因式分解課件

12.5因式分解第12章整式的乘除知識點因式分解知1－講11.

定義把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫做多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.知1－講2.整式乘法與因式分解的關系(1)整式乘法與因式分解一個是積化和差，另一個是和差化積，是互逆的變形，即：多項式整式乘積.(2)可以利用整式乘法檢驗因式分解的結果的正確性.知1－講特別解讀1.因式分解的對象是多項式，結果是整式的積.2.因式分解是恒等變形.3.因式分解必須分解到每個因式不能再分解為止.知1－練例1

解題秘方：緊扣因式分解的定義進行識別.知1－練

答案：D知1－練1-1.[中考·濟寧]下面各式從左到右的變形，屬于因式分解的是()A.x2－x－1＝x(x－1)－1B.x2－1＝(x－1)2C.x2－x－6＝(x－3)(x＋2)D.x(x－1)＝x2－xC知1－練[中考·益陽]下列因式分解正確的是()A.2a2－4a＋2＝2(a－1)2B.a2＋ab＋a＝a(a＋b)C.4a2－b2＝(4a＋b)(4a－b)

D.a3b－ab3＝ab(a－b)2例2解題秘方：根據(jù)因式分解與整式乘法之間的關系進行判斷.解：利用整式的乘法法則將各選項中等式的右邊展開，與等式的左邊相比較，左右兩邊相同的只有選項A.A知1－練2-1.[中考·攀枝花]以下因式分解正確的是()A.ax2－a＝a(x2－1)B.m3＋m＝m(m2＋1)C.x2＋2x－3＝x(x＋2)－3D.x2＋2x－3＝(x－3)(x＋1)B知1－練例3

知1－練解題秘方：利用因式分解與整式乘法是互逆變形，可以將因式分解的結果利用整式乘法算出多項式，并與已知多項式對比系數(shù)解決問題.知1－練問題：(1)若x2－5x＋6可分解為(x－2)(x＋a)，則a＝______；(2)若2x2＋bx－5可分解為(2x－1)(x＋5)，則b＝_______；(3)已知把2x2＋5x－k分解因式后有一個因式為2x－3，求其另一個因式及k的值.－39知1－練

展開后對應項的系數(shù)相等.知1－練3-1.[中考·濱州]把多項式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)，則a，b的值分別是()A.2，3 B.－2，－3C.－2，3 D.2，－33-2.若將多項式x2＋3x＋a分解為(x＋1)(x＋2)，則a的值為()A.2 B.3 C.－3 D.－2BA知2－講知識點公因式21.定義多項式ma＋mb＋mc中的每一項都含有一個相同的因式m，我們稱之為公因式.知2－講2.公因式的確定(1)確定公因式的系數(shù)：若多項式中各項系數(shù)都是整數(shù)，則取各項系數(shù)的最大公因數(shù)．(2)確定字母及字母的指數(shù)：取各項都含有的相同字母作為公因式中的字母，各相同字母的指數(shù)取其中的最低指數(shù).知2－講(3)若多項式各項中含有相同的多項式因式，則應將其看成一個整體，不要拆開，作為公因式中的因式.如3x(x－y)＋x2(x－y)的公因式是x(x－y).知2－講特別解讀1.公因式必須是多項式中每一項都含有的因式.2.公因式可以是具體的數(shù)，也可以是含字母的單項式或多項式.3.若多項式各項中含有互為相反數(shù)的因式，則可將互為相反數(shù)的因式統(tǒng)一成相同的因式.知2－練指出下列多項式各項的公因式：(1)3a2y－3ay＋6y；(2)4xy3－8x3y2；(3)a(x－y)3＋b(x－y)2＋(x－y)3；(4)36a3b2－27a2b3＋9a2b.例4解題秘方：緊扣公因式的定義求解.知2－練解：(1)中各項的公因式為3y.(2)中各項的公因式為4xy2.(3)中各項的公因式為(x－y)2

.(4)中各項的公因式為9a2b.知2－練4-1.下列各組式子中沒有公因式的是()A.4a2bc與8abc2B.a3b2＋1與a2b3－1C.b(a－2b)2與a(2b－a)2D.x＋1與x2－1B知3－講知識點提公因式法31.

定義把公因式提出來，多項式ma＋mb＋mc就可以分解成兩個因式m和(a＋b＋c)的乘積了，像這種因式分解的方法，叫做提公因式法.用字母表示為ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c).知3－講2.提公因式法的一般步驟(1)找出公因式，就是找出各項都含有的因式；(2)確定另一個因式，另一個因式即多項式除以公因式所得的商；(3)寫成積的形式.知3－講特別解讀1.提公因式法實質上是逆用乘法的分配律.2.提公因式法就是把一個多項式分解成兩個因式的積的形式，其中的一個因式是各項的公因式，另一個因式是多項式除以這個公因式所得的商.知3－練把下列多項式分解因式：(1)6x3y2－8xy3z；(2)－4a3b2＋12a2b－4ab.例5解題秘方：緊扣提公因式法的步驟分解因式.知3－練解：(1)6x3y2－8xy3z＝2xy2·3x2－2xy2·4yz＝2xy2(3x2－4yz).(2)－4a3b2＋12a2b－4ab＝－(4a3b2－12a2b＋4ab)＝－(4ab·a2b－4ab·3a＋4ab)＝－4ab(a2b－3a＋1).知3－練解法提醒：1.當多項式的首項系數(shù)是負數(shù)時，一般應先提出“－”號，但要注意，此時括號內各項都要改變符號.2.4ab與公因式相同，提取公因式后，此項為“1”，此時容易漏掉“1”這一項而導致錯誤．知3－練5-1.下列多項式中，能用提公因式法分解因式的是()A.x2－y B.x2－2xC.x2＋y2 D.x2－xy＋y25-2.把多項式a2＋2a分解因式得()A.a(a＋2) B.a(a－2)C.(a＋2)2 D.(a＋2)(a－2)BA知4－講知識點用平方差公式分解因式41.

平方差公式兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積.即：a2－b2＝(a＋b)(a－b).知4－講2.平方差公式的特點(1)等號的左邊是一個二項式，各項都是平方的形式且符號相反；(2)等號的右邊是兩個二項式的積，其中一個二項式是兩個數(shù)的和，另一個二項式是這兩個數(shù)的差.知4－講3.運用平方差公式分解因式的步驟一判：根據(jù)平方差公式的特點，判斷是否為平方差，若負平方項在前面，則利用加法的交換律把負平方項放在后面；二定：確定公式中的a和b，除a和b是單獨一個數(shù)或字母外，其余不管是單項式還是多項式都必須用括號括起來，表示一個整體；三套：套用平方差公式進行分解；四整理：將每個因式去括號，合并同類項化成最簡的形式.知4－講特別解讀1.因式分解中的平方差公式是乘法公式中的平方差公式逆用的形式.2.乘法公式中的平方差公式指的是符合兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積的條件后，結果寫成平方差形式；而因式分解中的平方差公式指的是能寫成平方差形式的多項式，可以分解成兩個數(shù)的和乘以這兩個數(shù)的差.知4－練

例6解題秘方：先確定平方差公式中的“a”和“b”，再運用平方差公式分解因式.

知4－練提醒：繼續(xù)運用平方差公式分解.解：(4)16(a－b)2－25(a＋b)2＝[4(a－b)＋5(a＋b)][4(a－b)－5(a＋b)]＝(4a－4b＋5a＋5b)(4a－4b－5a－5b)＝(9a＋b)(－a－9b)＝－(9a＋b)(a＋9b).知4－練知4－練6-1.把下列多項式分解因式：(1)a2b2－16；(2)100x2－9y2；解：原式＝(ab＋4)(ab－4)．原式＝(10x＋3y)(10x－3y)．知4－練(3)a4－1；(4)49x2－(5x－2)2.解：原式＝(a2＋1)(a2－1)＝(a2＋1)(a＋1)·(a－1)．原式＝[7x＋(5x－2)][7x－(5x－2)]＝(12x－2)(2x＋2)＝4(6x－1)(x＋1)．知5－講知識點用完全平方公式分解因式51.完全平方式形如a2±2ab＋b2這樣的式子叫做完全平方式.完全平方式的條件：(1)多項式是二次三項式；(2)首末兩項是兩個數(shù)(或式子)的平方且符號相同，中間項是這兩個數(shù)(或式子)的積的2倍，符號可以是“＋”，也可以是“－”.知5－講2.完全平方公式兩個數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和(或差)的平方.即：a2±2ab＋b2＝(a±b)2

.3.完全平方公式的特點等號左邊是一個完全平方式，右邊是這兩個數(shù)的和(或差)的平方.知5－講4.因式分解的一般步驟(1)當多項式有公因式時，先提取公因式，當多項式?jīng)]有公因式時(或提取公因式后)，若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式；知5－講(2)當不能直接提取公因式或不能用公式法分解因式時，可根據(jù)多項式的特點，把其變形為能提取公因式或能用公式法的形式，再分解因式；(3)當乘積中每一個因式都不能再分解時，因式分解就結束了.知5－講特別解讀1.因式分解中的完全平方公式是整式乘法中的兩數(shù)和(差)的平方公式的逆用.2.結果是和的平方還是差的平方由乘積項的符號確定，乘積項的符號可以是“＋”，也可以是“－”，但兩個平方項的符號必須相同，否則就不是完全平方式，不能用完全平方公式進行因式分解.3.用完全平方公式分解因式時，若多項式各項有公因式，要先提取公因式，再用完全平方公式分解因式.知5－練已知9a2＋ka＋16是一個完全平方式，則k的值是________.解題秘方：根據(jù)平方項確定乘積項，進而確定字母的值.例7解：因為9a2＝(3a)2，16＝42，9a2＋ka＋16是一個完全平方式，所以ka＝±2×3a×4＝±24a.所以k＝±24.有和的完全平方式和差的完全平方式兩種形式.±24知5－練

D知5－練

例8解題秘方：先確定完全平方式中的“a”和“b”，再運用完全平方公式分解因式.

知5－練解：(4)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81＝(x2＋6x)2＋2(x2＋6x)·9＋92＝(x2＋6x＋9)2＝(x＋3)4

.知5－練完全平方公式可以連續(xù)使用，因式分解的結果要徹底.知5－練8-1.把多項式x2－4x＋4分解因式的結果是()A.x(x－4)＋4 B.(x＋2)(x－2)C.

(x＋2)2 D.(x－2)2D知5－練8-2.把下列多項式分解因式：(1)4x2＋y2－4xy；(2)9－12a＋4a2；(3)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.解：原式＝4x2－4xy＋y2＝(2x－y)2.原式＝4a2－12a＋9＝(2a－3)2.原式＝[(m＋n)－3]2＝(m＋n－3)2.知5－練把下列多項式分解因式：(1)－3a3b＋48ab3；(2)x4－8x2＋16；(3)25x2(a－b)＋36y2(b－a).解題秘方：先觀察是否有公因式，若有，先提取公因式，然后通過觀察項數(shù)確定能用哪個公式分解因式.