第13講 拓展一：平面向量綜合問題（解析版）

第13講拓展一：平面向量綜合問題題型01平面向量共線定理及其推論【典例1】（2024上·陜西安康·高三校聯(lián)考階段練習）已知是所在平面內一點，若均為正數(shù)，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【詳解】因為，所以點是的重心，所以.因為，所以，綜上，.因為，所以三點共線，則，即.因為均為正數(shù)，所以，則，所以（當且僅當，即時取等號），所以的最小值為.故選：B【典例2】（2023下·四川成都·高一四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）已知點O是的內心，，，則（

）A． B． C．2 D．【答案】D【詳解】連接并延長交于點，連接，因為O是的內心，所以為的平分線，所以根據(jù)角平分線定理可得，所以,因為三點共線，所以設，則，因為，所以，故選：D【典例3】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）如圖，在中，M為線段的中點，G為線段上一點，，過點G的直線分別交直線，于P，Q兩點，，，則的最小值為（

）．A． B． C．3 D．9【答案】B【詳解】因為M為線段的中點，所以，又因為，所以，又，，所以，又三點共線，所以，即，所以，當且僅當，即時取等號.故選：B.【變式1】（2023下·浙江寧波·高二校聯(lián)考期末）在中，點O滿足，過點O的直線分別交射線AB，AC于點M，N，且，，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．4【答案】A【詳解】由題可知，，因為，，所以，，又，所以，所以，因為三點共線，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立.所以的最小值為.故選：A

【變式2】（2023下·江蘇南京·高一統(tǒng)考期中）在中，點是邊所在直線上的一點，且，點在直線上，若向量，則的最小值為（

）A．3 B．4 C． D．9【答案】B【詳解】，，，點，，三點共線，，又，，，當且僅當，即，時，等號成立，的最小值為4．故選：B．【變式3】（2022上·海南·高三校聯(lián)考期末）已知長方形中，，是線段的中點，是線段上靠近的三等分點，線段，交于點，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題可知，

設則,又，所以，解得，所以.故選：A.題型02平面向量數(shù)量積（最值，范圍）問題【典例1】（2023下·天津·高一統(tǒng)考期末）在中，，，.若，分別為邊，上的點，且滿足，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意得，，，因為，，所以，，所以，因為，所以，函數(shù)開口向下，對稱軸為，當時，取最大值.故選：A【典例2】（2023下·江蘇泰州·高一統(tǒng)考期末）已知的外接圓的圓心為，且，，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【詳解】由正弦定理得，故，因為，所以，則，因為，所以，則，故.故選：C【典例3】（2023下·內蒙古包頭·高一統(tǒng)考期末）邊長為2的等邊三角形ABC的重心為G，設平面內任意一點P，則的最小值為．【答案】【詳解】由題意，設等邊的邊長為，以的中點為原點，以分別為軸建立直角坐標系，可作圖如下：由為等邊的重心，則，，即，，設，則，，，對于，，故.故答案為：.【典例4】（2023下·四川成都·高一統(tǒng)考期末）已知邊長為2的菱形中，是邊所在直線上的一點，則的取值范圍為．【答案】【詳解】

取的中點，連接，則，所以，當且僅當時，有最小值，則有最小值，此時菱形的面積，最小值為，因為是邊所在直線上的一點，所以無最大值，無最大值，的取值范圍為，故答案為：【變式1】（多選）（2023下·遼寧大連·高一大連八中?？计谥校┰谥?，，，，為內任意一點（含邊界），且，則的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【詳解】在中，，，，以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，

則、、，因為為內任意一點（含邊界），且，設點，，，所以，，為銳角，且，因為，則，由可得，由得，所以，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，所以，，又因為，，則，故選：BCD.【變式2】（2023下·北京通州·高一統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD的邊長為2，P為CD邊上的一個動點，則的取值范圍是．

【答案】【詳解】以為原點，,所在直線分別為,軸,建立如圖所示的平面直角坐標系，則，設，其中，則，，當時,有最小值3，當或2時，有最大值為4，的取值范圍為.故答案為：.

【變式3】（2023下·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）在中，，為邊上的動點，則的最小值為．【答案】/-2.56【詳解】由于，所以為原點，為軸，為軸，建立直角坐標系如圖所示：

則有：，設點，且，所以，則，當時，取得最小值．故答案為：．【變式4】（2023下·廣東·高一校聯(lián)考階段練習）如圖，已知是以為直徑的上半圓上的動點（包含端點，），是的中點，，則的最大值是．

【答案】2【詳解】因為，所以，所以，當且僅當，即與重合時取等號，故的最大值是2．故答案為：2題型03平面向量的模（最值，范圍）問題【典例1】（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）已知不平行的兩個向量滿足，．若對任意的，都有成立，則的最小值等于．【答案】【詳解】依題意，設與的夾角為，，因為，，所以，即，則，所以，因為對任意的，都有成立，所以，即，即對于恒成立，故，又，解得，綜上，，則的最小值為.故答案為：.【典例2】（2023上·天津和平·高三天津市第二南開中學?？计谥校┤鐖D，在中，，，P為CD上一點，且滿足，若，則的最小值為.【答案】【詳解】設，則，所以，所以，故，因為，，所以，則，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.故答案為：.【典例3】（2023下·上海閔行·高一?？茧A段練習）已知，，，且，為鈍角，若的最小值為，則的最小值是【答案】【詳解】，因為的最小值為，所以的最小值為，又，所以，所以，又為鈍角，所以，即，則，所以，所以，又，所以，所以當時.故答案為：【典例4】（2023下·四川眉山·高三?？奸_學考試）在△ABC內，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求角B的值；(2)若，點D是AC邊上靠近點C的三等分點，求BD的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）∵．∴由正弦定理，得．∴．∴．又，∴．又∵，∴．又，∴．（2）由題意可知，,即，所以，，，且，所以，，由可知，，所以，則的取值范圍是.【變式1】（2023上·天津武清·高三天津市武清區(qū)楊村第一中學?？茧A段練習）在中，為中點，為線段上一點，且滿足，若，則的最大值為．【答案】【詳解】由題可得，，則，因D,P,C三點共線，則.又注意到，結合，余弦定理可得：.則.又由基本不等式，.當且僅當，即時取等號.則.故答案為：.【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知向量滿足，若的最大值為1，的取值范圍為．【答案】【詳解】設向量的夾角為θ，則；又,所以，所以,所以，又，所以，所以的取值范圍是．故答案為：．【變式3】（2023上·江蘇南京·高二統(tǒng)考期中）在中，分別為角所對的邊，．(1)求角的大??；(2)若的面積為，且，，求的最小值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解法一：因為，所以，由余弦定理得，化簡得，所以，因為，所以.解法2：因為，所以，由正弦定理得，因為，可得，所以，因為，所以，即，化簡得，因為，可得，所以，因為，所以.（2）解：因為，所以，又因為，，所以，所以，當且僅當時，即等號成立，所以的最小值為．題型04平面向量夾角（最值，范圍）問題【典例1】（2023上·浙江·高三浙江省富陽中學校聯(lián)考階段練習）已知，，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】C【詳解】由，可得；所以；因此，所以，顯然，所以，當且僅當時，等號成立；此時的最小值為.故選：C【典例2】（2023下·重慶酉陽·高一重慶市酉陽第二中學校?？茧A段練習）已知單位向量，的夾角為60°，向量，且，，設向量與的夾角為，則的最大值為（

）.A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為單位向量，的夾角為，則，所以，又，所以，當取最大值時，必有，則，又，，則，所以，所以，故的最大值為.故選：D．【典例3】（2022上·上海寶山·高二上海交大附中?？茧A段練習）若平面向量，，滿足，，，，則，夾角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設，，，以O為原點，方向為x軸正方向建立平面直角坐標系，，，，，，三者直接各自的夾角都為銳角，，，，，，即在上的投影為1，在上的投影為3，，，如圖，即，且則，由基本不等式得，，與的夾角為銳角，，由余弦函數(shù)可得：與夾角的取值范圍是，故選：C.【典例4】（2023上·山東菏澤·高三菏澤一中?？茧A段練習）已知向量，滿足，若對任意模為的向量，均有，則向量的夾角的取值范圍為.【答案】【詳解】由，若對任意模為的向量，均有，由三角不等式得，，因為向量為任意模為的向量，所以當向量與向量夾角為時，上式也成立，設向量的夾角為.，，平方得到，即，則，即，即，同時，所以，平方得到，即，解得，即，，綜上，又因為，即，向量的夾角的取值范圍.故答案為：.【變式1】（2022上·江西·高三校聯(lián)考階段練習）已知平面向量，，，滿足，，則向量與所成夾角的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，即，；，即，；設向量與所成夾角為，（當且僅當時取等號）；又，.故選：A.【變式2】（2021下·浙江·高一期末）已知向量的夾角為，，向量，且，則向量夾角的余弦值的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】依題意可得，，則，，，則，所以，，令，則，令，由得，則，所以，故所以，當時，有最小值.故選：A.【變式3】（2023上·天津北辰·高三?？茧A段練習）在中，點D為AC的中點，點E滿足．記，，用表示；若，則的最大值為．【答案】/30°【詳解】

如圖所示，結合題意知：；若，則，設，則，當且僅當時取得等號，由余弦函數(shù)的單調性得，所以的最大值為.故答案為：；.【變式4】（2023上·廣東深圳·高三深圳市云頂學校?？茧A段練習）已知平面單位向量滿足，設，，向量的夾角為，則的最小值是．【答案】【詳解】，，，；設，則，，令，則，，，，，即的最小值為.故答案為：.題型05平面向量投影（投影向量）【典例1】（2023·全國·模擬預測）已知向量，滿足，，則在方向上的投影向量的模為（

）A． B．3 C． D．【答案】B【詳解】因為，所以，又，所以，則在方向上的投影向量的模為，故選：B．【典例2】（2023·廣東·統(tǒng)考二模）已知是坐標原點，點，且點是圓：上的一點，則向量在向量上的投影向量的模的取值范圍是.【答案】【詳解】設直線傾斜角為，的傾斜角為，當直線的斜率存在時，設直線方程為，即由圓：，即，所以圓心，半徑，又點在圓上，所以點到直線的距離，解得，即，當直線的斜率不存在時，方程為與圓相切，成立，此時，綜上，，則，所以，即所以，即，又所以向量在向量上的投影向量的模為，故答案為：.【典例3】（2022上·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習）已知對任意平面向量，把B繞其起點沿逆時針方向旋轉得到向量叫做把點B繞點A沿逆時針方向旋轉得到點P.已知平面內點，點，把點B繞點A沿逆時針后得到點P，向量為向量在向量上的投影向量，則.【答案】/【詳解】因為，，所以，，所以P點坐標為，所以，所以.故答案為：.【變式1】（2023上·重慶·高三校聯(lián)考階段練習）設向量在向量上的投影向量為，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【詳解】依題意，，向量在向量上的投影向量：，所以，當且僅當時等號成立.故選：A【變式2】（2023·廣東惠州·統(tǒng)考一模）已知點在線段上，是的角平分線，為上一點，且滿足，設則在上的投影向量為．（結果用表示）．【答案】【詳解】建立如圖所示的直角坐標系，由，可設，，

得點的軌跡是以為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支（不含右頂點）．因為是的角平分線，且，所以也為的角平分線，為的內心．如圖，設，則由雙曲線與內切圓的性質可得，，又，所以，，在上的投影長為，則在上的投影向量為，故答案為：【變式3】（2023下·廣東惠州·高一校聯(lián)考階段練習）已知，若與的夾角為，則在上的投影向量為.【答案】【詳解】因為，與的夾角，則，所以，所以在上的投影向量為.故答案為：題型06平面向量中的新文化，新定義題【典例1】（2023上·廣東深圳·高二?？茧A段練習）人臉識別技術應用在各行各業(yè)，改變著人類的生活，而所謂人臉識別，就是利用計算機分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識別信息，最終判別人臉對象的身份.在人臉識別中為了檢測樣本之間的相似度主要應用距離的測試，常用的測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.假設二維空間中有兩個點、，為坐標原點，余弦相似度為向量、夾角的余弦值，記作，余弦距離為.已知、、，若、的余弦距離為，，則、的余弦距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，，，，，由已知，可得，①又因為，②聯(lián)立①②可得，，因此，、的余弦距離為，故選：A.【典例2】（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中?？寄M預測）下圖是北京2022年冬奧會會徽的圖案，奧運五環(huán)的大小和間距如圖所示．若圓半徑均為12，相鄰圓圓心水平路離為26，兩排圓圓心垂直距離為11．設五個圓的圓心分別為、、、、，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，做軸于點，所以，由已知可得，，，所以，，，所以.故選：B.

【典例3】（多選）（2023下·寧夏吳忠·高一統(tǒng)考期末）如圖，某八角鏤空窗的邊框呈正八邊形．已知正八邊形的邊長為，、為正八邊形內的點（含邊界），在上的投影向量為，則下列結論正確的是（

）

A． B．C．的最大值為 D．【答案】ABD【詳解】對于A選項，正八邊形的內角為，易知，，A對；對于B選項，連接、，則為正八邊形外接圓的一條直徑，則，

所以，，B對；對于C選項，如下圖所示：

設在方向上的投影向量為，由圖形可知，當、分別在線段、上時，取最大值，且的最大值為，C錯；對于D選項，過點、分別作的垂線，垂足分別為點、，如下圖所示：

當點在線段上時，取最小值，此時，，當點在線段上時，取最大值，此時，，綜上所述，，D對.故選：ABD.【典例4】（2023下·江蘇泰州·高一泰州中學?？计谥校┲貞c榮昌折扇是中國四大名扇之一，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜愛.古人曾有詩贊曰：“開合清風紙半張，隨機舒卷豈尋常；金環(huán)并束龍腰細，玉柵齊編鳳翅長”.榮昌折扇平面圖為圖2的扇形，其中，，動點在上（含端點），連接交扇形的弧于點，且，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．C． D．【答案】BC【詳解】如圖，作，分別以，為，軸建立平面直角坐標系，則，設，則，由可得，，且，若，則，，所以，，所以，故A錯誤；由，，所以，因為，所以，所以，所以，故B正確；由于，故，而，所以，所以，故C正確，，由于，故，故，故D錯誤；故選：BC【變式1】（2023上·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學考試）我國人臉識別技術處于世界領先地位.所謂人臉識別，就是利用計算機檢測樣本之間的相似度，余弦距離是檢測相似度的常用方法.假設二維空間中有兩個點，，O為坐標原點，余弦相似度為向量，夾角的余弦值，記作，余弦距離為.已知，，，若P，Q的余弦距離為，，則Q，R的余弦距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意得則，又，∴，∴，，，故選：【變式2】（多選）（2023下·江蘇南通·高一統(tǒng)考期中）剪紙藝術是一種中國傳統(tǒng)的民間工藝，它源遠流長，經(jīng)久不衰，已成為世界藝術