2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 50 第六章 第七節(jié) 空間距離

第七節(jié)空間距離考試要求：1．理解點(diǎn)線距、線線距、線面距、面面距的概念與向量表示．2．會(huì)利用向量求空間距離．自查自測(cè)知識(shí)點(diǎn)一點(diǎn)到直線的距離如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，點(diǎn)F，G分別為AB，CC1的中點(diǎn)，則點(diǎn)D到直線GF的距離為_(kāi)_______．2解析：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0，0，0)，F(xiàn)(1，1，0)，G(0，2，1)，所以GF＝(1，－1，－1)，DF＝(1，1，0)．取a＝DF＝(1，1，0)，u＝GFGF所以點(diǎn)D到直線GF的距離為a2核心回扣已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點(diǎn)，P是直線l外一點(diǎn)．如圖，設(shè)AP＝a，則向量AP在直線l上的投影向量AQ＝(a·u)u.點(diǎn)P到直線l的距離|PQ|＝AP2－自查自測(cè)知識(shí)點(diǎn)二點(diǎn)到平面的距離判斷下列說(shuō)法的正誤，正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”．(1)若平面α上不共線的三點(diǎn)到平面β的距離相等，則α∥β.(×)(2)若直線l平行于平面α，則l上各點(diǎn)到α的距離相等．(√)(3)若直線l上兩點(diǎn)到平面α的距離相等，則l∥α.(×)(4)點(diǎn)到直線的距離就是該點(diǎn)與直線上任一點(diǎn)連線的長(zhǎng)度．(×)核心回扣如圖所示，已知AB為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，則點(diǎn)B到平面α的距離為BO＝AC·【常用結(jié)論】異面直線AB與CD間的距離公式：d＝AC·nn，其中應(yīng)用在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，則異面直線AB與A1C之間的距離為_(kāi)_______．22解析：如圖，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(4，0，0)，B(4，4，0)，C(0，4，0)，A1(4，0，4)，所以AB＝(0，4，0)，CA1＝(4，－4，4)，AA1＝(0，0，設(shè)m＝(x，y，z)是異面直線AB和A1C的公垂線的方向向量，則m·AB取x＝1，則z＝－1，所以m＝(1，0，－1)是異面直線AB和A1C公垂線的一個(gè)方向向量，所以異面直線AB和A1C的距離為AA1點(diǎn)到直線的距離1．(2024·濟(jì)南模擬)空間中有三點(diǎn)P(1，－2，－2)，M(2，－3，1)，N(3，－2，2)，則點(diǎn)P到直線MN的距離為()A．22 B．23C．3 D．25A解析：因?yàn)镸N＝(1，1，1)，所以MN的一個(gè)單位方向向量為u＝33(1，1，1)．因?yàn)镻M＝(1，－1，3)，所以PM＝12+－122．如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90?，則點(diǎn)B到直線A1C1的距離為_(kāi)_______．135解析：以B為原點(diǎn)，BA，BC，BB1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A1(4，0，1)，C1(0，3，1)所以A1C1＝(－4，3又BC1＝(0，3，1)所以點(diǎn)B到直線A1C1的距離d＝BC12－3．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知E為CC1上一點(diǎn)，且2CE＝EC1，在平面CDD1C1內(nèi)作EF∥A1B，交C1D1于點(diǎn)F，則直線EF與A1B之間的距離為_(kāi)_______．386解析：以A為原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A1(0，0，1)，B(1，0，0)，E1直線EF與A1B之間的距離等于點(diǎn)E到直線A1B的距離，BA1＝(－1，0，1)，BE＝0，1，13，所以點(diǎn)E到直線A11．求點(diǎn)到直線的距離的方法(1)設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線l的單位方向向量為n，A為直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)A到直線l的距離d＝PA2(2)若能求出點(diǎn)在直線上的射影坐標(biāo)，可以直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求距離．2．平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離求解．點(diǎn)到平面的距離【例1】如圖，已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，則點(diǎn)B到平面EFG的距離為_(kāi)_______．21111解析：因?yàn)镃G⊥平面ABCD，CD，CB?平面ABCD，所以CG⊥CD，CG⊥CB.因?yàn)镃D⊥CB，所以以C為原點(diǎn)，CD，CB，CG所在的直線分別為x，y，z軸，則C(0，0，0)，B(0，4，0)，E(2，4，0)，F(xiàn)(4，2，0)，G(0，0，2)，所以FE＝(－2，2，0)，EG＝(－2，－4，2)，BE＝(2，0，0)．設(shè)平面EFG的法向量為m＝(x，y，z)，則m令x＝1，則m＝(1，1，3)為平面EFG的一個(gè)法向量，所以點(diǎn)B到平面EFG的距離為d＝BE·向量法求點(diǎn)到平面的距離的步驟(1)建系：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．(2)求點(diǎn)坐標(biāo)：寫(xiě)出(求出)相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)求向量：求出相關(guān)向量的坐標(biāo)(AP，平面α內(nèi)兩不共線向量，平面α的法向量n)．(4)求距離d＝AP·1．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱長(zhǎng)均為1，且AA1⊥底面ABC，則點(diǎn)B1到平面ABC1的距離為_(kāi)_______．217解析：以C為原點(diǎn)，CB，CC1的方向分別為y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A32，12，0，B(0，1，0)，B1(0，1，1)，C1(0，0，1)，所以C1A＝32設(shè)平面ABC1的法向量為n＝(x，y，z)，則有C1A·n＝32x+12y－z＝0，2．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)．(1)證明：D1E⊥A1D；(2)當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到平面ACD1的距離．(1)證明：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，設(shè)AE＝x，則D(0，0，0)，A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，E(1，x，0)，A(1，0，0)，C(0，2，0)，所以D1E＝(1，x，－1)，A1D＝(－1，因?yàn)镈1E·A1D＝0，所以D1E⊥A1D(2)解：因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以E(1，1，0)，從而D1E＝(1，1，－1)，AC＝(－1，2，0)，AD1＝(－1，0設(shè)平面ACD1的法向量為n＝(a，b，c)，則n·AC取b＝1，則a＝2，c＝2，所以n＝(2，1，2)為平面ACD1的一個(gè)法向量．所以點(diǎn)E到平面ACD1的距離d＝D1直線到平面的距離與平面到平面的距離【例2】如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M，N，R分別是OA，BC，AD的中點(diǎn)．求：(1)直線MN與平面OCD的距離；(2)平面MNR與平面OCD的距離．解：(1)因?yàn)镺A⊥底面ABCD，四邊形ABCD為正方形，所以AB，AD，AO兩兩垂直．以A為原點(diǎn)，AB，AD，AO所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(2，2，0)，D(0，2，0)，O(0，0，2)，M(0，0，1)，N(2，1，0)，R(0，1，0)，所以DC＝(2，0，0)，DO＝(0，－2，2)，MN＝(2，1，－1)，NC＝(0，1，0)．設(shè)平面OCD的法向量為n＝(x，y，z)，則n·DC取y＝1，則x＝0，z＝1，所以n＝(0，1，1)是平面OCD的一個(gè)法向量．因?yàn)镸N·n＝0，所以MN∥平面OCD.所以直線MN與平面OCD的距離為d1＝NC·(2)由(1)知MN∥平面OCD.因?yàn)镹R＝(－2，0，0)，所以NR·n＝0，所以NR∥平面OCD.因?yàn)镸N∩NR＝N，MN?平面MNR，NR?平面MNR，所以平面MNR∥平面OCD，則平面MNR與平面OCD的距離為d2＝NC·平面的平行線到平面的距離以及兩平行平面間的距離都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離．1．若正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則A1A到平面B1D1DB的距離為()A．2 B．2C．22 D．A解析：由正方體的性質(zhì)可知，A1A∥平面B1D1DB，A1A到平面B1D1DB的距離就是點(diǎn)A1到平面B1D1DB的距離．連接A1C1，交B1D1于點(diǎn)O1(圖略)，A1O1的長(zhǎng)即為所求．由題意可得A1O1＝122．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，M，N，E，F(xiàn)分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點(diǎn)，則平面AMN與平面EFBD間的距離為_(kāi)_______．83解析：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(xiàn)(2，4，4)，N(4，2，4)，所以EF＝(2，2，0)，MN＝(2，2，0)，AM＝(－2，0，4)，BF＝(－2，0，4)，所以EF＝MN，BF＝AM，所以EF∥因?yàn)镋F∩BF＝F，MN∩AM＝M，所以平面AMN∥平面EFBD.所以平面AMN到平面EFBD的距離就是點(diǎn)B到平面AMN的距離．設(shè)平面AMN的法向量為n＝(x，y，z)，則n·MN取z＝1，則x＝2，y＝－2，所以n＝(2，－2，1)是平面AMN的一個(gè)法向量．因?yàn)锳B＝(0，4，0)，所以平面AMN與平面EFBD的距離d＝n·課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(三十八)1．已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1，則平面AB1C與平面A1C1D之間的距離為()A.36 B．3C．233 DB解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A所以DA1＝(1，0，－1)，DC1＝(0，1，－1)，AD＝(－1，0設(shè)平面A1C1D的法向量為m＝(x，y，z)，則m·DA取x＝1，則y＝1，z＝1，所以m＝(1，1，1)為平面A1C1D的一個(gè)法向量．顯然平面AB1C∥平面A1C1D，所以平面AB1C與平面A1C1D之間的距離d＝AD·2．(數(shù)學(xué)與文化)(2024·滁州模擬)《九章算術(shù)·商功》：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑．陽(yáng)馬居二，鱉臑居一，不易之率也．合兩鱉臑三而一，驗(yàn)之以基，其形露矣．”文中“陽(yáng)馬”是底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐．在陽(yáng)馬P-ABCD中，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA＝1，AB＝AD＝2，則點(diǎn)A到平面PBD的距離為()A．23 B．C．62 D．B解析：如圖，連接BD，取BD的中點(diǎn)E，連接PE.因?yàn)锳BCD為長(zhǎng)方形，AB＝AD＝2，所以BD＝22.因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AB，AD?平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，所以PB＝PA2+AB2＝5，PD＝PA2+AD2＝5.所以PE⊥BD，PE＝PB2－BE2＝3.設(shè)點(diǎn)A到平面PBD的距離為h，則三棱錐P-3．在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，點(diǎn)F，G分別是AB，CC1的中點(diǎn)，則△D1GF的面積為()A．102 B．C．2 D．3B解析：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，則D1(0，0，2)，G(0，2，1)，F(xiàn)(1，1，0)，所以FD1＝(－1，－1，2)，F(xiàn)G＝(－1，1，1)所以點(diǎn)D1到直線GF的距離d＝FD1又FG＝3，所以S△4．(多選題)在棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P在棱DC上運(yùn)動(dòng)(不與頂點(diǎn)重合)，則點(diǎn)B到平面AD1P的距離可以是()A．2 B．3C．2 D．5CD解析：如圖，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0，0，0)，A(3，0，0)，B(3，3，0)，D1(0，0，3)．設(shè)P(0，t，0)(0＜t＜3)，所以AP＝(－3，t，0)，AD1＝(－3，0，3)，AB＝(0，3，0)設(shè)平面AD1P的法向量為n＝(x，y，z)，則n·AP取y＝3，則x＝t，z＝t，所以n＝(t，3，t)為平面AD1P的一個(gè)法向量．所以點(diǎn)B到平面AD1P的距離為d＝n·因?yàn)?＜t＜3，所以點(diǎn)B到平面AD1P的距離的取值范圍是3，5．已知兩平行平面α，β分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)O(0，0，0)和點(diǎn)A(2，1，1)，且兩平面的一個(gè)法向量為n＝(－1，0，1)，則這兩個(gè)平面間的距離是________．22解析：因?yàn)閮善叫衅矫姒?，β分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)O(0，0，0)和點(diǎn)A(2，1，1)，OA＝(2，1，1)，且兩平面的一個(gè)法向量為n＝(－1，0，1)，所以這兩個(gè)平面間的距離d＝n6．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E為CC1的中點(diǎn)，則異面直線BC1與AE之間的距離為_(kāi)_______．22121解析：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，C10,2，2，E0，2，1，所以AE＝設(shè)BC1與AE的公垂線的方向向量為n＝(x，y，z)，則n·AE取z＝1，則x＝2，y＝12，所以n＝2，12，1為又因?yàn)锳B＝(0，2，0)，所以異面直線BC1與AE之間的距離為d＝AB·7．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段AB的中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)B到直線AC1的距離；(2)求直線FC到平面AEC1的距離．解：(1)以D1為原點(diǎn)，D1A1，D1C1，D1D所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，E(1，12，0)，F(xiàn)(1，12，所以AB＝(0，1，0)，AC1＝(－1，1，－1)，F(xiàn)C＝取a＝AB＝(0，1，0)，u＝AC1則點(diǎn)B到直線AC1的距離為a2(2)因?yàn)镕C＝所以FC∥EC1，而FC?平面AEC1，EC1?平面AEC1，所以FC∥平面AEC1，所以點(diǎn)F到平面AEC1的距離即為直線FC到平面AEC1的距離．設(shè)平面AEC1的法向量為n＝(x，y，z)，則n·AE取z＝1，則x＝1，y＝2，所以n＝(1，2，1)為平面AEC1的一個(gè)法向量．又因?yàn)锳F＝所以點(diǎn)F到平面AEC1的距離為AF·nn＝66，即直線FC8．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝4，M是PB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn))，過(guò)點(diǎn)M作平面α∥平面PAD，截棱錐所得截面的面積為y.若平面α與平面PAD之間的距離為x，則函數(shù)y＝f(x)的圖象是()C解析：如圖1，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AB，交AB于點(diǎn)N，則MN⊥平面ABCD，過(guò)點(diǎn)N作NQ∥AD，交CD于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作QH∥PD，交PC于點(diǎn)H，連接MH，則平面MNQH是所作的平面α.圖1因?yàn)镸N⊥平面ABCD，平面MNQH∥平面PAD，所以平面MNQH與平面PAD之間的距離x＝AN，MNQH為直角梯形，所以y＝S梯形MNQH.由題意得2－x2＝MN4，解得MN由HQ∥PD得CQCD＝QHPD，即2－x2＝QH2圖2如圖，過(guò)點(diǎn)H作HE⊥NQ，則HE＝MN.在Rt△HEQ中，EQ＝HQ2－HE2＝所以NE＝2－(2－x)＝x，所以MH＝x.所以y＝f(x)＝x+24－2x2＝－所以函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖2所示．故選C．9．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的菱形，且∠DAB＝π3，PD⊥底面ABCD.若點(diǎn)D到平面PAC的距離為2，則PD＝(A．22 B．2C．1 D．2D解析：設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接DE，因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為4的菱形，且∠DAB＝π3，所以DE⊥BC，而AD∥BC，所以DE⊥DA以D為原點(diǎn)，DA，DE，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)PD＝a(a＞0)，則D(0，0，0)，P(0，0，a)，A(4，0，0)，C－2所以PA＝(4，0，－a)，AC＝－6，23，0設(shè)平面PAC的法向量為n＝(x，y，z)，則n·PA＝0，n·AC＝0，所以4x－az＝所以n＝a，3a，設(shè)點(diǎn)D到平面PAC的距離為d，所以d＝DA·nn＝4a4a10．(多選題)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E為AA1的中點(diǎn)，平面α過(guò)B，C1，E三點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是()A．CD與平面α平行B．平面A1B1CD與平面α垂直C．平面α截正方體所得截面的面積為9D．正方體的頂點(diǎn)到平面α距離的最大值為3BC解析：因?yàn)槠矫姒吝^(guò)B，C1，E三點(diǎn)，所以AB與平面α相交．因?yàn)镃D∥AB，所以CD與平面α不可能平行，故A錯(cuò)誤．因?yàn)樵谡襟w中，CD⊥平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，所以CD⊥BC1.又因?yàn)锽1C⊥BC1，B1C∩CD＝C，B1C，CD?平面A1B1CD，所以BC1⊥平面A1B1CD.因?yàn)锽C1?平面α，故平面A1B1CD與平面α垂直，故B正確．如圖，平面α截正方體所得截面為等腰梯形EFC1B，其中F是A1D1的中點(diǎn)，EF＝2，BC1＝22，計(jì)算得梯形EFC1B的高為322，所以梯形EFC1以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則E(2，0，1)，B(2，2，0)，C1(0，2，2)，D(0，0，0)，所以BE＝(0，－2，1)，BC1＝(－2，0，2)，DB＝(2，2，0)設(shè)平面BEC1的法向量為m＝(x，y，z)，則m·BE取y＝1，則x＝2，z