第四章數(shù)學(xué)建模建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題：探究茶水溫度與時間的關(guān)系高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

數(shù)學(xué)建模活動——探究茶水溫度與時間的關(guān)系高中數(shù)學(xué)

01.實(shí)驗(yàn)基本信息02.實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)03.實(shí)驗(yàn)原理04.實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)思路與創(chuàng)新點(diǎn)05.教學(xué)過程06.實(shí)驗(yàn)效果評價(jià)實(shí)驗(yàn)基本信息01一、教材分析教學(xué)內(nèi)容

人教A版數(shù)學(xué)必修第一冊《數(shù)學(xué)建模

建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題》第一課時1.運(yùn)用已有函數(shù)知識解決實(shí)際問題2.體會建立函數(shù)模型的過程3.感受函數(shù)在生活中的廣泛應(yīng)用一、教材分析素養(yǎng)導(dǎo)向教育信息化2.0根本任務(wù)：積極推動“互聯(lián)網(wǎng)+教育”,堅(jiān)持信息技術(shù)與教育教學(xué)深度融合。政策導(dǎo)向數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)活動是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的過程，是基于數(shù)學(xué)思維運(yùn)用模型解決實(shí)際問題的一類綜合實(shí)踐活動。有利因素高一學(xué)生思維活躍、求知欲強(qiáng)，本節(jié)課研究的內(nèi)容是有關(guān)茶水溫度，學(xué)生曾在物理化學(xué)等學(xué)科進(jìn)行過實(shí)驗(yàn)操作，有初步的實(shí)驗(yàn)思維。不利因素高中階段的數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)課對于高一學(xué)生來說接觸較少，經(jīng)驗(yàn)不夠豐富，在實(shí)驗(yàn)操作探究中容易出現(xiàn)問題，不同學(xué)生的差異性容易產(chǎn)生不同的學(xué)習(xí)效果。二、學(xué)情分析授課對象：高一學(xué)生實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)02培養(yǎng)科學(xué)探究精神，激發(fā)對科學(xué)實(shí)驗(yàn)的興趣。能從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中提取有意義的結(jié)論，處理數(shù)據(jù)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)。掌握實(shí)驗(yàn)操作的基本技能，包括記錄數(shù)據(jù)和繪制溫度變化散點(diǎn)圖。了解溫度變化的基本原理，理解實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中的控制變量的概念。一、教學(xué)目標(biāo)目標(biāo)一目標(biāo)二目標(biāo)三目標(biāo)四學(xué)生課前查閱資料后，能否準(zhǔn)確回答溫度變化的理論問題，評價(jià)對知識的理解程度。觀察實(shí)驗(yàn)操作過程，根據(jù)實(shí)驗(yàn)器材使用的正確性、數(shù)據(jù)記錄的規(guī)范性給予評價(jià)。診斷并發(fā)展學(xué)生獲取信息能力、問題解決能力。診斷并培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度、實(shí)驗(yàn)中的細(xì)節(jié)和數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，提高小組合作能力。教學(xué)評一體化二、重難點(diǎn)突破1.實(shí)驗(yàn)操作的規(guī)范性2.從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題3.函數(shù)模型的選擇和修正1.進(jìn)行預(yù)實(shí)驗(yàn)，對實(shí)驗(yàn)中器材、信息技術(shù)SPSS、Excel公式的使用進(jìn)行課前演示2.以問題串的形式引導(dǎo)，強(qiáng)調(diào)情境中的關(guān)鍵詞3.通過問題驅(qū)動回顧以前的基本初等函數(shù)圖象及性質(zhì)，為建立模型中函數(shù)擬合做好準(zhǔn)備實(shí)驗(yàn)過程中數(shù)據(jù)的采集及繪制散點(diǎn)圖教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)突破策略二、突破策略教學(xué)方法實(shí)驗(yàn)探究法問題引導(dǎo)法多媒體輔助教學(xué)法本著貫徹“以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)”的理念，把培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力作為根本目標(biāo)，設(shè)計(jì)以下的教學(xué)方法：自主學(xué)習(xí)方法合作探究法討論法歸納總結(jié)法交流展示法實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)思路與創(chuàng)新點(diǎn)03實(shí)驗(yàn)材料SPSS軟件一、實(shí)驗(yàn)器材秒表量杯電子天平溫度傳感器數(shù)據(jù)采集終端信息技術(shù)軟件茶葉、水Excel測量初始溫度使用溫度計(jì)測量每個杯子中茶水的初始溫度，確保所有杯子的初始溫度盡量一致。STEP1STEP2STEP3STEP4STEP5二、實(shí)驗(yàn)步驟準(zhǔn)備工作先在杯子中投放3g綠茶，熱水燒開初始溫度為85℃，準(zhǔn)備好相同材質(zhì)的玻璃杯，清洗并晾干。倒入熱水將相同體積的熱水倒入相同材質(zhì)的杯子中，確保每個杯子的水量一致。記錄溫度變化每隔1分鐘使用溫度傳感器測量并記錄茶水的溫度，持續(xù)15分鐘。數(shù)據(jù)記錄與分析將不同杯子的溫度隨時間變化的數(shù)據(jù)記錄在表格中；繪制溫度隨時間變化的散點(diǎn)圖，觀察杯子中茶水的降溫規(guī)律；進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，建立茶水溫度隨時間變化的函數(shù)模型。在模型的構(gòu)建、數(shù)據(jù)的處理和求解數(shù)學(xué)模型等方面都是數(shù)學(xué)在解決問題上的應(yīng)用。數(shù)學(xué)素養(yǎng)工程素養(yǎng)經(jīng)歷構(gòu)建模型解決問題的全過程，形成良好的工程思維藝術(shù)素養(yǎng)從品茶引發(fā)的數(shù)學(xué)問題，感受我國茶文化的博大精深，陶冶情操科學(xué)素養(yǎng)用科學(xué)的手段測量溫度并收集數(shù)據(jù)，用數(shù)學(xué)的方法分析數(shù)據(jù)，樹立嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神技術(shù)素養(yǎng)融合物理知識，并利用信息技術(shù)的手段分析和處理數(shù)據(jù)，提高動手操作能力1.將STEAM教育理念、跨學(xué)科知識融入數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)探究課三、創(chuàng)新點(diǎn)3.教學(xué)形式上將演示—探究—評價(jià)有機(jī)結(jié)合，教學(xué)評一體化，推動問題解決三、創(chuàng)新點(diǎn)2.運(yùn)用SPSS軟件、計(jì)算機(jī)Excel輔助教學(xué)，讓學(xué)生深刻體會信息技術(shù)輔助知識學(xué)習(xí)的工具作用1.實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備階段1初始溫度：確保每次實(shí)驗(yàn)中熱水的初始溫度均為85℃2水量：確保每個杯子中茶水的體積均為150ml3環(huán)境溫度：在相同的室溫條件下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)改進(jìn)措施：控制變量未進(jìn)行實(shí)驗(yàn)假設(shè)或控制變量，會導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)誤差教材中：四、實(shí)驗(yàn)改進(jìn)2.收集數(shù)據(jù)采集數(shù)據(jù)偏少，不容易看出溫度變化規(guī)律改進(jìn)措施：增加數(shù)據(jù)采集時間教材中：四、實(shí)驗(yàn)改進(jìn)使用科學(xué)計(jì)算機(jī)計(jì)算過程繁瑣，費(fèi)時費(fèi)力改進(jìn)措施：利用Excel表格公式功能求解教材中：3.求解建立模型中a的值四、實(shí)驗(yàn)改進(jìn)實(shí)驗(yàn)原理04牛頓冷卻定律英國物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家牛頓（IssacNewton,1643-1727年）曾提出了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型。如果物體的初始溫度是，環(huán)境溫度是

，則經(jīng)過時間t后物體的溫度將滿足：其中k為正的常數(shù)。冷卻定律推導(dǎo)出來,在忽略表面積以及外部介質(zhì)性質(zhì)和溫度的變化,物體溫度變化是越來越慢的。

一、實(shí)驗(yàn)原理?教學(xué)目標(biāo)一：了解溫度變化的基本原理實(shí)驗(yàn)教學(xué)過程05一、教學(xué)過程0201030506環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境，提出問題環(huán)節(jié)六課后小結(jié)，歸納思考環(huán)節(jié)五利用模型，解決問題環(huán)節(jié)二選定對象，采集數(shù)據(jù)環(huán)節(jié)三直觀呈現(xiàn)，散點(diǎn)作圖環(huán)節(jié)四選擇模型，求解模型教學(xué)過程04設(shè)計(jì)意圖給出所要研究問題的背景，體驗(yàn)感受中國的茶文化，以問題串的形式，逐漸引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，從而讓學(xué)生體會意識到建立茶水溫度和時間函數(shù)模型的必要性。情境創(chuàng)設(shè)：中國的茶文化【問題1】針對以上實(shí)例我們能提出什么問題呢？【問題2】在這個問題中變量是什么？【問題3】如何建立兩者之間的函數(shù)模型呢？

經(jīng)驗(yàn)表明某種綠茶用85℃的熱水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時飲用，可以產(chǎn)生最佳口感。環(huán)節(jié)一

創(chuàng)設(shè)情境

提出問題竹葉青設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的初始階段，體會到數(shù)據(jù)采集這一環(huán)節(jié)的重要性，為后面對數(shù)據(jù)的處理分析有重要的指導(dǎo)意義。分工：以3人為一小組，其中一人負(fù)責(zé)用秒表（手表）讀時間，一人負(fù)責(zé)數(shù)據(jù)讀取，一人負(fù)責(zé)填寫《數(shù)據(jù)采集記錄表》。環(huán)節(jié)二

選定對象

采集數(shù)據(jù)準(zhǔn)備：教師介紹實(shí)驗(yàn)器材使用方法，準(zhǔn)備每組初始溫度相同的茶水一杯，溫度傳感器一臺、秒表一個。要求：先在杯子中投放3g綠茶,再用量杯稱量150ml水，煮沸后待溫度降至85℃時泡制綠茶,每隔1分鐘測量茶水的溫度并記錄數(shù)據(jù)，持續(xù)15分鐘。學(xué)生實(shí)驗(yàn)操作過程環(huán)節(jié)二

選定對象

采集數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)意圖

讓學(xué)生經(jīng)歷散點(diǎn)作圖的過程，體會散點(diǎn)圖的作用，數(shù)少形時缺直觀的思想?！締栴}4】得到這些數(shù)據(jù)要怎么處理？【問題5】數(shù)據(jù)表明隨著時間的推移茶水溫度有怎樣的變化規(guī)律？環(huán)節(jié)三

直觀呈現(xiàn)

散點(diǎn)作圖根據(jù)散點(diǎn)圖的走勢，你會選擇建立怎樣的函數(shù)模型?【問題6】變量間關(guān)系可以建立一次函數(shù)y=kx+b模型嗎？考慮泡茶時的室溫是恒定的，溫度會一直降低下去嗎？【問題7】可以建立指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型嗎？？環(huán)節(jié)四

選擇模型

求解模型指數(shù)型函數(shù)模型的校正過程?教學(xué)目標(biāo)三：能夠從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中提取有意義的結(jié)論【問題8】是函數(shù)嗎？反比例函數(shù)呢？（注：我們把

稱為指數(shù)型函數(shù)）

環(huán)節(jié)四

選擇模型

求解模型根據(jù)選擇的函數(shù)模型與采集數(shù)據(jù)，求解函數(shù)模型由初始溫度85℃知，k=60,如何求a的值呢？討論得：指數(shù)型

及反比例型若選擇指數(shù)型設(shè)計(jì)意圖1.讓學(xué)生回顧以前所學(xué)習(xí)過的函數(shù)模型，為后面模型的選擇做準(zhǔn)備。2.得到不符合實(shí)際的函數(shù)模型后，引導(dǎo)學(xué)生通過對解析式的結(jié)構(gòu)以及實(shí)際情況分析，校正模型。環(huán)節(jié)四

選擇模型

求解模型?教學(xué)目標(biāo)三：能夠掌握數(shù)據(jù)的處理。模型檢驗(yàn)【問題9】兩種函數(shù)模型均符合實(shí)際情況，哪一種模型擬合效果更好一些？解答：介紹SPSS軟件及操作后，小組間利用spss演示擬合的函數(shù)結(jié)果，并對比兩種函數(shù)模型擬合的差異。設(shè)計(jì)意圖利用SPSS軟件擬合函數(shù)，讓學(xué)生體會信息技術(shù)和數(shù)學(xué)學(xué)科的融合特點(diǎn)。同理利用相鄰的兩組數(shù)據(jù)，計(jì)算參數(shù)的平均值，得到反比例型函數(shù)模型：SPSS軟件：一款強(qiáng)大的統(tǒng)計(jì)分析工具，可用于擬合各種函數(shù)。環(huán)節(jié)四

選擇模型

求解模型設(shè)計(jì)意圖通過實(shí)際問題的最終解決，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)建模的意義和價(jià)值。經(jīng)過多長時間茶水可以達(dá)到最佳飲用口感？將y=60帶入函數(shù)：得：，左右兩邊同時取對數(shù)得：所以，泡制一杯最佳口感的茶水大約需要9分鐘.環(huán)節(jié)五

利用模型

解決問題設(shè)計(jì)意圖通過小結(jié)，讓學(xué)生更加清楚建立兩個變量模型的方法和步驟，通過課后探究活動，進(jìn)一步體會模型的優(yōu)化問題，提高高中生數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)建模的一般步驟：環(huán)節(jié)六

歸納小結(jié)

課后思考學(xué)生撰寫的研究報(bào)告實(shí)驗(yàn)效果評價(jià)06一、實(shí)驗(yàn)效果探究茶水溫度與時間的關(guān)系問卷調(diào)查一、實(shí)驗(yàn)效果表1學(xué)習(xí)興趣與態(tài)度一、實(shí)驗(yàn)效果表2知識理解與掌握一、實(shí)驗(yàn)效果表3學(xué)習(xí)方法與技能表4學(xué)習(xí)收獲與應(yīng)用效果評價(jià)：提高了學(xué)生積極性和參與度培養(yǎng)了動手實(shí)踐、觀察、分析、解決問題的能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶?shí)驗(yàn)態(tài)度將所學(xué)運(yùn)用于生活中一、實(shí)驗(yàn)效果教師與組員課堂評價(jià)量表:課堂評價(jià)量表（單項(xiàng)10分）第（

）組1分2分3分4分5分6分7分8分9分10分對應(yīng)目標(biāo)課前準(zhǔn)備課堂動手實(shí)驗(yàn)

1.能夠爭取搭建儀器，提升實(shí)驗(yàn)操作能力，培養(yǎng)合作精神。數(shù)據(jù)觀察

1.能夠了解初等函數(shù)的圖象、性質(zhì)特點(diǎn)；2.能夠應(yīng)用函數(shù)圖象、性質(zhì)解決實(shí)際問題；3.能夠借鑒函數(shù)性質(zhì)特點(diǎn)進(jìn)行知識遷移，解決實(shí)際問題。數(shù)據(jù)分析

數(shù)學(xué)內(nèi)容猜想

1.能夠結(jié)合所學(xué)函數(shù)知識對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的、深入的研究；2.能夠利用計(jì)算機(jī)工具畫出散點(diǎn)圖，并利用圖象特點(diǎn)找到適合的函數(shù)模型。建立函數(shù)模型