湖南省衡陽市衡南縣2024屆九年級(jí)上學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2023-2024學(xué)年湖南省衡陽市衡南縣九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，滿分36分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（3分）若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x≤3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≠3解析：解：由題意得：2x﹣6≥0，解得：x≥3，故選：B．2．（3分）下列四條線段成比例的是（）A．4，2，1，3 B．1，2，2，4 C．3，4，5，6 D．1，2，3，5解析：解：A、∵，故選項(xiàng)不符合題意；B、∵，故選項(xiàng)符合題意；C、∵，故選項(xiàng)不符合題意；D、∵，故選項(xiàng)不符合題意．故選：B．3．（3分）將一個(gè)三角形按2：1的比放大后，它的面積（）A．保持不變 B．放大到原來的2倍 C．放大到原來的4倍 D．無法確定解析：解：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，面積比等于相似比的平方，相似比為2，則面積就是原來面積的四倍．故選：C．4．（3分）觀察下列各組式子：①，；②，；③，．可猜想得到：（a≥0，b≥0），上述探究過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法是（）?A．從特殊到一般 B．類比 C．轉(zhuǎn)化 D．公理化解析：解：由題意得：探究過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法是：從特殊到一般．故選：A．5．（3分）下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．解析：解：A．的被開方數(shù)中含有能開方的因數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；B．的被開方數(shù)中的因數(shù)不是整數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；C．的被開方數(shù)中含有能開方的因數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；D．是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．6．（3分）方程（x+1）（x﹣3）＝0的解是（）A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝﹣3 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3解析：解：∵（x+1）（x﹣3）＝0，∴x+1＝0或x﹣3＝0，解得：x＝﹣1或x＝3，故選：C．7．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．解析：解：與無法合并，則A不符合題意；2﹣＝，則B不符合題意；×＝＝，則C符合題意；÷3＝＝，則D不符合題意；故選：C．8．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0時(shí)，原方程應(yīng)變形為（）A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣2）2＝9解析：解：由原方程移項(xiàng)，得x2﹣2x＝5，方程的兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)﹣2的一半的平方1，得x2﹣2x+1＝6∴（x﹣1）2＝6．故選：C．9．（3分）下列方程中，有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的是（）A．x2﹣1＝0 B．x2+1＝2x C．x2﹣2x＝3 D．x2﹣2x＝0解析：解：A、Δ＝02﹣4×（﹣1）＝4＞0，此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不符合題意；B、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，此方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，符合題意；C、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不符合題意；D、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不符合題意．故選：B．10．（3分）如圖，AD、BC相交于點(diǎn)O，由下列條件不能判定△AOB與△DOC相似的是（）A．AB∥CD B．∠A＝∠D C． D．解析：解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本選項(xiàng)不符合題意．B、由∠AOB＝∠DOC、∠A＝∠D能判定△AOB∽△DOC，故本選項(xiàng)不符合題意．C、由、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本選項(xiàng)不符合題意．D、已知兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等：，但其夾角不一定對(duì)應(yīng)相等，不能判定△AOB與△DOC相似，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．11．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，則關(guān)于y的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是（）A．y1＝2，y2＝﹣4 B．y1＝0，y2＝﹣4 C．y1＝3，y2＝﹣3 D．y1＝1，y2＝﹣3解析：解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，∴關(guān)于（y+1）的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是y1+1＝1，y2+1＝﹣3，∴關(guān)于y的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是y1＝0，y2＝﹣4．故選：B．12．（3分）若a，b是方程x2+2x﹣2024＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a2+3a+b的值是（）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024解析：解：∵a，b是方程x2+2x﹣2024＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴a2+2a＝2024，a+b＝﹣2，∴a2+3a+b＝（a2+2a）+a+b＝2024+（﹣2）＝2022，故選：B．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）13．（3分）最簡(jiǎn)二次根式是同類二次根式，則a的值為4．解析：解：∵最簡(jiǎn)二次根式是同類二次根式，∴a+1＝5，∴a＝4．故答案為：4．14．（3分）式子的值為2．解析：解：原式＝|﹣2|＝2．故答案為：2．15．（3分）已知關(guān)于x方程x2﹣3x+a＝0有一個(gè)根為﹣1，則方程的另一個(gè)根為4．解析：解：設(shè)方程的另一個(gè)根為m，根據(jù)題意得：﹣1+m＝3，解得：m＝4．故答案為：4．16．（3分）根據(jù)表格估計(jì)方程x2+2x＝6其中一個(gè)解的近似值．x1.631.641.651.66…x2+2x5.91695.96966.02256.0756…根據(jù)上表，求方程x2+2x＝6的一個(gè)解大約是1.65.（精確到0.01）解析：解：根據(jù)題意得：6﹣5.9696＝0.0304，6.0225﹣6＝0.0225，0.0304＞0.0225，可見6.0225比5.9696更逼近6，當(dāng)精確度為0.01時(shí)，方程x2+2x＝6的一個(gè)解約是1.65；故答案為：1.65．17．（3分）如圖，用一個(gè)卡鉗（AD＝BC，＝＝）測(cè)量某個(gè)零件的內(nèi)孔直徑AB，量得CD長(zhǎng)度為6cm，則AB等于18cm．解析：解：∵＝＝，∠COD＝∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴AB：CD＝3，∵CD＝6cm，∴AB＝6×3＝18（cm），故答案為：18．18．（3分）我國古代數(shù)學(xué)家曾經(jīng)研究過一元二次方程的幾何解法，以方程x2+5x＝14為例，三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載的方法是：構(gòu)造如圖所示的大正方形ABCD，它由四個(gè)全等的長(zhǎng)方形和中間一個(gè)小正方形組成，根據(jù)面積關(guān)系可求得AB的長(zhǎng)，從而解得x．根據(jù)此法，圖中正方形ABCD的面積是81．解析：解：由x2+5x＝14得到：．解得：x1＝2，x2＝﹣7（負(fù)值舍去），所以正方形ABCD的面積＝（x+x+5）2＝（4+5）2＝81，故答案為：81．三、解答題（本大題共8小題，滿分66分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（6分）計(jì)算：×．解析：解：原式＝﹣﹣2＝4﹣2﹣2＝0．20．（6分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，F(xiàn)是邊AB上一點(diǎn)，且CB＝CF，過點(diǎn)A作CF的垂線，交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，求證：△ADF∽△ACB．解析：解：∵CB＝CF，∴∠B＝∠CFB，∴∠CFB＝∠AFD，∵AD⊥CD，∠ACB＝90°，∴∠D＝∠BCA，∴△ADF∽△ACB．21．（8分）已知長(zhǎng)方形長(zhǎng)a＝，寬b＝．①求長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)；②求與長(zhǎng)方形等面積的正方形的周長(zhǎng)，并比較長(zhǎng)方形周長(zhǎng)與正方形周長(zhǎng)大小關(guān)系．解析：解：①長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為2×（+）＝2×（2+）＝6；②長(zhǎng)方形的面積為×＝2×＝6，則正方形的邊長(zhǎng)為，∴此正方形的周長(zhǎng)為4，∵6＝，4＝，且＜，∴6＞4，則長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)大于正方形的周長(zhǎng)．22．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m﹣2＝0．（1）求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若該方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為3，求m的值．解析：（1）證明：∵一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m﹣2＝0，∴Δ＝（1﹣m）2﹣4（m﹣2）＝m2﹣2m+1﹣4m+8＝（m﹣3）2．∵（m﹣3）2≥0，∴Δ≥0．∴該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（2）解：∵一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m﹣2＝0，解方程，得x1＝1，x2＝m﹣2．∵該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為3，∴|1﹣（m﹣2）|＝3．∴m＝0或m＝6．綜上所述，m的值是0或6．23．（8分）如圖，在△ABC中，D、E、F分別是AB、BC上的點(diǎn)，且DE∥AC，AE∥DF．（1）當(dāng)，BF＝6cm時(shí)，求BE的長(zhǎng)；（2）求證：BE2＝BF?BC．解析：（1）解：∵，∴＝，∵AE∥DF，∴＝＝，∴BE＝BF＝×6＝10（cm）；（2）證明：∵DE∥AC，∴＝，∵AE∥DF，∴＝，∴＝，∴BE2＝BF?BC．24．（8分）小明在解一元二次方程時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一種解法：如：解方程x（x+4）＝6，解：原方程可變形，得：[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6．（x+2）2﹣22＝6，（x+2）2＝6+22，（x+2）2＝10．直接開平方并整理，得．，，我們稱小明這種解法為“平均數(shù)法”．（1）下面是小明用“平均數(shù)法”解方程（x+3）（x+7）＝5時(shí)寫的解題過程．解：原方程可變形，得：[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝5．（x+a）2﹣b2＝5，（x+a）2＝5+b2．直接開平方并整理，得．x1＝c，x2＝d．上述過程中的a，b，c，d表示的數(shù)分別為5，2，2，﹣8；（2）請(qǐng)用“平均數(shù)法”解方程：（x﹣5）（x+3）＝5．解析：解：（1）由題意知a＝5，b＝2，∴（x+a）2＝5+b2．可變形為（x+5）2＝9，∴x+5＝3或x+5＝﹣3，解得x1＝2，x2＝﹣8，即c＝2，d＝﹣8，故答案為：5、2、2、﹣8；（2）原方程可變形為[（x﹣1）﹣4][（x﹣1）+4]＝5．（x﹣1）2﹣42＝5，（x﹣1）2＝5+42，（x﹣1）2＝21．直接開平方并整理，得x1＝1+，x2＝1﹣．25．（10分）解決問題：鄧州公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計(jì)了某品牌頭盔7月份到9月份的銷量，該品牌頭盔7月份銷售500個(gè)，9月份銷售720個(gè)，且從7月份到9月份銷售量的月增長(zhǎng)率相同．（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率；（2）若此種頭盔的進(jìn)價(jià)為30元/個(gè)，經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，當(dāng)售價(jià)為40元/個(gè)時(shí)，月銷售量為600個(gè)，若在此基礎(chǔ)上售價(jià)每上漲1元/個(gè)，則月銷售量將減少10個(gè)，為使月銷售利潤(rùn)達(dá)到10000元，而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少元？解析：解：（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率為x，依題意，得：500（1+x）2＝720，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．答：該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率為20%．（2）設(shè)該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)為y元，依題意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000，整理，得：y2﹣130y+4000＝0，解得：y1＝80（不合題意，舍去），y2＝50，答：該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為50元．26．（12分）綜合與實(shí)踐問題情境：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到Rt△EBD，連接AE，連接CD并延長(zhǎng)交AE于點(diǎn)F．猜想驗(yàn)證：（1）試猜想△CBD與△ABE是否相似？并證明你的猜想．探究證明：（2）如圖，連接BF交DE于點(diǎn)H，AB與CF相交于點(diǎn)G，是否成立？并說明理由．拓展延伸：（3）若CD＝EF，直接寫出的值．解析：解：（1）△CBD與△ABE相似，∵將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到Rt△EBD，∴CB＝BD，AB＝BE，∠C