河北省唐山市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次摸底試題含解析

PAGE22-河北省唐山市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次摸底試題（含解析）留意事項(xiàng)：1、答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2、回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3、考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式可得集合，再求交集即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集運(yùn)算，涉及一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.2.若復(fù)數(shù)z滿意，則（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)z滿意，利用復(fù)數(shù)的除法得到，再利用求模公式求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿意，所以，所以，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.3.特崗老師是中心實(shí)施的一項(xiàng)對(duì)中西部地區(qū)農(nóng)村義務(wù)教化的特別政策.某教化行政部門為本地兩所農(nóng)村小學(xué)聘請(qǐng)了6名特崗老師，其中體育老師2名，數(shù)學(xué)老師4名.按每所學(xué)校1名體育老師，2名數(shù)學(xué)老師進(jìn)行安排，則不同的安排方案有（）A.24 B.14 C.12 D.8【答案】C【解析】【分析】先把4名數(shù)學(xué)老師平分為2組，再把2名體育老師分別放入這兩組，最終把這兩組老師安排到兩所農(nóng)村小學(xué)，即可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】先把4名數(shù)學(xué)老師平分為2組，有種方法，再把2名體育老師分別放入這兩組，有種方法，最終把這兩組老師安排到兩所農(nóng)村小學(xué)，共有種方法.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查計(jì)數(shù)原理和排列組合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4.居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)是反映肯定時(shí)期內(nèi)城鄉(xiāng)居民所購(gòu)買的生活消費(fèi)品和服務(wù)項(xiàng)目?jī)r(jià)格變動(dòng)趨勢(shì)和程度的相對(duì)數(shù)，是對(duì)城市居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)和農(nóng)村居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)進(jìn)行綜合匯總計(jì)算的結(jié)果.通過該指數(shù)可以視察和分析消費(fèi)品的零售價(jià)格和服務(wù)項(xiàng)目?jī)r(jià)格變動(dòng)對(duì)城鄉(xiāng)居民實(shí)際生活費(fèi)支出的影響程度.如圖，是疫情期間我國(guó)的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)與食品類居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)折線圖，據(jù)此圖，下列分析中不合理的是（）A.居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)改變幅度相對(duì)不大B.食品類居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)改變幅度相對(duì)較大C.食品類居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)高于居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)D.食品類居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)與居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)的改變趨勢(shì)很不一樣【答案】D【解析】【分析】依據(jù)折線圖，逐個(gè)分析選項(xiàng)即可得選項(xiàng)合理，選項(xiàng)不合理.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)：由折線圖可知，居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)線比較平緩，所以居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)改變幅度相對(duì)不大，所以選項(xiàng)合理；對(duì)于選項(xiàng)：由折線圖可知，食品類居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)線起伏較大，所以品類居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)改變幅度相對(duì)較大，所以選項(xiàng)合理；對(duì)于選項(xiàng)：由折線圖可知，食品類居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)線始終在居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)線上方，所以食品類居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)高于居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)，所以選項(xiàng)合理；對(duì)于選項(xiàng)：食品類居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)與居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)的改變趨勢(shì)大致一樣，所以選項(xiàng)不合理，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)統(tǒng)計(jì)折線圖的分析和理解實(shí)力，意在考查學(xué)生對(duì)該學(xué)問的理解駕馭水平.．5.下圖是一個(gè)正方體的綻開圖，則在該正方體中（）A.直線與直線平行 B.直線與直線相交C.直線與直線異面垂直 D.直線與直線異面且所成的角為60°【答案】D【解析】【分析】首先畫出正方體的綻開圖的立體圖，從而得到直線與直線為異面直線，再求異面直線所成角即可得到答案.【詳解】正方體的綻開圖的立體圖形如圖所示：由圖知：直線與直線為異面直線，故A，B錯(cuò)誤；連接，，因?yàn)椋曰蚱溲a(bǔ)角為異面直線與所成角.又因?yàn)闉榈冗吶切?，所?所以直線與直線異面且所成的角為60°，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線成角問題，屬于簡(jiǎn)潔題.6.已知，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)增函數(shù)加增函數(shù)是增函數(shù)和奇函數(shù)定義可知函數(shù)是增函數(shù)且是奇函數(shù)，即有，得到，即可解得.【詳解】因?yàn)榫鶠樵龊瘮?shù)，所以是增函數(shù)，又因?yàn)椋院瘮?shù)是奇函數(shù)，化為，所以即.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了推斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，解題中須要依據(jù)增函數(shù)加增函數(shù)是增函數(shù)和奇函數(shù)定義推斷，屬于基本題型，關(guān)鍵是要精確駕馭基本初等函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).7.已知，都是單位向量，滿意，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先依據(jù)得到，從而得到，，再計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，得?因?yàn)椋?，所?故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對(duì)量的夾角公式，熟記公式為解題關(guān)鍵，屬于簡(jiǎn)潔題.8.已知，則（）A.的值域?yàn)?B.在上單調(diào)C.為的周期 D.為圖像的對(duì)稱中心【答案】D【解析】【分析】化為分段函數(shù)，依據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)而逐一分析各個(gè)答案的正誤，可得結(jié)論.【詳解】∵，函數(shù)的值域?yàn)椋蔄錯(cuò)誤；在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；的周期為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以為圖象的對(duì)稱中心，故D正確；故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要以命題的真假推斷與應(yīng)用為載體，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.9.設(shè)，，則（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的單調(diào)性可推斷.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以由可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以由可得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，由可得，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以由可得，則，即，故D正確.故選：CD.【點(diǎn)睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性推斷大小，屬于基礎(chǔ)題.10.若的綻開式中的系數(shù)是，則（）A. B.全部項(xiàng)系數(shù)之和為1C.二項(xiàng)式系數(shù)之和為 D.常數(shù)項(xiàng)為【答案】ABC【解析】【分析】首先依據(jù)綻開式中的系數(shù)是得到，從而推斷A正確，令得到全部項(xiàng)系數(shù)之和為，從而推斷B正確，依據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和為，從而推斷C正確，依據(jù)的常數(shù)項(xiàng)為，從而推斷D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，的綻開式中項(xiàng)為，所以，解得，故A正確；由A知：，令，全部項(xiàng)系數(shù)之和為，故B正確；對(duì)選項(xiàng)C，二項(xiàng)式系數(shù)之和為，故C正確；對(duì)選項(xiàng)D，的常數(shù)項(xiàng)為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式的定理的各項(xiàng)系數(shù)之和，項(xiàng)的系數(shù)之和，常數(shù)項(xiàng)，屬于中檔題.11.已知雙曲線的一條漸近線，設(shè)，是C的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在l上，且，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.C的虛軸長(zhǎng)為 B.C. D.的面積為【答案】ABD【解析】【分析】求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和基本量，依據(jù)雙曲線的定義及直角三角形的有關(guān)性質(zhì)逐一選擇..【詳解】由漸近線，可得，，，所以虛軸長(zhǎng)，A正確；由，為直角三角形，B正確；因?yàn)辄c(diǎn)P不在雙曲線上，依據(jù)雙曲線的定義，C不正確；由漸近線，知，，，D正確.故選:ABD【點(diǎn)睛】本題考查由依據(jù)漸近線方程確定雙曲線的基本量，同時(shí)考查雙曲線的定義，屬于基礎(chǔ)題.12.已知.（）A.的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4 B.的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為3C.x軸為曲線的切線 D.若，則【答案】BC【解析】【分析】首先依據(jù)得到，分別畫出和的圖像，從而得到函數(shù)的單調(diào)性和極值，再依次推斷選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】，令，得到.分別畫出和的圖像，如圖所示：由圖知：有三個(gè)解，即有三個(gè)解，分別為，，.所以，，為增函數(shù)，，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù)，，，為減函數(shù).所以當(dāng)時(shí)，取得極大值為，當(dāng)時(shí)，取得微小值為，當(dāng)時(shí)，取得極大值為，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，三個(gè)極值點(diǎn)，A錯(cuò)誤，B正確.因?yàn)楹瘮?shù)的極大值為，所以軸為曲線的切線，故C正確.因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)，為減函數(shù)，所以存在，滿意，且，明顯，故D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的零點(diǎn)，極值點(diǎn)和切線，屬于難題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知x，y滿意約束條件，則的最小值為_______.【答案】2【解析】【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用的幾何意義即可得到結(jié)論．【詳解】由，得，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由圖象可知當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，直線的在軸的截距最小，此時(shí)最小，由，解得，此時(shí)，故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．14.已知等差數(shù)列的公差不為零，若，，成等比數(shù)列，則______.【答案】0【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，依據(jù)，，成等比數(shù)列，得到，再依據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，所以，整理得，因?yàn)?，所以，所?故答案為：0.【點(diǎn)睛】本題考查了等比中項(xiàng)，考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.15.F是拋物線的焦點(diǎn)，P是C上且位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，點(diǎn)P在C的準(zhǔn)線上的射影為Q，且，則外接圓的方程為_____.【答案】【解析】【分析】由題可推斷為直角三角形，即外接圓的圓心為中點(diǎn)，求出圓心和半徑即可寫出圓的方程.【詳解】由拋物線方程可知焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，，，即，則，，，即為直角三角形，外接圓的圓心為中點(diǎn)，即圓心為，半徑為，外接圓的方程為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡(jiǎn)潔性質(zhì)，考查圓的方程的求解，屬于基礎(chǔ)題.16.己知四棱臺(tái)中，上、下底面都是正方形，下底面棱長(zhǎng)為2，其余各棱長(zhǎng)均為1，則該四棱臺(tái)的外接球的表面積為____________.【答案】【解析】【分析】畫出如圖的圖形，依據(jù)直角三角形計(jì)算出相關(guān)量，由此計(jì)算出外接球的半徑，即可求出球表面積.【詳解】如圖，在四棱臺(tái)中，連接，設(shè)，，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)O，設(shè)O為四棱臺(tái)外接球心，連接，在平面中，作，垂足為，則，在直角三角形中，，，在直角三角形中，，在直角三角形中，，，，解得，，該四棱臺(tái)的外接球的表面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查幾何體外接球問題，屬于中檔題.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在中，角的對(duì)邊分別為，.有以下3個(gè)條件：①；②；③.請(qǐng)?jiān)谝陨?個(gè)條件中選擇一個(gè)，求面積的最大值.注：假如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】答案見解析.【解析】【分析】若選擇①：利用正弦定理得到，再利用以及兩角和與差的正弦公式得到，最終利用三角形的面積公式求解即可；若選擇②：利用正弦定理得到，再利用以及兩角和的正弦公式得到，再利用余弦定理以及三角形的面積公式求解即可；若選擇③：先利用基本不等式得到，再利用余弦定理得到，最終利用三角形的面積公式求解即可.【詳解】若選擇①：由正弦定理得：可將化為：，又，所以，所以，即，，，，所以（當(dāng)時(shí)取到等號(hào)），所以面積的最大值為2.若選擇②：由正弦定理可將化：，又，所以，所以，即，，又，，又由余弦定理可得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，所以面積的最大值為.若選擇③：因?yàn)?，所以，（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），又由余弦定理得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用正弦定理和余弦定理以及三角形的面積公式解三角形.屬于中檔題.18.在數(shù)列中，，，.（1）證明為等比數(shù)列；（2）求.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由，構(gòu)造出的關(guān)系，然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.（2）由（1）得，利用累加法求解通項(xiàng)即可【詳解】解：（1）由得，又，所以是以1為首項(xiàng)，以2為公比等比數(shù)列.（2）由（1）得，所以，.所以時(shí)，..因此，.當(dāng)時(shí)，也滿意上式，故.【點(diǎn)睛】本題考查利用構(gòu)造法和累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式問題，屬于一般題19.在四棱錐中，底面，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，E是的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）直線與平面所成角為45°，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明詳見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用線面垂直證明面面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用兩個(gè)平面的法向量求面面角即可.【詳解】（1）連接，由題意可知是等邊三角形，又E是的中點(diǎn)，所以；由底面，底面，所以，且，所以，平面，且平面，所以平面平面.（2）由（1）可知，在平面上的射影為，所以直線與平面所成角為.在中，.所以，在中，，.以E為原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，的方向?yàn)閥軸正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題設(shè)可得，，，所以，.設(shè)是平面的法向量，則，得，可取.由（1）知是平面的一個(gè)法向量，則.所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的推斷方法，考查了利用空間向量求面面角的問題.20.田忌賽馬的故事出自《史記》中的《孫子吳起列傳》.齊國(guó)的大將田忌很喜愛賽馬，有一回，他和齊威王約定，要進(jìn)行一場(chǎng)競(jìng)賽.雙方各自有三匹馬，馬都可以分為上，中，下三等.上等馬都比中等馬強(qiáng)，中等馬都比下等馬強(qiáng)，但是齊威王每個(gè)等級(jí)的馬都比田忌相應(yīng)等級(jí)的馬強(qiáng)一些，競(jìng)賽共三局，每局雙方分別各派一匹馬出場(chǎng)，且每匹馬只賽一局，勝兩局或三局的一方獲得競(jìng)賽成功，在競(jìng)賽之前，雙方都不知道對(duì)方馬的出場(chǎng)依次.（1）求在第一局競(jìng)賽中田忌成功的概率：（2）若第一局齊威王派出場(chǎng)的是上等馬，而田忌派出場(chǎng)的是下等馬，求本場(chǎng)競(jìng)賽田忌成功的概率；（3）寫出在一場(chǎng)競(jìng)賽中田忌成功的概率（干脆寫出結(jié)果）.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）首先將田忌的三匹馬依據(jù)上、中、下三等分別記為、、，齊威王的三匹馬依據(jù)上、中、下三等分別記為、、，列出第一局雙方參賽的馬匹的全部狀況，再找到田忌成功的狀況，即可得到答案.（2）首先設(shè)事務(wù)“第一局齊威王派出場(chǎng)的是上等馬，而田忌派出場(chǎng)的是下等馬”，事務(wù)“田忌獲得本場(chǎng)競(jìng)賽成功”，列舉出事務(wù)，的個(gè)數(shù)，利用條件概率公式即可的得到答案.（3）依據(jù)題意干脆寫出答案即可.【詳解】將田忌的三匹馬依據(jù)上、中、下三等分別記為、、，齊威王的三匹馬依據(jù)上、中、下三等分別記為、、，并且用馬的記號(hào)表示該立刻場(chǎng)競(jìng)賽.（1）設(shè)事務(wù)“第一局雙方參賽的馬匹”，事務(wù)“在第一局競(jìng)賽中田忌成功”，由題意得，，則在第一局競(jìng)賽中田忌成功的概率是.（2）設(shè)事務(wù)“第一局齊威王派出場(chǎng)的是上等馬，而田忌派出場(chǎng)的是下等馬”，事務(wù)“田忌獲得本場(chǎng)競(jìng)賽成功”，由題意得，，則本場(chǎng)競(jìng)賽田忌成功的概率是.（3）【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概率的求法，同時(shí)考查了條件概