高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)向量極化恒等式培

培優(yōu)點(diǎn)6向量極化恒等式專題二

三角函數(shù)與解三角形平面向量基本定理及數(shù)量積是高考考查的重點(diǎn)，很多時(shí)候需要用基底代換，運(yùn)算量大且復(fù)雜，用向量極化恒等式、等和(高)線求解，能簡(jiǎn)化向量代換，減少運(yùn)算量，使題目更加清晰簡(jiǎn)單.考點(diǎn)一向量極化恒等式考點(diǎn)二等和(高)線解基底系數(shù)和(差)問題專題強(qiáng)化練內(nèi)容索引向量極化恒等式

考點(diǎn)一例1考向1利用向量極化恒等式求值27∴AO＝6，OE＝3，設(shè)BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，則AD＝3n.根據(jù)向量的極化恒等式，例2考向2利用向量極化恒等式求最值、范圍如圖所示，取OC的中點(diǎn)D，連接PD，因?yàn)镺為AB中點(diǎn)，由極化恒等式得(2)平面向量a，b滿足|2a－b|≤3，則a·b的最小值為________.由向量極化恒等式知當(dāng)且僅當(dāng)|2a＋b|＝0，|2a－b|＝3，利用向量的極化恒等式可以快速對(duì)數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了向量的幾何屬性，特別適合于以三角形為載體，含有線段中點(diǎn)的向量問題.規(guī)律方法跟蹤演練1依題意得AD∥BC，∠BAD＝120°，取MN的中點(diǎn)E，連接DE(圖略)，當(dāng)點(diǎn)M，N在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，DE的最小值等于點(diǎn)D到直線BC的距離，[0,2]由正方體的棱長(zhǎng)為2，得內(nèi)切球的半徑為1，MN為內(nèi)切球的直徑.設(shè)內(nèi)切球的球心為O，等和(高)線解基底系數(shù)和(差)問題

考點(diǎn)二等和(高)線①當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時(shí)，k＝1；②當(dāng)?shù)群途€在O點(diǎn)和直線AB之間時(shí)，k∈(0,1)；③當(dāng)直線AB在O點(diǎn)和等和線之間時(shí)，k∈(1，＋∞)；④當(dāng)?shù)群途€過O點(diǎn)時(shí)，k＝0；⑤若兩等和線關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱，則定值k1，k2互為相反數(shù)；⑥定值k的變化與等和線到O點(diǎn)的距離成正比.例3√方法二

如圖，過N作BC的平行線，√如圖，作出定值k為1的等和線DE，AC是過圓上的點(diǎn)最遠(yuǎn)的等和線，當(dāng)M在N點(diǎn)所在的位置時(shí)，2x＋y最大，設(shè)2x＋y＝k，所以2x＋y取得最大值2.要注意等和(高)線定理的形式，解題時(shí)一般要先找到k＝1時(shí)的等和(高)線，以此來求其他的等和(高)線.易錯(cuò)提醒跟蹤演練22方法一

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則C(cosα，sinα).圖(1)方法二令x＋y＝k，在所有與直線AB平行的直線中，切線離圓心最遠(yuǎn)，如圖(2)，即此時(shí)k取得最大值，圖(1)圖(2)專題強(qiáng)化練

12345678如圖所示，取CD的中點(diǎn)E，連接PE，√所以當(dāng)P與A(B)重合時(shí)，12345678√12345678＝100－64＝36.12345678√12345678如圖，O為AB的中點(diǎn)，|MO|max＝|OC|＋1＝3，|AB|min＝2a＝8，12345678√12345678如圖，當(dāng)P位于點(diǎn)A時(shí)，(λ＋μ)min＝0，當(dāng)P位于點(diǎn)D時(shí)，(λ＋μ)max＝3.12345678√12345678所以P0為EB的中點(diǎn)，取BC的中點(diǎn)D，連接DP0，DP，則DP0為△CEB的中位線，DP0∥CE.根據(jù)向量的極化恒等式，必有DP0⊥AB.因此CE⊥AB，又E為AB的中點(diǎn)，所以AC＝BC.12345678[－2,6]12345678如圖所示，取AB的中點(diǎn)D，連接CD，因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，所以O(shè)為△ABC的重心，O在CD上，因?yàn)镻在圓O上，所以當(dāng)P在點(diǎn)C處時(shí)，|PD|max＝3，當(dāng)P在CO的延長(zhǎng)線與圓O的交點(diǎn)處時(shí)，12345678212345678當(dāng)且僅當(dāng)O，N，M三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào).如圖，取BC的中點(diǎn)M，AD的中點(diǎn)N