專題14 三角形基礎(chǔ)、全等三角形、等腰三角形和直角三角形（6大考點(diǎn)）2022-2024中考數(shù)學(xué)真題分類匯編（全國(guó)用）（解析版）

第第頁(yè)試卷第=page2424頁(yè)，共=sectionpages2525頁(yè)專題14三角形（6大考點(diǎn)）（解析版）【考點(diǎn)歸納】TOC\o"1-2"\h\z\u一、考點(diǎn)01與三角形有關(guān)的線段 1二、考點(diǎn)02與三角形有關(guān)的角 4三、考點(diǎn)03全等三角形 10四、考點(diǎn)04等腰三角形 34五、考點(diǎn)05直角三角形 42六、考點(diǎn)06勾股定理及其逆定理 57考點(diǎn)01與三角形有關(guān)的線段一、考點(diǎn)01與三角形有關(guān)的線段1．（2024·陜西·中考真題）如圖，在中，，是邊上的高，E是的中點(diǎn)，連接，則圖中的直角三角形有（

）

A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】本題主要考查直角三角形的概念．根據(jù)直角三角形的概念可以直接判斷．【詳解】解：由圖得，，，為直角三角形，共有4個(gè)直角三角形．故選：C．2．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是方程的兩個(gè)根，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為（）A．或 B．或 C． D．【答案】C【分析】本題考查了解一元二次方程，等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系及周長(zhǎng)，由方程可得，，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得等腰三角形的底邊長(zhǎng)為，腰長(zhǎng)為，進(jìn)而即可求出三角形的周長(zhǎng)，掌握等腰三角形的定義及三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由方程得，，，∵，∴等腰三角形的底邊長(zhǎng)為，腰長(zhǎng)為，∴這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為，故選：．3．（2024·河北·中考真題）觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可得線段一定是的（

）A．角平分線 B．高線 C．中位線 D．中線【答案】B【分析】本題考查的是三角形的高的定義，作線段的垂線，根據(jù)作圖痕跡可得，從而可得答案．【詳解】解：由作圖可得：，∴線段一定是的高線；故選B4．（2022·廣東·中考真題）下列圖形中具有穩(wěn)定性的是（

）．A．三角形 B．長(zhǎng)方形 C．正方形 D．平行四邊形【答案】A【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性可直接得出答案．【詳解】解：三角形具有穩(wěn)定性，長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形不具有穩(wěn)定性，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的穩(wěn)定性、四邊形的不穩(wěn)定性，掌握三角形具有穩(wěn)定性是解題的關(guān)鍵．5．（2023·湖南·中考真題）下列長(zhǎng)度的三條線段，能組成三角形的是（）A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6【答案】C【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系分別判斷即可．【詳解】解：，∴1，3，4不能組成三角形，故A選項(xiàng)不符合題意；，∴2，2，7不能組成三角形，故B不符合題意；，∴4，5，7能組成三角形，故C符合題意；，∴3，3，6不能組成三角形，故D不符合題意，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為6和2，則第三邊長(zhǎng)為．【答案】6【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，熟練掌握分類討論思想是解題的關(guān)鍵．分兩種情況討論：當(dāng)6為一腰長(zhǎng)時(shí)；當(dāng)2為一腰長(zhǎng)時(shí)；分別求出第三條邊長(zhǎng)，并根據(jù)三角形三邊關(guān)系判斷是否能構(gòu)成三角形，即可得出答案．【詳解】解：當(dāng)6為一腰長(zhǎng)時(shí)，則另一腰長(zhǎng)為6，底邊長(zhǎng)為2，，能構(gòu)成三角形，第三邊長(zhǎng)為6；當(dāng)2為一腰長(zhǎng)時(shí)，則另一腰長(zhǎng)為2，底邊長(zhǎng)為6，，不能構(gòu)成三角形，舍去；綜上，第三邊長(zhǎng)為6，故答案為：6．二、考點(diǎn)02與三角形有關(guān)的角7．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，在中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得，再由三角形外角的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴．故選：B8．（2024·福建·中考真題）如圖，已知點(diǎn)在上，，直線與相切，切點(diǎn)為，且為的中點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)C為的中點(diǎn)，三角形內(nèi)角和可求出，再根據(jù)切線的性質(zhì)即可求解．【詳解】∵，為的中點(diǎn)，∴∵∴∵直線與相切，∴，∴故選：A．9．（2024·天津·中考真題）如圖，中，，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)；再分別以點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩?。ㄋ趫A的半徑相等）在的內(nèi)部相交于點(diǎn)；畫射線，與相交于點(diǎn)，則的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查基本作圖，直角三角形兩銳角互余以及三角形外角的性質(zhì)，由直角三角形兩銳角互余可求出，由作圖得，由三角形的外角的性質(zhì)可得，故可得答案【詳解】解：∵，∴，由作圖知，平分，∴，又∴故選：B10．（2024·湖北·中考真題）下列各事件是，是必然事件的是（

）A．?dāng)S一枚正方體骰子，正面朝上恰好是3 B．某同學(xué)投籃球，一定投不中C．經(jīng)過紅綠燈路口時(shí)，一定是紅燈 D．畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和為【答案】D【分析】本題考查了隨機(jī)事件和必然事件，解題的關(guān)鍵是掌握一定會(huì)發(fā)生的是必然事件，有可能發(fā)生，也有可能不發(fā)生的是隨機(jī)事件，據(jù)此逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A、擲一枚正方體骰子，正面朝上恰好是3，是隨機(jī)事件，不符合題意；B、某同學(xué)投籃球，一定投不中，是隨機(jī)事件，不符合題意；C、經(jīng)過紅綠燈路口時(shí)，一定是紅燈，是隨機(jī)事件，不符合題意；D、畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和為，是必然事件，符合題意；故選：D．11．（2024·重慶·中考真題）如圖，是的弦，交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，．若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，利用圓周角定理求出，根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)求出，等邊對(duì)等角然后結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，，∴，故選：B．12．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，若，則．【答案】/62度【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，連接，利用等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，然后利用圓周角定理求解即可．【詳解】解：連接，∵，，∴，∴，∴，故答案為：．13．（2024·陜西·中考真題）如圖，是的弦，連接，，是所對(duì)的圓周角，則與的和的度數(shù)是．

【答案】90°/90度【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓周角定理可得，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，可證明，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知，由此即得答案．【詳解】是所對(duì)的圓周角，是所對(duì)的圓心角，，，，，，，，．故答案為：．14．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，中，是邊上的高，是的平分線，則的度數(shù)是．【答案】/100度【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和以及外角性質(zhì)、角平分線的定義．先求出，結(jié)合高的定義，得，因?yàn)榻瞧椒志€的定義得，運(yùn)用三角形的外角性質(zhì)，即可作答．【詳解】解：∵，∴，∵是邊上的高，∴，∴，∵是的平分線，∴，∴．故答案為：．15．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）在菱形中，，則．【答案】/57度【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，利用菱形性質(zhì)得出，利用等邊對(duì)等角得出，然后結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，∴，故答案為：．16．（2024·四川成都·中考真題）如圖，，若，，則的度數(shù)為．【答案】/100度【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和全等三角形的性質(zhì)，先利用全等三角形的性質(zhì)，求出，再利用三角形內(nèi)角和求出的度數(shù)即可．【詳解】解：由，，∴，∵，∴，故答案為：17．（2024·重慶·中考真題）如圖，在中，，，平分交于點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)度為．【答案】2【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，先根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理求出，再由角平分線的定義得到，進(jìn)而可證明，即可推出．【詳解】解：∵在中，，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴,故答案為：2．三、考點(diǎn)03全等三角形18．（2024·湖北·中考真題）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，將線段繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化旋轉(zhuǎn)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟知圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，再結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)即可解決問題．【詳解】解：如圖所示，分別過點(diǎn)和點(diǎn)作軸的垂線，垂足分別為和，由旋轉(zhuǎn)可知，，，，．在和中，，，，．點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：B．19．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）如圖，已知，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等成為解題的關(guān)鍵．先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得，然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等即可解答．【詳解】解：∵在中，，∴，∵，∴．故選C．20．（2024·黑龍江大慶·中考真題）下列說法正確的是(

)A．若，則B．一件衣服降價(jià)20%后又提價(jià)20%，這件衣服的價(jià)格不變C．一個(gè)銳角和一條邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等D．若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個(gè)多邊形是六邊形【答案】D【分析】本題考查了不等式的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，全等三角形的判定，多邊形的外角與內(nèi)角和問題，逐項(xiàng)分析判斷，即可求解．【詳解】解：A.若，且，則，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B.設(shè)原價(jià)為元，則提價(jià)%后的售價(jià)為：元；后又降價(jià)的售價(jià)為：元．一件衣服降價(jià)后又提價(jià)，這件衣服的價(jià)格相當(dāng)于原價(jià)的，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C.一個(gè)銳角和一條邊分別相等的兩個(gè)直角三角形不一定全等，相等的邊不一定對(duì)應(yīng)，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；D.設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為，∴由題意得：，，，即這個(gè)多邊形的邊數(shù)是6；故該選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．21．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在紙上畫有，將兩把直尺按圖示擺放，直尺邊緣的交點(diǎn)P在的平分線上，則（

）A．與一定相等 B．與一定不相等C．與一定相等 D．與一定不相等【答案】A【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，過點(diǎn)P分別作的垂線，垂足分別為E、F，由角平分線的性質(zhì)得到，由平行線間間距相等可知，則，而和的長(zhǎng)度未知，故二者不一定相等，據(jù)此可得答案．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)P分別作的垂線，垂足分別為E、F∵點(diǎn)P在的平分線上，∴，由平行線間間距相等可知，∴，由于和的長(zhǎng)度未知，故二者不一定相等，故選：A，22．（2024·山東東營(yíng)·中考真題）如圖，四邊形是矩形，直線分別交，，于點(diǎn)E，F(xiàn)，O，下列條件中，不能證明的是（

）

A．為矩形兩條對(duì)角線的交點(diǎn) B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定，熟練掌握矩形的性質(zhì)和全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．由矩形的性質(zhì)得出，再由平行線的性質(zhì)得出，，然后由全等三角形的判定逐一判定即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∴，，A、∵O為矩形兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，∴，在和中，，∴，故此選項(xiàng)不符合題意；B、在和中，，∴，故此選項(xiàng)不符合題意；C、∵，∴，即，在和中，，∴，故此選項(xiàng)不符合題意；D、∵，∴，兩三角形中缺少對(duì)應(yīng)邊相等，所以不能判定，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．23．（2024·云南·中考真題）已知是等腰底邊上的高，若點(diǎn)到直線的距離為3，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B．2 C．3 D．【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．由等腰三角形“三線合一”得到平分，再角平分線的性質(zhì)定理即可求解．【詳解】解：如圖，∵是等腰底邊上的高，∴平分，∴點(diǎn)F到直線，的距離相等，∵點(diǎn)到直線的距離為3，∴點(diǎn)到直線的距離為3．故選：C．24．（2024·浙江·中考真題）如圖，在中，相交于點(diǎn)O，．過點(diǎn)A作的垂線交于點(diǎn)E，記長(zhǎng)為x，長(zhǎng)為y．當(dāng)x，y的值發(fā)生變化時(shí)，下列代數(shù)式的值不變的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，過點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，證明，得到，由勾股定理可得，，，則，整理后即可得到答案．【詳解】解：過點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∵的垂線交于點(diǎn)E，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴∴，由勾股定理可得，，，∴，∴∴即，解得，∴當(dāng)x，y的值發(fā)生變化時(shí)，代數(shù)式的值不變的是，故選：C25．（2024·浙江·中考真題）如圖，正方形由四個(gè)全等的直角三角形和中間一個(gè)小正方形組成，連接．若，則（

）A．5 B． C． D．4【答案】C【分析】本題考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，全等三角形的信紙，求得的長(zhǎng)度，利用勾股定理即可解答，利用全等三角形的性質(zhì)得到是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：是四個(gè)全等的直角三角形，，，，四邊形為正方形，，，故選：C．26．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，在中，，，為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上，，則四邊形的面積為（

）A．18 B． C．9 D．【答案】C【分析】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握相關(guān)的線段與角度的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．連接，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及得出，將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積再進(jìn)行求解．【詳解】解：連接，如圖：∵，，點(diǎn)D是中點(diǎn)，∴∴，∴又∵∴故選：C27．（2024·青海·中考真題）如圖，平分，點(diǎn)P在上，，，則點(diǎn)P到的距離是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理．過點(diǎn)P作于點(diǎn)E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)P作于點(diǎn)E，∵平分，，，∴，故選：C．28．（2024·廣東廣州·中考真題）下列圖案中，點(diǎn)為正方形的中心，陰影部分的兩個(gè)三角形全等，則陰影部分的兩個(gè)三角形關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本題考查了圖形關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱，掌握中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線是否過點(diǎn)判斷即可．【詳解】解：由圖形可知，陰影部分的兩個(gè)三角形關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的是C，故選：C．29．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在扇形中，，半徑，是上一點(diǎn)，連接，是上一點(diǎn)，且，連接．若，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了弧長(zhǎng)公式，等邊三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)；連接，根據(jù)，，易證是等腰三角形，再根據(jù)，推出是等邊三角形，得到，即可求出，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：連接，，，，是等腰三角形，，，是等邊三角形，，，，，，故選：B．30．（2024·廣東深圳·中考真題）在如圖的三個(gè)圖形中，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，能判斷射線平分的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．只有①【答案】B【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是理解作法、掌握角平分線的定義．利用基本作圖對(duì)三個(gè)圖形的作法進(jìn)行判斷即可．在圖①中，利用基本作圖可判斷平分；在圖③中，利用作法得，

可證明，有，可得，進(jìn)一步證明，得，繼而可證明，得，得到是的平分線；在圖②中，利用基本作圖得到D點(diǎn)為的中點(diǎn)，則為邊上的中線．【詳解】在圖①中，利用基本作圖可判斷平分；在圖③中，利用作法得，

在和中，，∴，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，∴，∴是的平分線；在圖②中，利用基本作圖得到D點(diǎn)為的中點(diǎn)，則為邊上的中線．則①③可得出射線平分．故選：B．31．（2024·陜西·中考真題）如圖，在中，，E是邊上一點(diǎn)，連接，在右側(cè)作，且，連接．若，，則四邊形的面積為．【答案】60【分析】本題考查等邊對(duì)等角，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理：過點(diǎn)作，，根據(jù)等邊對(duì)等角結(jié)合平行線的性質(zhì)，推出，進(jìn)而得到，得到，進(jìn)而得到四邊形的面積等于，設(shè)，勾股定理求出的長(zhǎng)，再利用面積公式求出的面積即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴平分，過點(diǎn)作，，則：，∵，且，∴，∴四邊形的面積，∵，∴，設(shè)，則：，由勾股定理，得：，∴，解：，∴，∴，∴四邊形的面積為60．故答案為：60．32．（2024·江蘇南通·中考真題）如圖，點(diǎn)D在的邊AB上，經(jīng)過邊的中點(diǎn)E，且．求證．【答案】見詳解【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行線的判定，根據(jù)題意得，即可證明，有成立，根據(jù)平行線的判定即可證明結(jié)論．【詳解】證明：∵點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)，∴，∵，，∴，∴，∴．33．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）如圖，在菱形中，，垂足為，垂足為．求證：．【答案】證明見解析．【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定以及性質(zhì)，由菱形的性質(zhì)得出，用證明，由全等三角形的性質(zhì)可得出，由線段的和差關(guān)系即可得出．【詳解】證明：四邊形是菱形34．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，在矩形中，是的中點(diǎn)，連接．求證：(1)；(2)．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊對(duì)等角．（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，再根據(jù)中點(diǎn)的定義得出，即可根據(jù)求證；（2）根據(jù)全等的性質(zhì)得出，根據(jù)等邊對(duì)等角即可求證．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴（2）證明：∵，∴，∴．35．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)，分別在邊，上，．(1)求證：；(2)連接．請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)與線段相關(guān)的條件，使四邊形是平行四邊形．（不需要說明理由）【答案】(1)見解析(2)添加（答案不唯一）【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定；（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，，結(jié)合已知條件可得，即可證明；（2）添加，依據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∵，∴即，在與中，，∴；（2）添加（答案不唯一）如圖所示，連接．∵四邊形是平行四邊形，∴，即，當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形．36．（2024·陜西·中考真題）如圖，四邊形是矩形，點(diǎn)E和點(diǎn)F在邊上，且．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，再推出，利用證明，即可得到．【詳解】證明：∵四邊形是矩形，∴，，∵，∴，即，∴，∴．37．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，中，，分別以B，C為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)D，連接，，，與交于點(diǎn)E．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：（1）直接利用證明即可；（2）利用全等三角形的性質(zhì)可求出，利用三線合一性質(zhì)得出，，在中，利用正弦定義求出，即可求解．【詳解】（1）證明：由作圖知：．在和中，．（2）解：，，．又，，．，，．38．（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）如圖，點(diǎn)C在線段上，，，．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明是等邊三角形是解答的關(guān)鍵．（1）直接根據(jù)全等三角形的判定證明結(jié)論即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，再證明是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）證明：在與中，，所以；（2）解：因?yàn)?，，所以，，所以是等邊三角形．所以?9．（2024·廣東·中考真題）如圖，在中，．

(1)實(shí)踐與操作：用尺規(guī)作圖法作的平分線交于點(diǎn)D；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）(2)應(yīng)用與證明：在（1）的條件下，以點(diǎn)D為圓心，長(zhǎng)為半徑作．求證：與相切．【答案】(1)見解析(2)證明見解析【分析】本題考查了尺規(guī)作角平分線，角平分線的性質(zhì)定理，切線的判定等知識(shí)．熟練上述知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）利用尺規(guī)作角平分線的方法解答即可；（2）如圖2，作于，由角平分線的性質(zhì)定理可得，由是半徑，，可證與相切．【詳解】（1）解：如圖1，即為所作；

（2）證明：如圖2，作于，

∵是的平分線，，，∴，∵是半徑，，∴與相切．40．（2024·吉林·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求證：．【答案】證明見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，先根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行推出，再由線段中點(diǎn)的定義得到，據(jù)此可證明，進(jìn)而可證明．【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵點(diǎn)O是的中點(diǎn)，∴，∴，∴．41．（2024·云南·中考真題）如圖，在和中，，，．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題關(guān)鍵．利用“”證明，即可解決問題．【詳解】證明：，，即，在和中，，．42．（2024·江蘇鹽城·中考真題）已知：如圖，點(diǎn)A、B、C、D在同一條直線上，，．若________，則．請(qǐng)從①；②；③這3個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)作為條件（寫序號(hào)），使結(jié)論成立，并說明理由．【答案】①或③（答案不唯一），證明見解析【分析】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，①根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再由全等三角形的判定和性質(zhì)得出，結(jié)合圖形即可證明；②得不出相應(yīng)的結(jié)論；③根據(jù)全等三角形的判定得出，結(jié)合圖形即可證明；熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【詳解】解：選擇①；∵，，∴，∵，∴，∴，∴，即；選擇②；無法證明，無法得出；選擇③；∵，∴，∵，，∴，∴，∴，即；故答案為：①或③（答案不唯一）43．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）如圖所示，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)為線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且滿足，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由矩形性質(zhì)得到，，，由角的互余得到，從而確定，利用相似三角形性質(zhì)得到；（2）由矩形性質(zhì)，結(jié)合題中條件，利用等腰三角形的判定與性質(zhì)得到，，，進(jìn)而由三角形全等的判定與性質(zhì)即可得到．【詳解】（1）證明：在矩形中，，，，，，，，，，，即，，；（2）證明：連接交于點(diǎn)，如圖所示：在矩形中，，則，，，，，，在矩形中，，，，，，，，在和中，，．【點(diǎn)睛】本題考查矩形綜合，涉及矩形性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)幾何性質(zhì)與判定是解決問題第的關(guān)鍵．四、考點(diǎn)04等腰三角形44．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，，，，則的半徑是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連接，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，即可證得，進(jìn)而可求得，再利用圓周角定理得到，結(jié)合三角函數(shù)即可求解．【詳解】解：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連接，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，∵四邊形內(nèi)接于，∴∴∵∴，∴是的直徑，∴∴是等腰直角三角形，∴∵∴∴，,∵∴又∵∴∴是等腰直角三角形∴∵∴∵∴∴故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，銳角三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握?qǐng)A周角定理以及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．45．（2024·甘肅·中考真題）如圖，在矩形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，，，則的長(zhǎng)為（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，得，結(jié)合，得到是等邊三角形，結(jié)合，得到，解得即可．本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】根據(jù)矩形的性質(zhì)，得，∵，∴是等邊三角形，∵，∴，解得．故選C．46．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，再分別以點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若的面積為8，則的面積是（

）A．8 B．16 C．12 D．24【答案】B【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，含的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識(shí)，由作圖知平分，則可求，利用含的直角三角形的性質(zhì)得出，利用等角對(duì)等邊得出，進(jìn)而得出，然后利用面積公式即可求解．【詳解】解：∵，∴，由作圖知：平分，∴，∴，，∴，∴，∴，又的面積為8，∴的面積是，故選B．47．（2024·青海·中考真題）如圖，在中，D是的中點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)是（

）A．3 B．6 C． D．【答案】A【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半結(jié)合等邊三角形的判定得到等邊三角形，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵在中，，D是的中點(diǎn)，∴，∵，∴等邊三角形，∴．故選：A．48．（2024·遼寧·中考真題）如圖，在矩形中，點(diǎn)在上，當(dāng)是等邊三角形時(shí)，為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由矩形得到，繼而得到，而是等邊三角形，因此得到．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，故選：C．49．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，直線，等邊三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)B，C分別落在直線l，m上，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查平行線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】解：∵，∴，即，∵是等邊三角形，∴，又∵，∴，∴，故選：B．50．（2024·四川·中考真題）如圖，正六邊形內(nèi)接于，，則AB的長(zhǎng)為（

）A．2 B． C．1 D．【答案】C【分析】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，由正六邊形的性質(zhì)得到，得到為等邊三角形，進(jìn)而得到，判斷出為等邊三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是正六邊形，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，故選：C．51．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在中，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)，；②分別以，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)；③作射線，交于點(diǎn)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查角平分線的尺規(guī)作圖、平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定以及相似性質(zhì)與判定的綜合．先由作圖得到為的角平分，利用平行線證明，從而得到，再利用平行四邊形的性質(zhì)得到，再證明，分別求出，，則各選項(xiàng)可以判定．【詳解】解：由作圖可知，為的角平分，∴，故A正確；∵四邊形為平行四邊形，∴，∵∴，∴，∴，∴，故B正確；∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，故D錯(cuò)誤；∵，∴，故C正確，故選：D．52．（2024·四川自貢·中考真題）如圖，等邊鋼架的立柱于點(diǎn)D，AB長(zhǎng)．現(xiàn)將鋼架立柱縮短成DE，．則新鋼架減少用鋼（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用．利用三角函數(shù)的定義分別求得，，，利用新鋼架減少用鋼，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵等邊，于點(diǎn)D，AB長(zhǎng)，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，，∴新鋼架減少用鋼，故選：D．53．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，在中，，D是的中點(diǎn)，，，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題主要考查了矩形的判定以及性質(zhì)，三腰三角形三線合一的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出，有平行線的性質(zhì)得出，結(jié)合已知條件可得出，即可證明四邊形是矩形．（2）由（1）可知四邊形是矩形．由矩形的性質(zhì)得出，，，由已知條件可得出，由勾股定理求出，最后根據(jù)等面積法可得出，即可求出．【詳解】（1）證明：∵，D是BC的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴四邊形是矩形．（2）由（1）可知四邊形是矩形．∴，，，∵D是的中點(diǎn)，∴，在中，，∴，∵，∴即，∴．五、考點(diǎn)05直角三角形54．（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，菱形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，E是的中點(diǎn)，連接．若，則菱形的邊長(zhǎng)為（

）

A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，根據(jù)“直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半”可得，即可得解．本題主要考查了菱形的性質(zhì)和“直角三角形中斜邊中線等于斜邊一半”的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵四邊形是菱形，，∵E是的中點(diǎn)，，∴。故選：A．55．（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)A作于點(diǎn)F．設(shè)，，則y與x之間的函數(shù)解析式為（不考慮自變量x的取值范圍）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查菱形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，利用相似三角形的性質(zhì)求解x、y的關(guān)系式是解答的關(guān)鍵．過D作，交延長(zhǎng)線于H，則，根據(jù)菱形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到，，，進(jìn)而利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)，證明得到，然后代值整理即可求解．【詳解】解：如圖，過D作，交延長(zhǎng)線于H，則，∵在菱形中，，，∴，，，∴，，在中，，∵，∴，又，∴，∴，∵，，∴，∴，故選：C．（法二：同理，，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，故選：C．）56．（2024·天津·中考真題）如圖，中，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)以及兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形，平行線的判定，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，結(jié)合，即可得證，再根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)證明兩直線平行，來分析不一定成立；根據(jù)圖形性質(zhì)以及角的運(yùn)算或線段的運(yùn)算得出A和C選項(xiàng)是錯(cuò)誤的．【詳解】解：記與相交于一點(diǎn)H，如圖所示：∵中，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴∵∴在中，∴故D選項(xiàng)是正確的，符合題意；設(shè)∴∵∴∴∵不一定等于∴不一定等于∴不一定成立，故B選項(xiàng)不正確，不符合題意；∵不一定等于∴不一定成立，故A選項(xiàng)不正確，不符合題意；∵將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴∴故C選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選：D57．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，四邊形為正方形，為等邊三角形，于點(diǎn)F，若，則．【答案】2【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，根據(jù)正方形和等邊三角形的性質(zhì)，得到為含30度角的直角三角形，，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵四邊形為正方形，為等邊三角形，，，∴，∴，∴；故答案為：2．58．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在菱形中，，，是一條對(duì)角線，是上一點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，連接．若，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，過D作于H，先判斷，都是等邊三角形，得出，，，利用含的直角三角形的性質(zhì)可得出，進(jìn)而求出，，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】解∶過D作于H，∵菱形中，，，∴，，∴，都是等邊三角形，∴，，，∵，∴，∴，又，∴，∴，∴，在中，，∴，故答案為：．59．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在中，，是的一條角平分線，為中點(diǎn)，連接．若，，則．

【答案】【分析】連接，過E作于F，設(shè)，，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證得，，，進(jìn)而利用三角形的外角性質(zhì)和三角形的中位線性質(zhì)得到，，證明，利用相似三角形的性質(zhì)和勾股定理得到；根據(jù)角平分線的定義和相似三角形的判定與性質(zhì)證明得到，進(jìn)而得到關(guān)于x的一元二次方程，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：連接，過E作于F，設(shè)，，

∵，為中點(diǎn)，∴，又，∴，，，∴，，∵，∴，則，又，∴，∴，，∴，則；∵是的一條角平分線，∴，又，∴，∴∴，則，∴，即，解得（負(fù)值已舍去），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的中位線性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義以及解一元二次方程等知識(shí)，是一道填空壓軸題，有一定的難度，熟練掌握三角形相關(guān)知識(shí)是解答的關(guān)鍵．60．（2023·吉林·中考真題）如圖，在中，．點(diǎn)，分別在邊AB，上，連接DE，將沿DE折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．若點(diǎn)剛好落在邊上，，則的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出，即可求解．【詳解】解：∵將沿DE折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．點(diǎn)剛好落在邊上，在中，，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．61．（2023·河北·中考真題）將三個(gè)相同的六角形螺母并排擺放在桌面上，其俯視圖如圖1，正六邊形邊長(zhǎng)為2且各有一個(gè)頂點(diǎn)在直線l上，兩側(cè)螺母不動(dòng)，把中間螺母抽出并重新擺放后，其俯視圖如圖2，其中，中間正六邊形的一邊與直線l平行，有兩邊分別經(jīng)過兩側(cè)正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)．則圖2中（1）度．（2）中間正六邊形的中心到直線l的距離為（結(jié)果保留根號(hào)）．

【答案】【分析】（1）作圖后，結(jié)合正多邊形的外角的求法即可求解；（2）表問題轉(zhuǎn)化為圖形問題，首先作圖，標(biāo)出相應(yīng)的字母，把正六邊形的中心到直線l的距離轉(zhuǎn)化為求，再根據(jù)正六邊形的特征及利用勾股定理及三角函數(shù)，分別求出即可求解．【詳解】解：（1）作圖如下：

根據(jù)中間正六邊形的一邊與直線l平行及多邊形外角和，得，，故答案為：；（2）取中間正六邊形的中心為，作如下圖形，

由題意得：，,，四邊形為矩形，，，，，在中，，由圖1知，由正六邊形的結(jié)構(gòu)特征知：，，，，又，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的特征，勾股定理，含度直角三角形的特征，全等三角形的判定性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握正六邊形的結(jié)構(gòu)特征．62．（2024·山東東營(yíng)·中考真題）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，點(diǎn)在上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)D，的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求證：是的切線；(2)若，，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)6【分析】本題主要考查了圓與三角形綜合．熟練掌握?qǐng)A周角定理及推論，圓切線的判定．含30°的直角三角形性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵．（1）連接，由，，推出，得到，由，得到，即得；（2）由直徑性質(zhì)可得，推出，根據(jù)含30°的直角三角形性質(zhì)得到，根據(jù)，得到．【詳解】（1）證明：∵連接，則，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴是的切線；（2）解：∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴．63．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，直線經(jīng)過點(diǎn)C，且，．(1)求證：直線是的切線；(2)若圓的半徑為4，，求陰影部分的面積．【答案】(1)詳見解析(2)【分析】本題考查了切線的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)和勾股定理、扇形面積的計(jì)算等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握切線的判定與性質(zhì)．（1）利用等腰三角形的性質(zhì)證得，利用切線的判定定理即可得到答案；（2）在中，利用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求得，，再根據(jù)，計(jì)算即可求解．【詳解】（1）證明：連接，∵在中，，，∴，又∵是的半徑，∴直線是的切線；（2）解：由（1）知，∵，∴，∴，在中，，，∴，∴，∴，．64．（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）如圖，在中，，，，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧分別交于點(diǎn)M和N，作直線分別交于點(diǎn)D，E，連接(1)求CD的長(zhǎng)；(2)求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，斜中半定理：直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟記相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵．（1）由題意得是線段AB的垂直平分線，故點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)．據(jù)此即可求解；（2）根據(jù)、的周長(zhǎng)即可求解；【詳解】（1）解：由作圖可知，是線段AB的垂直平分線，∴在中，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)．∴．（2）解：在中，．∵是線段AB的垂直平分線，∴．∴的周長(zhǎng)．65．（2024·湖北武漢·中考真題）問題背景：如圖（1），在矩形中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，連接，，求證：．問題探究：如圖（2），在四邊形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，，與交于點(diǎn)，求證：．問題拓展：如圖（3），在“問題探究”的條件下，連接，，，直接寫出的值．

【答案】問題背景：見解析；問題探究：見解析；問題拓展：【分析】問題背景：根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，根據(jù)點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，可得，即可得證；問題探究：取的中點(diǎn)，連接，得是的中位線，根據(jù)已知條件可得平行且等于，進(jìn)而可得是平行四邊形，得，則，根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半得出，進(jìn)而可得，等量代換可得，等角對(duì)等邊，即可得證；問題拓展：過點(diǎn)作，則四邊形是矩形，連接，根據(jù)已知以及勾股定理得出；根據(jù)（2）的結(jié)論結(jié)合已知可得，證明垂直平分，進(jìn)而得出，證明，進(jìn)而證明，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】問題背景：∵四邊形是矩形，∴，∵，分別是，的中點(diǎn)∴，即，∴；問題探究：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，

∵是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，∴，又∵，∴，∵，∴∴四邊形是平行四邊形，∴∴又∵，是的中點(diǎn)，∴∴∴，∴；問題拓展：如圖所示，過點(diǎn)作，則四邊形是矩形，連接，

∵，∴，設(shè)，則，在中，，∵，由（2）∴，又∵是的中點(diǎn)，∴垂直平分∴，，在中，∴設(shè)，則∴，又∵∴∴又∵∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．六、考點(diǎn)06勾股定理及其逆定理66．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N是邊上任意一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（

）A．15 B． C． D．18【答案】B【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，確定點(diǎn)的軌跡是解題的關(guān)鍵．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合證明，推出，得到點(diǎn)在平行于，且與的距離為5的直線上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線于點(diǎn)，此時(shí)周長(zhǎng)取得最小值，由勾股定理可求解．【詳解】解：過點(diǎn)作，交于，過點(diǎn)作垂足為，∵矩形，∴，∴，∴四邊形和都是矩形，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，∴，∴，∴，∴點(diǎn)在平行于，且與的距離為5的直線上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線于點(diǎn)，此時(shí)周長(zhǎng)取得最小值，最小值為，∵，，∴，故選：B．67．（2024·山東東營(yíng)·中考真題）如圖，在正方形中，與交于點(diǎn)O，H為延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且，連接，分別交，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接，則下列結(jié)論：①；②；③平分；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理可知，，，，與互相垂直且平分，進(jìn)而可求得，根據(jù)正切值定義即可判斷②；由，可知，由相似三角形的性質(zhì)即可判斷①；由，可求得，再結(jié)合與互相垂直且平分，得，可知，進(jìn)而可判斷③；再證，即可判斷④．【詳解】解：在正方形中，，，，，與互相垂直且平分，則，∵，則，∴，故②不正確；∵，則，，∴，∴，故①不正確；∵，∴，∵，∴，又∵與互相垂直且平分，∴，∴，則，∴，∴平分，故③正確；由上可知，，∴，∴，則，又∵，∴，故④正確；綜上，正確的有③④，共2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．68．（2024·四川巴中·中考真題）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問：水深幾何？”這是我國(guó)數(shù)學(xué)史上的“葭生池中”問題．即，，，則（

）A．8 B．10 C．12 D．13【答案】C【分析】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用．設(shè)，則，由勾股定理列出方程進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)，則，由題意，得：，解得：，即，故選：C．69．（2024·四川資陽·中考真題）第屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（）會(huì)標(biāo)如圖所示，會(huì)標(biāo)中心的圖案來源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”，如圖所示的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形（，，，）和一個(gè)小正方形拼成的大正方形．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，則，根據(jù)全等三角形，正方形的性質(zhì)可得，再根據(jù)勾股定理可得，即可求出的值．【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)，則，∵，四邊形為正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性質(zhì)，三角函數(shù)值的知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．70．（2024·遼寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，頂點(diǎn)在直線上，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)是8，為點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點(diǎn)B作軸，垂足為點(diǎn)D，先求出，由勾股定理求得，再由菱形的性質(zhì)得到軸，最后由平移即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)B作軸，垂足為點(diǎn)D，∵頂點(diǎn)在直線上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是8，∴，即，∴，∵軸，∴由勾股定理得：，∵四邊形是菱形，∴軸，∴將點(diǎn)B向左平移10個(gè)單位得到點(diǎn)C，∴點(diǎn)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖像，勾股定理，菱形的性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)平移，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．71．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在中，，，，D是邊的中點(diǎn)，E是邊上一點(diǎn)，連接．將沿翻折，點(diǎn)C落在上的點(diǎn)F處，則．【答案】【分析】本題考查勾股定理與折疊問題，勾股定理求出的長(zhǎng)，折疊得到，，設(shè)，在中，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，，，D是邊的中點(diǎn)，∴，∴，∵將沿翻折，點(diǎn)C落在上的點(diǎn)F處，∴，，∴，設(shè)，則：，在中，由勾股定理，得：，解得：；∴；故答案為：．72．（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為2的正六邊形內(nèi)接于，則它的內(nèi)切圓半徑為（

）

A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】本題考查了正多邊形與圓，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理；連接，，作于G，證明是等邊三角形，可得，然后利用勾股定理求出即可．【詳解】解：如圖，連接，，作于G，

∵，，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，即它的內(nèi)切圓半徑為，故選：D．73．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)．是邊上一點(diǎn)，是上一點(diǎn)，連接．若與關(guān)于直線對(duì)稱，則的周長(zhǎng)是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正方形的性質(zhì)可求出，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，則，再求出，，即可求出答案．【詳解】解：正方形的邊長(zhǎng)為2，∴，∴，∵與關(guān)于直線對(duì)稱，∴，，∴，，∴，∴，∴，∴的周長(zhǎng)是，故選：A．74．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，四邊形是菱形，，，于點(diǎn)，則的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了勾股定理，菱形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理求得，進(jìn)而得出，進(jìn)而根據(jù)等面積法，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是菱形，，，∴，，，在中，，∴，∵菱形的面積為，∴，故選：A．75．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為的扇形，若扇形的半徑是5，則該圓錐的體積是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了弧長(zhǎng)公式，圓錐的體積公式，勾股定理，理解圓錐的底面周長(zhǎng)與側(cè)面展開圖扇形的弧長(zhǎng)相等是解題關(guān)鍵，設(shè)圓錐的半徑為，則圓錐的底面周長(zhǎng)為，根據(jù)弧長(zhǎng)公式得出側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)，進(jìn)而得出，再利用勾股定理，求出圓錐的高，再代入體積公式求解即可．【詳解】解：設(shè)圓錐的半徑為，則圓錐的底面周長(zhǎng)為，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為的扇形，且扇形的半徑是5，扇形的弧長(zhǎng)為，圓錐的底面周長(zhǎng)與側(cè)面展開圖扇形的弧長(zhǎng)相等，，，圓錐的高為，圓錐的體積為，故選：D．76．（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）如圖，在中，弦的長(zhǎng)為8，圓心O到的距離，則的半徑長(zhǎng)為（

）A．4 B． C．5 D．【答案】B【分析】本題考查垂徑定理、勾股定理，先根據(jù)垂徑定理得到，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：∵在中，弦的長(zhǎng)為8，圓心O到的距離，∴，，在中，，故選：B．77．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在矩形中，是邊上兩點(diǎn)，且，連接與相交于點(diǎn)，連接．若，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，求角的正弦值：過點(diǎn)作，證明，得到，再證明，分別求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，勾股定理求出的長(zhǎng)，再利用正弦的定義，求解即可．【詳解】解：∵矩形，，，，∴，，∴，，∴，∴過點(diǎn)作，則：，∴，∴，∴，，∴，∴，∴；故選A．78．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，正方形的面積為50，以為腰作等腰，平分交于點(diǎn)G，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接．若，則．【答案】【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求出的長(zhǎng)，再求出，從而可得，，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)，最后在和中，利用勾股定理求解即可得．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，∵正方形的面積為50，∴，，∵，，∴，平分，，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴是等腰直角三角形，，∴，∴，又∵，平分，∴垂直平分，∴，，∴，∴，∴，∴，在中，，設(shè)，則，在和中，，即，解得，即，則，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、勾股定理、二次根式的化簡(jiǎn)等知識(shí)，熟練掌握等腰三角形的三線合一是解題關(guān)鍵．79．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，矩形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，于點(diǎn)，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)．若，，則點(diǎn)到的距離為．【答案】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形的相關(guān)知識(shí)，過點(diǎn)F作，垂足為H，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，利用角的余弦值求出的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出，從而得出，利用三角形面積求出即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)F作，垂足為H，四邊形為矩形，，，，，，，即，解得：，，即，解得：，，，，即，解得：，故答案為：．80．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，把矩形紙片沿對(duì)角線折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，與交于點(diǎn)F，若，，則的值是．【答案】【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．折疊問題優(yōu)先考慮利用勾股定理列方程，證，再利用求出邊長(zhǎng)，從而求解即可．【詳解】解：∵折疊，，∵四邊形是矩形，，，，，，在中，，，解得，，故答案為：．81．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）如圖，在矩形紙片中，，為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，連接，將沿翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接．若，則．【答案】/【分析】如圖：連接，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于H，根據(jù)折疊的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，證明，進(jìn)而得到為直角三角形，設(shè)，則，證明為等腰三角形，求出，進(jìn)而完成解答．【詳解】解：如圖：連接，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于H，∵矩形中，為邊的中點(diǎn)，，∴，，∵將沿翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即，∴為直角三角形，設(shè)，則，∴，∴，∴為等腰三角形，∴，∴，