江蘇省鹽城2024高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月聯(lián)考試題

江蘇省鹽城2024高三上學(xué)期四校聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（考試時間：120分鐘，滿分：150分）2024.12.15一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1．已知集合，，則=（

）A． B． C． D．2．下列說法正確的是（

）A．圓的圓心為，半徑為5B．圓的圓心為，半徑為C．圓的圓心為，半徑為D．圓的圓心為，半徑為3．已知向量，，，，則下列說法正確的是（

）A．若，則有最小值B．若，則有最小值C．若，則的值為D．若，則的值為14．2024年4月29日，中國空間站天和核心艙放射升空，這標(biāo)記著中國空間站在軌組裝建立全面綻開，我國載人航天工程“三步走”戰(zhàn)略勝利邁出第三步.到今日，天和核心艙在軌已經(jīng)九個多月.在這段時間里，空間站關(guān)鍵技術(shù)驗(yàn)證階段完成了5次放射、4次航天員太空出艙、1次載人返回、1次太空授課等任務(wù).一般來說，航天器繞地球運(yùn)行的軌道近似看作為橢圓，其中地球的球心是這個橢圓的一個焦點(diǎn)，我們把橢圓軌道上距地心最近（遠(yuǎn)）的一點(diǎn)稱作近（遠(yuǎn)）地點(diǎn)，近（遠(yuǎn)）地點(diǎn)與地球表面的距離稱為近（遠(yuǎn)）地點(diǎn)高度.已知天和核心艙在一個橢圓軌道上飛行，它的近地點(diǎn)高度大約351km，遠(yuǎn)地點(diǎn)高度大約385km，地球半徑約6400km，則該軌道的離心率為（

）A． B． C． D．5．把一條線段分為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比，其比值是一個無理數(shù)，由于按此比例設(shè)計(jì)的造型非常漂亮柔軟，因此稱為黃金分割，黃金分割不僅僅體現(xiàn)在諸如繪畫、雕塑、音樂、建筑等藝術(shù)領(lǐng)域，而且在管理、工程設(shè)計(jì)等方面也有著不行忽視的作用.在中，點(diǎn)D為線段的黃金分割點(diǎn)（），，，，則（

）A． B． C． D．6．如圖，由于建筑物AB的底部B是不行能到達(dá)的，A為建筑物的最高點(diǎn)，須要測量AB，先實(shí)行如下方法，選擇一條水平基線HG，使得H，G，B三點(diǎn)在一條直線上，在G，H兩點(diǎn)用測角儀測得A的仰角為，，，測角儀器的高度是h，則建筑物AB的高度為（

）A． B．C． D．7．已知數(shù)列是公比不等于的等比數(shù)列，若數(shù)列，，的前2024項(xiàng)的和分別為m，，20，則實(shí)數(shù)m的值（

）A．只有1個 B．有2個 C．無法確定 D．不存在8．若x，，，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9．已知數(shù)列為等比數(shù)列，則（

）A．?dāng)?shù)列，，成等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列，，成等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列，，成等比數(shù)列D．?dāng)?shù)列，，成等比數(shù)列10．函數(shù)，圖像一個最高點(diǎn)是，距離點(diǎn)A最近的對稱中心坐標(biāo)為，則下列說法正確的有(

)A．的值是6B．時，函數(shù)單調(diào)遞增C．時函數(shù)圖像的一條對稱軸D．的圖像向左平移個單位后得到圖像，若是偶函數(shù)，則的最小值是11．已知函數(shù)，的定義域均為R，它們的導(dǎo)函數(shù)分別為，．若是奇函數(shù)，，與圖象的交點(diǎn)為，，…，，則（

）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 B．的圖象關(guān)于直線對稱C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．12．已知正四面體ABCD的棱長為，其外接球的球心為O．點(diǎn)E滿意，，過點(diǎn)E作平面平行于AC和BD，平面分別與該正四面體的棱BC，CD，AD相交于點(diǎn)M，G，H，則（

）A．四邊形EMGH的周長為是改變的B．四棱錐的體積的最大值為C．當(dāng)時，平面截球O所得截面的周長為D．當(dāng)時，將正四面體ABCD繞EF旋轉(zhuǎn)后與原四面體的公共部分體積為三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13．已知為虛數(shù)單位，且復(fù)數(shù)z滿意：，則復(fù)數(shù)z的模為_____________．14．若直線：與直線：平行，則直線與之間的距離為______．15．已知曲線在處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)_____.16．有一張面積為的矩形紙片，其中為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，將矩形繞旋轉(zhuǎn)得到圓柱，如圖所示，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，直線與底面圓所成角的正切值為，為圓柱的一條母線（與，不重合），則當(dāng)三棱錐的體積取最大值時，三棱錐外接球的表面積為___________.四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．已知函數(shù)．(1)求的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；(2)在中，角的對邊分別為．若，，求的面積的最大值．18．在①；②成等比數(shù)列；③；這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面試題的空格處中并作答．已知是各項(xiàng)均為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)定義在數(shù)列中，使為整數(shù)的叫做“調(diào)和數(shù)”，求在區(qū)間[1，2024]內(nèi)全部“調(diào)和數(shù)”之和．19．如圖所示，在三棱錐A-BCD中，已知平面ABD⊥平面BCD，且，BC⊥AC.(1)證明：BC⊥平面ACD；(2)若點(diǎn)F為棱BC的中點(diǎn)，，且，求平面CDE與平面ABD夾角的余弦值.20．如圖，半徑為1的光滑圓形軌道圓、圓外切于點(diǎn)，點(diǎn)是直線與圓的交點(diǎn)，在圓形軌道、圓上各有一個運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)，同時分別從點(diǎn)、起先逆時針繞軌道做勻速圓周運(yùn)動，點(diǎn)，運(yùn)動的角速度之比為2：1，設(shè)點(diǎn)轉(zhuǎn)動的角度為，以為原點(diǎn)，為軸建立平面直角坐標(biāo)系．(1)若為銳角且，求、的坐標(biāo)；(2)求的最大值．21．定義橢圓的“蒙日圓”的方程為，已知橢圓的長軸長為4，離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和它的“蒙日圓”E的方程；(2)過“蒙日圓”E上的隨意一點(diǎn)M作橢圓的一條切線，A為切點(diǎn)，延長MA與“蒙日圓”E交于點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OM，OD的斜率存在，且分別設(shè)為，證明：為定值.22．已知函數(shù)．（是自然對數(shù)的底數(shù)）(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，試探討在上的零點(diǎn)個數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：）

數(shù)學(xué)試卷參考答案1．B2．C3．A4．A5．A6．C7．B8．C解：設(shè)，則（不恒為零），故在上為增函數(shù)，故，所以，故在上恒成立，所以，但為上為增函數(shù)，故即，所以C成立，D錯誤.取，考慮的解，若，則，沖突，故即，此時，故B錯誤.取，考慮，若，則，沖突，故，此時，此時，故A錯誤，故選：C.9．BD10．AD11．BC12．BD【詳解】對于邊長為2的正方體，則ABCD為棱長為的正四面體，則球心O即為正方體的中心，連接，設(shè)∵，，則為平行四邊形∴，又∵平面，平面，∴平面，又∵平面，，平面，∴平面平面，對A：如圖1，∵平面平面，平面平面，平面平面，∴，則，即，同理可得：，，，，∴四邊形EMGH的周長（定值），A錯誤；對B：如圖1，由A可知：，，，，∵為正方形，則，∴為矩形，依據(jù)平行可得：點(diǎn)A到平面的距離，故四棱錐的體積，則，∵，則當(dāng)時，則，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，則，在上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時，取到最大值，故四棱錐的體積的最大值為，B正確；對C：正四面體ABCD的外接球即為正方體的外接球，其半徑，設(shè)平面截球O所得截面的圓心為，半徑為，當(dāng)時，則，∵，則，∴平面截球O所得截面的周長為，C錯誤；對D：如圖2，將正四面體ABCD繞EF旋轉(zhuǎn)后得到正四面體，設(shè)，∵，則分別為各面的中心，∴兩個正四面體的公共部分為，為兩個全等的正四棱錐組合而成，依據(jù)正方體可得：，正四棱錐的高為，故公共部分的體積，D正確；故選：BD.14．15．16．解：設(shè)圓柱的高為，底面半徑為，則，即.因?yàn)橹本€與底面圓所成角的正切值為，所以，即.由，得.連接，由題意得，，又，所以平面，而平面，所以平面平面.過點(diǎn)作于點(diǎn)，則平面.設(shè)，，則，于是三棱錐的體積，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，設(shè)此時三棱錐外接球的球心到平面的距離為，外接球半徑為，則，解得，于是，所以當(dāng)三棱錐的體積取最大值時，三棱錐外接球的表面積.故答案為：.17．解：（1）．∴的周期，由，，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，．（2）∵，即，又，∴，由正弦定理有，∴∵，∴，∴,當(dāng)即時取得最大值.另解：∵，即，又，∴，由余弦定理知：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．∴，∴當(dāng)時，．18．解：（1）選①解：因?yàn)?，所以?dāng)時，，當(dāng)，時，因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列，所以，.選②解：因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列，設(shè)其公差為，所以，所以，所以.選③解：因?yàn)?，所以?dāng)時，．所以，所以或，因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，所以，又當(dāng)n＝2時，，所以，所以，所以，所以或（舍去），其公差，所以.（2）設(shè)，所以，令，且b為整數(shù)，又由，，所以b可以取1，2，3，4，5，6，此時分別為，所以區(qū)間[1，2024]內(nèi)全部“調(diào)和數(shù)”之和＝1086.19．(1)證明：由條件可得，所以AD⊥BD．因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，所以AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC．又BC⊥AC，AC∩AD=A，所以BC⊥平面ACD.(2)解：因?yàn)锽C⊥平面ACD，所以BC⊥CD．所以BC=.以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CD，CB分別為x，y軸，過點(diǎn)C且垂直于平面BCD的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則設(shè)平面CDE的法向量為，則取，則，,設(shè)平面ABD的一個法向量為，則，取，設(shè)平面CDE與平而ABD的夾角為θ，.則故平面CDE與平而ABD的夾角的余弦為.20．解：（1）因?yàn)闉殇J角，所以因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，，所以，．?）因?yàn)辄c(diǎn)，分別運(yùn)動的角速度之比為2：1，所以當(dāng)點(diǎn)轉(zhuǎn)動的角度為時，轉(zhuǎn)動角度為，因此，．，所以當(dāng)時，取得最大值，所以的最大值為．21．解：（1）由題意知，故橢圓的方程,“蒙日圓”的方程為,即（2）當(dāng)切線的斜率存在且不為零時,設(shè)切線的方程為,則由,消去得,由,消去得設(shè),則,，，當(dāng)切線的斜率不存在或?yàn)榱銜r,易得成立,為定值.22．解：(1)，則，定義域?yàn)椋?，由，解得，可得，解得，由，解得，可得，解得，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)由已知，，令，則．，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，，在上