2024-2025學年新教材高中數(shù)學第一章預(yù)備知識單元整合一課一練含解析北師大版必修第一冊

PAGEPAGE1第一章預(yù)備學問單元整合1.☉%￥#016@￥7%☉(2024·南京外校月考)已知集合U={1,2,3,4,5},集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x=2a,a∈A},則集合?U(A∪B)中的元素個數(shù)為()。A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：因為A={1,2},B={x|x=2a,a∈A}={2,4},所以A∪B={1,2,4},所以?U(A∪B)={3,5}。2.☉%￥187#@￥9%☉(2024·湖南衡陽一中檢測)已知全集U=R,表示集合A={x∈Z|0<x≤6}和B={x∈Z|-4<x<4}關(guān)系的Venn圖如圖1-2所示,則陰影部分集合中的元素共有()。圖1-2A.5個 B.6個 C.7個 D.無窮多個答案：C解析：由題可得A={1,2,3,4,5,6},B={-3,-2,-1,0,1,2,3},則A∩B={1,2,3},A∪B={-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6},依據(jù)Venn圖知陰影部分表示的集合?(A∪B)(A∩B)={-3,-2,-1,0,4,5,6},故選C。3.☉%31￥￥7*0#%☉(2024·北京二中期中)設(shè)集合U={(x,y)|x,y∈R},M=(x,y)y-3x-2=1,N={(x,y)|y≠x+1},則(?U答案：{(2,3)}解析：方法一:集合M=(x,y)y-3x-2=1={(x,y)|y=x+1,且x≠2},如圖所示,集合U表示坐標平面內(nèi)全部的點,集合M表示直線y=x+1除去(2,3)的全部的點,N={(x,y)|y≠x+1},表示坐標平面內(nèi)除去直線y=x+1以外的全部的點,從而M∪N表示坐標平面內(nèi)除去(2,3)的全部的點,所以(?UM)∩(?方法二:因為M={(x,y)|y=x+1,且x≠2},所以?UM={(x,y)|y≠x+1}∪{(2,3)},因為N={(x,y)|y≠x+1},所以?UN={(x,y)|y=x+1},所以(?UM)∩(?UN)={(2,3)}。4.☉%1*5#87@*%☉(2024·常德中學月考)對于集合A,B,我們把集合{(a,b)|a∈A,b∈B}記作A×B。例如A={1,2},B={3,4},則有A×B={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)},B×A={(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},A×A={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},B×B={(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)}。據(jù)此,試回答下列問題:(1)已知C={a},D={1,2,3},求C×D;答案：解:C×D={(a,1),(a,2),(a,3)}。(2)已知A×B={(1,2),(2,2)},求集合A,B;答案：因為A×B={(1,2),(2,2)},所以A={1,2},B={2}。(3)A中有3個元素,B中有4個元素,試確定A×B中有幾個元素。答案：從題干及(1)(2)解題過程中可以看出,A×B中元素的個數(shù)與集合A和B中的元素個數(shù)有關(guān),即集合A中的每一個元素與B中的每一個元素對應(yīng)后,得到A×B中的一個新元素,若A中有m個元素,B中有n個元素,則A×B中的元素個數(shù)應(yīng)為m×n,所以若A中有3個元素,B中有4個元素,則A×B中有3×4=12(個)元素。5.☉%*#8600#￥%☉(2024·湛江第一中學月考)已知集合A={x|x<a},B={x|1≤x<2},且A∪(?RB)=R,則實數(shù)a組成的集合為()。A.{a|a≤1} B.{a|a<1}C.{a|a≥2} D.{a|a>2}答案：C解析：因為B={x|1≤x<2},所以?RB={x|x<1或x≥2}。因為A={x|x<a},A∪(?RB)=R,所以a≥2。故選C。6.☉%**@76@60%☉(2024·陜師大附中月考)已知命題:“?x∈{x|-1≤x≤1},使不等式x2-x-m<0成立”是真命題。(1)求實數(shù)m的取值集合B;答案：解:由命題:“?x∈{x|-1≤x≤1},使不等式x2-x-m<0成立”是真命題,得x2-x-m<0在-1≤x≤1時恒成立,∴m>(x2-x)max,得m>2,即B={m|m>2}。(2)設(shè)不等式(x-3a)(x-a-2)<0的解集為A,若x∈A是x∈B的充分不必要條件,求實數(shù)a的取值范圍。答案：不等式(x-3a)(x-a-2)<0,①當3a>2+a,即a>1時,解集A={x|2+a<x<3a},若x∈A是x∈B的充分不必要條件,則A是B的真子集,∴2+a≥2,此時a>1;②當3a=2+a,即a=1時,解集A=?,滿意題設(shè)條件;③當3a<a+2,即a<1時,解集A={x|3a<x<2+a},若x∈A是x∈B的充分不必要條件,則有3a≥2,此時a∈23,1。綜合①②③可得a7.☉%*0@3￥04￥%☉(2024·蕪湖一中期中)設(shè)y=x2-mx+1。(1)x2-mx+1≥0對隨意x>0恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;答案：解:由題意得x2-mx+1x≥0對即x-m+1x≥0對x>0恒成立即有m≤x+1xmin,由當x>0時,x+1x≥2,可得當x=1時,x+1x取得最小值(2)探討關(guān)于x的不等式x2-mx+1≥0的解集。答案：令g(x)=x2-mx+1,當Δ=m2-4≤0,即-2≤m≤2時,g(x)≥0的解集為R;當Δ>0,即m>2或m<-2時,方程x2-mx+1=0的兩根為x1=m-m2-42,x2=m+m2-∞,m8.☉%#9*@*260%☉(2024·九江中學月考)已知函數(shù)y=x2-ax+3。(1)若y≤-3的解集為[b,3],求實數(shù)a,b的值;答案：解:因為y≤-3,即x2-ax+6≤0的解集為[b,3],所以b,3是一元二次方程x2-ax+6=0的兩根?！郻+3=a(2)當x∈12,+∞時,若關(guān)于x的不等式y(tǒng)≥1-x2恒成立答案：當x∈12,+∞時,若關(guān)于x的不等式y(tǒng)≥1-x2恒成立,則a≤2x+2x在令f(x)=2x+2x,x≥12,則a≤f(x)∵2x+2x≥22x·2x=4,當且僅當x=19.☉%7@9*￥36#%☉(2024·衡水中學周練)已知函數(shù)y=3x2+bx+c,不等式y(tǒng)>0的解集為{x|x<-2或x>0}。(1)求函數(shù)y的解析式;答案：解:由題意知-2,0是方程3x2+bx+c=0的兩根,由根與系數(shù)的關(guān)系得-2+0=-b3,-2×0=c(2)若對于隨意的x∈[-2,2],y+m≤3都成立,求實數(shù)m的最大值。答案：3x2+6x+m≤3,即m≤-3x2-6x+3,而當x∈[-2,2]時,函數(shù)f(x)=-3x2-6x+3的對稱軸為直線x=-1,函數(shù)圖像開口向下,所以當x=2時函數(shù)取得最小值。即f(x)min=-21,∴m≤-21,實數(shù)m的最大值為-21。10.☉%@1#3@#68%☉(2024·黃岡中學月考)某城市旅游資源豐富,經(jīng)調(diào)查,在過去的一個月內(nèi)(以30天計),第t天的旅游人數(shù)y(萬人)近似地滿意y=4+1t,而人均消費g(元)近似地滿意g=125-|t-25|(1)求該城市的旅游日收益W(萬元)與時間t(1≤t≤30,t∈N*)的函數(shù)關(guān)系式;答案：解:W=yg=4+1t(125-|t-25|)=4+(t∈N*)。(2)求該城市旅游日收益的最小值。答案：①當t∈[1,25]時,W=401+4t+100t≥401+24t·100t=441當且僅當4t=100t②當t∈(25,30]時,因為W=599+150t-4t遞減,所以當t=30時,W有最小值W(30)=484>441。綜上,t∈[1,30]時,旅游日收益W的最小值為4411.☉%27￥@*1*7%☉(2024·全國Ⅰ高考)已知集合M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},則M∩N=()。A.{x|-4<x<3} B.{x|-4<x<-2} C.{x|-2<x<2} D.{x|2<x<3}答案：C解析：由題意得M={x|-4<x<2},N={x|-2<x<3},則M∩N={x|-2<x<2},故選C。2.☉%*￥@51#38%☉(2024·全國Ⅱ高考)設(shè)集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},則A∩B=()。A.{x|x<1} B.{x|-2<x<1}C.{x|-3<x<-1} D.{x|x>3}答案：A解析：由題意得A={x|x>3或x<2},B={x|x<1},則A∩B={x|x<1},故選A。3.☉%27*￥34**%☉(2024·全國Ⅲ高考)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},則A∩B=()。A.{-1,0,1} B.{0,1}C.{-1,1} D.{0,1,2}答案：A解析：由題意得B={x|-1≤x≤1},則A∩B={-1,0,1},故選A。4.☉%43**0￥6@%☉(2024·江蘇高考)已知集合A={-1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},則A∩B=。

答案：{1,6}解析：由題意知A∩B={1,6}。5.☉%9#7@25￥#%☉(2024·天津高考)設(shè)集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},則(A∩C)∪B=()。A.{2} B.{2,3}C.{-1,2,3} D.{1,2,3,4}答案：D解析：∵A∩C={1,2},∴(A∩C)∪B={1,2,3,4},故選D。6.☉%8#￥48*￥5%☉(2024·北京高考)設(shè)集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2},則()。A.對隨意實數(shù)a,(2,1)∈AB.對隨意實數(shù)a,(2,1)?AC.當且僅當a<0時,(2,1)?AD.當且僅當a≤32時,(2,1)?答案：D解析：若(2,1)∈A,則2a+1>4,2-a≤2,解得a>32,所以當且僅當7.☉%068##*@2%☉(2024·全國Ⅱ高考)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},則A中元素的個數(shù)為()。A.9 B.8 C.5 D.4答案：A解析：方法一:由x2+y2≤3知,-3≤x≤3,-3≤y≤3。又x∈Z,y∈Z,所以x∈{-1,0,1},y∈{-1,0,1},所以A中元素的個數(shù)為3×3=9,故選A。方法二:依據(jù)集合A的元素特征及圓的方程(以后會學到)在坐標系中作出圖形,如圖,易知在圓x2+y2=3中有9個整點,即為集合A的元素個數(shù),故選A。8.☉%60￥*￥￥21%☉(2024·浙江高考)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},則?UA=()。A.? B.{1,3}C.{2,4,5} D.{1,2,3,4,5}答案：C解析：因為U={1,2,3,4,5},A={1,3},所以?UA={2,4,5}。故選C。9.☉%￥#61@*24%☉(2024·全國Ⅰ高考)已知集合A={x|x2-x-2>0},則?RA=()。A.{x|-1<x<2} B.{x|-1≤x≤2}C.{x|x<-1}∪{x|x>2} D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}答案：B解析：方法一:A={x|(x-2)(x+1)>0}={x|x<-1或x>2},所以?RA={x|-1≤x≤2},故選B。方法二:因為A={x|x2-x-2>0},所以?RA={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2},故選B。10.☉%@509@@￥2%☉(2024·天津高考)設(shè)全集為R,集合A={x|0<x<2},B={x|x≥1},則A∩(?RB)=()。A.{x|0<x≤1} B.{x|0<x<1}C.{x|1≤x<2} D.{x|0<x<2}答案：B解析：因為B={x|x≥1},所以?RB={x|x<1},因為A={x|0<x<2},所以A∩(?RB)={x|0<x<1},故選B。11.☉%*#6@799￥%☉(2024·全國Ⅱ高考)設(shè)集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}。若A∩B={1},則B=()。A.{1,-3} B.{1,0} C.{1,3} D.{1,5}答案：C解析：因為A∩B={1},所以1∈B,所以1是方程x2-4x+m=0的根,所以1-4+m=0,m=3,方程x2-4x+3=0,解得x=1或x=3,所以B={1,3},選C。12.☉%*@11#￥81%☉(2024·江蘇高考)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}。若A∩B={1},則實數(shù)a的值為。

答案：1解析：因為a2+3≥3,所以由A∩B={1}得a=1,即實數(shù)a的值為1。13.☉%￥18#6#6￥%☉(安徽高考)命題“存在實數(shù)x,使x>1”的否定是()。A.對隨意實數(shù)x,都有x>1B.不存在實數(shù)x,使x≤1C.對隨意實數(shù)x,都有x≤1D.存在實數(shù)x,使x≤1答案：C解析：由題意可得答案為C。14.☉%#962@##0%☉(天津高考)設(shè)x∈R,則“x>12”是“2x2+x-1>0”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件答案：A解析：∵2x2+x-1>0的解集為x|x<-1或x>12,∴“x>12”是“15.☉%656#0*￥#%☉(2024·全國Ⅰ高考改編)已知函數(shù)y=x+2,x≤0,-x+2,A.{x|-1≤x≤1} B.{x|-2≤x≤2}C.{x|-2≤x≤1} D.{x|-1≤x≤2}答案：A解析：依題意得x≤0,x+2≥x2或x>0,