23.4 中位線 華東師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)教案

中位線【教學(xué)目標(biāo)】1．經(jīng)歷三角形中位線的性質(zhì)定理和梯形中位線的性質(zhì)定理形成過程，掌握兩個(gè)定理，并能利用它們解決簡(jiǎn)單的問題。2．通過命題的教學(xué)了解常用的輔助線的作法，并能靈活運(yùn)用它們解題。3．進(jìn)一步訓(xùn)練說理的能力。4．通過學(xué)習(xí)，進(jìn)一步培養(yǎng)自主探究和合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣；進(jìn)一步了解特殊與一般的辯證唯物主義觀點(diǎn)；轉(zhuǎn)化的思想。【教學(xué)重難點(diǎn)】1．經(jīng)歷三角形中位線的性質(zhì)定理和梯形中位線的性質(zhì)定理形成過程，掌握兩個(gè)定理，并能利用它們解決簡(jiǎn)單的問題。2．進(jìn)一步訓(xùn)練說理的能力；培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解決有關(guān)問題。【教學(xué)過程】一、三角形的中位線（一）問題導(dǎo)入：我們?cè)鉀Q過如下的問題：在△ABC中，DE∥BC，則△ADE∽△ABC，由此可以進(jìn)一步推知，當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E也是AC的中點(diǎn)?，F(xiàn)在換一個(gè)角度考慮，如果點(diǎn)D、E原來就是AB與AC的中點(diǎn)，那么是否可以推出DE∥BC呢？DE與BC之間存在什么樣的數(shù)量關(guān)系呢？（二）探究過程：1．猜想：從畫出的圖形看，可以猜想：DE∥BC，且DE＝BC。2．證明：在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB與AC的中點(diǎn)，∴。∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC（如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似），∴∠ADE＝∠ABC，（相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例），∴DE∥BC且。思考：本題還有其它的解法嗎？已知：如圖所示，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC。求證：DE∥BC，DE＝BC。分析：要證DE∥BC，DE＝BC，可延長DE到F，使EF＝DE，于是本題就轉(zhuǎn)化為證明DF＝BC，DE∥BC，故只要證明四邊形BCFD為平行四邊形。還可以作如下的輔助線作法。3．概括：我們把連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線，并且有三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半。介紹三角形的中位線時(shí)，強(qiáng)調(diào)指出它與三角形中線的區(qū)別。（三）應(yīng)用：例1：求證三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分。已知：如圖24．4．3所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC。求證：AE、DF互相平分。證明：連結(jié)DE、EF。∵AD＝DB，BE＝EC；∴DE∥AC；（三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半）。同理EF∥AB；∴四邊形ADEF是平行四邊形；∴AE、DF互相平分（平行四邊形的對(duì)角線互相平分）。例2：在△ABC中，D、E分別是邊BC、AB的中點(diǎn)，AD、CE相交于G。求證：。證明：連結(jié)ED?！逥、E分別是邊BC．AB的中點(diǎn)。∴DE∥AC，（三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半）?！唷鰽CG∽△DEG；∴；∴；（四）小結(jié)：取AC的中點(diǎn)F，取BC的中點(diǎn)D，假設(shè)BF與AD交于G′，那么同理有，所以有，即點(diǎn)G與G′是重合的。于是，我們有以下結(jié)論：三角形三條邊上的中線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是三角形的重心，重心與一邊中點(diǎn)的連線的長是對(duì)應(yīng)中線長的。（五）同步訓(xùn)練：在△ABC中，AB＝AC，D．E、F分別是AB．BC．CA的中點(diǎn)。求證：四邊形ADEF是菱形。二、梯形的中位線由三角形的中位線的有關(guān)結(jié)論，我們還可以得到：梯形的中位線平行于兩底邊，并且等于兩底和的一半。已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AE＝BE，DF＝CF。求證：EF∥BC，EF＝（AD＋BC）。分析：由于本題結(jié)論與三角形中位線的有關(guān)結(jié)論比較接近，可以連結(jié)AF，并延長AF交BC的延長線于G，證明的關(guān)鍵在于說明EF為△ABG的中位線。于是本題就轉(zhuǎn)化為證明AF＝GF，AD＝CG，故只要證明△ADF≌△