專題6 不等式恒成立問(wèn)題（原卷版）

專題6不等式恒成立問(wèn)題一、考情分析函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一直是高考中的熱點(diǎn)與難點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題一直是高考命題的熱點(diǎn),此類問(wèn)題一般會(huì)把函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及不等式交匯考查,對(duì)能力要求比較高,難度也比較大,常見的題型是由不等式恒成立確定參數(shù)范圍問(wèn)題,常見處理方法有：①首先要構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍．②也可分離變量,構(gòu)造函數(shù),直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．二、解題秘籍(一)與不等式恒成立問(wèn)題有關(guān)的結(jié)論=1\*GB3①.?x∈D,均有f(x)>A恒成立,則f(x)min>A；=2\*GB3②.?x∈D,均有f(x)﹤A恒成立,則f(x)max<A；=3\*GB3③.?x∈D,均有f(x)>g(x)恒成立,則F(x)=f(x)-g(x)>0,∴F(x)min>0；=4\*GB3④.?x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,則F(x)=f(x)-g(x)<0,∴F(x)max<0；=5\*GB3⑤.?x1∈D,?x2∈E,均有f(x1)>g(x2)恒成立,則f(x)min>g(x)max；=6\*GB3⑥.?x1∈D,?x2∈E,均有f(x1)<g(x2)恒成立,則f(x)max<g(x)min.【例1】（2024屆重慶市拔尖強(qiáng)基聯(lián)盟高三上學(xué)期九月聯(lián)考）已知函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最小值為4.(1)求實(shí)數(shù)的值;(2)令，對(duì)，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）根據(jù)題意可知，對(duì)應(yīng)定義域內(nèi)任意，函數(shù)滿足，即，即，解得；所以，當(dāng)時(shí)，，即，解得；所以，.（2）由（1）可得，令，，則，易知當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以；令，則可化為，因?yàn)槎魏瘮?shù)的對(duì)稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又對(duì)，都有，即即可；所以，即，解得，所以；綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.(二)把函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題若給出函數(shù)單調(diào)性,求參數(shù)范圍,可把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題,若可導(dǎo)函數(shù)在上是增（減）函數(shù),則時(shí)（或）恒成立.【例2】（2024屆黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)測(cè)試）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以函?shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，化為一般式為：；（2），因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，設(shè)，，即當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，顯然；當(dāng)時(shí)，要想時(shí)，恒成立；因?yàn)椋灾恍?；?dāng)時(shí)，因?yàn)椋膶?duì)稱軸為，所以時(shí)，恒成立.綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.(三)把二元不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題對(duì)于形如時(shí)不等式恒成立問(wèn)題,可構(gòu)造增函數(shù)來(lái)求解.基本結(jié)論：(1)“若任意,,或?qū)θ我?,則是增函數(shù)；(2)對(duì)任意,,則是增函數(shù)；【例3】（2024屆重慶市渝北中學(xué)高三上學(xué)期8月月考）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)若任意、且，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）解：當(dāng)時(shí)，，其中，則，令，解得或，又因?yàn)?，所以，列表如下?0單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增因此有極小值，無(wú)極大值.（2）解：因?yàn)?，，所以，其中，?duì)、且，不妨設(shè)，則，得到，化為，設(shè)且函數(shù)的定義域?yàn)?，所以在為增函?shù)，即有對(duì)恒成立，即對(duì)任意的恒成立，設(shè)，其中，則，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以最大值，因此實(shí)數(shù)的取值范圍是．(四)形如“若,則”的恒成立問(wèn)題求解此類問(wèn)題的思路是：先確定是使的參數(shù)的取值范圍,當(dāng),由為增函數(shù)及可得恒成立,當(dāng)時(shí)確定存在,使得,,遞減,即時(shí),故原不等式不恒成立.【例4】函數(shù)的圖像與直線相切.(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)當(dāng)時(shí),,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】(1),設(shè)切點(diǎn)為,所以有,因?yàn)槭乔芯€,所以有,設(shè),顯然當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,所以有,當(dāng)時(shí),,所以無(wú)實(shí)數(shù)根,因此當(dāng)時(shí),方程有唯一實(shí)數(shù)根,即,于是有,因此有；(2)令,則在恒成立.若,即時(shí),當(dāng)時(shí),由得,所以在單調(diào)遞增,又,所以在恒成立；當(dāng)時(shí),所以.所以在恒成立.若即時(shí),,則存在,使得在單調(diào)遞減,則當(dāng)時(shí),矛盾,舍綜上所述,的取值范圍時(shí).(五)根據(jù)不等式恒成立求整數(shù)參數(shù)的最值此類問(wèn)題通?？煞诸悈?shù)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為（），的形式，有最小（大）值，但無(wú)法求出，只能引入導(dǎo)函數(shù)的隱零點(diǎn)，估計(jì)的范圍，再確定整數(shù)的最大（?。┲?【例5】（2024屆遼寧省沈陽(yáng)市第一二〇中學(xué)高三上學(xué)期第二次質(zhì)量檢測(cè)）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，函數(shù)在上恒成立，求整數(shù)a的最大值.【解析】（1）根據(jù)題意可得，若，在上恒成立，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增；若，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)函數(shù)在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)函數(shù)在單調(diào)遞減；若，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)函數(shù)在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)函數(shù)在單調(diào)遞減；綜上可知，時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（2）由可得，解得；所以，則，易知時(shí)，，若函數(shù)在上恒成立，等價(jià)成在上恒成立；令，則；令，則在上恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，易知，由于，所以，而，且，所以；因此在有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，滿足，且；所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以的最小值為，顯然，因此，又是整數(shù)，所以的最大值為4.(六)通過(guò)構(gòu)造函數(shù)求最值解決不等式恒成立問(wèn)題=1\*GB3①該方法一般是根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造一個(gè)新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性,由函數(shù)的單調(diào)性確定其最值,或把其最值用含有參數(shù)的式子來(lái)表示,再根據(jù)所給不等式列出關(guān)于參數(shù)的不等式,=2\*GB3②注意如果所構(gòu)造的函數(shù),其導(dǎo)數(shù)結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜不易分析出單調(diào)性,則可把需要判斷符號(hào)的式子拿出來(lái)構(gòu)造一個(gè)新函數(shù),再想辦法解決其符號(hào).=3\*GB3③有時(shí)所構(gòu)造的函數(shù)的最值不易求出,可以引入導(dǎo)數(shù)的隱零點(diǎn),把函數(shù)最值用導(dǎo)數(shù)的隱零點(diǎn)表示.=4\*GB3④在考慮函數(shù)最值時(shí),除了依靠單調(diào)性,也可根據(jù)最值點(diǎn)的出處,即“只有邊界點(diǎn)與極值點(diǎn)才是最值點(diǎn)的候選點(diǎn)”,所以有的討論點(diǎn)就集中在“極值點(diǎn)”是否落在定義域內(nèi).【例6】設(shè)函數(shù),其中.(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】(1),.當(dāng)時(shí),恒成立,則在上為減函數(shù),當(dāng)時(shí),令,可得,則,解得,令,解得,綜上,當(dāng)時(shí),的減區(qū)間為；當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)由,可得設(shè),則.①當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,而,所以不滿足題意,②當(dāng)時(shí),令,解得,當(dāng)時(shí),,為減函數(shù),當(dāng)時(shí),,為增函數(shù),所以.令,,當(dāng)時(shí),,為增函數(shù),當(dāng)時(shí),,為減函數(shù),所以,又.則,解得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.(七)通過(guò)分類參數(shù)把不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求不含參數(shù)的函數(shù)的最值=1\*GB3①分類參數(shù)法就是在不等式中含有兩個(gè)字母時(shí)（一個(gè)視為變量,另一個(gè)視為參數(shù)）,可利用不等式的等價(jià)變形讓兩個(gè)字母分居不等號(hào)的兩側(cè),即不等號(hào)的每一側(cè)都是只含有一個(gè)字母的表達(dá)式.然后可利用其中一個(gè)變量的范圍求出另一變量的范圍,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題.=2\*GB3②一般情況下,那個(gè)字母的范圍已知,就將其視為變量,構(gòu)造關(guān)于它的函數(shù),另一個(gè)字母（一般為所求）視為參數(shù).=3\*GB3③要注意分類參數(shù)法不是萬(wàn)能的,已知不等式中兩個(gè)字母是否便于進(jìn)行分離,如果僅通過(guò)幾步簡(jiǎn)單變換即可達(dá)到分離目的,則參變分離法可行.但有些不等式中由于兩個(gè)字母的關(guān)系過(guò)于“緊密”,會(huì)出現(xiàn)無(wú)法分離的情形,此時(shí)要考慮其他方法.此外參數(shù)分離后,要注意變量的函數(shù)解析式是否便于求出最值（或臨界值）,若解析式過(guò)于復(fù)雜而無(wú)法求出最值（或臨界值）,則也無(wú)法用分離法解決問(wèn)題.【例7】已知函數(shù),.(1)當(dāng)b=1時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)在處的切線方程為,且不等式恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)b=1時(shí),,定義域?yàn)椋?,+∞）,.當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在（0,+∞）上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),,令,得；令,得,所以函數(shù)在（0,a）上單調(diào)遞增,在（a,+∞）上單調(diào)遞減.綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)在（0,+∞）上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),函數(shù)在（0,a）上單調(diào)遞增,在（a,+∞）上單調(diào)遞減.(2)因?yàn)楹瘮?shù)在處的切線方程為y=(e－1)x－2,所以,且,由于,所以解得a=b=1,所以f(x)=lnx－x,所以f(x)≤g(x)即,等價(jià)于對(duì)x>0恒成立,即對(duì)x>0恒成立.令,所以,.令,,則恒成立,所以G(x)在（0,＋∞）上單調(diào)遞增.由于G(1)=e>0,,所以使得,即,（※）所以當(dāng)時(shí),G(x)<0,當(dāng)時(shí),G(x)>0,即F(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,由（※）式可知,,,令,,又x>0,所以,即s(x)在（0,+∞）上為增函數(shù),所以,即,所以,所以所以,實(shí)數(shù)m的取值范圍為（－∞,1].三、典例展示【例1】（2023屆山東省淄博市實(shí)驗(yàn)中學(xué)、齊盛高中高三上學(xué)期考試）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）解：由題意可得，，故，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，無(wú)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，令，解得；由，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．（2）解：由題意得，只需成立．因?yàn)?，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在上遞減，遞增，且所以，故，即在上單調(diào)遞增，所以在上遞增，所以．由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減．①當(dāng)即時(shí)，在上遞減，，所以，所以；②當(dāng)即時(shí)，在遞增，，所以，所以；③當(dāng)即時(shí)，在上遞增，在上遞減，可得，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，所以，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【例2】（2024屆百師聯(lián)盟高三上學(xué)期聯(lián)考）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若關(guān)于的不等式在上恒成立，求的最小值.【解析】（1）由題當(dāng)時(shí)，，，，，所以切線方程為，化簡(jiǎn)得，即曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）由可得，令，，則，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，易知在上單調(diào)遞增，又，，則存在，使得，即，取對(duì)數(shù)得，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞增，則，又對(duì)任意恒成立，，所以，即的最小值為-3.【例3】（2024屆浙江省名校協(xié)作體高三上學(xué)期聯(lián)考）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)．其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若恒成立，求的取值范圍．【解析】（1）由于，由題知有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根．令，則，解得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且時(shí)，，時(shí)，，，故的圖象如圖所示，

當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)且．則或，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為．故有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為．（2）由于若設(shè)，則上式即為由（1）可得，兩式相除得，即，由得所以，令，則在恒成立，由于，令，則，，顯然在遞增，又有，所以存在使得，且易得在遞減，遞增，又有，所以存在使得，且易得在遞減，遞增，又，則時(shí)，時(shí)，，所以易得在上遞減，在上遞增，則，所以的取值范圍為．【例4】（2023屆河南省鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三下學(xué)期4月月考）已知函數(shù)．（a，b為實(shí)數(shù)）(1)當(dāng)時(shí)，求過(guò)點(diǎn)的圖象的切線方程；(2)設(shè)，若恒成立，求b的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)?，則，所以，設(shè)切線與圖象切于點(diǎn)，則切線方程為，令，

則，即，所以切線方程為.（2）由，

令，則，故，下面證明：時(shí)符合題意.當(dāng)時(shí)，，以下證明：，

構(gòu)造函數(shù)，則，令，則，令，可得；

令，可得，于是在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

于是，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，綜上，實(shí)數(shù)b的取值范圍．四、跟蹤檢測(cè)1．（2024屆湖北省隨州市曾都區(qū)高三上學(xué)期測(cè)試）已知函數(shù)（）圖象在點(diǎn)處的切線與直線垂直．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)若存在，使得恒成立，求實(shí)數(shù)k的最大值．2．（2023屆黑龍江省雞西市密山市高三上學(xué)期第三次月考）已知函數(shù)．(1)若是的極值點(diǎn)，求的單調(diào)性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．3．（2024屆陜西省西安市部分學(xué)校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知函數(shù)，且.(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若關(guān)于的不等式恒成立，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.4．（2023屆安徽省臨泉第一中學(xué)高三上學(xué)期第三次月考）設(shè)函數(shù)，已知直線是曲線的一條切線．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．5．（2024屆江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽(yáng)市高三上學(xué)期檢測(cè)）已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)若恒成立，求證：實(shí)數(shù).6．（2024屆福建省莆田市第一中學(xué)高三上學(xué)期期初考試）已知函數(shù)，.(1)若不等式的解集為，求不等式的解集；(2)若對(duì)于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.7．（2023屆河南省部分名校高三二模）已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，若對(duì)于任意的，總存在，使得，求的取值范圍.8．（2024屆江