浙江省數(shù)海漫游2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析）

2025年“數(shù)海漫游”第一次模擬考試數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合合題目要求的.1.（）A.0 B.1 C.2024 D.2025【答案】A【解析】【分析】令，可得，結(jié)合指、對數(shù)運算求解.【詳解】令，則，所以.故選：A.2.已知，，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式可得，即可得結(jié)果.【詳解】因為，且，所以.故選：C.3.已知長方體中，，則四面體的體積是（）A. B.16 C. D.32【答案】A【解析】【分析】可知四面體即為長方體中去掉4個全等的三棱錐，結(jié)合棱柱、棱錐的體積公式運算求解.【詳解】如圖所示：可知四面體即為長方體中去掉4個全等的三棱錐，所以四面體的體積為.故選：A.4.設(shè)，是單位向量，則的最小值是（）A. B.0 C. D.1【答案】D【解析】【分析】設(shè)，的夾角為，則，結(jié)合數(shù)量積的運算律分析求解.【詳解】設(shè)，的夾角為，因，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值是1.故選：D.5.天上有三顆星星，地上有四個孩子．每個孩子向一顆星星許愿，如果一顆星星只收到一個孩子的愿望，那么該愿望成真，若一顆星星收到至少兩個孩子的愿望，那么向這顆星星許愿的所有孩子的愿望都無法成真，則至少有兩個孩子愿望成真的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用古典概型的概率公式，結(jié)合排列組合知識求解．【詳解】四個孩子向三顆星星許愿，一共有種可能的許愿方式.由于四個人選三顆星星，那么至少有一顆星星被兩個人選，這兩個人愿望無法實現(xiàn)，至多只能實現(xiàn)兩個人的愿望，所以至少有兩個孩子愿望成真，只能是有兩顆星星各有一個人選，一顆星星有兩個人選，可以先從四個孩子中選出兩個孩子，讓他們共同選一顆星星，其余兩個人再選另外兩顆星，有種情況，所以所求概率為.故選：C.6.若數(shù)列滿足：對于任意正整數(shù)n，，則稱，互為交錯數(shù)列．記正項數(shù)列的前n項和為，已知1，，成等差數(shù)列，則與數(shù)列互為交錯數(shù)列的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)和與的關(guān)系，推得，再由互為交錯數(shù)列的定義，對各個選項分析，可得結(jié)論．【詳解】由1，，成等差數(shù)列，可得，，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，由，可得，上面兩式相減可得，化為，由，即有，是3為首項，2為公差的等差數(shù)列，可得，對A，，，與數(shù)列不互為交錯數(shù)列，故A選項錯誤；對B，由，可得，與數(shù)列不互為交錯數(shù)列，故B選項錯誤；對C，由，，與數(shù)列不互為交錯數(shù)列，故C選項錯誤；對D，由可得，與數(shù)列互為交錯數(shù)列，故D正確．故選：D．7.已知，分別為橢圓C：的左右焦點，過的一條直線與C交于A，B兩點，且，，則橢圓長軸長的最小值是（）A. B. C.6 D.【答案】B【解析】【分析】利用橢圓的定義，結(jié)合勾股定理，利用基本不等式轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】設(shè)，則，，，由，可得，則，有，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．則橢圓長軸長的最小值是.故選：B．8.已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】整理可得，可得，利用圖象解不等式可得，進而可得，則，利用圖象解不等式可得，對比選項即可得結(jié)果.【詳解】因為，整理可得，則，如圖所示：且當(dāng)2-可知：與有3個交點，依次為，可知的解集為，即，此時，可得，則，即，整理可得，注意到20可知與有3個交點，依次為，則不等式的解集為，即；對比選項可知：一定成立的只有選項D.故選：D【點睛】方法點睛：數(shù)形結(jié)合的重點是“以形助數(shù)”，在解題時要注意培養(yǎng)這種思想意識，做到心中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維．使用數(shù)形結(jié)合法的前提是題目中的條件有明確的幾何意義，解題時要準確把握條件、結(jié)論與幾何圖形的對應(yīng)關(guān)系，準確利用幾何圖形中的相關(guān)結(jié)論求解．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知正方形ABCD在平面直角坐標(biāo)系xOy中，且AC：，則直線AB方程可能為（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由正方形的特征可知，直線與直線夾角為，由直線斜率利用兩角差的正切公式求出直線的斜率，對照選項即可判斷.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，直線斜率為2，有，則.依題意有或，當(dāng)時，，即，解得，即直線的斜率為-3，C選項中的直線斜率符合；當(dāng)時，，即，解得，即直線的斜率為，B選項中的直線斜率符合.故選：BC10.已知模長均為1的復(fù)數(shù)，滿足，則（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】設(shè)，，由已知復(fù)數(shù)，的模長均為1，通過變形可得，即且，即可判斷選項，根據(jù)可判斷選項.【詳解】設(shè)，，因為，所以，，因為復(fù)數(shù)，的模長均為1，所以，，所以，即且，所以，故選項正確；所以，故選項正確；因為，所以，故選項錯誤；又，故選項正確.故選：.11.如圖，小黃家的墻上固定了一盞圓錐（截面為等腰直角三角形）形狀的燈，燈光可以照亮的部分是個無限大的圓臺，其截面的邊界分別垂直于PA，PB．已知墻與地板垂直，燈向上或向下轉(zhuǎn)動的極限均為45°（即AB可以繞O點順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)45°）．若地板和墻都充分大，則燈光照在地板上的邊界的可能形狀有（）A.橢圓 B.雙曲線的一支C.拋物線 D.一條直線【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意建立用平面截圓臺的數(shù)學(xué)模型進行解答．【詳解】根據(jù)題意，燈光可以照亮的部分是個無限大的圓臺，該問題可以轉(zhuǎn)化為用平面截圓臺，所得的截面問題，若固定燈不動，則只考慮地板從旋轉(zhuǎn)到，設(shè)，則根據(jù)圓錐曲線的定義，有：截面與圓臺軸平行時，截得雙曲線的一支；截面與圓臺的母線平行時，截得拋物線；截面不可能只與圓臺側(cè)面相交，不能截得橢圓；截面不可能與圓臺側(cè)面相切，不能截得直線.故選：BC.【點睛】方法點睛：燈向上或向下轉(zhuǎn)動，判斷燈光照在地板上的邊界的可能形狀，問題可以轉(zhuǎn)化為用平面截圓臺，所得的截面問題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，構(gòu)成等比數(shù)列，則的值是______．（任寫出一個即可）【答案】1或（任寫一個即正確）【解析】【分析】設(shè)公差為，依題意有，求得或，可求的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，由，，構(gòu)成等比數(shù)列，則有，即，解得或，時，；時，.故答案為：1或（任寫一個即正確）13.已知a，b，，二次函數(shù)有零點，則的最小值是______．【答案】【解析】【分析】設(shè)，則，根據(jù)二次函數(shù)零點可得，設(shè)，利用對勾函數(shù)可得，再結(jié)合基本不等式運算求解.【詳解】因為a，b，，設(shè)，則，二次函數(shù)fx則，可得，設(shè)，顯然，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，即，所以的最小值是.故答案為：.14.若兩個體積相等的圓錐底面半徑之比為2，則它們表面積之比的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】設(shè)兩個圓錐的底面半徑分別為，高分別為，根據(jù)體積關(guān)系可得，進而可得表面積之比為，利用換元法令，整理可得，分析可知關(guān)于x的方程有正根，更換主元法結(jié)合一次函數(shù)零點分析求解.【詳解】設(shè)兩個圓錐的底面半徑分別為，高分別為，由題意可知：，可得，則它們表面積之比為，令，則，表面積之比為，設(shè)，可知關(guān)于x的方程有正根，即關(guān)于t的方程在有根，設(shè)，若，即時，，不合題意；若，即時，則，因為，且，則，可得，解得；綜上所述：x的取值范圍為.所以表面積之比的取值范圍是.故答案：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于表面積之比利用換元法分析可知關(guān)于x的方程有正根，更換主元可知關(guān)于t的方程在有根，結(jié)合一次函數(shù)零點分析求解.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在正四面體ABCD中，P是內(nèi)部或邊界上一點，滿足，．（1）證明：當(dāng)取最小值時，；（2）設(shè)，求的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)條件確定點的位置，再證明線線垂直.（2）先探究與的關(guān)系，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求范圍.【小問1詳解】如圖：取中點，中點，連接，則，.因為，，所以三點共線.又四面體為正四面體，所以，當(dāng)為中點時，，此時取得最小值.又，所以.【小問2詳解】易知，.所以，，，故（）.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時，有最小值，為；當(dāng)或時，有最大值，為.故的取值范圍為：16.設(shè)，函數(shù)．（1）若，討論的單調(diào)性；（2）求的最大值．【答案】（1）答案見詳解（2）答案見詳解【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性；（2）求導(dǎo)，分和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性和最值.【小問1詳解】令，且，解得，可知的定義域為，且，因為，且，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減.【小問2詳解】由（1）可知：的定義域為，且，若，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以的最大值為；若，令，解得或；令，解得或；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，且，所以的最大值為；綜上所述：若，的最大值為；若，的最大值為.17.隨著疫情防控政策的優(yōu)化，國內(nèi)演唱會市場迅速升溫，一眾熱門歌手的演唱會現(xiàn)場更是“一座難求”．小林是林俊杰的粉絲，他很想?yún)⑴c林俊杰“JJ20”世界巡回演唱會-杭州站．主辦方被小林的真誠打動，特為小林開辟了一個搶票通道，共100人從該通道參與搶票，每個人能搶到票的概率均，且搶票結(jié)果相互獨立（1）為保證該搶票通道不會出現(xiàn)故障（不存在搶到票卻沒有座位的人），主辦方至少要為該通道預(yù)留多少張票；（2）由于主辦方非常喜歡小林創(chuàng)立的數(shù)海漫游微信公眾號，于是允許多個人幫小林一同搶票，但如果存在兩個人都幫小林搶到了票（包括小林自己），則小林因為“一人多票”，無法觀看演出．那么，你建議小林額外找?guī)讉€人幫他一起搶票呢?請說明理由．【答案】（1）100（2）18或19【解析】【分析】（1）因為這100人均有可能搶到票，根據(jù)極大化原則分析判斷；（2）設(shè)小林額外找個人幫他一起搶票，可得搶到票的概率為，進而求其最大值即可判斷.【小問1詳解】因為這100人均有可能搶到票，若要保證該搶票通道不會出現(xiàn)故障，所以主辦方至少要為該通道預(yù)留100張票.【小問2詳解】若小林額外找個人幫他一起搶票，則搶到票的概率為，可得，令，解得；令，解得；令，解得；即，所以小林額外找18或19個人幫他一起搶票.18.已知P為雙曲線C：上一點，O為坐標(biāo)原點，線段OP的垂直平分線與雙曲線C相切．（1）若點P是直線與圓的交點，求a；（2）求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）聯(lián)立方程求出交點坐標(biāo)，代入雙曲線方程運算求解即可；（2）設(shè)，，根據(jù)中垂線方程以及雙曲線的切線方程解得，換元令，可得，令，可知關(guān)于x的方程有正根，更換主元法求范圍即可.【小問1詳解】聯(lián)立方程：，解得或，即點為或，將點代入雙曲線C：可得，解得，所以.【小問2詳解】先證：在雙曲線上一點處的切線方程為.因為點在雙曲線上，則，顯然直線過點，即，，聯(lián)立方程，消去y可得，即，則，解得，所以在雙曲線上一點處的切線方程為.設(shè)，，則，可得線段OP的垂直平分線為，即，設(shè)直線與雙曲線C切于點x1,y1則，即，且，即，整理可得，又因為在雙曲線C上，則，即，可得，解得（舍負），則，令，則，可得，令，則關(guān)于x的方程有正根，即關(guān)于t的方程在內(nèi)有根，設(shè)，若，即，則，不合題意；若，即，則f1=x2-若，即，則，解得；綜上所述：，則，即.【點睛】方法點睛：解決圓錐曲線中范圍問題的方法一般題目中沒有給出明確的不等關(guān)系，首先需要根據(jù)已知條件進行轉(zhuǎn)化，利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)及曲線上點的坐標(biāo)確定不等關(guān)系；然后構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，把原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域或引入?yún)?shù)根據(jù)參數(shù)范圍求解，解題時應(yīng)注意挖掘題目中的隱含條件，尋找量與量之間的轉(zhuǎn)化．19.設(shè)數(shù)列單調(diào)遞增且各項均為正整數(shù)，數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前n項和為．若存在正整數(shù)，使得，則稱為數(shù)列的信息熵．（1）已知存在正整數(shù)，滿足，，2，…，，，①求（用含的表達式表示）；②證明：數(shù)列的信息熵小于2；（2）請寫出，，，四個表達式的大小關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）①；②證明見解析（2）【解析】【分析】（1）①由，，兩式相減可得；②利用錯位相減求和即可證明.（2）先令猜測它們的大小順序，再證