第12講 第三章 圓錐曲線的方程 章末重點(diǎn)題型大總結(jié)（原卷版）

第12講第三章圓錐曲線的方程章末重點(diǎn)題型大總結(jié)一、思維導(dǎo)圖二、題型精講題型01圓錐曲線的定義【典例1】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）－＝4表示的曲線方程為（

）A．－＝1(x≤－2) B．－＝1(x≥2)C．－＝1(y≤－2) D．－＝1(y≥2)【典例2】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)F（1，0），直線，若動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F和到直線l的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡方程是.【典例3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，四邊形的周長(zhǎng)為8，記點(diǎn)的軌跡為曲線．求的方程.【變式1】（2023春·上海崇明·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)、的距離之和為，則點(diǎn)的軌跡方程是.【變式2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知P是平面上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P與的距離之差的絕對(duì)值為．設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線E．求曲線E的方程；【變式3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，點(diǎn)到直線的距離比到點(diǎn)的距離大2，記的軌跡為，求的方程；題型02圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【典例1】（2023春·湖南衡陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，A為橢圓C的左頂點(diǎn)，以為直徑的圓與橢圓C在第一、二象限的交點(diǎn)分別為M，N，若直線AM，AN的斜率之積為，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）頂點(diǎn)距離為6，漸近線方程是的雙曲線方程是（

）A．或 B．或C． D．【典例3】（多選）（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)在直線上，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【變式1】（2023秋·云南麗江·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率為且它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【變式2】（2023·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若雙曲線C：其中一條漸近線的斜率為2，且點(diǎn)在C上，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【變式3】（2023秋·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）過(guò)點(diǎn)，且焦點(diǎn)在軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．題型03圓錐曲線的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題【典例1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（

）A．12 B．24 C． D．【典例2】（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，A是C上一點(diǎn)，，則的最大值為（

）A．7 B．8 C．9 D．11【典例3】（2023秋·高二單元測(cè)試）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線右支上一點(diǎn)，且，則的大小為．【變式1】（2023秋·高二單元測(cè)試）已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，且，則的面積為（

）A．6 B．12 C． D．【變式2】（2023春·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線，點(diǎn)為其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，若，則三角形的面積為（

）A．2 B． C． D．【變式3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)，是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．9 B．5 C．8 D．4【變式4】（2023春·甘肅白銀·高二?？计谀┮阎謩e是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，若，則．題型04橢圓、拋物線中的離心率問(wèn)題【典例1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，若橢圓C上存在點(diǎn)P，使線段的垂直平分線過(guò)點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023秋·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)，在橢圓上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率是．【典例3】（2023春·湖南邵陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線上，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).若的面積為，則雙曲線的離心率為.【變式1】（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線的上下焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的下支上，過(guò)點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，若恒成立，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？家荒＃┲睆綖?的球放地面上，球上方有一點(diǎn)光源P，則球在地面上的投影為以球與地面的切點(diǎn)F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓.若橢圓的長(zhǎng)軸為，垂直于地面且與球相切，，則橢圓的離心率為.【變式3】（2023·吉林白山·撫松縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于C、D兩點(diǎn)，若.則雙曲線的離心率為.題型05直線與圓錐曲線的位置關(guān)系【典例1】（2023秋·湖北·高二統(tǒng)考期末）曲線與直線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·上海徐匯·高二上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┮阎本€和雙曲線，若l與C的右支交于不同的兩點(diǎn)，則t的取值范圍是．【典例3】（2023春·四川南充·高三四川省南充市高坪中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線的一條漸近線方程為，若直線與只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為【變式1】（2023秋·高二單元測(cè)試）若直線與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓總有公共點(diǎn)，則n的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如果直線y＝kx＋1與橢圓恒有公共點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍為．【變式3】（2023秋·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)?？计谀┻^(guò)點(diǎn)作直線與拋物線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，這樣的直線可以作出條.題型06圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問(wèn)題【典例1】（2023春·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末）已知為雙曲線上兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·上海長(zhǎng)寧·高二上海市第三女子中學(xué)?？计谥校┮阎裹c(diǎn)在軸上的橢圓被直線截得的弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則正數(shù).【典例3】（2023秋·寧夏銀川·高二銀川一中?？计谀┮阎獧E圓，過(guò)M的右焦點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，若中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓M的方程為.【典例4】（2023秋·遼寧·高二校聯(lián)考期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線C上一點(diǎn)，，且．(1)求拋物線C的方程；(2)若直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線l的方程．【變式1】（2023春·寧夏石嘴山·高二平羅中學(xué)校考期中）已知雙曲線，過(guò)點(diǎn)作直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)恰好是線段的中點(diǎn)，則直線的方程是（

）A． B．C． D．【變式2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線，過(guò)點(diǎn)的直線與該雙曲線相交于兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則直線的方程為（

）A． B．C． D．該直線不存在【變式3】（2023春·湖北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓：，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且弦被點(diǎn)平分，則直線的方程為．【變式4】（2023春·陜西寶雞·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，．(1)求拋物線的方程；(2)當(dāng)線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為時(shí)，求直線的方程．題型07圓錐曲線中的弦長(zhǎng)問(wèn)題【典例1】（2023·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)到的距離為，則（

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)是橢圓C：上的一點(diǎn)，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且，則橢圓C的方程是.若圓的切線與橢圓C相交于M點(diǎn)，則的最大值是.【典例3】（2023·湖南長(zhǎng)沙·湖南師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過(guò)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，若以線段為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，則．【典例4】（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·高二沈陽(yáng)二十中校聯(lián)考期末）已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，它的左焦點(diǎn)為，且到其漸近線的距離是．(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交左支于一點(diǎn)，且的斜率是，求長(zhǎng)．【變式1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F，作傾斜角為的弦AB，則．【變式2】（2023春·福建·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)且傾斜角為的直線交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則.【變式3】（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，且，的面積為．(1)求的方程；(2)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線與相切與點(diǎn)，垂直，垂足為點(diǎn)，求的最大值．【變式4】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線，若直線和曲線相交于、兩點(diǎn)，求．題型08圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問(wèn)題【典例1】（2023春·廣西·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，且橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．求使面積最大時(shí)直線l的方程．【典例2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線截直線所得的弦的長(zhǎng)為．(1)求的值；(2)若軸上有一點(diǎn)，使的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【典例3】（2023·江蘇無(wú)錫·江蘇省天一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中中，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比它到軸的距離大1，的軌跡為.(1)求曲線的方程；(2)已知點(diǎn)，分別為曲線上的第一象限和第四象限的點(diǎn)，且，求與面積之和的最小值.【變式1】（2023春·寧夏吳忠·高二吳忠中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓，、分別為其左、右焦點(diǎn)，短軸長(zhǎng)為，離心率，過(guò)傾斜角為的直線，直線與橢圓交于、兩點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求的周長(zhǎng)和面積.【變式2】（2023秋·山東煙臺(tái)·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線與有相同的漸近線，為上一點(diǎn).(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)且傾斜角為的直線與相交于、兩點(diǎn)，求的面積.【變式3】（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)（在第一象限），當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，．(1)求拋物線的方程；(2)已知，延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，當(dāng)面積最小時(shí)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．題型09圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題【典例1】（2023春·上海浦東新·高二上海市建平中學(xué)?？计谀┮阎獧E圓：，，，是橢圓上三個(gè)不同的點(diǎn)，原點(diǎn)為的重心.

(1)求橢圓的離心率；(2)如果直線和直線的斜率都存在，求證為定值；(3)試判斷的面積是否為定值，若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【典例2】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線，直線過(guò)的右焦點(diǎn)且與交于兩點(diǎn)．(1)若兩點(diǎn)均在雙曲線的右支上，求證：為定值；(2)試判斷以為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．【典例3】（2023·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知是拋物線上一點(diǎn)，過(guò)作圓的兩條切線（切點(diǎn)為），交拋物線分別點(diǎn)且當(dāng)時(shí)，.(1)求拋物線的方程;(2)判斷直線的斜率是否為定值？若為定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，說(shuō)明理由.【變式1】（2023·北京海淀·北大附中?？既＃┮阎獧E圓過(guò)點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.(1)求橢圓的方程及其焦距；(2)直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，直線分別與直線交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)且，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).【變式2】（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考二模）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，動(dòng)直線l：與圓相切，且與雙曲線左、右兩支的交點(diǎn)分別為（，），（，）．

(1)求k的取值范圍；(2)記直線P1A1的斜率為k1，直線P2A2的斜率為k2，那么是定值嗎？證明你的結(jié)論．【變式3】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）在平面直角坐標(biāo)中，設(shè)，，以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O．(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡W的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作直線l與軌跡W交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，試判斷直線是否恒過(guò)定點(diǎn)．題型10圓錐曲線中的定直線問(wèn)題【典例1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線C：的離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線l與C左右兩支分別交于M，N兩個(gè)不同的點(diǎn)（異于頂點(diǎn)）．(1)若點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)，求直線OP與直線MN斜率之積（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；(2)若A，B為雙曲線的左右頂點(diǎn)，且，試判斷直線AN與直線BM的交點(diǎn)G是否在定直線上，若是，求出該定直線，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由【典例2】（2023春·河北保定·高三校考階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)，．(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于不同的，兩點(diǎn)，且直線，，的斜率依次成等比數(shù)列．橢圓上是否存在一點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，分別是雙曲線的左，右頂點(diǎn)，直線（不與坐標(biāo)軸垂直）過(guò)點(diǎn)，且與雙曲線交于，兩點(diǎn).（1）若，求直線的方程；（2）若直線與相交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上.【變式2】（2023秋·遼寧葫蘆島·高二興城市高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎獧E圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，右焦點(diǎn)為F，折線與C交于M，N兩點(diǎn)．(1)當(dāng)m＝2時(shí)，求的值；(2)直線AM與BN交于點(diǎn)P，證明：點(diǎn)P在定直線上．【變式3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過(guò)三點(diǎn)的圓的圓心為，點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線相交于不同點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上.題型12圓錐曲線中的向量問(wèn)題【典例1】（2023春·江西宜春·高二江西省宜豐中學(xué)校考期末）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，焦距為2，點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知是直線上的一點(diǎn)，是否存在這樣的直線，使得過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相切于點(diǎn)，且以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)？若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由.【典例2】（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考二模）過(guò)拋物線C：上一點(diǎn)作C的切線，交C的準(zhǔn)線于點(diǎn).(1)求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)A，B是C上與M不重合的兩點(diǎn)，，O為原點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)O到直