高中數(shù)學(xué) 第3章綜合能力檢測課時練習(xí) 新人教A版必修3

第三章綜合能力檢測時間120分鐘，滿分150分。一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中只有一個是符合題目要求的)1．老師為研究男女同學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的差異情況，對某班50名同學(xué)(其中男同學(xué)30名，女同學(xué)20名)采取分層抽樣的方法，抽取一個樣本容量為10的樣本進行研究，求女同學(xué)甲被抽到的概率為()A.eq\f(1,50) B.eq\f(1,10)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,4)[答案]C[解析]因為在分層抽樣中，任何個體被抽取的概率均相等，所以某女同學(xué)甲被抽到的概率為P＝eq\f(10,50)＝eq\f(1,5)，故應(yīng)選C.2．有分別寫著數(shù)字1到120的120張卡片，從中取出1張，這張卡片上的數(shù)字是2的倍數(shù)或是3的倍數(shù)的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,7) D.eq\f(2,3)[答案]D[解析]2的倍數(shù)有60個，3的倍數(shù)有40個，6的倍數(shù)有20個，∴P＝eq\f(60＋40－20,120)＝eq\f(2,3).3．在區(qū)間(10,20]內(nèi)的所有實數(shù)中隨機取一個實數(shù)a，則這個實數(shù)a<13的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,7)C.eq\f(3,10) D.eq\f(7,10)[答案]C[解析]長度型幾何概型，概率為eq\f(3,10).4．在200個產(chǎn)品中，一等品有60個，二等品有120個，三等品有20個，用分層抽樣的方法抽取一個容量20的樣本，則二等品中A被抽取到的概率()A．等于eq\f(1,5) B．等于eq\f(1,10)C．等于eq\f(2,3) D．不確定[答案]B[解析]每一個個體被抽到的概率都相等，等于eq\f(20,200)＝eq\f(1,10).5．一個正四面體的玩具，各面分別標有1,2,3,4中的一個數(shù)字，甲、乙兩同學(xué)玩游戲，每人拋擲一次，朝下一面的數(shù)字和為奇數(shù)甲勝，否則乙勝，則甲勝的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)[答案]B[解析]用(x，y)表示第一次拋擲朝下面的數(shù)字為x，第二次拋擲朝下一面的數(shù)字為y，則x，y的所有可能結(jié)果如表第二次第一次12341(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)共有基本事件16個，其中和為奇數(shù)的基本事件有(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,3)，∴所求概率P＝eq\f(8,16)＝eq\f(1,2).6．如右圖所示，在一個邊長為a、b(a>b>0)的矩形內(nèi)畫一個梯形，梯形上、下底分別為eq\f(1,3)a與eq\f(1,2)a，高為b.向該矩形內(nèi)隨機投一點，則所投的點落在梯形內(nèi)部的概率是()A.eq\f(7,10) B.eq\f(5,7)C.eq\f(5,12) D.eq\f(5,8)[答案]C[解析]由幾何概型知P＝eq\f(\f(1,2)(\f(1,3)a＋\f(1,2)a)b,ab)＝eq\f(5,12).7．擲兩顆骰子，事件“點數(shù)之和為6”的概率是()A.eq\f(1,11) B.eq\f(1,9)C.eq\f(5,36) D.eq\f(1,6)[答案]C[解析]擲兩顆骰子，每顆骰子有6種可能結(jié)果，所以共有6×6＝36個基本事件，這些事件出現(xiàn)的可能性是相同的；事件“點數(shù)之和為6”包括的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共有5個．∴P＝eq\f(5,36).故選C.8．設(shè)A為圓周上一點，在圓周上等可能的任取一點與A連接，則弦長超過半徑eq\r(2)倍的概率是()A.eq\f(3,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(3,5)[答案]B[解析]作等腰直角三角形AOC和AMC，B為圓上任一點，則當點B在上運動時，弦長|AB|>eq\r(2)R，∴P＝eq\f(1,2).9．已知正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)有一個內(nèi)切球O，則在正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)任取點M，點M在球A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,8)C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,12)[答案]C[解析]設(shè)正方體棱長為a，則正方體的體積為a3，內(nèi)切球的體積為eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))3＝eq\f(1,6)πa3，故點M在球O內(nèi)的概率為eq\f(\f(1,6)πa3,a3)＝eq\f(π,6).10．袋中有紅、黃、綠色球各一個，每次任取一個，有放回地抽取三次，球的顏色全相同的概率是()A.eq\f(1,27) B.eq\f(1,9)C.eq\f(2,9) D.eq\f(2,27)[答案]B[解析]有放回地取球三次，共有不同結(jié)果33＝27種，其中球的顏色全相同的取法有3種，∴所求概率P＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9).11．設(shè)l是過點A(1,2)斜率為k的直線，其中k等可能的從集合{－1，－eq\f(1,2)，0，eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，eq\f(4,3)，2,3}中取值，則原點到直線l的距離大于1的概率為()A.eq\f(3,8) B.eq\f(5,8)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,4)[答案]B[解析]l：y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，由題意eq\f(|－k＋2|,\r(1＋k2))>1，∴k2－4k＋4>1＋k2，∴k<eq\f(3,4)，故當k<eq\f(3,4)時，事件A＝“原點到直線l的距離大于1”發(fā)生，∴P(A)＝eq\f(5,8).12．為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100名年齡為17.5歲～18歲的男生體重(kg)，得到頻率分布直方圖如下：根據(jù)上圖可得這100名學(xué)生中體重在[56.5,64.5]的學(xué)生人數(shù)是()A．20 B．30C．40 D．50[答案]C[解析]∵體重在[56.5,64.5]間的頻率為：2(0.03＋2×0.05＋0.07)＝0.4.∴學(xué)生人數(shù)為0.4×100＝40人．二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上)13．口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、黃球、白球，從中摸出一個球，摸出紅球或白球的概率為0.65，摸出黃球或白球的概率是0.6，那么摸出白球的概率是______．[答案]0.25[解析]設(shè)摸出紅球、白球、黃球的事件分別為A、B、C，由條件P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.65，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.6，又P(A∪B)＝1－P(C)，∴P(C)＝0.35，∴P(B)＝0.25.14．在邊長為2的正△ABC所在平面內(nèi)，以A為圓心，eq\r(3)為半徑畫一弧，分別交AB、AC于D、E.若在△ABC這一平面區(qū)域內(nèi)任丟一粒豆子，則豆子落在扇形ADE內(nèi)的概率是________．[答案]eq\f(\r(3)π,6)[解析]由題意知，△ABC中BC邊上的高AO正好為eq\r(3)，∴弧與AB相切，如圖．S扇形＝eq\f(1,2)·eq\f(π,3)·eq\r(3)·eq\r(3)＝eq\f(π,2)，S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，∴P＝eq\f(S扇形,S△ABC)＝eq\f(\r(3)π,6).15．隨意安排甲、乙、丙三人在3天節(jié)日中值班，每人值班1天，甲排在乙之前的概率是________．[答案]eq\f(1,2)[解析]甲、乙、丙三人排在三天中值班，每人1天，故甲在乙前和乙在甲前的機會相等，∴概率為eq\f(1,2).16．某汽車站每天均有3輛開往省城濟南的分為上、中、下等級的客車，某天袁先生準備在該汽車站乘車前往濟南辦事，但他不知道客車的車況，也不知道發(fā)車順序．為了盡可能乘上上等車，他采取如下策略：先放過第一輛，如果第二輛比第一輛好則上第二輛，否則上第三輛．那么他乘上上等車的概率為________．[答案]eq\f(1,2)[解析]共有6種發(fā)車順序①上、中、下②上、下、中③中、上、下④中、下、上⑤下、中、上⑥下、上、中(其中畫橫線的表示袁先生所乘的車)，所以他乘坐上等車的概率為eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).三、解答題(本大題共6個大題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本題滿分12分)指出下列事件是必然事件，不可能事件，還是隨機事件？(1)每天早晨，太陽從東方升起；(2)在標準大氣壓下，水的溫度達到80°C(3)某地3月4日出現(xiàn)沙塵暴天氣；(4)某尋呼機在一分鐘內(nèi)接到8次尋呼．[解析](1)每天早晨，太陽從東方升起是必然現(xiàn)象，所以是必然事件；(2)因為在標準大氣壓下，水的溫度達到100°C(3)某地出現(xiàn)沙塵暴天氣是偶然的，因而在3月4日可能出現(xiàn)沙塵暴天氣，也可能是晴天，故該事件是隨機事件；(4)某尋呼機在一分鐘內(nèi)接到的尋呼次數(shù)也可能低于8次，還可能高于8次，故該事件亦是隨機事件．[點評]本例的求解關(guān)鍵在于準確理解幾種事件各自的概念，注意判斷的前提是在一定條件之下．例如(2)，若沒有“標準大氣壓”這一條件，水在80°C時也可能會沸騰．18．(本題滿分12分)某城市有甲、乙兩種報紙供居民們訂閱，記事件A為“只訂甲報”，事件B為“至少訂一種報”，事件C為“至多訂一種報”，事件D為“不訂甲報”，事件E為“一種報也不訂”．判斷下列每對事件是不是互斥事件；如果是，再判斷它們是不是對立事件．(1)A與C(2)B與E(3)B與D(4)B與C(5)C與E[解析](1)由于事件C“至多訂一種報”中有可能只訂甲報，即事件A與事件C有可能同時發(fā)生，故A與C不是互斥事件．(2)事件B“至少訂一種報”與事件E“一種報也不訂”是不可能同時發(fā)生的，故B與E是互斥事件．由于事件B發(fā)生可導(dǎo)致事件E一定不發(fā)生，且事件E發(fā)生會導(dǎo)致事件B一定不發(fā)生，故B與E還是對立事件．(3)事件B“至少訂一種報”中有可能只訂乙報，即有可能不訂甲報，即事件B發(fā)生，事件D也可能發(fā)生，故B與D不互斥．(4)事件B“至少訂一種報”中有這些可能：“只訂甲報”、“只訂乙報”、“訂甲、乙兩種報”，事件C“至多訂一種報”中有這些可能：“什么也不訂”、“只訂甲報”、“只訂乙報”，由于這兩個事件可能同時發(fā)生，故B與C不是互斥事件．(5)由(4)的分析，事件E“一種報也不訂”只是事件C的一種可能，故事件C與事件E有可能同時發(fā)生，故C與E不互斥．[點評]由對立事件的定義可知，對立事件首先是互斥事件，并且其中一個一定要發(fā)生，因此兩個對立事件一定是互斥事件，但兩個互斥事件卻不一定是對立事件．解題時一定要搞清兩種事件的關(guān)系．19．(本題滿分12分)任選一個三位數(shù)，求恰好是100的倍數(shù)的概率．[解析]三位數(shù)共有900個，其中是100的倍數(shù)的三位數(shù)有9個，∴所求概率為P＝eq\f(9,900)＝0.01.20．(本題滿分12分)5張獎券中有2張是中獎的，首先由甲抽一張，然后由乙抽一張，求：(1)甲中獎的概率P(A)．(2)甲、乙都中獎的概率P(B)．(3)只有乙中獎的概率P(C)．(4)乙中獎的概率P(D)．[解析]將5張獎券編號為1,2,3,4,5，其中4、5為中獎獎券，用(x，y)表示甲抽到號碼x，乙抽到號碼y，則所有可能抽法構(gòu)成集合Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}．(1)甲中獎包含8個基本事件，∴P(A)＝eq\f(8,20)＝eq\f(2,5).(2)甲、乙都中獎包含2個基本事件，∴P(B)＝eq\f(2,20)＝eq\f(1,10).(3)只有乙中獎包含6個基本事件，∴P(C)＝eq\f(6,20)＝eq\f(3,10).(4)乙中獎包含8個基本事件，∴P(D)＝eq\f(8,20)＝eq\f(2,5).21．(本題滿分12分)一個口袋里有2個紅球和4個黃球，從中隨機地連取3個球，每次取一個，記事件A＝“恰有一個紅球”，事件B＝“第3個是紅球”．求(1)不放回時，事件A，B的概率．(2)每次抽后放回時，A，B的概率．[解析](1)由不放回抽樣可知，第一次從6個球中抽一個，第二次只能從5個球中取一個，第三次從4個球中取一個，基本事件共6×5×4＝120個，又事件A中含有基本事件3×2×4×3＝72個，(第一個是紅球，則第2、3個是黃球，取法有2×4×3種，第2個是紅球和第3個是紅球取法一樣多)∴P(A)＝eq\f(72,120)＝eq\f(3,5).第3次抽到紅球?qū)η皟纱螞]有什么要求，因為紅球數(shù)占總球數(shù)的eq\f(1,3)，在每一次抽到都是隨機地等可能事件，∴P(B)＝eq\f(1,3).(2)由放回抽樣知，每次都是從6個球中取一個，有取法63＝216種，事件A包含基本事件3×2×4×4＝96種．∴P