初中數(shù)學(xué)新定義型二次函數(shù)的綜合探究問題題型及答案

目錄新定義型二次函數(shù)--新定義型二次函數(shù)--新定義型二次函數(shù)--新定義型二次函數(shù)--新定義型二次函數(shù)--新定義型二次函數(shù)--新定義型二次函數(shù)--新定義型二次函數(shù)--新定義型二次函數(shù)--1如果拋物線C的頂點在拋物線CC的頂點也在拋物線CC與C212211141Cy=x2+x與Cy=ax2+x+c：2112AB分別是拋物線CCC經(jīng)過點D(6-1)．122(1)直接寫出AB的坐標(biāo)和拋物線C2的解析式；(2)拋物線C2上是否存在點E△ABEE請說明理由；(3)如圖2F(-63)在拋物線CMN分別是拋物線CCMN的橫坐標(biāo)相112△AFM面積為S(當(dāng)點M與點AF重合時S=0)△ABN的面積為S(當(dāng)點N與點AB重合時，112S=0)S=S+Sy≤yxS的最大值．212121(2023春·福建福州·九年級福建省福州格致中學(xué)?？计谥?y=ax+bx+c(其中ab≠0)與拋物線y=bx+ax+cy=2x+3x+1y=3x+2x+1．已知拋物線C:y=4ax+ax+4a-3a≠0C．121(1)寫出C2的解析式(用含a的式子表示)及頂點坐標(biāo)；(2)若a>0x軸上一點Px軸的垂線分別交拋物線CC于點MN．12①當(dāng)MN=6aP的坐標(biāo)；②當(dāng)a-4≤x≤a-2時，C2的最大值與最小值的差為2aa的值．新定義型二次函數(shù)--1(2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模)1y軸交點也相同的兩個二次函數(shù)互為友好同軸二次函數(shù)．例如：y=2x+4x-5的友好同軸二次函數(shù)為y=-x-2x-5．(1)函數(shù)y=-2x+2x+1的對稱軸為．其友好同軸二次函數(shù)為．12(2)已知二次函數(shù)C:y=ax+4ax+4(其中a≠0且a≠1且a≠)C．①若函數(shù)C的圖象與函數(shù)C的圖象交于AB兩點(點A的橫坐標(biāo)小于點B的橫坐標(biāo))AB的12長；②當(dāng)-3≤x≤0C2的最大值與最小值的差為8a的值．11y軸交點也相同的二次函數(shù)稱為y=3x+6x-3y=-2x-4x-3．1313(1)y=-x2；y=x+x-5．(2)(填入正確的序號)①二次項系數(shù)為112②二次項系為③y=ax-2ax+3y=(1-a)x-2(1-a)x+3．yx軸至少有一個二次函數(shù)有交點．(3)L:y=ax-4ax+1L都與y軸交于點ABC分別在L，121LBC的橫坐標(biāo)均為0<m<2L的對稱軸的稱點分別力21CCB．①若a=3C的值；m②若m=1C鄰邊之比為的值．1:2a2新定義型二次函數(shù)--1(2023秋·江西南昌·九年級南昌市第十七中學(xué)?？计谀?如下過程：求解體驗：(1)已知拋物線y=-x+bx-3經(jīng)過點-1,0b=0,1成中心對稱的拋物線表達(dá)式是．抽象感悟：y=ax+bx+ca≠0軸上的點yM(2)已知拋物線y=-x-2x+5關(guān)于點0,m的衍生拋物線為m的取值范yM0,mM對稱圍．問題解決：(3)已知拋物線y=ax+2ax-ba≠0．①若拋物線y的衍生拋物線為=bx-2bx+a2b≠0ab的值及衍生中心的坐標(biāo)；②若拋物線y關(guān)于點0,k+12的衍生拋物線為y10,k+22的衍生拋物線為2A1y頂點為A?0,k+n的衍生拋物線為n2yAn，?(n為正整數(shù)．求)AA的長用(21含n的式子表示)．1y=ax+bx+c(a≠0)軸上的點成中心對稱的拋物線y'y'為拋物線yM(1)已知拋物線y=-x+bx-3經(jīng)過點(-10)b=(01)成中心對稱的拋物線的表達(dá)式是yM(0m)，M；(2)已知拋物線y=-x-2x+5關(guān)于點(0m)的衍生拋物線為y'm的取值范圍；(3)已知拋物線y=ax+2ax-b(a≠0)．若拋物線y關(guān)于點(0k+1)的衍生拋物線為yA11于點(0k+2)的衍生拋物線為2；yA?，(0k+n)yA的衍生拋物線為nn；2?(n為正整數(shù))AA1的長(用含n的式子表示)．3新定義型二次函數(shù)--1x例如：y=x-1-2y=-x-1+2．(1)請寫出拋物線y=x-1-2的頂點坐標(biāo)y=-x-1+2的頂點坐1232標(biāo)y=-x-1+．(2)B是拋物線Ly=ax-4ax+1B的橫坐標(biāo)為1B作xLCBC關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點接BC、C的面積為SS>0．①當(dāng)四邊形C的值．a(chǎn)②當(dāng)拋物線L(不包括邊界)共有11a的取值范圍．新定義型二次函數(shù)--1二次函數(shù)y=x-2mx的圖象交軸于原點及點．xOA4(1)當(dāng)m=11Ly=x-2x上的點BOCAD分別關(guān)于點A中心對稱的點為，BC??O0,0A(______)D3,3??-1,31,-1BOD3,1A2,05,-34,01,-3①補全表格；②在圖1．我們發(fā)現(xiàn)形如(1)中的圖象上的點和拋物線上的點關(guān)于點Am=-22中的拋物線(2)①當(dāng)m=-1L的函數(shù)值都隨著xx的取值范圍為；②若二次函數(shù)y=x-2mxy=m的值m；my=x-2mx的．新定義型二次函數(shù)--1x=ax≤ax=ax≥ax=a右側(cè)的拋物線的部分，則我們將像這樣的兩條拋物線稱為關(guān)于直線x=a的一對y=(x+1)2x≤0就是關(guān)于直線y=(x-1)2x≥0x=0(y軸的)與拋物線一對伴隨拋物線．5(1)求拋物線y=(x+1)+3x≤1.5關(guān)于直線x=1.5(2)設(shè)拋物線y=mx-2mx+2m≠0m≠4交y軸于點Ax=4于點B．①求直線AB平行于x軸時的m的值．②求∠AOB是直角時拋物線y=mx-2mx+2關(guān)于直線x=4③已知點CD的坐標(biāo)分別為8280y=mx-2mx+2及其關(guān)于直線x=4OACD不同的邊有四個公共點時m的取值范圍．的新定義型二次函數(shù)--1y=ax-h2+ka≠0AxCAC的頂點為軸交于點為對角線的正方形ABCD的另兩頂點BDy=ax-h+ka≠0稱為美麗拋ABCD為它的內(nèi)接正方形．12(1)當(dāng)拋物線y=ax+1是美麗拋物線時，a=y=x+k是美麗拋物線時，k=．(2)若拋物線y=ax+kak數(shù)量關(guān)系．(3)若拋物線y=ax-h+ka≠0是美麗拋物線，(2)中ak16(4)已知系列美麗拋物線y=ax-n+k(n為正整數(shù)，1≤n≤6)的頂點為均在直線y=xnnn們中恰有兩個美麗拋物線y=ax-s+k與，為正整數(shù)，y=ax-t+k(st，的內(nèi)1≤s≤61≤t<6)sssttt接正方形的面積之比為14a+a的值．st新定義型二次函數(shù)--1(1)如圖1y=-x-x+1y=-x-2x+1y=-x-3x+11236；①拋物線yyy都經(jīng)過點C(0,1)；12312②拋物線yy的對稱軸由拋物線y的對稱軸依次向左平移個單位得到；231③拋物線yyy與直線y=1123(2)把滿足y=-x-nx+1(n為正整數(shù))在(2)2．P,P,P,?,Pn的代數(shù)式表示頂點P123nn坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x之間的關(guān)系式；(C,C,C,?,C123n-k-1,-k-2,-k-3,?,-k-n(k為正整數(shù))y=1A,A,A,?,A連接CA,CA1CA,C1123nnnnnA1是否平行？并說明理由．14341y=-nx-nx+n+1(n)為正整數(shù)．系列拋物線的頂點分別為MMM?M．123n(1)下列結(jié)論正確的序號是．32①系列拋物線的對稱軸是直線x=-；②系列拋物線有公共交點-4,1和1,1；14③系列拋物線都是由拋物線y=-x2平移所得；④任意兩條相鄰拋物線頂點的距離相等；(2)對于任意一條與x軸垂直的直線x=aNNN?N．123n①當(dāng)a=0時，NN1=；NN1由；③以NN1a的值．2我們把拋物線：y=-x+2nx-n+n(n為正整數(shù))同學(xué)經(jīng)歷如下過程：7(1)當(dāng)n=1y1的頂點坐標(biāo)是x軸的交點坐標(biāo)是；(2)當(dāng)n=2y2的頂點坐標(biāo)是x軸的交點坐標(biāo)是；(3)當(dāng)n=3y3的頂點坐標(biāo)是x軸的交點坐標(biāo)是；(4)那么拋物線：y=-x+2nx-n+n(n為正整數(shù))的下列結(jié)論正確的是(請?zhí)钊胝_的序號)．①拋物線與x軸有兩個交點；②拋物線都經(jīng)過同一個定點；③相鄰兩支拋物線與x軸都有一個公共的交點；④所有拋物線y的頂點都在拋物線y=x上．2ny=-x+2nx-n+n(n為正整數(shù)，與軸交于點，，與軸)yxOAD1y2x11交于點AAD?yn與x軸交于點A,AnDn．122(5)求線段AAn的長(用含n的式子表示)；(6)若△DOA的面積與△DAA的面積比為1:125y的解析式．11k1kk8目錄新定義型二次函數(shù)--新定義型二次函數(shù)--新定義型二次函數(shù)--新定義型二次函數(shù)--新定義型二次函數(shù)--新定義型二次函數(shù)--新定義型二次函數(shù)--新定義型二次函數(shù)--新定義型二次函數(shù)--1如果拋物線C的頂點在拋物線CC的頂點也在拋物線CC與C212211141Cy=x2+x與Cy=ax2+x+c：2112AB分別是拋物線CCC經(jīng)過點D(6-1)．122(1)直接寫出AB的坐標(biāo)和拋物線C2的解析式；(2)拋物線C2上是否存在點E△ABEE請說明理由；(3)如圖2F(-63)在拋物線CMN分別是拋物線CCMN的橫坐標(biāo)相112△AFM面積為S(當(dāng)點M與點AF重合時S=0)△ABN的面積為S(當(dāng)點N與點AB重合時，112S=0)S=S+Sy≤yxS的最大值．2121214(1)A(-2-1)B(23)C的解析式為y=-x+x+222(2)E的坐標(biāo)E(6-1)或E(10-13)(3)-2≤x≤2t=2時，S的最大值為161(1)將拋物線C改為頂點式可得A(-2-1)A(-2-1)D(6-1)代入y=ax+x+cy21214=-(x-2)+3B(23)；(2)易得直線AB的解析式：y=x+1①若B為直角頂點，BE⊥ABE(6-1)②若A為直角頂點，AE14⊥ABE(10-13)③若EEm-m+m+21414(3)由y≤y-2≤x≤2Mt，t+tNt-t+t+2-2≤t≤2AF的解析1212式：y=-x-3M作x軸的平行線MQ交AF于QS=t+4t+6ABMN交于點，P(ttP12+1)S=2-t2S=S+S=4t+8t=2時，S的最大值為16．121414(1)拋物線Cy=x+x=(x+2)-111∴A(-2-1)，4a-2+c=-136a+6+c=-1將A(-2-1)D(6-1)代入拋物線Cy=ax+x+c，2214a=-解得：，c=21414∴y=-x+x+2=-(x-2)+3，∴B(23)；(2)設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，-2k+b=-1則，2k+b=3k=1解得：b=1∴直線AB的解析式：y=x+1，①若B為直角頂點，BE⊥ABkBE·k=-1，∴kBE=-1，故可設(shè)直線BE解析式為y=-x+，將B3=-2+，解得：=5，直線BE解析式為y=-x+5．y=-x+5聯(lián)立，1y=-x+x+224x=2x=6y=3y=-1解得，，∴E(6-1)；②若A為直角頂點，AE⊥AB，同理得AE解析式：y=-x-3．y=-x-3聯(lián)立，1y=-x+x+224x=-2x=10y=-1y=-13解得，，∴E(10-13)；214③若EEm-m+m+2由AE⊥BE得kBE·kAE=-1，142142-m+m-1-m+m+1即?=-1，m-2m+2(m+2)(m-2)[(m-2)(m-6)+16]=0，∴m+2=0或m-2=0或(m-2)(m-6)+16=0(無解)，∴解得m=2或-2(不符合題意舍去)，∴點E的坐標(biāo)E(6-1)或E(10-13)；(3)∵y≤y，12∴-2≤x≤2，1414設(shè)Mt，t+tNt-t+t+2，，-2≤t≤2，-2m+n=1-6m+n=3設(shè)直線AF的解析式為y=mx+n，m=-1解得：n=-3∴直線AF的解析式：y=-x-3，M作x軸的平行線MQ交AF于Q，1414則Q-t-t-3t+t，，121∴S=QM?y-y=t+4t+6．FA2設(shè)AB交MN于點P知P(tt+1)，1212S=PN?|x-x|=2-t2，AB∴S=S+S=4t+8，12∴當(dāng)t=2時，S的最大值為16．例系數(shù)相乘等于-11(2023春·福建福州·九年級福建省福州格致中學(xué)?？计谥?y=ax+bx+c(其中ab≠0)與拋物線y=bx+ax+cy=2x+3x+1y=3x+2x+1．已知拋物線C:y=4ax+ax+4a-3a≠0C．12(1)寫出C2的解析式(用含a的式子表示)及頂點坐標(biāo)；(2)若a>0x軸上一點Px軸的垂線分別交拋物線CC于點MN．12①當(dāng)MN=6aP的坐標(biāo)；②當(dāng)a-4≤x≤a-2時，C2的最大值與最小值的差為2aa的值．-2-3(1)y=ax+4ax+4a-3a≠0(2)①P-1,0或2,0②a=2-2或a=2．，(1)(2)①設(shè)Pp,0Mp,4ap+ap+4a-3Np,ap+4ap+4a-3解；②3(1)解：∵拋物線C:y=4ax+ax+4a-3a≠02，根據(jù)題意可得，C2的解析式y(tǒng)=ax+4ax+4a-3a≠0∵y=ax+4ax+4a-3=ax+2-3C頂點為-2-3(2)Pp,0Mp,4ap+ap+4a-3Np,ap+4ap+4a-3∴MN=4ap+ap+4a-3-ap+4ap+4a-3=3ap-3ap∵M(jìn)N=6a∴3ap-3ap=6a∵a≠0∴p-p=±2當(dāng)p-p=2時，解得p=-1p=212當(dāng)p-p=-2∴P-1,0或2,0②∵C2的解析式y(tǒng)=ax+4ax+4a-3a≠0∵y=ax+4ax+4a-3=ax+2-3頂點為-2-3x=-2∵a>0，∴a-2>-2當(dāng)-2-a-4≥a-2--2時a≤1時，函數(shù)的最大值為aa-4+2-3∵C2的最大值與最小值的差為2a-3∴aa-2=2a∵a≠0∴a-2=±2解得a=2-2,a=2+2(a≤1)12∴a=2-2當(dāng)-2-a-4<a-2--2a-4<-2即1<a<2時，函數(shù)的最大值為aa-2+2-3∵C2的最大值與最小值的差為2a∴a=2a-3∵a≠0∴a=±2解得a=2,a=-2(1<a<2)12∴a=2當(dāng)a-4≥-2時a≥2y隨x的增大而增大，函數(shù)的最大值為aa-2+2-3=a-3∵C2的最大值與最小值的差為2aaa-4+2-3=aa-2-3∴a-3-aa-2+3=2a即a-aa-2-2a=0∵a≠04即a-a-2-2=032解得a=(a≥2舍去)綜上所述，a=2-2或a=2．新定義型二次函數(shù)--1(2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模)1y軸交點也相同的兩個二次函數(shù)互為友好同軸二次函數(shù)．例如：y=2x+4x-5的友好同軸二次函數(shù)為y=-x-2x-5．(1)函數(shù)y=-2x+2x+1的對稱軸為．其友好同軸二次函數(shù)為．12(2)已知二次函數(shù)C:y=ax+4ax+4(其中a≠0且a≠1且a≠)C．①若函數(shù)C的圖象與函數(shù)C的圖象交于AB兩點(點A的橫坐標(biāo)小于點B的橫坐標(biāo))AB的12長；②當(dāng)-3≤x≤0C2的最大值與最小值的差為8a的值．12(1)直線x=y=3x-3x+1(2)①4②-1或3(1)(2)①根據(jù)友好同軸二次函數(shù)的定義求出函數(shù)CCCA,B212可得；1②分a<1且a≠0且a≠a>121232122(1)y=-2x+2x+1=-2x-+的對稱軸為直線x=，因為1--2=3，1234所以設(shè)函數(shù)y=-2x+2x+1的友好同軸二次函數(shù)為y=3x-+m=3x-3x++m，314所以+m=1得m=，4所以函數(shù)y=-2x+2x+1的友好同軸二次函數(shù)為y=3x-3x+1，12x=y=3x-3x+1．(2)解：①二次函數(shù)C:y=ax+4ax+4=ax+2+4-4a，1則設(shè)C:y=1-ax+2+b=1-ax+41-ax+4-4a+b，，所以4-4a+b=4得b=4a，所以C:y=1-ax+41-ax+4，y=ax+4ax+4聯(lián)立得：2a-1x+42a-1x=0y=1-ax+41-ax+4解得x=0或x=-4，當(dāng)x=0時，y=4x=-4時，y=16a-16a+4=4，所以A-4,4,B0,4，所以AB=0--4=4；②函數(shù)C:y=1-ax+41-ax+4=1-ax+2+4a的對稱軸為直線x=-2，512(Ⅰ)當(dāng)a<1且a≠0且a≠當(dāng)-3≤x≤-2時，y隨x-2<x≤0時，y隨x的增大而增大，則當(dāng)x=-2時，y4a，當(dāng)x=0時，y4，所以4-4a=8，解得a=-1(Ⅱ)當(dāng)a>1當(dāng)-3≤x≤-2時，y隨x-2<x≤0時，y隨x的增大而減小，則當(dāng)x=-2時，y4a，當(dāng)x=0時，y4，所以4a-4=8，解得a=3綜上，a的值為-1或3．11y軸交點也相同的二次函數(shù)稱為y=3x+6x-3y=-2x-4x-3．1313(1)y=-x2；y=x+x-5．(2)(填入正確的序號)①二次項系數(shù)為112②二次項系為③y=ax-2ax+3y=(1-a)x-2(1-a)x+3．yx軸至少有一個二次函數(shù)有交點．(3)L:y=ax-4ax+1L都與y軸交于點ABC分別在L，121LBC的橫坐標(biāo)均為0<m<2L的對稱軸的稱點分別力21CCB．①若a=3C的值；m②若m=1C鄰邊之比為的值．1:2a6432311-101167613(1)y=x2y=x+2x-5(2)；①②③；(3)①m的值為②的值為-a或或523或(1)根據(jù)題中1y軸交點也(2)根據(jù)題中的性質(zhì)逐個判斷即可得；(3)①Ly=3x-12x+1Ly=-2x+8x+1B的坐標(biāo)為12m,3m-12m+1C的坐標(biāo)為m,-2m+8m+1BCC②當(dāng)m=1時B的坐標(biāo)為1,-3a+1C的坐標(biāo)為1,3a-2線段BCC的鄰邊之比為：出或BC=212=2BC得．1343(1)∵a=1--=，143∴函數(shù)y=-x2y=x；32313132a=1-=x=-=-，132×b32∴-=-，232×∴b=2c=-5，1323∴函數(shù)y=x+x-5y=x+2x-5,423故答案為：y=x；2y=x+2x-5；3(2)∵1-1=0，∴二次項系數(shù)為112∵1÷2=，12∴二次項系數(shù)為由定義，y=ax-2ax+3y=1-ax-21-ax+31212若y=x+x+1y=x+x+1x錯誤；(3)二次函數(shù)Ly=ax-4ax+1的對稱軸為直線x=--4a2a=2Ly=1-ax-41-ax+1．①∵a=3，∴二次函數(shù)Ly=ax-4ax+1=3x-12x+1Ly=1-ax-41-ax+1=-2x+8x+121，∴點B的坐標(biāo)為m,3m-12m+1C的坐標(biāo)為m,-2m+8m+1，∴點的坐標(biāo)為4-m,3m-12m+1的坐標(biāo)為4-m,-2m+8m+1，∴BC=-2m+8m+1-3m-12m+1=-5m+20m，=4-m-m=4-2m，7∵四邊形C為正方形，∴BC=-5m+20m=4-2m，11-10111+101解得：m=∴m的值為m=()，5511-101；5②當(dāng)m=1時B的坐標(biāo)為1,-3a+1C的坐標(biāo)為1,3a-2，∴點的坐標(biāo)為3,-3a+1的坐標(biāo)為3,3a-2，∴BC=3a-2--3a+1=6a-3=3-1=2，∵四邊形C的鄰邊之比為12，∴BC=2或=2BC，即6a-3=2×2或2=26a-3，16761323解得：a=-a=a=a=，16761323∴a的值為-或或或．函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．新定義型二次函數(shù)--1(2023秋·江西南昌·九年級南昌市第十七中學(xué)校考期末)如下過程：求解體驗：(1)已知拋物線y=-x+bx-3經(jīng)過點-1,0b=0,1成中心對稱的拋物線表達(dá)式是．抽象感悟：y=ax+bx+ca≠0軸上的點yM(2)已知拋物線y=-x-2x+5關(guān)于點0,m的衍生拋物線為m的取值范yM0,mM對稱圍．問題解決：(3)已知拋物線y=ax+2ax-ba≠0．8①若拋物線y的衍生拋物線為=bx-2bx+a2b≠0ab的值及衍生中心的坐標(biāo)；②若拋物線y關(guān)于點0,k+12的衍生拋物線為y10,k+22的衍生拋物線為2A1y頂點為A?0,k+n的衍生拋物線為n2yAn，?(n為正整數(shù)．求)AA的長用(21含n的式子表示)．(1)-4-2,1y=x-4x+5；(2)m≤5a=3(3)①0,6②4n-2b=-3(1)把-1,0代入y=-x+bx-3即可求出b=-40,10,1成中心對稱的拋物線的表達(dá)式；(2)先求出拋物線y=-x-2x+5的頂點是-1,6-1,6關(guān)于0m的對稱點是12m-6y'=x-1+2m-6-x+1+6=x-1+2m-6m的取值范圍即可；(3)①先求出拋物線y=ax+2ax-ba≠0以及拋物線y的衍生拋物線為=bx-2bx+a2b≠0ab的值及再根據(jù)中點坐標(biāo)公式即可求出衍生中心的坐標(biāo)；②BBBB?BB分別是AAA△AAA?△AAA的中位1223n11223n1AA=2BBAA=2BB?AA=2BB1AA1的12122323n(1)解-1,0代入y=-x+bx-3b=-4，∴y=-x-4x-3=-x+2+1，∴頂點坐標(biāo)是-2,1，∵-2,1關(guān)于0,1的對稱點2,1，∴成中心對稱的拋物線表達(dá)式是：y=x-2+1，即y=x-4x+5故答案為：-4-2,1y=x-4x+5，；(2)∵y=-x-2x+5=-x+1+6，∴頂點是-1,6∵-1,6關(guān)于0m的對稱點是12m-6，∴y'=x-1+2m-6，∵兩拋物線有交點，∴-x+1+6=x-1+2m-6有解，∴x=5-m有解，∴5-m≥0，∴m≤5；(3)①∵y=ax+2ax-b=ax+1-a-b，∴頂點-1,-a-b，9代入=bx-2bx+a2得：①b+2b+a=-a-b∵=bx-2bx+a=bx-1+a-b，∴頂點1,a-b，代入y=ax+2ax-b得：a+2a-b=a-b②a+a+4b=0a-3a=0由①②得，∵a≠0b≠0，a=3∴，b=-3∴兩頂點坐標(biāo)分別是-1,0，1,12，由中點坐標(biāo)公式得的坐標(biāo)是06；②AAAA?AAAA與y軸分別相于BB?BB1，12n112n則A,AA,A?A,AA,A分別關(guān)于BB?BB中心對稱，12n112n1∴BBBB?BB分別是△AAA△AAA?△AAA的中位1223n11223n1線，∴AA=2BBAA=2BB?AA=2BB1，12122323n∵B0k+n2B10k+n-12，n∴AA=2BB=2k+n2-k-n-12=4n-2．助數(shù)形結(jié)合思想解決問題是關(guān)鍵．1y=ax+bx+c(a≠0)軸上的點y，為M(0m)M成中心對稱的拋物線y'y'為拋物線yM(1)已知拋物線y=-x+bx-3經(jīng)過點(-10)b=(01)成中心對稱的拋物線的表達(dá)式是；(2)已知拋物線y=-x-2x+5關(guān)于點(0m)的衍生拋物線為y'm的取值范圍；(3)已知拋物線y=ax+2ax-b(a≠0)．若拋物線y關(guān)于點(0k+1)的衍生拋物線為yA11于點(0k+2)的衍生拋物線為2；yA?，(0k+n)yA的衍生拋物線為nn；2?(n為正整數(shù))AA1的長(用含n的式子表示)．10(1)b=-4(-21)y=x-4x+5(2)m≤5(3)4n+2；；(1)利用待定系數(shù)法求出b(0-3)(-21)和(0-3)關(guān)于(01)(2)求出拋物線的頂點坐標(biāo)(-16)(3)求出拋物線頂點關(guān)于(0k+n)和(0k+(n+1))(1)∵拋物線y=-x+bx-3經(jīng)過點∴-1-b-3=0，，，(-10)∴b=-4，∴拋物線解析式為y=-x-4x-3=-(x+2)+1，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為(-21)，∴拋物線的頂點坐標(biāo)(-21)關(guān)于(01)的對稱點為(21)，(21)，y=-x-4x-3中x=0，∴y=-3，∴(0-3)關(guān)于點(01)的對稱點坐標(biāo)為(05)，設(shè)新拋物線的解析式為y=a(x-2)+1∵點(05)在新拋物線上，∴5=a(0-2)+1，，∴a=1，∴新拋物線解析式為y=(x-2)+1=x-4x+5，故答案為-4(-21)y=x-4x+5；(2)∵拋物線y=-x-2x+5=-(x+1)+6①，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為(-16)，設(shè)衍生拋物線為y′=a(x-1)+2m-6，∵拋物線y=-x-2x+5關(guān)于點(0m)的衍生拋物線為y′，∴a=1，∴衍生拋物線為y′=(x-1)+2m-6=x-2x+2m-5②，聯(lián)立①②得，x-2x+2m-5=-x-2x+5整理得，2x=10-2m，，∵這兩條拋物線有交點，∴10-2m≥0，11∴m≤5；(3)拋物線y=ax+2ax-b的頂點坐標(biāo)為(-1-a-b)，∵點(-1-a-b)關(guān)于點(0k+n)的對稱點為(1a+b+2k+2n)，∴拋物線y的頂點坐標(biāo)A為(1a+b+2k+2n)，nn同理：A(1a+b+2k+2(n+1))∴AA=a+b+2k+2(n+1)-(a+b+2k+2n)=4n+2．新定義型二次函數(shù)--1x例如：y=x-1-2y=-x-1+2．(1)請寫出拋物線y=x-1-2的頂點坐標(biāo)y=-x-1+2的頂點坐1232標(biāo)y=-x-1+．(2)B是拋物線Ly=ax-4ax+1B的橫坐標(biāo)為1B作xLCBC關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點接BC、C的面積為SS>0．①當(dāng)四邊形C的值．a(chǎn)②當(dāng)拋物線L(不包括邊界)共有11a的取值范圍．123215(1)1,-212y=x-1-23414(2)①a=②<a≤1或-≤a<-3(1)根據(jù)頂點式y(tǒng)=ax-h+khk的頂點坐標(biāo)為，的解析式；(2)①寫出點Ba②先由對稱性分析得到封閉區(qū)域內(nèi)在xL開口的不同進(jìn)行分類討論．(1)解y=x-1-2知頂點坐標(biāo)為，1-2y=-x-1+212知頂點坐標(biāo)為，，12321232∴拋物線y=-x-1+為y=x-1-；132故答案為：1,-212y=x-1-．212(2)①當(dāng)x=1時，y=1-3a，∴B11-3a，∴C13a-1，∴BC=1-3a-3a-1=2-6a，-4a2a∵拋物線L的對稱軸為直線x=-=2，∴點31-3a，∴=3-1=2，∵四邊形C是正方形，∴BC=2-6a=2，23解得：a=0(舍)或a=．②拋物線L的對稱軸為直線x=221-4a，∵L關(guān)于x軸對稱，∴整點數(shù)也是關(guān)于x軸對稱出現(xiàn)的，∴封閉區(qū)域內(nèi)在x軸上的整點可以是3個或5個，L與x軸圍成的區(qū)域內(nèi)整點個數(shù)為4個或3個，(i)當(dāng)a>0時，∵Ly軸交于點01，∴封閉區(qū)域內(nèi)在x軸上只可能有34個整點，∴當(dāng)x=1時，-2≤1-3a<-1x=2時，-3≤1-4a<-2，3解得：<a≤1；4(ii)當(dāng)a<0時，∵Ly軸交于點01，∴封閉區(qū)域內(nèi)在x軸上只可能有53個整點，∴當(dāng)x=2時，1<1-4a≤2x=-1時，5a+1<0，1415解得：-≤a<-，341415綜上所述：<a≤1或-≤a<-．同軸對稱拋物．新定義型二次函數(shù)--1二次函數(shù)y=x-2mx的圖象交軸于原點及點．xOA13(1)當(dāng)m=11Ly=x-2x上的點BOCAD分別關(guān)于點A中心對稱的點為，BC??O0,0A(______)D3,3??-1,31,-1BOD3,1A2,05,-34,01,-3①補全表格；②在圖1．我們發(fā)現(xiàn)形如(1)中的圖象上的點和拋物線上的點關(guān)于點Am=-22中的拋物線(2)①當(dāng)m=-1L的函數(shù)值都隨著xx的取值范圍為；②若二次函數(shù)y=x-2mxy=m的值m；my=x-2mx的．(1)①2,0②見解析；18(2)①-3≤x≤-1②±1③y=x2(1)①根據(jù)中心對稱的定義求解即可；②(2)①②根據(jù)的性質(zhì)求得圖象L的頂點為Pm-m2L′的頂點為3m,m2③y=x-2mx為y=-x-2mx-4m=-x+6mx-8m2的解析式為My=x+x+，+1x+-6mx++8m2=0M與=-1m使得-6m=0≠-1Δ=-6m-4+1+8m2=0mm取任意實數(shù)36-32+1=0-12=0b-4+1=014(1)解：①∵點B-1,3與點5,-3A關(guān)于點中心對稱，-1+5-3+3∴點A的坐標(biāo)為,A2,0，22故答案為：20；②(2)解：①當(dāng)m=-1L為y=x+2xx=-1，∴它的的解析式為y=-x+2x+4x=-2+42=-3，畫出草圖如圖所示：∴拋物線L與它的的函數(shù)值都隨著x的增大而減小，則x的取值范圍為：-3≤x≤-1；②Ly=x-2mx=x-m-m2Pm-m2，PPM⊥x作軸于點”M的頂點為作M⊥x軸于點M，由題意得：△PMA≌△MA，∴M3m,0，∴3m,m2，∵拋物線L與直線y=m有且只有三個交點，15∴-m=m或m=m，解得m=m=±10，當(dāng)m=0時，y=x2與y=-x2∴m=±1．③y=x-2mx為∴設(shè)符合條件的拋物線M的解析式為y=x+x+，∴x+x+=-x+6mx-8m2，y=-x-2mx-4m=-x+6mx-8m2，整理得：+1x+-6mx++8m2=0，∵拋物線M與有唯一交點，當(dāng)a=-1使得-6m=0，當(dāng)am≠-1Δ=-6m-4+1+8m2=0，時，即-12m+36m-4+1?8m-4+1=0，整理得：36-32+1m-12m+-4+1=0，∵當(dāng)m∴當(dāng)m36-32+1=0∴-12=0，b-4+1=018=解得：=0，=01∴該函數(shù)解析式為y=x．818故答案為：y=x2函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．新定義型二次函數(shù)--1x=ax≤ax=ax≥ax=a右側(cè)的拋物線的部分，則我們將像這樣的兩條拋物線稱為關(guān)于直線x=a的一對y=(x+1)2x≤0就是關(guān)于直線y=(x-1)2x≥0x=0(y軸的)與拋物線一對伴隨拋物線．16(1)求拋物線y=(x+1)+3x≤1.5關(guān)于直線x=1.5(2)設(shè)拋物線y=mx-2mx+2m≠0m≠4交y軸于點Ax=4于點B．①求直線AB平行于x軸時的m的值．②求∠AOB是直角時拋物線y=mx-2mx+2關(guān)于直線x=4③已知點CD的坐標(biāo)分別為8280y=mx-2mx+2及其關(guān)于直線x=4OACD不同的邊有四個公共點時m的取值范圍．的(1)y=(x-4)+3x≥1.514-514+52-52+5(2)①m=2②或③m<或m>且m≠4或0<m<32．2222(1)先求出(2)①先求出點ABm的值；②根據(jù)∠AOB是直角確定B點在xBm的值即原拋③當(dāng)B點在xy=mx-2mx+2及其關(guān)于直線m的取值范圍便可．x=4與矩形OACD(1)∵拋物線y=(x+1)+3(x≤1.5)的頂點坐標(biāo)∴(-1,3)關(guān)于直線x=1.5的對稱點坐標(biāo)為(4,3)(-1,3)，∴所對應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式為：y=(x-4)+3(x≥1.5)；(2)①∵拋物線y=mx-2mx+2(m≠0,m≠4)交y軸于點A，∴點A(0,2)，∵直線AB平行于xx=4于點B．∴點B(4,2)，∴2=16m-8m+2，∴m=0(舍去)m=2，∴m=2；②如圖1和圖2，17∵∠AOB=90°，∴點B在x軸上，∴點B的坐標(biāo)是(4,0)，把(4,0)代入y=mx-2mx+216m-8m+2=0，2+52-5解得，m=或，22-2m22m∵y=mx-2mx+2的頂點橫坐標(biāo)為：x=-=m，2+52-5即拋物線y=mx-2mx+2的頂點橫坐標(biāo)為或，22則拋物線y=mx-2mx+2關(guān)于直線x=4的頂點橫坐標(biāo)為：2+514-52-514+54+4-=4+4-=，222214-514+5∴的頂點橫坐標(biāo)為③如圖3和圖4，或；22∵點CD的坐標(biāo)分別為(8,2)(8,0)A(0,2)y=mx-2mx+2及其關(guān)于直線x=4伴隨拋與矩形OACD不同的邊有四個公共點，∴點B在x軸下方，設(shè)B(4,n)n<0，把B(4,n)代入y=mx-2mx+2n=16m-8m+2，∴n=16m-8m+2<0，∴由二次函數(shù)n=16m-8m+2圖象可知，2-5當(dāng)m<0n<0m<當(dāng)m>0n<0m>；22+52．又∵m≠4，2+5∴m>故m<且m≠4，2+522-52或m>且m≠4．2當(dāng)點B在線段AC上時，16m-8m+2=2此時拋物線的頂點的縱坐標(biāo)小于0當(dāng)點B在ACAC與ODm=2，1816m-8m+2>2-m+2>0則有，0<m<32，2-52+5m的值為m<或m>且m≠4或0<m<32．22拋物線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)以及新定義的問(2)問的關(guān)鍵是運用了數(shù)形結(jié)合和分類思想解決問題．新定義型二次函數(shù)--1y=ax-h2+ka≠0AxCAC的頂點為軸交于點為對角線的正方形ABCD的另兩頂點BDy=ax-h+ka≠0稱為美麗拋ABCD為它的內(nèi)接正方形．12(1)當(dāng)拋物線y=ax+1是美麗拋物線時，a=y=x+k是美麗拋物線時，k=．(2)若拋物線y=ax+kak數(shù)量關(guān)系．(3)若拋物線y=ax-h+ka≠0是美麗拋物線，(2)中ak16(4)已知系列美麗拋物線y=ax-n+k(n為正整數(shù)，1≤n≤6)的頂點為均在直線y=xnnn們中恰有兩個美麗拋物線y=ax-s+k與，為正整數(shù)，y=ax-t+k(st，的內(nèi)1≤s≤61≤t<6)sssttt接正方形的面積之比為14a+a的值．st(1)-2-4(2)ak=-2(3)(4)-18或-9或-6(1)ACAC=BDBD關(guān)于對稱軸對稱可得BD(2)同(1)的方法得BD(3)分a<0a>0D12(4)k2k:k=1:2s:t=1:2st據(jù)題中s,t的范圍得出s,tkak=-2即可求解．解：(1)∵拋物線y=ax+1中∴對稱軸是x=00,1，x=0y=1，∴對稱軸與x軸交于點C的坐標(biāo)是0,0，∴AC=1，19∵正方形ABCD中，ACBD是對角線，∴AC=BD=1，又∵由題意得，BD關(guān)于對稱軸對稱，111122112211∴B-,D,或B,D-,，222211∴將,代入拋物線y=ax+1221412a+1=a=-2；12∵拋物線y=x+k中x=0y=k，∴對稱軸是x=00,k，∴對稱軸與x軸交于點C的坐標(biāo)是0,0，∴AC=k，∵正方形ABCD中，ACBD是對角線，∴AC=BD=k，又∵由題意得，BD關(guān)于對稱軸對稱，kk22kk22kk22kk∴B-,D,或B,D-,，22kk12∴將,代入拋物線y=x+k22k212k×+k=，42解得：k=0()k=-4，12∴k=-4；故答案為：-2-4；(2)ak=-2，∵拋物線y=ax+kx=0y=k，∴對稱軸是x=00,k，∴對稱軸與x軸交于點C的坐標(biāo)是0,0，∴AC=k，∵正方形ABCD中，ACBD是對角線，∴AC=BD=k，又∵由題意得，BD關(guān)于對稱軸對稱，kk22kk22kk22kk∴B-,D,或B,D-,，22kk22∴將,代入拋物線y=ax+kk24k2a×+k=，解得：ak=-2k=0()；∴ak=-2；(3)ak數(shù)量關(guān)系仍成立．當(dāng)a<0時，∵拋物線y=ax-h+ka≠0ABCD，又∵點AAC是對稱軸，20∴AC=BD=kBD⊥AC，kk22∴點D的坐標(biāo)為h+,，∵點D在拋物線y=ax-h+ka≠0，k2k2k2ak242∴=ah+-h+k得-=，∴ak=-2；當(dāng)a>0ak=-2．∴若拋物線y=ax-h+ka≠0是美麗拋物線，ak數(shù)量關(guān)系仍為ak=-2；1(4)k2，216∵系列美麗拋物線y=ax-n+k(n為正整數(shù)，1≤n≤6)的頂點為均在直線y=x上，nnn∴k≥0，∵美麗拋物線y=ax-s+k與y=ax-t+k的內(nèi)接正方形的面積之比為14，sssttt∴k:k=1:2，st16∵s,k，t,k在直線y=x上，ts∴s:t=1:2，∵st為正整數(shù)，1≤s≤61≤t<6，s=1t=2s=2t=4s=3t=6或∴∴或，11k=k=12k=6或3或，s1323k=k=k=1∵ak=-2，a=-12a=-6a=-6a=-3a=-4a=-2s或∴或，∴a+a=-18或-9或-6．st新定義型二次函數(shù)--1(1)如圖1y=-x-x+1y=-x-2x+1y=-x-3x+1123；①拋物線yyy都經(jīng)過點C(0,1)；12312②拋物線yy的對稱軸由拋物線y的對稱軸依次向左平移個單位得到；231③拋物線yyy與直線y=112321(2)把滿足y=-x-nx+1(n為正整數(shù))在(2)2．P,P,P,?,Pn的代數(shù)式表示頂點P123nn坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x之間的關(guān)系式；(C,C,C,?,C123n-k-1,-k-2,-k-3,?,-k-n(k為正整數(shù))y=1A,A,A,?,A連接CA,CA1CA,C1123nnnnnA1是否平行？并說明理由．nn2(1)①②③(2)①n-,+1y=x+1②③Cn24An與CA1不平行,理由見解析(1)①當(dāng)x=0yyyy=y=y=1；1231233212②y=-x-2x+1y=-x-3x+1，的對稱軸分別為x=-1x=-，，y=-x-x+1的對稱軸x=-，31③當(dāng)y=1時-x-x+1=1x=0x=-1-x-2x+1=1或；或；x=0x=-2-x-3x+1=1x=0或x=-31，n2n+44(2)①y=-x-nx+1的頂點為-，y=x+1；n②橫坐標(biāo)分別為-k-1-k-2-k-3?-k-n(k為正整數(shù))x=-k-n時，y=-k-nk+1坐標(biāo)分別為-k-k+1-k-2k+1-k-3k+1?-k-nk+11+k2；，，，，③由題可知C(-k-n,-k-nk+1)C(-k-n+1,-k-nk+k+1)A(-n,1)A(-n+1,1)，，，．比1n1較∠DAC≠∠EAC1CA與CA1不平行．.nnnn(1)①當(dāng)x=0yyyy=y=y=1①正確；12313223②y=-x-2x+1y=-x-3x+1，的對稱軸分別為，x=-1x=-，312y=-x-x+1的對稱軸x=-，1121232由x=-向左移動得到x=-1得到x=-，2②正確；③當(dāng)y=1時-x-x+1=1∴x=0或x=-1；，-x-2x+1=1，22∴x=0或x=-2；-x-3x+1=1，∴x=0或x=-3；∴相鄰兩點之間的距離都是1，③正確；故答案為①②③；n2n+44(2)①y=-x-nx+1的頂點為-，，nn2n+44令x=-y=，∴y=x+1；②相鄰兩點之間的距離都相等．C(-k-n,-k-nk+1)C，(-k-n+1,-k-nk+k+1)．∴CC1兩點之間的鉛直高度=-k-nk+k+1-(-k-nk+1)=k．CC1兩點之間的水平距離=-k-n+1-(-k-n)=1．∴由勾股定理得CC=k+1．∴CC=k+1．③CA與CA1不平行．nn理由：根據(jù)題意得：C(-k-n,-k-nk+1)C(-k-n+1,-k-nk+k+1)A(-n,1)A(-n+1,1)．，，，1n1過CnC1分別作直線y=1DE，所以D(-k-n,1)E(-k-n+1,1)．在RtΔDAC中，nnCDAD1-(-k-nk+1)-n-(-k-n)k+nktan∠DAC====k+n．k+nk-knnk在RtΔEAC1中，C1A1EE1-(-k-nk+k+1)-n+1-(-k-n+1)tan∠EAC1====k+kn-1．∵k+n-1≠k+n，∴tan∠DAC≠tan∠EAC1．nn∴∠DAC≠∠EAC1，nn∴CA與CA1不平行．nn1y=-nx-1434nx+n+1(n為正整數(shù)．系列拋物線的頂點分)別為MMM?M．123n(1)下列結(jié)論正確的序號是．32①系列拋物線的對稱軸是直線x=-；23②系列拋物線有公共交點-4,1和1,1；14③系列拋物線都是由拋物線y=-x2平移所得；④任意兩條相鄰拋物線頂點的距離相等；(2)對于任意一條與x軸垂直的直線x=aNNN?N．123n①當(dāng)a=0時，NN1=；NN1由；③以NN1a的值．(1)①②④1434-7-41(2)①-1②NnNn=a+a-1③a的值為或21+41．2(1)根據(jù)拋物線的對稱軸143414(2)根據(jù)題意求得NnNn=yn-yn=a+a-1①令a=0②相等距離就是a21134+a-1③(1)3-nb2a324x=-=-=-12×-n4143414yn=-nx-nx+n+1=-nx+3x-4+1，令x+3x-4=0得x=-4x=1，，