河南省豫東南聯(lián)盟2024年1月高三數(shù)學(xué)下學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考試含解析

Page22河南省豫東南聯(lián)盟2024年1月高三數(shù)學(xué)下學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考試一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知復(fù)數(shù)z滿意，則（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算以及復(fù)數(shù)的除法，即可求得答案.【詳解】由題意知復(fù)數(shù)z滿意，即，故選：C2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由函數(shù)值域和定義域的求法可求得集合，由交集定義可得結(jié)果.【詳解】，，即；由對(duì)數(shù)函數(shù)定義域知：；.故選：A.3．已知等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，，則（

）．A．200 B．300 C．500 D．1000【答案】C【分析】由等差數(shù)列求和公式及可得，則由整體法可求.【詳解】設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，則，化簡(jiǎn)得，．故選：C．4．2024年，我國(guó)全年貨物進(jìn)出口總額391009億元，比上年增長(zhǎng)21.4%.其中，出口217348億元，增長(zhǎng)21.2%；進(jìn)口173661億元，增長(zhǎng)21.5%.貨物進(jìn)出口順差43687億元，比上年增加7344億元.如圖是我國(guó)2017—2024年貨物進(jìn)出口總額統(tǒng)計(jì)圖，則下面結(jié)論中不正確的是（

）A．2024年的貨物進(jìn)出口總額322215億元 B．2024年的貨物進(jìn)出口順差36343億元C．2017—2024年，貨物進(jìn)口總額逐年上升 D．2017—2024年，貨物出口總額逐年上升【答案】C【分析】依據(jù)2017—2024年貨物進(jìn)出口總額統(tǒng)計(jì)圖，依次分析各個(gè)選項(xiàng)，即可得到答案.【詳解】對(duì)于A，2024年的貨物進(jìn)出口總額為億元，故A正確；對(duì)于B，2024年的貨物進(jìn)出口順差為億元，故B正確；對(duì)于C，2024年的貨物進(jìn)口總額為142936億元，相對(duì)于2024的貨物進(jìn)口總額143254億元下降了，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，2017—2024年，貨物出口總額逐年上升，故D正確.故選：C5．設(shè)為銳角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依據(jù)誘導(dǎo)公式及二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)，再由函數(shù)的性質(zhì)可得解.【詳解】，，且為銳角，且，故選：C6．如圖是一個(gè)簡(jiǎn)潔幾何體的三視圖，若，則該幾何體體積的最大值為（

）

A． B． C．6 D．3【答案】D【分析】首先由三視圖，確定幾何體，再利用基本不等式求體積的最大值.【詳解】依據(jù)三視圖可知，幾何體是如圖所示的三棱錐,四個(gè)頂點(diǎn)為長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，則幾何體的體積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以幾何體體積的最大值是3.故選：D7．已知在平行四邊形中，，，，，，則（

）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】利用向量加減法運(yùn)算，對(duì)進(jìn)行分解，再利用數(shù)量積公式即可求解.【詳解】因?yàn)闉槠叫兴倪呅?，所以，，又則，又因?yàn)?，，，則，因?yàn)?，解?故選：8．下列結(jié)論不正確的是（

）A．若事務(wù)與互斥，則B．若事務(wù)與相互獨(dú)立，則C．假如分別是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，那么D．若隨機(jī)變量的方差，則【答案】A【分析】由已知，選項(xiàng)A，依據(jù)事務(wù)與互斥，可知；選項(xiàng)B，依據(jù)事務(wù)與相互獨(dú)立，可知；選項(xiàng)C，依據(jù)分別是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，可得；選項(xiàng)D，由，可得，即可作出推斷.【詳解】由已知，選項(xiàng)A，若事務(wù)與互斥，則，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，若事務(wù)與相互獨(dú)立，則，故該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)C，若分別是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，那么，故該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D，若隨機(jī)變量的方差，則，故該選項(xiàng)正確；故選：A.9．已知函數(shù)，若對(duì)于隨意的實(shí)數(shù)恒有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可將題目轉(zhuǎn)化為，即，明顯，運(yùn)用參數(shù)分別和二倍角公式可得，求出右邊函數(shù)的范圍，即可得解.【詳解】對(duì)于隨意的實(shí)數(shù)恒有，即，即，明顯，當(dāng)時(shí)，明顯成立；由偶函數(shù)的性質(zhì)，只要考慮的狀況即可，當(dāng)時(shí)，，即由，則，則題目轉(zhuǎn)化為，令，求導(dǎo)，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，，即，，即，所以，解得所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：A10．設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用零點(diǎn)存在定理計(jì)算出、的取值范圍，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出，即可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為增函數(shù)，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，且，，因?yàn)?，由零點(diǎn)存在定理可知；構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為增函數(shù)，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，且，，因?yàn)?，由零點(diǎn)存在定理可知.因?yàn)?，則，因此，.故選：B.11．已知圓，過(guò)點(diǎn)的直線，，…，被該圓M截得的弦長(zhǎng)依次為，，…，，若，，…，是公差為的等差數(shù)列，則n的最大值是（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】D【分析】求出弦長(zhǎng)的最小和最大值，依據(jù)等差數(shù)列的關(guān)系即可求出n的最大值【詳解】解：由題意在圓中∴圓心，半徑為3，過(guò)點(diǎn)的直線，，…，被該圓M截得的弦長(zhǎng)依次為，，…，過(guò)圓心作弦的垂線，交圓于兩點(diǎn)，如下圖所示：由幾何學(xué)問(wèn)得，當(dāng)時(shí)，為最短弦長(zhǎng)；為最長(zhǎng)弦長(zhǎng)，為6.此時(shí)，直線的解析式為：直線的解析式為：圓心到弦BC所在直線的距離：連接,由勾股定理得，∴，∴最短弦長(zhǎng)，∵，，…，是公差為的等差數(shù)列∴設(shè)∵最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為6∴解得：故選：D.12．已知點(diǎn)是橢圓的上頂點(diǎn)，分別是橢圓左右焦點(diǎn)，直線將三角形分割為面積相等兩部分，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意，,，，先求出直線y＝ax+b（a＞0）與x軸的交點(diǎn)為，由，可得點(diǎn)M在射線上．再求出直線y＝ax+b（a＞0）和的交點(diǎn)N的坐標(biāo)，分三種狀況探討：①若點(diǎn)M和點(diǎn)重合，求得；②若點(diǎn)M在點(diǎn)O和點(diǎn)之間，求得；③若點(diǎn)M在點(diǎn)的左側(cè)，求得．求并集即可得b的取值范圍．【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓的上頂點(diǎn)，分別是橢圓左右焦點(diǎn)，所以，，從而有，所以,，，由題意，三角形的面積為1，設(shè)直線y＝ax+b（a＞0）與x軸的交點(diǎn)為，由直線y＝ax+b（a＞0）將三角形分割為面積相等的兩部分，可得，所以，故點(diǎn)M在射線上．設(shè)直線y＝ax+b和的交點(diǎn)為N，則由可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為．①若點(diǎn)M和點(diǎn)重合，如圖：則點(diǎn)N為線段的中點(diǎn)，故N，把、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線y＝ax+b，求得a＝b．②若點(diǎn)M在點(diǎn)O和點(diǎn)之間，如圖：此時(shí)，點(diǎn)N在點(diǎn)和點(diǎn)之間，由題意可得三角形的面積等于，即，即，可得a，求得，故有．③若點(diǎn)M在點(diǎn)的左側(cè)，則，由點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，求得b＞a．設(shè)直線y＝ax+b和的交點(diǎn)為P，則由求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，此時(shí)，由題意可得，三角形APN的面積等于，即，即，化簡(jiǎn)可得．由于此時(shí)b＞a＞0，所以．兩邊開(kāi)方可得，所以，化簡(jiǎn)可得，故有．綜上，b的取值范圍應(yīng)是.故選：B.二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．與函數(shù)在點(diǎn)處具有相同切線的一個(gè)函數(shù)的解析式是__________．【答案】（答案不唯一）【分析】先求出在點(diǎn)處的切線為，再構(gòu)造，經(jīng)檢驗(yàn)滿意要求.【詳解】，故，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，不妨令，，故在上，，故，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，滿意要求.故答案為：14．杭州亞運(yùn)會(huì)啟動(dòng)志愿者招募工作，甲、乙、丙、丁等4人報(bào)名參與了三個(gè)項(xiàng)目的志愿者工作，每個(gè)項(xiàng)目需1名或2名志愿者，若甲不能參與項(xiàng)目，乙不能參與、項(xiàng)目，那么共有______種不同的志愿者選拔方案.【答案】10【分析】由題意可得乙肯定參與項(xiàng)目，再分項(xiàng)目只有一個(gè)人和項(xiàng)目有2人兩種狀況探討，再依據(jù)分組安排問(wèn)題即可得出答案按.【詳解】解：由題意可得乙肯定參與項(xiàng)目，若項(xiàng)目只有一個(gè)人時(shí)，即為乙，則先將甲、丙、丁分為兩組，有種，再將兩組安排到兩個(gè)項(xiàng)目，有種，則有種不同的志愿者選拔方案，若項(xiàng)目有2人時(shí)，又甲不能參與項(xiàng)目，則只能從丙、丁中選1人和乙組隊(duì)到項(xiàng)目，有種，再將剩下的2人安排到兩個(gè)項(xiàng)目，有種，則有種不同的志愿者選拔方案，綜上，共有種不同的志愿者選拔方案.故答案為：10.15．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，邊的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，且，則____________.【答案】【分析】由向量的代數(shù)運(yùn)算和數(shù)量積公式，可得，再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系及正余弦定理角化邊，由計(jì)算即可.【詳解】邊的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，∴，又，∴，即，由同角三角函數(shù)的關(guān)系及正余弦定理，有：.故答案為：16．四棱臺(tái)的上底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，下底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，四條側(cè)棱的長(zhǎng)均為，則該四棱臺(tái)的體積為_(kāi)_____.【答案】##【分析】如圖，過(guò)作，垂足為E，求出、，利用相像三角形的性質(zhì)求出，結(jié)合錐體的體積公式分別求出四棱錐和的體積即可.【詳解】如圖，該四棱臺(tái)為，四棱錐的高交于，交于，由題意知，，過(guò)作，垂足為E，則，又，所以，在四棱錐中，，所以，而，解得，所以四棱錐的體積為，四棱錐的體積為，所以四棱臺(tái)的體積為.故答案為：.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．已知數(shù)列，，數(shù)列滿意．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先求，再代入即可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可知，再利用錯(cuò)位相減法求和.【詳解】（1），，又，．（2）由（1）知，，，①，②，故①-②得．，.18．某校為減輕暑假家長(zhǎng)的負(fù)擔(dān)，開(kāi)展暑期托管，每天下午開(kāi)設(shè)一節(jié)投籃趣味競(jìng)賽．競(jìng)賽規(guī)則如下：在A，B兩個(gè)不同的地點(diǎn)投籃．先在A處投籃一次，投中得2分，沒(méi)投中得0分；再在B處投籃兩次，假如連續(xù)兩次投中得3分，僅投中一次得1分，兩次均沒(méi)有投中得0分．小明同學(xué)打算參賽，他目前的水平是在A處投籃投中的概率為p，在B處投籃投中的概率為．假設(shè)小明同學(xué)每次投籃的結(jié)果相互獨(dú)立．(1)若小明同學(xué)完成一次競(jìng)賽，恰好投中2次的概率為，求p；(2)若，記小明同學(xué)一次競(jìng)賽結(jié)束時(shí)的得分為X，求X的分布列及數(shù)列期望．【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析；【分析】（1）將小明同學(xué)恰好投中2次分成三種狀況，分別求得概率相加與已知概率相等構(gòu)造等式，解方程即可求出的值；（2）首先由題意可得得分的可能取值分別為，，，，，分別計(jì)算每種狀況的概率即可求得的分布列，最終依據(jù)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式求解的數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】（1）設(shè)小明在處投籃為事務(wù)，在處投籃分別為已知小明同學(xué)恰好投中2次，分三種狀況中中不中；中不中中；不中中中；其概率為：，解得：.（2）由題意可得得分的可能取值分別為，，，，；；；；.綜上所述可得的分布列為5321019．已知直四棱柱中，底面ABCD為菱形，E為線段上一點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若，則當(dāng)點(diǎn)E在何處時(shí)，CE與所成角的正弦值為？【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)詳見(jiàn)解析；【分析】（1）先證明平面平面，進(jìn)而證明平面；（2）以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量表示CE與所成角的正弦值為，進(jìn)而求得點(diǎn)E位置為或【詳解】（1）直四棱柱中四邊形為平行四邊形，則又平面，平面，則平面四邊形為平行四邊形，則又平面，平面，則平面又平面，平面，則平面平面，又平面則平面（2）取中點(diǎn)M，連接又直四棱柱中，底面ABCD為菱形，則兩兩垂直，以D為原點(diǎn)，分別以所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系又，則,則，，設(shè)，令，則則，則，，設(shè)平面一個(gè)法向量為，則，，則令，則，，則設(shè)CE與所成角為則解之得或，則當(dāng)或時(shí)，CE與所成角的正弦值為20．已知雙曲線：（，）的離心率為，點(diǎn)到其左右焦點(diǎn)，的距離的差為2．(1)求雙曲線的方程；(2)在直線上存在一點(diǎn)，過(guò)作兩條相互垂直的直線均與雙曲線相切，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）依據(jù)雙曲線離心率以及點(diǎn)到左、右焦點(diǎn)的距離之差為2，可求得a，b，c，進(jìn)而求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）依據(jù)過(guò)點(diǎn)作兩條相互垂直的直線與雙曲線相切，探討斜率不存在和斜率存在兩種狀況，①若其中一條切線的斜率不存在，則另一條切線的斜率為0，則不滿意條件；②若切線的斜率存在，則設(shè)其斜率為，，從而得到切線方程，再依據(jù)切線與雙曲線相切，聯(lián)立方程組，得，進(jìn)而可得關(guān)于的一元二次方程，再依據(jù)兩切線相互垂直有，即可得到，再結(jié)合在直線上，推出，求解即可得到的取值范圍．【詳解】（1）依題意有雙曲線的左、右焦點(diǎn)為，，則，得，則，所以雙曲線的方程為；（2）①若其中一條切線的斜率不存在，則另一條切線的斜率為0，則不滿意條件；②若切線的斜率存在，則設(shè)其斜率為，，則切線方程為，聯(lián)立，消并整理得，則，化簡(jiǎn)得，即，化成關(guān)于的一元二次方程，設(shè)該方程的兩根為，，即為兩切線的斜率，所以，即，又點(diǎn)在直線上，所以直線與圓有交點(diǎn)，所以，即，即，故的取值范圍為．【點(diǎn)睛】直線與圓錐曲線的位置問(wèn)題，常見(jiàn)思路是先探討直線的斜率是否存在，再聯(lián)立直線與圓錐曲線，必要時(shí)依據(jù)的狀況得出相應(yīng)的關(guān)系式，再依據(jù)題目中的其他條件，可求得參數(shù)的值或者參數(shù)之間的關(guān)系式，最終求解即可．21．已知函數(shù)．(1)探討的單調(diào)性；(2)對(duì)隨意的恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)答案見(jiàn)解析.(2)【分析】（1）由題知，進(jìn)而分和兩種狀況探討求解即可；（2）由題知恒成立，進(jìn)而令，再依據(jù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立得，進(jìn)而得即可得答案.【詳解】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，即時(shí)，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，令得，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）解：因?yàn)閷?duì)隨意的恒成立，即恒成立，所以恒成立，令，因?yàn)?，設(shè)，則，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，令，則恒成立，所以，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，方程有解，等?hào)能夠取到；所以，，所以，要使恒成立，則，