考點(diǎn)12 二次函數(shù)（精講）（原卷版）

考點(diǎn)12.二次函數(shù)（精講）【命題趨勢(shì)】二次函數(shù)作為初中三大函數(shù)考點(diǎn)最多，出題最多，難度最大的函數(shù)，一直都是各地中考數(shù)學(xué)中最重要的考點(diǎn)，年年都會(huì)考查，總分值為15-20分。而對(duì)于二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的考查，也主要集中在二次函數(shù)的圖象、圖象與系數(shù)的關(guān)系、與方程及不等式的關(guān)系、圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等幾大方面。題型變化較多，考生復(fù)習(xí)時(shí)需要熟練掌握相關(guān)知識(shí)，熟悉相關(guān)題型，認(rèn)真對(duì)待該考點(diǎn)的復(fù)習(xí)?！局R(shí)清單】1：二次函數(shù)的相關(guān)概念（☆☆）1）二次函數(shù)的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．2）二次函數(shù)解析式的三種形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）．（2）頂點(diǎn)式：y=a（x–h）2+k（a，h，k為常數(shù)，a≠0），頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k）．（3）交點(diǎn)式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，a≠0．2：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（☆☆☆）解析式二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）對(duì)稱軸x=–頂點(diǎn)（–，）a的符號(hào)a>0a<0圖象開口方向開口向上開口向下最值當(dāng)x=–時(shí)，y最小值=。當(dāng)x=–時(shí)，y最大值=。最點(diǎn)拋物線有最低點(diǎn)拋物線有最高點(diǎn)增減性當(dāng)x<–時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x>–時(shí)，y隨x的增大而增大當(dāng)x<–時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>–時(shí)，y隨x的增大而減?。?）二次函數(shù)圖象的翻折與旋轉(zhuǎn)拋物線y=a(x-h)2+k，繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°變?yōu)椋簓=-a(x-h)2+k；繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°變?yōu)椋簓=-a(x+h)2-k；沿x軸翻折變?yōu)椋簓=-a(x-h)2-k；沿y軸翻折變?yōu)椋簓=a(x+h)2+k；（2）二次函數(shù)平移遵循“上加下減，左加右減”的原則；二次函數(shù)圖象的平移可看作頂點(diǎn)間的平移，可根據(jù)頂點(diǎn)之間的平移求出變化后的解析式．3：二次函數(shù)與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系（☆☆☆）1）拋物線開口的方向可確定a的符號(hào)：拋物線開口向上，a＞0；拋物線開口向下，a＜02）對(duì)稱軸可確定b的符號(hào)（需結(jié)合a的符號(hào)）：對(duì)稱軸在x軸負(fù)半軸，則＜0，即ab＞0；對(duì)稱軸在x軸正半軸，則＞0，即ab＜03）與y軸交點(diǎn)可確定c的符號(hào)：與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c），交于y軸負(fù)半軸，則c＜0；交于y軸正半軸，則c＞04）特殊函數(shù)值符號(hào)（以x=1的函數(shù)值為例）：若當(dāng)x=1時(shí)，若對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y在x軸的上方，則a+b+c＞0；若對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y在x軸上方，則a+b+c=0；若對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y在x軸的下方，則a+b+c＜0；5）其他輔助判定條件：1）頂點(diǎn)坐標(biāo)；2）若與x軸交點(diǎn)，，則可確定對(duì)稱軸為：x=；3）韋達(dá)定理：具體要考慮哪些量，需要視圖形告知的條件而定。4：二次函數(shù)與方程、不等式（☆☆）1）二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（1）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)y=0時(shí)，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。（2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。（3）①b2–4ac>0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；②b2–4ac=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)；③b2–4ac<0?方程沒有實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。2）二次函數(shù)與不等式的關(guān)系（以a>0為例）:b2-4acb2-4ac>0b2-4ac=0b2-4ac<0圖象與x軸交點(diǎn)2個(gè)交點(diǎn)1個(gè)交點(diǎn)0個(gè)交點(diǎn)ax2＋bx＋c>0的解集情況x<x1或x>x2取任意實(shí)數(shù)ax2＋bx＋c<0的解集情況x1<x<x2無解無解【易錯(cuò)點(diǎn)歸納】1.二次函數(shù)的辨別中切記保證a≠0，而b，c可以為任意實(shí)數(shù)（即可為0）；2.拋物線的增減性問題，由a的正負(fù)和對(duì)稱軸同時(shí)確定，單一的直接說，y隨x的增大而增大（或減?。┦遣粚?duì)的，必須附加一定的自變量x取值范圍；3.拋物線在平移的過程中，a的值不發(fā)生變化，變化的只是頂點(diǎn)的位置，且與平移方向有關(guān)?！竞诵目键c(diǎn)】核心考點(diǎn)1.二次函數(shù)的相關(guān)概念例1：（2023·山東濟(jì)寧·校聯(lián)考三模）以下函數(shù)式二次函數(shù)的是（

）A． B． C． D．變式1.（2023·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）若是二次函數(shù)，則的值等于（

）A． B． C． D．或例2：（2023上·浙江溫州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知某種產(chǎn)品的成本價(jià)為30元/千克，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量y（千克）與銷售價(jià)x（元/千克）有如下關(guān)系：．設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤(rùn)為w（元），則w與x之間的函數(shù)表達(dá)式為（

）A．B．C． D．變式1．（2023年江蘇省泰州市中考數(shù)學(xué)真題）函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如表所示，則下列函數(shù)表達(dá)式中，符合表中對(duì)應(yīng)關(guān)系的可能是（

）x124y421A．B．C．D．變式2．（2023·北京·統(tǒng)考二模）如圖，某小區(qū)有一塊三角形綠地，其中．計(jì)劃在綠地上建造一個(gè)矩形的休閑書吧，使點(diǎn)P，M，N分別在邊上．記，圖中陰影部分的面積為．當(dāng)x在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，y和S都隨x的變化而變化，則y與x，S與x滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（

）

A．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系 B．一次函數(shù)關(guān)系，反比例函數(shù)關(guān)系C．二次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系 D．反比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系核心考點(diǎn)2.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)例3：（2023年四川省成都市數(shù)學(xué)中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，下列說法正確的是（

）

A．拋物線的對(duì)稱軸為直線 B．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C．，兩點(diǎn)之間的距離為 D．當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而增大變式1.（2023年山東省濰坊市中考數(shù)學(xué)真題）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）（多選題）A．拋物線的開口向下B．拋物線的對(duì)稱軸是C．拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，關(guān)于的一元二次方程有實(shí)根變式2．（2023年江蘇省揚(yáng)州市中考數(shù)學(xué)真題）已知二次函數(shù)（a為常數(shù)，且），下列結(jié)論：①函數(shù)圖像一定經(jīng)過第一、二、四象限；②函數(shù)圖像一定不經(jīng)過第三象限；③當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。虎墚?dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是(

)A．①② B．②③ C．② D．③④例4：（2023年遼寧省沈陽市中考數(shù)學(xué)真題）二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限變式1.（2023年上海市中考數(shù)學(xué)真題）一個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)在y軸正半軸上，且其對(duì)稱軸左側(cè)的部分是上升的，那么這個(gè)二次函數(shù)的解析式可以是．變式2.（2022·黑龍江哈爾濱·中考真題）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．變式3．（2024上·北京海淀·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）某同學(xué)在用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)的圖象時(shí)，列出了下面的表格：x……0123……y……50m……那么m的值為（

）A． B． C．0 D．5例5：（2022·山東泰安·中考真題）如圖,函數(shù)和(是常數(shù),且)在同一平面直角坐標(biāo)系的圖象可能是（

）A． B． C． D．變式1．（2022·廣西·中考真題）已知反比例函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)和二次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）A．B．C．D．例6：（2023年山東省日照市中考數(shù)學(xué)真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線，滿足，已知點(diǎn)，，在該拋物線上，則m，n，t的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．變式1.（2023·四川樂山·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)（為常數(shù)，且）．（1）若點(diǎn)，在函數(shù)圖像上，則（填“>”、“<”或“=”）；（2）當(dāng)時(shí)，，則的取值范圍是．變式2.（2023年福建省中考真題數(shù)學(xué)試題）已知拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，若分別位于拋物線對(duì)稱軸的兩側(cè)，且，則的取值范圍是．例7：（2023年江蘇省徐州市中考數(shù)學(xué)真題）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為（

）A． B． C． D．變式1.（2023年黑龍江省牡丹江市中考數(shù)學(xué)真題）將拋物線向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的新拋物線經(jīng)過原點(diǎn)．變式2.（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）若點(diǎn)在拋物線（）上，則下列各點(diǎn)在拋物線上的是（

）A． B． C． D．變式3．（2022·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）拋物線經(jīng)平移后，不可能得到的拋物線是（

）A．B．C．D．例8：（2021·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，則該拋物線關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的拋物線的表達(dá)式為（

）A．B．C．D．變式1.（2023上·山東臨沂·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知拋物線的解析式為，則下列說法中正確的是（

）A．將圖象沿y軸平移，則a，b的值不變 B．將圖象沿x軸平移，則a的值不變C．將圖象沿y軸翻折，則a，c的值不變 D．將圖象沿x軸翻折，則b的值不變變式2．（2023·陜西·?？级＃┮阎獟佄锞€的頂點(diǎn)為A，拋物線與拋物線關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，若拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，則m的值為（

）A． B． C． D．例9：（2023年山東省泰安市中考數(shù)學(xué)真題）二次函數(shù)的最大值是．變式1.（2023年遼寧省大連市中考數(shù)學(xué)真題）已知拋物線，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為（

）A． B． C．0 D．2變式2.（2023年陜西省中考數(shù)學(xué)試卷（A卷））在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)（為常數(shù)）的圖像經(jīng)過點(diǎn)，其對(duì)稱軸在軸左側(cè)，則該二次函數(shù)有（

）A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值例10：（2023·浙江·校聯(lián)考統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)（）的圖象交x軸于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在B的左側(cè)），當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為8，則b的值為（

）A．－1 B． C．－2 D．變式1.（2022上·浙江杭州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）二次函數(shù)（為實(shí)數(shù)，且），對(duì)于滿足的任意一個(gè)的值，都有，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．變式2．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）已知二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+10，當(dāng)m≤x≤n，且mn＜0時(shí)，y的最小值為2m，y的最大值為2n，則的值為（）A．3 B． C．2 D．核心考點(diǎn)3.二次函數(shù)與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系例11：（2022·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)）的部分圖象如圖所示，設(shè)m=a-b+c，則m的取值范圍是______．變式1.（2023湖南省株洲市中考數(shù)學(xué)真題）如圖所示，直線l為二次函數(shù)的圖像的對(duì)稱軸，則下列說法正確的是（

）

A．b恒大于0 B．a(chǎn)，b同號(hào) C．a(chǎn)，b異號(hào) D．以上說法都不對(duì)變式2.（2023年湖南省湘潭市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）（多選題）

A． B． C． D．例12：（2023年山東省聊城市中考數(shù)學(xué)真題）已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，圖象經(jīng)過點(diǎn)，其對(duì)稱軸為直線．下列結(jié)論：①；②若點(diǎn)，均在二次函數(shù)圖象上，則；③關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；④滿足的x的取值范圍為．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）．

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)變式1.（2023年湖北省武漢市數(shù)學(xué)真題）拋物線（是常數(shù)，）經(jīng)過三點(diǎn)，且．下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)在該拋物線上，則；④若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則．其中正確的是（填寫序號(hào)）．變式2．（2023年四川省雅安市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，B兩點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線，下列結(jié)論中，①；②點(diǎn)B的坐標(biāo)為；③；④對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，都有，所有正確結(jié)論的序號(hào)為（

）

A．①② B．②③ C．②③④ D．③④核心考點(diǎn)4.二次函數(shù)與方程、不等式例13：（2023湖南省衡陽市中考數(shù)學(xué)真題）已知，若關(guān)于x的方程的解為．關(guān)于x的方程的解為．則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．變式1．（2023年江蘇省泰州市中考數(shù)學(xué)真題）二次函數(shù)的圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)在y軸右側(cè)，則n的值可以是（填一個(gè)值即可）變式2．（2023·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）拋物線的對(duì)稱軸及部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程的兩根為．變式3.（2023年四川省南充市中考數(shù)學(xué)真題）拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A．B．或C．D．或例14：（2023·湖北武漢·校考一模）方程的根可視為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，那么用此方法可推斷出方程的實(shí)數(shù)根x所在的范圍是（

）A． B． C． D．變式1.（2023·湖北·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，則關(guān)于x的方程的解為．

變式2.（2023·福建福州·?？寄M預(yù)測(cè)）方程的根可視為直線與雙曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)此法可推斷方程的實(shí)根所在的范圍是（）A． B． C． D．變式3.（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）已知拋物線與一次函數(shù)交于兩點(diǎn)