陜西省榆林市第十中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次模擬考試試題理含解析

PAGE17-陜西省榆林市第十中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次模擬考試試題理（含解析）（滿分：150分，考試時間：120分鐘）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別求出集合，進而求出二者的交集即可.【詳解】由，得，所以集合，又，所以.故選：C.【點睛】本題考查集合的交集，考查對數(shù)不等式的解法，考查學(xué)生的計算求解實力，屬于基礎(chǔ)題.2.已知命題“，”，則為(）A.， B.，，C.不存在， D.，【答案】A【解析】【分析】全稱量詞改成存在量詞,等于改成不等于即可得到.【詳解】因為“，”,所以:.故選A.【點睛】本題考查了含一個量詞的命題的否定,屬于基礎(chǔ)題.3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由可得，由也可得，視察兩個范圍之間的關(guān)系即可得結(jié)果.【詳解】解：由可得，由可得，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A.【點睛】本題考查條件的充分性和必要性，關(guān)鍵是求出的取值，本題是基礎(chǔ)題.4.復(fù)數(shù)z滿意，則（）A.i B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法求出z，再求.【詳解】由題得，所以.故選：B.【點睛】該題主要考查復(fù)數(shù)的除法運算和共軛復(fù)數(shù)，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平，屬于基礎(chǔ)題目.5.函數(shù)的圖象可能為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)定義域以及函數(shù)值正負識別函數(shù)圖象，并進行選擇.【詳解】當(dāng)時，所以舍去B,C;當(dāng)時無意義，所以舍去D;故選：A【點睛】本題考查函數(shù)圖象的識別，考查基本分析推斷實力，屬基礎(chǔ)題.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出、、的范圍，與臨界值0和1比較即可得結(jié)論.【詳解】，，，所以故選：D【點睛】本題主要考查了指、對、冪大小關(guān)系，屬于中檔題.7.將甲桶中的a升水緩慢注入空桶乙中，后甲桶剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線．假設(shè)過后甲桶和乙桶的水量相等，若再過甲桶中的水只有升，則m的值為（）A.5 B.6 C.8 D.10【答案】A【解析】【分析】通過時水量相等得到與之間的關(guān)系，再代入時的函數(shù)關(guān)系式中，求得，最終求得.【詳解】因為注水過后甲桶和乙桶的水量相等，所以，解得若后水量為升，所以即，解得故選：A.【點睛】本題考查函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠利用函數(shù)關(guān)系式建立起水量和時間之間的等量關(guān)系，考查學(xué)生的審題實力與就算實力，屬于基礎(chǔ)題.8.素數(shù)也叫質(zhì)數(shù),部分素數(shù)可寫成“”的形式（是素數(shù)）,法國數(shù)學(xué)家馬丁?梅森就是探討素數(shù)的數(shù)學(xué)家中成就很高的一位,因此后人將“”形式（是素數(shù)）的素數(shù)稱為梅森素數(shù).2024年底發(fā)覺的第個梅森素數(shù)是,它是目前最大的梅森素數(shù).已知第個梅森素數(shù)為,第個梅森素數(shù)為,則約等于（參考數(shù)據(jù)：）（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)兩數(shù)遠遠大于1,的值約等于,設(shè),運用指數(shù)運算法則,把指數(shù)式轉(zhuǎn)化對數(shù)式,最終求出的值.【詳解】因為兩數(shù)遠遠大于1,所以的值約等于,設(shè),因此有.故選C【點睛】本題考查了數(shù)學(xué)估算實力,考查了指數(shù)運算性質(zhì)、指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對數(shù)式,屬于基礎(chǔ)題.9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值分別為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦函數(shù)的周期性可得，進而求得，再利用時取得最大值可求得值.【詳解】∵在同一周期內(nèi)，函數(shù)在時取得最大值，時取得最小值，∴函數(shù)的周期滿意，由此可得，解得，函數(shù)表達式為.又∵當(dāng)時取得最大值2，∴，可得，∵，∴取，得.故選：A.【點睛】本題考查由的部分圖象確定函數(shù)解析式，考查正弦函數(shù)的周期性和最值，屬于基礎(chǔ)題.10.如圖，是圓O直徑，P是圓弧上的點，M、N是直徑上關(guān)于O對稱的兩點，且，則（）A.13 B.7 C.5 D.3【答案】C【解析】【分析】依據(jù)向量的加法和減法法則表示、，再依據(jù)向量數(shù)量積運算公式計算，即可求出結(jié)果．【詳解】連結(jié)，則，，，所以.故選：C.【點睛】該題考查向量運算及向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，兩個向量加減法及其幾何意義，屬于中檔題目．11.函數(shù)，則（）A.在上遞增 B.在上遞減C.在上遞減 D.在上遞增【答案】C【解析】【分析】由于常規(guī)方法無法進行化簡，故須要對進行求導(dǎo)，依據(jù)導(dǎo)數(shù)來探討函數(shù)的增減性【詳解】，故，故在和單調(diào)遞增，即在上遞減答案選C【點睛】本題考查依據(jù)導(dǎo)數(shù)來探討三角函數(shù)增減性問題，依據(jù)導(dǎo)數(shù)正負對應(yīng)的區(qū)間來確定原函數(shù)的增減性，既考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，又考查了三角函數(shù)圖像的基本性質(zhì)12.已知函數(shù)f(x)＝則使方程x＋f(x)＝m有解的實數(shù)m的取值范圍是（）A.(1，2) B.(－∞，－2]C.(－∞，1)∪(2，＋∞) D.(－∞，1]∪[2，＋∞)【答案】D【解析】【分析】分別探討x≤0和x>0，方程有解時，m的取值.【詳解】當(dāng)x≤0時，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；當(dāng)x>0時，x＋f(x)＝m，即，解得m≥2，即實數(shù)m的取值范圍是故選：D【點睛】本題考查了方程有解求參數(shù)的取值問題，考查了計算求解實力和邏輯推理實力，屬于一般題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已如向量，若，則_________．【答案】【解析】【分析】首先求出坐標(biāo)，再求出，求出，寫出方程即可求出的值.【詳解】因為，所以，，，因為，所以，即，所以，解得：，故答案為：【點睛】本題主要考查了向量的模和向量的數(shù)量積，屬于中檔題.14.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則___________．【答案】【解析】【分析】由函數(shù)為奇函數(shù)，可得，代入即可得的值.【詳解】因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，，所以恒成立，即恒成立，所以，故答案為：【點睛】本題主要考查了利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題.15.已知定義在上函數(shù)滿意，且，則________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意得函數(shù)為周期函數(shù)，周期為，再依據(jù)周期性求函數(shù)值即可.【詳解】解：因為函數(shù)滿意，所以，所以函數(shù)是周期函數(shù)，周期為，由于，，所以故答案為：.【點睛】本題考查利用函數(shù)的周期性求函數(shù)值，是基礎(chǔ)題.16.已知數(shù)列滿意，則________，________．【答案】(1).3(2).【解析】【分析】首先求得的值，然后結(jié)合遞推關(guān)系式求解時的通項公式，即可確定數(shù)列的通項公式.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，由題意可得：，，兩式作差可得：，故，因為，不滿意，所以.故答案為：3；.【點睛】本題主要考查由遞推關(guān)系式求數(shù)列通項公式的方法，考查學(xué)生的推理實力與計算求解實力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由條件可得，解出即可.

(2)由，用裂項相消法求和即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由條件有解得所以（2）所以【點睛】本題考查求等差數(shù)列的通項公式和利用裂項相消法求和，屬于基礎(chǔ)題.18.已知的外接圓半徑為R，其內(nèi)角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，設(shè)．（1）求角B；（2）若，，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）邊角轉(zhuǎn)化得，即可得到，由，可求出，進而可得到角；（2）由正弦定理，可求出，進而可求出，從而，計算即可.【詳解】（1）由正弦定理，可得，因為，所以，因為，所以，則，又，所以.（2）由正弦定理，得，由，故為銳角，則，所以.【點睛】本題考查正弦定理在解三角形中的運用，考查兩角和的正弦公式的運用，考查學(xué)生的計算求解實力，屬于基礎(chǔ)題.19.已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱．（Ⅰ）求實數(shù)的值；（Ⅱ）若函數(shù)的圖象與軸有三個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱得，代入函數(shù)解析式，聯(lián)解可得.（Ⅱ）問題等價于方程有三個不相等的實根時，求的取值范圍.作出兩函數(shù)圖像可得解.【詳解】（Ⅰ）.導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，.又，解得..（Ⅱ）由（Ⅰ），得.令，解得.當(dāng)或時，，在上分別單調(diào)遞增.又當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減.的極大值為，微小值為.實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查利用函數(shù)零點存在狀況求參數(shù)問題.利用函數(shù)零點存在狀況求參數(shù)的策略:(1)解決由函數(shù)零點(方程根)的存在狀況求參數(shù)的值或取值范圍問題，關(guān)鍵是利用函數(shù)方程思想或數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式求解．(2)通過導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、改變趨勢等，依據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置，通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使問題的求解有一個清楚、直觀的整體呈現(xiàn)．20.設(shè)．（1）求的單調(diào)增區(qū)間；（2）在銳角中，角的對邊分別為，若，求面積的最大值．【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間是（2）【解析】【分析】利用二倍角公式、兩角和差余弦公式和協(xié)助角公式可化簡函數(shù)為；（1）令，解出的范圍即為所求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）利用為銳角和可求得；利用余弦定理和基本不等式可求得，代入三角形面積公式即可求得面積的最大值.【詳解】（1）令，解得：的單調(diào)遞增區(qū)間為：（2），即由余弦定理得：（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）即面積的最大值為：【點睛】本題考查三角函數(shù)與解三角形學(xué)問的綜合應(yīng)用，涉及到利用三角恒等變換公式對三角函數(shù)進行化簡、正弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解、余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用、利用基本不等式求解三角形面積的最值等學(xué)問，屬于?？碱}型.21.數(shù)列滿意．（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）將兩邊同時除以，即可證數(shù)列等差數(shù)列；（2）利用（1）的結(jié)論可以求出數(shù)列的通項公式，再利用乘公比錯位相減求和.【詳解】（1）將兩邊同時除以，可得：，即所以證數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列；（2）由（1）得，所以，,,兩式相減得：，所以【點睛】本題主要考查了利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式，考查了乘公比錯位相減求和，屬于中檔題.22.已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】(1)對函數(shù)求導(dǎo)后由幾何意義求出函數(shù)