初中數(shù)學(xué)等邊三角形考點方法考題解析

初中數(shù)學(xué)等邊三角形考點方法考題解析考點方法破譯1．等邊三角形及其性質(zhì)：三邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60．等邊三角形是軸對稱圖形，對稱軸是頂角平分線或底邊上的高、中線所在直線；2．等邊三角形的判定：三邊都相等的三角形是等邊三角形；三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形；3．在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半，反之也成立．經(jīng)典考題賞析【例1】如圖，△DAC和△EBC均是等邊三角形，A、C、B三點在一條直線上．AE、BD分別與CD、CE交于點M、N．(1)求證：△ACE≌△DCB;(2)求∠AFD的度數(shù)；(3)判斷△CMN的形狀【解法指導(dǎo)】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用全等三角形中邊角的關(guān)系可解決問題．解：(1)∵等邊三角形DAC與等邊三角形EBC∴AC＝DC，CE＝CB，∠ACD＝∠BCE＝60°∴∠ACE＝∠DCB∴在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB(2)∵∠ACE≌∠DCB,∴∠1＝∠2又∵∠1＋∠DFA＝＝∠2＋∠ACD∴∠AFD＝∠ACD＝60°(3)在△ACM和△DCN中,∴△ACM≌△DCN∴CM＝CN又∵∠DCN＝60°∴△CMN是等邊三角形．【變式題組】01．(天津)如圖，P、Q是△ABC的邊BC上的兩點，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，則∠BAC的大小等于__________度02．(荊州)如圖，D是等邊△ABC的邊AB上的一動點，以CD為一邊向上作等邊△EDC，連接AE，找出圖中的一組全等三角形，并說明理由．03．如圖，在正△ABC中，D,E分別是BC、AC上的一點，且AE＝CD．AD與BE相交于點P，且BQ⊥AD于Q．求證BP＝2PQ04．(黃岡)如圖，過邊長為1的等邊△ABC的邊AB上一點P，作PE⊥AC于E，Q是BC延長線上一點，當(dāng)PA＝CQ時，連接PQ交AC于D，求DE的長．【例2】P是△ABC內(nèi)一點，∠PBC＝30°，∠PBA＝8°，且∠PAB＝∠PAC＝22°，求∠APC的度數(shù)【解法指導(dǎo)】由于∠PAB＝∠PAC,因而PA平分∠BAC,根據(jù)角平分線的特點可構(gòu)造全等三角形，其方法一：在AB邊上截??；方法二：延長AC邊，又由于∠BPA＝150°是特殊角，考慮∠BPA的完整性，因而取方法二的可能性更大．解：延長AC到D，使AD＝AB，連接PD、BD,∵∠PBA＝8°∠PAB＝22°∴∠BPA＝150°，在△ABP和△ADP中，∴△ABP≌△ADP∴∠APB＝∠APD＝150°，BP＝DP,∠PBA＝∠APD＝8°∴∠BPD＝60°,∴△BPD是正三角形∵∠PBC＝30°∴∠PBC＝∠DBC在△PBC和△DBC中，∴△PBC≌△DBC,∴PC＝CD∴∠CPD＝∠CDP＝8°∴∠APC＝∠APD一∠CPD＝150°一8°＝142°【變式題組】01．如圖，D是等邊三角形ABC內(nèi)一點，E為ABC外部一點，滿足DA＝DB，BE＝BA，∠DBE＝∠DBC．求∠BED的度數(shù)．02．如圖．D是△ABC外一點．AB＝AC＝BD＋CD，∠ABD＝60°求∠ACD的度數(shù)．【例3】如圖(1)，△ABC等邊三角形，△BDC是頂角120°的等腰三角形，以D為頂點作60°的角，它的兩邊分別與AB、AC交于點M和N，連接MN．(1)探究：MN、NC之間的關(guān)系，并加以證明;(2)若點M、N分別在射線AB、CA上，其他條件不變，再探究線段BM、MN、NC之間的關(guān)系，在圖(2)中畫出相應(yīng)的圖形．并就結(jié)論說明理由【解法指導(dǎo)】對于(1)，這時在△DMB中，有∠DBM＝∠DBC＋∠CBA＝30°＋60°＝90°為了把BM，MN，NC集中到一個三角形中去，將△DMB繞D點順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△DGC．如圖(3)．從而有MB＝GC．而此時恰又有△MND≌△GND·得MN＝NG＝NC＋CG＝NC＋BM．對于(2)，此時的圖形(4)，仍作(1)中的旋轉(zhuǎn)，類似地可以推得MN＝CN一BM解(1)關(guān)系為MN＝BM＋NC證明：延長AC到G，使CG＝BM，連接DG，如圖(3)∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝60°十30°＝90°同理也有∠ACD＝90°在△DMB和△DGC中；DB＝DC．BM＝CG∴△DMB≌△DGC∴DM＝DG．∠MDB＝∠GDC．在△MND和△GND中，ND公用，DM＝DG，∠MDN＝60°∠GDN＝∠GDC＋∠DCN＝∠MDB＋∠CDN＝60°∴△MND≌△GND∴MN＝GN＝GC十NC＝BM＋NC(2)此時．圖形如圖(4)，有關(guān)系式MN＝CN—BM理由如下：在CN上截取GG＝BM．連接DG，如圖(4)與(1)中情況類似．可推得∠ABD＝∠ACD＝90°．且Rt△DMB≌△DGC，得DM＝DG．∠MDB＝∠GDC仍與(1)中情況婁似，可推得△MND≌△GND．就有MN＝GN＝NC—CG＝NC—BM．【變式題組】01．用兩個全等的等邊三角形△ABC和△ACD拼成四邊形ABCD，把一個含60°角的三角尺與這個四邊形疊合，使三角尺的60°角的頂點與點A重合．兩邊分別與AB、AC重合，將三角尺繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)(1)當(dāng)三角尺的兩邊分別與四邊形的兩邊BC、CD相交于點E，F(xiàn)時，(如圖1)，通過觀察或測量BE，CF的長度，你能得出什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)三角尺的兩邊分別與四邊形的兩邊BC、CD的延長線相交于點F時(如圖2)，你在(1)中得到的結(jié)論還成立嗎，簡要說明理由．02．如圖．四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°求證：AC＝BC＋DC．鞏固練習(xí)反饋提高01．如圖．△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，點E在AC上，且AE＝AD，則∠DEC＝()A105°B85°C95°D75°第1題圖第2題圖02．如圖，等邊△ABC，D在AC上，延長BC到E．使CE＝CD，若BD＝DE，給出下列結(jié)論：①BD平分∠ABC②AD＝AB③CE＝BC④∠A＝2∠E，其中正確結(jié)論的個數(shù)是()A．4個B3個C2個D1個03．(河北)如圖，等邊△ABC的邊長為1cm，D、E分別是AB、AC上的點，將△ABC沿直線DE折疊，點A落在A’處，且A’在△ABC外部，則陰影部分圖形的周長為__________cm第3題圖第4題圖第5題圖第3題圖第4題圖第5題圖04．在等邊△ABC中，AC＝9，點O在AC上，且AO＝3，點P是AB上一動點，連接OP，將線段OP繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段OD，要使點D恰好落在BC上，則AP＝__________．05．如圖，△ABC是等邊三角形，D、E、F分別在AB、BC、AC上，且DE⊥BC，EF⊥AC，F(xiàn)D⊥AB，試判斷△DEF是否為等邊三角形，并說明理由．06．請你用三種不同的分割方法，將圖中的三個正三角形分別分割成四個等腰三角形(在圖中畫出分割線，并標(biāo)出必要的角的度數(shù))．07．如圖，點D是等邊△ABC邊AB上的一點．AB＝3AD，DE⊥BC于點E，AE、CD相交于點F(1)求證：△ACD≌△BAE：(2)過點C作CG⊥AE，垂足為點G，探究CF與FG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．08．如圖：△ABC是等邊三角形，D是AB邊上的點，將線段DB繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，延長ED交AC于點F，連接DC，AE．求證：△ADE≌△DFC09．如圖：△ABC是等邊三角形，點D、E分別在CA、AB的延長線上，AD＝BE．DB的延長線交EC于F．求證：(1)DB＝EC；(2)∠BFC＝60°10．(常德)如圖1，若△ABC與△ADE為等邊三角形，M、N分別是EB、CD的中點，易證：CD＝BE，△AMN是等邊三角形．(1)當(dāng)把△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，CD＝BE是否仍然成立?若成立請證明，若不成立請說明理由；(2)當(dāng)△ADE繞A點旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，△AMN是否還是等邊三角形?若成立請證明，若不成立請說明理由．第06講實數(shù)考點·方法·破譯1．平方根與立方根：若＝a(a≥0)則x叫做a的平方根，記為：a的平方根為x＝±，其中a的平方根為x＝叫做a的算術(shù)平方根．若x3＝a，則x叫做a的立方根．記為：a的立方根為x＝．2．無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)．實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)．任何有理數(shù)都可以表示為分?jǐn)?shù)（p、q是兩個互質(zhì)的整數(shù)，且q≠0）的形式．3非負(fù)數(shù)：實數(shù)的絕對值，實數(shù)的偶次冪，非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根（或偶次方根）都是非負(fù)數(shù)．即>0，≥0（n為正整數(shù)），≥0(a≥0)．經(jīng)典·考題·賞析【例1】若2m－4與3m－1是同一個數(shù)的平方根，求m的值．【解法指導(dǎo)】一個正數(shù)的平方根有兩個，并且這兩個數(shù)互為相反數(shù)．∵2m?4與3m?l是同一個數(shù)的平方根，∴2m?4＋3m?l＝0，5m＝5，m＝l．【變式題組】01．一個數(shù)的立方根與它的算術(shù)平方根相等，則這個數(shù)是____．02．已知m是小于的最大整數(shù)，則m的平方根是____．03．的立方根是____．04．如圖，有一個數(shù)值轉(zhuǎn)化器，當(dāng)輸入的x為64時，輸出的y是____．輸入輸入x取算術(shù)平方根輸出y是無理數(shù)是有理數(shù)【例2】（全國競賽）已知非零實數(shù)a、b滿足，則a＋b等于()A．－1B．0C．1D．2【解法指導(dǎo)】若有意義，∵a、b為非零實數(shù)，∴b2>0∴a－3≥0a≥3∵∴，∴．∴，∴，故選C．【變式題組】0l．在實數(shù)范圍內(nèi)，等式＝0成立，則ab＝____．02．若，則的平方根是____．03．（天津）若x、y為實數(shù)，且，則的值為（）A．1B．－1C．2D．－204．已知x是實數(shù)，則的值是()A．B．C．D．無法確定【例3】若a、b都為有理效，且滿足．求a＋b的平方根．【解法指導(dǎo)】任何兩個有理數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為0）還是有理數(shù)，但兩個無理數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為0）不一定是無理數(shù)．∵，∴即，∴，a＋b＝12＋13＝25．∴a＋b的平方根為：．【變式題組】01．（西安市競賽題）已知m、n是有理數(shù)，且（＋2）m＋(3－2)n＋7＝0求m、n．02．（希望杯試題）設(shè)x、y都是有理數(shù)，且滿足方程（）x＋（）y?4?＝0，則x?y＝____．【例4】若a為?2的整數(shù)部分，b?1是9的平方根，且，求a＋b的值．【解法指導(dǎo)】一個實數(shù)由小數(shù)部分與整數(shù)部分組成，?2＝整數(shù)部分＋小數(shù)部分．整數(shù)部分估算可得2，則小數(shù)部分＝?2?2＝?4．∵a＝2，b?1＝±3，∴b＝－2或4∵．∴a<b，∴a＝2，b＝4，即a＋b＝6．【變式題組】01．若3＋的小數(shù)部分是a，3?的小數(shù)部分是b，則a＋b的值為____．02．的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則（＋a）·b＝____．演練鞏固反饋提高0l．下列說法正確的是()A．－2是(－2)2的算術(shù)平方根B．3是－9的算術(shù)平方根C．16的平方根是±4D．27的立方根是±302．設(shè)，b＝－2，，則a、b、c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)<b<cB．a(chǎn)<c<bC．b<a<cD．c<a<b03．下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是()A．－9與81的平方根B．4與C．4與D．3與04．在實數(shù)1.414，，0.，5?，，3.，中無理數(shù)有()A．2個B．3個C．4個D．5個05．實數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的位置如圖所示，則()A．b>aB．C．－a＜bD．－b>a06．現(xiàn)有四個無理數(shù)，，，，其中在＋1與＋1之間的有()A．1個B．2個C．3個D．4個07．設(shè)m是的平方根，n＝．則m，n的關(guān)系是()A.m＝±nB.m＝nC.m＝－nD.08．（煙臺）如圖，數(shù)軸上A、B兩點表示的數(shù)分別為－1和，點B關(guān)于點A的對稱點C，則點C所表示的數(shù)為()A．－2B．－1C．－2＋D．l＋09．點A在數(shù)軸上和原點相距個單位，點B在數(shù)軸上和原點相距3個單位，且點B在點A左邊，則A、B之間的距離