題

1.（2020?尤溪縣第五中學(xué)高一期末）若一組數(shù)據(jù)占，/，x3,x“的平均數(shù)為2,方差為3,貝iJ2%+5,

2七+5,2毛+5,…，2%+5的平均數(shù)和方差分別是（）

A.9,11B.4,11C.9,12D.4,17

【答案】C

【解析】

由題E(x)=2,O(x)=3,則E(2x+5)=2E(x)+5=9,D(2x+5=22D(x)=12.

故選：C

2.（2020.海林市朝鮮族中學(xué)高二期末（理））若隨機(jī)變量X的分布列如下表，則E（X）=（）

X012345

P2x3x7x2x3xX

【答案】D

【解析】

2x+3x+7x+2x+3x+x=1.'.x=—,E(X)=3x+14x+6x+12x+5x-40x=—

189

3.(2020.浙江寧波高二期末)已知隨機(jī)變量J的取值為*z.=0,l,2)^P(g=0)=g,E(^)=l,則

。(24-3)=()

248

A.-B.-C.一

555

【答案】c

【解析】

14

由題意，設(shè)2償=1)=乙則P管=2)=l_g_p=g_p,

乂E(J)=0x；+lxp+2([-p)=l,解得p=|,

31

所以P傳=1)=丁P(J=2)=不

^^(^)=1(1-0)2+|(1-1)2+1(1-2)2=|,

Q

所以。(24-3)=4。偌)=’

故選：C.

4.(202。廣東東莞高二期末)隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，則￡(2X-1)=()

X-2-11

2

Pa

63

1

【解析】

由隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)，可得!+“+?=1,解得。=?，

632

則七(X)=_2X，+(_1)X』+1XL」,

6232

所以E(2X-l)=2E(X)-l=2x(-g)—l=-2.

故選：D.

5.(2020?渝中重慶巴蜀中學(xué)高二期末)隨機(jī)變量X的取值范圍為0,1,2,若P(X=0)=3￡(X)=1

4

則D(X)=()

【答案】C

【解析】設(shè)P(X=1)=〃，P(X=2)=q,

山題意，E(X)=0x—Fp+2q=1,[I.—p+q=\,

44

解得P=—.q=：，

二0(X)=：(0-+g(1-1了+；(2-1產(chǎn),

故選：C.

6.（2020?浙江西湖學(xué)軍中學(xué)高三其他）設(shè)0<p<g,隨機(jī)變量J的分布如下表所示，則當(dāng)P在（0,；）內(nèi)

增大時(shí)，（）

4012

P1-2/?PP

A.￡（《）先減少后增大B.石（自）先增大后減少

C.0（。）先減小后增大D.0（4）先增大后減小

【答案】D

【解析】

由期望公式，得￡偌）=3〃，在（0,￡）內(nèi)一直增大.

由方差公式，得。（4）=（3〃—Opx（l—2〃）+（3〃—廳x〃+（3p—2）2x〃=—9p2+5p.為開(kāi)口向下，對(duì)

稱(chēng)軸P=K；的拋物線，在（0，；）內(nèi)，先增大后減少，

故當(dāng)〃在（0,；）內(nèi)增大時(shí)0（4先增大后減少.

故選:D.

7.（2020.西夏寧夏大學(xué)附屬中學(xué)高二月考（理））設(shè)0<。<1,則隨機(jī)變量X的分布列是：

X0a1

P工￡\

133

則當(dāng)。在（0,1）內(nèi)增大時(shí)（）

A.D（X）增大B.￡）（X）減小

c.o（x）先增大后減小D.O（X）先減小后增大

【答案】D

【解析】

方法I：由分布列得E（X）=（,貝ij

八丫1（1+aYi/iVi2（1?1皿業(yè)門(mén)

￡>（X）=|-------0x—+--------ax—+--+--a----1x—=—a——+—，則當(dāng)。在（0/）內(nèi)增大時(shí),

（3J3I3J3I31391216

O(X)先減小后增大.

22

,…、廠/“2\…、ca1(a+l)22a-2a+22(1Y3

方法2：則0(X)=E(X-)-E(X)=0+R+[----------=-------------=-a~~+-

JJyy\1J4

故選D.

8.(2020?浙江海曙效實(shí)中學(xué)高三其他)盒中有5個(gè)小球，其中3個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中任取i(i=1,2)個(gè)

球，在取出的球中，黑球放回，白球涂黑后放回，此時(shí)盒中黑球的個(gè)數(shù)記為X,(j=l,2),則()

A.P(X1=2)>P"2=2),E(XJ>E(X2)

B.P（XI=2）＜P（X2=2）,E（Xj＞E（X2）

C.P（X1=2）＞P（X2=2）,E（X,）＜E（X2）

D.P（X|=2）＜P（X2=2）,E（XI）＜E（X2）

【答案】C

【解析】

P（X|=2）=*|，尸⑶=2）哈!<―）,

cx3ia

?

??汽乂=3）=百=’E（xt）=y.

???P（”2）q,尸（XL3）=哭^2=4）=f=A

E（X2）=y＞￡（%,）.

故選：c.

二、多選題

9.(2020-江蘇海陵泰州中學(xué)高二月考)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其中尸(X=0)=；,E(X)、D(X)

分別為隨機(jī)變量X均值與方差，則下列結(jié)論正確的是()

A.P(X=l)=E(X)B.E(3X+2)=4

4

C.D(3X+2)=4D.￡>(X)=-

【答案】AB

【解析】隨機(jī)變量x服從兩點(diǎn)分布，其中p(x=o)=g,

2

：.P(X=l)=一，

3

122

E(X)=0x—F1x—=—,

333

21222

D(X)--(0一一)2x-+(1一一)2x-=-,

33339

在<4中，P(X=l)=E(X),故A正確；

2

在B中，E(3X+2)=3E(X)+2=3x—+2=4,故B正確；

3

2

在C中，D(3X+2)=9。(X)=9x—=2,故C錯(cuò)誤；

9

在。中，￡>(X)=-,故。錯(cuò)誤.

9

故選：AB.

10.(2020.海南?？诟呷渌?小張上班從家到公司開(kāi)車(chē)有兩條線路，所需時(shí)間(分鐘)隨交通堵塞狀況有

所變化，其概率分布如下表所示：

所需時(shí)間(分鐘)30405060

線路一0.50.20.20.1

線路二0.30.50.10.1

則下列說(shuō)法正確的是()

A.任選一條線路，“所需時(shí)間小于50分鐘”與“所需時(shí)間為60分鐘”是對(duì)立事件

B.從所需的平均時(shí)間看，線路一比線路二更節(jié)省時(shí)間

C.如果要求在45分鐘以內(nèi)從家趕到公司，小張應(yīng)該走線路一

D.若小張上、下班走不同線路，則所需時(shí)間之和大于100分鐘的概率為0.04

【答案】BD

【解析】

對(duì)于選項(xiàng)A，”所需時(shí)間小于50分鐘”與“所需時(shí)間為60分鐘”是互斥而不對(duì)立事件，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)8,線路一所需的平均時(shí)間為30x0.5+40x0.2+50x0.2+69x0.1=39分鐘，

線路.所需的平均時(shí)間為30x0.3+40x0.5+5（）x0.1+60x0.1=40分鐘，

所以線路一比線路二更節(jié)省時(shí)間，所以選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,線路一所需時(shí)間小于45分鐘的概率為0.7,線路二所需時(shí)間小于45分鐘的概率為0.8,小張

應(yīng)該選線路二，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)。，所需時(shí)間之和大于100分鐘，則線路一、線路二的時(shí)間可以為（50,60）,（60,50）和（6（）,60）

三種情況，概率為0.2x0.1+0.1x0.1+0.1x0.1=0.04，所以選項(xiàng)D正確.

故選：BD.

11.（2020?山東濰坊高二期中）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為

X01245

pq0.30.20.20.1

若離散型隨機(jī)變量y滿足y=2x+i,則下列結(jié)果正確的有（）

A.E（X）=2B.A（X）=2.4C.D（X）=2.8D.￡＞（7）=14

【答案】AC

【解析】

由離散型隨機(jī)變量X的分布列的性質(zhì)得：

^=1-0.3-0.2-0.2-0.1=0.2,

則￡（X）=0x0.2+1x0.3+2x0.2+4x0.24-5x0.1=2,

D（X）=（0-2『x0.2+（l-x（）.3+（2-2『x0.2+（4-2）2x0.2+（5-2）2xO.l,

即Z）（X）=0.8+0.3+0+0.8+0.9=2.8,

因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量丫滿足y=2X+i,

￡）（y）=22￡＞（r）=4￡＞（y）=4x2.8=11.2.

故結(jié)果正確的有AC.

12.（2020?福建城廂莆田一中高二期中）（多選）設(shè)0＜。＜1,隨機(jī)變量J的分布列如下，則下列結(jié)論正確

的有（）

c012

pp-p2p-l-p

A.石（4）隨著。的增大而增大B.七（二）隨著。的增大而減小

C.P（7=0）＜P（S=2）D.P（7=2）的值最大

【答案】BC

【解析】由題意E（G=〃2+2（1--1）2+1,由于0＜夕＜1,所以E4）隨著P的增大而減小，A

錯(cuò)，B正確；

31391

又p—p?=p（l_p）＜]_p,所以C正確；p=一時(shí)，P（4=2）=一，而尸==＞=—＞—,D

444164

錯(cuò).

故選：BC.

三、填空題

13.（2020?黑龍江南崗哈師大附中高三其他（理））已知隨機(jī)變量X的分布列為

X012

pab

3

若E（X）=1,則￡（aX+〃）=.

2

【答案】-

3

【解析】

2

由概率分布列知。+匕=一.

3

2

E（aX+b）=aE（X）+b=a+b^~.

公式：E(aX+b)-aE(X)+b.

14.(2020?江西高一期末)數(shù)據(jù)/，馬，…，丸的均值為方差為2,現(xiàn)增加一個(gè)數(shù)據(jù)為后方差不變，

則苞的可能取值為.

【答案】—H-^2或—

22

【解析】

故C+???+[-1)=16,

得：［％一1)=2,解得：/=|土正，

故答案為：—或—V2.

22

15.(2020?重慶高三其他(理))甲、乙兩人同時(shí)參加當(dāng)?shù)匾粋€(gè)勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)，該活動(dòng)有任務(wù)需要完成，甲、

乙完成任務(wù)的概率分別為0.7,0.8,且甲、乙是否完成任務(wù)相互獨(dú)立互不影響.設(shè)這兩人中完成任務(wù)的總?cè)?/p>

數(shù)為X，則EX=.

【答案】1.5(或▲)

2

【解析】

X的可能取值為0,1，2,且?！?0)=(1-0.8)(1-0.7)=0.06,

p(X=1)=(1-().8)x0.7+0.8x(1-().7)=0.38,P(X=2)=0.8x0.7=0.56,

故￡￥=1x0.38+2x0.56=15

,3

故答案為：1.5(或一).

2

16.（2020?浙江嵯州高三三模）己知0<Z?<-,隨機(jī)變量X的分布列是:

22

X012

pab

2

2

若E（X）=§,則。=,D（X）=.

【答案】||

【解析】

b+-^l

a+2

21

E(X)=a+2〃a--

33

由題意可得，,解得《

c1

0<Q<一b=-

26

2

2

112丫1

因此，o（x）0——Ix—+1—xL2二

323)33169

5

故答案為：—

39

四、解答題

17.（2019?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量&與％且&，n

的分布列為

自：L2一3-T|

PLaO.10.6p0.3t)0.3

（1）求a,b的值.

（2）計(jì)算《力的均值與方差，并以此分析甲、乙的技術(shù)狀況.

【答案】（1）。=0.3,。=0.4；（2）見(jiàn)解析

【解析】

⑴由離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)可知a+0.1+0.6=l,

所以a=0.3.

同理0.3+b+0.3=l,b=0.4.

⑵叱=1xO.3+2xO.l+3xO.6=2.3,

Er)=lx0.3+2x0.4+3x0.3=2,

D&=(1-2.3)2x0.3+(223)2x0.1+(3-2.3)2x0.6=0.81,

Dr|=(1-2)2x0.3+(2-2)2x0.4+(3-2)2x0.3=0.6.

由于E夕En，說(shuō)明在一次射擊中,甲的平均得分比乙高，但DOD1],說(shuō)明中得分的穩(wěn)定性不如乙，因此甲、乙兩人

技術(shù)水平都不夠全面，各有優(yōu)勢(shì)與劣勢(shì).

18.(2020?大連市普蘭店區(qū)第一中學(xué)高二月考)某人投彈擊中目標(biāo)的概率為P=0.?.

(1)求投彈一次，擊中次數(shù)X的均值和方差；

(2)求重復(fù)投彈10次，擊中次數(shù)丫的均值和方差.

【答案】⑴￡(X)=0.8；￡>(X)=0.16(2)E(r)=8,￡>")=1.6

【解析】

(1)由題意可知X服從兩點(diǎn)分布

因?yàn)?，P(X=0)=02,P(X=l)=0.8

所以，E(X)=0x0.2+lx0.8=0.8.

所以，。(X)=(0-0.8)2x0.2+(1—0.8)2x0.8=0.16

(2)由題意可知擊中次數(shù)y服從二項(xiàng)分布，即丫~3(10,0.8)

所以，￡(7)==10x0.8=8,

Z)(y)=10x0.8x0.2=1.6.

19.(2018?江西九江高二期末(理))某運(yùn)動(dòng)員射擊一次所得環(huán)數(shù)X的分布列如下：

X8910

P0.40.40.2

現(xiàn)進(jìn)行兩次射擊，且兩次射擊互不影響，以該運(yùn)動(dòng)員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績(jī)，記為

(1)求該運(yùn)動(dòng)員兩次命中的環(huán)數(shù)相同的概率；

(2)求g的分布列和數(shù)學(xué)期望

【答案】(1)0.36；(2)見(jiàn)解析，9.2

【解析】

(1)兩次都命中8環(huán)的概率為q=0.4x0.4=0.16

兩次都命中9環(huán)的概率為4=0.4x0.4=0.16

兩次都命中10環(huán)的概率為鳥(niǎo)=0.2x0.2=0.04

設(shè)該運(yùn)動(dòng)員兩次命中的環(huán)數(shù)相同的概率為P

P=6+6+6=0.16+0.16+0.04=0.36

(2)4的可能取值為8,9,10

PC=8)=04x0.4=0.16,

產(chǎn)(』=9)=2x0.4x0.4+0.4x0.4=0.48,

尸《=10)=1—1片=8)一下?=9)=0.36,

.?.4的分布列為

8910

P0.160.480.36

.?出=8x0.16+9x0.48+10x0.36=9.2

20.甲、乙兩個(gè)同學(xué)同時(shí)報(bào)名參加某重點(diǎn)高校2010年自主招生，高考前自主招生的程序?yàn)閷徍瞬牧虾臀幕?/p>

測(cè)試，只有審核過(guò)關(guān)后才能參加文化測(cè)試，文化測(cè)試合格者即可獲得自主招生入選資格.已知甲，乙兩人

審核過(guò)關(guān)的概率分別為二,一，審核過(guò)關(guān)后，甲、乙兩人文化測(cè)試合格的概率分別為士，一.

5245

(1)求甲，乙兩人至少有一人通過(guò)審核的概率；

(2)設(shè)〈表示甲，乙兩人中獲得自主招生入選資格的人數(shù)，求彳的數(shù)學(xué)期望.

4

【答案】(1)甲，乙兩人至少有一人通過(guò)審核的概率為不；

17

(2)J的數(shù)學(xué)期望為

20

【解析】

(1)設(shè)A="甲，乙兩人至少有一人通過(guò)審核“，則

p(A)=l-1-|1-1...........6分

(2)^=0,1,2

,/、49

P信=1)=1-(2(4=0)+.(4=2))=誨

40

334918

loo100Too

???塔=0x〃（J=0）+lxMJ=l）+2x“傳=2）=同=為.......12分

4

答：（1）甲，乙兩人至少有一人通過(guò)審核的概率為二；

17

（2*的數(shù)學(xué)期望為三............1分

21.（2020?全國(guó)高三（理））在某次投籃測(cè)試中，有兩種投籃方案：方案甲：先在A點(diǎn)投籃一次，以后都在

3

B點(diǎn)投籃；方案乙：始終在B點(diǎn)投籃.每次投籃之間相互獨(dú)立.某選手在A點(diǎn)命中的概率為二，命中一次記3

4

4

分，沒(méi)有命中得0分；在B點(diǎn)命中的概率為不，命中一次記2分，沒(méi)有命中得0分，用隨機(jī)變量J表示該

選手一次投籃測(cè)試的累計(jì)得分，如果占的值不低于3分，則認(rèn)為其通過(guò)測(cè)試并停止投籃，否則繼續(xù)投籃，但

一次測(cè)試最多投籃3次.

（1）若該選手選擇方案甲，求測(cè)試結(jié)束后所得分J的分布列和數(shù)學(xué)期望.

（2）試問(wèn)該選手選擇哪種方案通過(guò)測(cè)試的可能性較大？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）數(shù)學(xué)期望為3.05,分布列見(jiàn)解析（2）選擇方案甲

【解析】

（1）在A點(diǎn)投籃命中記作A,不中記作彳；在B點(diǎn)投籃命中記作3,不中記作后,