江蘇省南通市如東縣2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題含解析

PAGE20-江蘇省南通市如東縣2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（含解析）留意事項：考生在答題前請仔細閱讀本留意事項及各題答題要求1.本試卷共4頁，包含［選擇題（1~12））填空題（第13題～第16題，共80分）、解答題（第17～22題，共70分）.本次考試時間120分鐘，滿分150分、考試結(jié)束后，請將答題卡交回.2.答題前，請考生務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、班級、座位號、考試證號用0.5毫米的黑色簽字筆寫在答題卡上相應(yīng)的位置，并將考試證號用2B鉛筆正確填涂在答題卡的相應(yīng)位置.3.答題時請用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡指定區(qū)域作答.在試卷或草稿紙上作答一律無效.4.如有作圖須要，可用2B鉛筆作圖，并請加黑加粗，描寫清晰.一、單選題：本大題共10小題，每題5分，共50分.在每小題供應(yīng)的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若直線經(jīng)過點，則實數(shù)的值（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】將點的坐標(biāo)代入直線方程可得結(jié)果.【詳解】將代入直線中，可得，解得.故選：A.【點睛】本題考查了點與直線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.2.將一顆質(zhì)地勻稱的骰子(一種各個面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6的正方體玩具)先后拋擲兩次，則向上的點數(shù)之和為的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意，分別得出“將一顆質(zhì)地勻稱的骰子先后拋擲兩次”，“將一顆質(zhì)地勻稱的骰子先后拋擲兩次，向上的點數(shù)之和為”所包含的基本領(lǐng)件個數(shù)，基本領(lǐng)件個數(shù)之比即為所求概率.【詳解】將一顆質(zhì)地勻稱的骰子先后拋擲兩次，共有種狀況；將一顆質(zhì)地勻稱的骰子先后拋擲兩次，則向上的點數(shù)之和為，有，，，共種狀況，因此，向上的點數(shù)之和為的概率為.故選：B.【點睛】本題主要考查求古典概型的概率，熟記概率計算公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.3.在△中，已知，則角等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由余弦定理計算．【詳解】因為，所以，又．故選：D．【點睛】本題考查用余弦定理解三角形，屬于簡潔題．4.已知m為實數(shù)，直線，，若，則實數(shù)m的值()A.2 B.1 C.1或2 D.0或【答案】B【解析】【分析】依據(jù)直線平行的等價條件，求出的值；【詳解】解：當(dāng)時，兩直線方程分別為和，不滿意條件．當(dāng)時，則，，由得得或，由得，則，故選：B【點睛】本題考查兩直線的位置關(guān)系求參數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題.5.已知l，m為兩條不同直線，，為兩個不同平面，則下列命題中真命題的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】C【解析】【分析】依據(jù)直線、平面之間的位置關(guān)系逐項推斷.【詳解】若，，則或，A錯誤；若，，則或l在平面外，B錯誤；若，，則直線m與平面沒有公共點即，C正確；若，，直線m不肯定垂直于，D錯誤.故選：C【點睛】本題考查空間中直線與平面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.6.圓截直線所得的弦長為，則（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,結(jié)合垂徑定理及圓心到直線的距離,即可求得的值.【詳解】圓,即則由垂徑定理可得點到直線距離為依據(jù)點到直線距離公式可知,化簡可得解得故選:A【點睛】本題考查了圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的轉(zhuǎn)化,垂徑定理及點到直線距離公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.7.在長方體中，，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意，由于圖形中已經(jīng)出現(xiàn)了兩兩垂直的三條直線,所以可以利用空間向量的方法求解直線與平面所成的夾角．【詳解】解：以點為坐標(biāo)原點，以所在的直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則,

為平面的一個法向量．

．

∴直線與平面所成角的正弦值為.故選：D．【點睛】此題重點考查了利用空間向量，抓住直線與平面所成的角與該直線的方向向量與平面的法向量的夾角之間的關(guān)系,利用向量方法解決立體幾何問題．8.已知關(guān)于某設(shè)各的運用年限x（單位：年）和所支出的修理費用y（單位：萬元）有如下的統(tǒng)計資料，x23456y2.23.85.56.57.0由上表可得線性回來方程，若規(guī)定當(dāng)修理費用y＞12時該設(shè)各必需報廢，據(jù)此模型預(yù)報該設(shè)各運用年限的最大值為（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】試題分析：由已知表格得：，，由于線性回來直線恒過樣本中心點，所以有：，解得：，所以線性回來方程，由得：解得：，由于，所以據(jù)此模型預(yù)報該設(shè)備運用年限的最大值為9.故選C.考點：線性回來．9.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，AD為角A的角平分線，交BC于D，，，BD＝2，則b＝（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由正弦定理求得，得，從而得，于是可得．【詳解】由正弦定理得，，三角形中，∴，∴，∴，又，∴，∴．故選：A．【點睛】本題考查正弦定理，解題關(guān)鍵是利用正弦定理求得，從而得到三角形中的全部角．10.已知銳角三角形的內(nèi)角，，的對邊分別為，，.且，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理化簡已知條件，由此求得進而求得的大小.依據(jù)三角恒等變換化簡，由此求得取值范圍.【詳解】依題意，由正弦定理得，所以，由于三角形是銳角三角形，所以.由.所以，由于，所以，所以.故選：C【點睛】本題主要考查正弦定理解三角形，考查三角函數(shù)值域的求法，兩角差的正弦公式，屬于中檔題.二、多項選擇題：本題共2小題，每小題5分，共10分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.11.若圓與圓相切，則m的值可以是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)題意，求出圓的圓心與半徑，分兩圓內(nèi)切和外切兩種狀況，求出的值即可.【詳解】由題意，圓可化簡為，所以，圓的圓心坐標(biāo)，半徑，圓的圓心坐標(biāo)，半徑，所以，，所以，或，解得或.故選：AC.【點睛】本題考查兩圓位置關(guān)系的判定，考查分類探討的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.12.如圖，在三棱錐中，、、分別為棱、、的中點，平面，，，，則（）A.三棱錐的體積為B.平面截三棱錐所得的截面面積為C.點與點到平面的距離相等D.直線與直線垂直【答案】BC【解析】【分析】先由題意，證明平面，，依據(jù)三棱錐的體積公式求出三棱錐的體積，可推斷A；取中點為，連接，，得到四邊形即是平面截三棱錐所得的截面，從而可求出截面面積，可推斷B；依據(jù)題意，證明平面，可推斷C；取中點為，連接，，得到即等于直線與直線所成的角，依據(jù)余弦定理求得異面，即可推斷D.【詳解】因為、、分別為棱、、的中點，所以，，因為，，所以，，，因為平面，所以平面，即平面；又，所以，因此，所以三棱錐的體積為，故A錯；取中點為，連接，，易得：，，因此四邊形即是平面截三棱錐所得的截面，且四邊形平行四邊形，又平面，所以，即四邊形是矩形，因此其面積為，故B正確；因為，平面，平面，所以平面，因此點與點到平面的距離相等，故C正確；取中點為，連接，，則，，且，即等于直線與直線所成的角，又，，因此，所以直線與直線不垂直，即D錯；故選：BC.【點睛】本題主要考查立體幾何的綜合，涉及棱錐體積，線面垂直，線面平行，異面直線所成角的求法等，屬于?？碱}型.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.不需寫出解答過程，請把答案干脆填寫在答題卡相應(yīng)位置上.13.若x1，x2，，xn的方差為，則2x1+3，2x2+3，，2xn+3的方差為______.【答案】【解析】【分析】利用方差性質(zhì)即可得到答案.【詳解】若x1，x2，，xn的方差為，則2x1+3，2x2+3，，2xn+3的方差，故答案為：8【點睛】本題考查離散型隨機變量方差性質(zhì)的應(yīng)用，熟記方差公式及其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.14.△ABC中，角，B，C對邊分別為a，b，c.已知，則△ABC肯定為______.（用“直角三角形”“等邊三角形”“等腰直角三角形”填空）【答案】等邊三角形【解析】【分析】由正弦定理化角為邊后，利用代數(shù)式的變形可得，從而推斷出三角形形態(tài)．【詳解】∵，∴由正弦定理得，又，∴，即，∴，∴，∴所以三角形為等邊三角形．故答案為：等邊三角形．【點睛】本題考查三角形形態(tài)的推斷，解題關(guān)鍵是利用正弦定理化角為邊，然后變形為可得．15.設(shè)長方體的長、寬、高分別為、、，其頂點都在同一個球面上，則該球的半徑為______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)長方體的對角線為外接球的直徑可求得結(jié)果.【詳解】依題意可知，長方體的對角線為外接球的直徑，依據(jù)長方體的對角線長定理可得長方體的對角線長為：，所以長方體的外接球的半徑為：.故答案為：.【點睛】本題考查了長方體的對角線長定理，考查了多面體的外接球，屬于基礎(chǔ)題.16.已知凸四邊形ABCD（指把四邊形的隨意一條邊向兩端無限延長成始終線時，其他各邊都在此直線的同旁）中，邊，對角線，且，又頂點滿意，則凸四邊形ABCD的對角線長的范圍是______.【答案】【解析】【分析】由可知，在以為直徑的半圓（下半圓）內(nèi)部（不含圓?。?，由圖形可得【詳解】因為可知，，是鈍角，在以為直徑的半圓（下半圓）內(nèi)部（不含圓弧和線段），在包含半圓弧和直徑的半圓區(qū)域內(nèi)，從圖形中可知當(dāng)?shù)街睾蠒r，最小為，記中點為，當(dāng)與延長線和半圓的交點重合時，最大，最大值為，所以所求的范圍是．故答案為：．【點睛】本題考查平面上兩點間距離，考查余弦定理，解題關(guān)鍵是確定點所在平面區(qū)域，然后由點到圓的位置關(guān)系求得結(jié)論．四、解答題：本大題共6小題，共70分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊為，（1）求A；（2）若B=45°，a=2，求b，c.【答案】（1）；（2），【解析】【分析】（1）利用正弦定理進行邊化角化簡即可；

（2）利用正弦定理進行求解.【詳解】解：（1）由正弦定理，得則，因為，則，又，

所以；

（2）由（1）知：，又，所以，又，

依據(jù)正弦定理，得，又，

則.

所以，.【點睛】本題主要考查解三角形的應(yīng)用，結(jié)合正弦定理進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.考查學(xué)生的計算實力.18.在正四棱錐中，、分別為棱、的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）本題首先可以連結(jié)、交于點，連結(jié)，然后可依據(jù)、分別為棱、的中點得出，最終依據(jù)線面平行的判定即可得出平面；（2）本題首先可以依據(jù)多面體為正四棱錐得出、，然后依據(jù)得出、，最終依據(jù)線面垂直的判定即可證得平面.【詳解】（1）如圖，連結(jié)、交于點，連結(jié)，因為、分別為棱、的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，（2）因為多面體為正四棱錐，所以平面，，因為平面，所以，因為，所以，，因為平面，平面，，所以平面.【點睛】本題考查線面平行的判定以及線面垂直的判定，可通過線線平行證得線面平行，可通過直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直證得線面垂直，考查推理實力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.19.某校疫情期間“停課不停絡(luò)授課，為檢驗課的效果，高三年級進行了一次網(wǎng)絡(luò)模擬考試.全年級共1500人，現(xiàn)從中抽取了100人的數(shù)學(xué)成果，繪制成頻率分布直方圖（如圖所示）.已知這100人中[110，120）分數(shù)段的人數(shù)比[100，110）分數(shù)段的人數(shù)多6人.（1）依據(jù)頻率分布直方圖，求a，b的值；并估計抽取的100名同學(xué)數(shù)學(xué)成果的平均數(shù)（假設(shè)同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替）；（2）現(xiàn)用分層抽樣方法從分數(shù)在[130，140），[140，150]的兩組同學(xué)中隨機抽取6名同學(xué)，從這6名同學(xué)中再任選2名同絡(luò)課堂學(xué)習(xí)優(yōu)秀代表”發(fā)言，求這2名同學(xué)的分數(shù)恰在同一組內(nèi)的概率.【答案】（1）a＝0.020，b＝0.026，112；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)頻率分布直方圖中全部頻率之和為1可得，再由人數(shù)差可求得；（2）計算出分數(shù)為[130，140）的同學(xué)中抽取4人，分別用a1，a2，a3，a4表示，在分數(shù)為[140，150]的同學(xué)中抽取2人，分別用b1，b2表示，用列舉法寫出任取2人全部基本領(lǐng)件，并得出這2名同學(xué)的分數(shù)恰在同一組內(nèi)的基本領(lǐng)件，計數(shù)后可計算出概率．【詳解】解：（1）依題意a+b＝0.046，100×10×（b﹣a）＝6，解得a＝0.020，b＝0.026，平均數(shù)為：整理得平均數(shù)為112（2）設(shè)“抽取的2名同學(xué)的分數(shù)恰在同一組內(nèi)”為事務(wù)A由題意，在分數(shù)為[130，140）的同學(xué)中抽取4人，分別用a1，a2，a3，a4表示，在分數(shù)為[140，150]的同學(xué)中抽取2人，分別用b1，b2表示，從這6名同學(xué)中抽取2人全部可能出現(xiàn)的結(jié)果有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4）（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2）共15種，抽取2名同學(xué)的分數(shù)恰在同一組內(nèi)的結(jié)果有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），a2，a3），（a2，a4），（a3，a4），（b1，b2），共7種，所以，抽取的2名同學(xué)的分數(shù)不在同一組內(nèi)的概率為.【點睛】本題考查頻率分布直方圖，考查分層抽樣與古典概型，用列舉法寫出全部基本領(lǐng)件是求解古典概型的常用方法．本題屬于基礎(chǔ)題．20.如圖，在長方體中，底面是邊長為的正方形，對角線與相交于點，點為線段上靠近點的三等分點，與底面所成角為.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）在長方體中，由平面推出，由底面是正方形推出，從而平面，進而有；（2）通過線面角求出長方體的高，然后建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角的余弦值即可.【詳解】（1）因為在長方體中，有平面，因為平面，所以，因為四邊形是正方形，所以，又，從而平面.而平面，所以.（2）因為在長方體中，有、、兩兩垂直，故以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由（1）知為直線與平面所成的角，又因為與平面所成角為，所以，所以.由，得，可知，所以，因為，故，則，，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得，因為平面，所以為平面的法向量，即，所以.由圖可知，二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.【點睛】本題主要考查空間中的垂直關(guān)系，考查向量法求二面角的余弦值，考查學(xué)生的空間思維及計算實力，屬于中檔題.21.已知圓與直線相切.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若動點在直線上，過點引圓的兩條切線、，切點分別為.①記四邊形的面積為，求的最小值；②證明：直線恒過定點.【答案】（1）；（2）①；②證明見解析.【解析】【分析】（1）由圓心到切線的距離等于半徑可得，從而得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）①由求出切線長，向里面四邊形面積，知只要最小即可，即與直線垂直，由此得點坐標(biāo)，得最小面積；②設(shè)點坐標(biāo)為，由共圓求得圓方程，此方程與圓方程相減即得直線方程，由方程可得定點坐標(biāo)．【詳解】解：（1）由題意知，圓心到直線的距離，所以，故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）①圓C的圓心為，半徑，因為、是的兩條切線，所以，，故又因為，依據(jù)平面幾何學(xué)問，要使最小，只要最小即可.易知，當(dāng)點坐標(biāo)為時，.此時.②設(shè)