2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙某中學(xué)高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024.2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙一中高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知集合4={%EZ|%2+3%<4},B={-1,2,5）,則AU8中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.4C.6D.7

2.命題aBxEQ,tanx2EQ”的否定是（）

A.VxEQ,tanx20QB.Vx6Q,tanx26Q

22

C.BxEQftanxGQD.V%0Q,tanxGQ

3.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)會(huì)的虛部為（）

5.已知x>0,y>0,lg2x+38y=仞2,貝/+三的最小值是()

xy

A.8B.12C.16D.10+2<3

6.已知隨機(jī)事件a,B,c中，a與B相互獨(dú)立，B與c對(duì)立，且p（a）=o.3,p（c）=0.6,則P（AUB）=（）

A.0.4B.0.58C.0.7D.0.72

7.甲、乙、丙、丁四個(gè)人在一次比賽中只有一人得獎(jiǎng)，在問到誰得獎(jiǎng)時(shí)，四人的回答如下:

甲：乙得獎(jiǎng).

乙：丙得獎(jiǎng).

丙：乙說錯(cuò)了.

T：我沒得獎(jiǎng).

四人之中只有一人說的與事實(shí)相符，則得獎(jiǎng)的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

8.設(shè)a=k)g52,b=O.506,c=O.605,則()

A.c>b>aB.c>a>bC.b>a>cD.a>c>b

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知函數(shù)/（x）=sin（2x+弓），則下列結(jié)論正確的是（）

AJ（x）的圖象向左平移弓個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g（x）=sin（2x+9的圖象

B.直線久=弊/。）圖象的一條對(duì)稱軸

c"0）在內(nèi)勺上單調(diào)遞減

D./Q）的圖象關(guān)于點(diǎn)（招,0）對(duì)稱

10.某學(xué)校高一年級(jí)學(xué)生有900人，其中男生500人，女生400人，為了獲得該校高一全體學(xué)生的身高信

息，現(xiàn)采用樣本量按比例分配的分層抽樣方法抽取了容量為90的樣本，經(jīng)計(jì)算得男生樣本的均值為170,

方差為19,女生樣本的均值為161,方差為28,則下列說法正確的是（）

參考公式：樣本劃分為2層，各層的容量、平均數(shù)和方差分別為：m,Is卜n,。s/.記樣本平均數(shù)為

樣本方差為s2，s2=懸[S：+G—Z）2]+鼎[s：+G—Z）2]

A.男生樣本容量為50B.每個(gè)女生被抽到的概率2

C.抽取的樣本的均值為165D,抽取的樣本的方差為43

11.如圖，正方體ABCD-AB'C'。'的棱長(zhǎng)為4,M是側(cè)面上的一個(gè),

動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)P在棱CC'上，且|PC'|=1,則下列結(jié)論正確的有（）/：

A'（-——i----/----I--t廠P

A.沿正方體的表面從點(diǎn)力到點(diǎn)P的最短距離為，而B

B.保持PM與BD'垂直時(shí)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為

C.若保持=2層,則點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度學(xué)

D.平面AD'P截正方體48CD—A'B'C'D'所得截面為等腰梯形

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知向量五=（l,m—1）,b-（m,m+3）,若匯?3=—12|?歷則m的值為

13.如圖，60。的二面角的棱上有4B兩點(diǎn)，直線2C,BD分別在二面角兩個(gè)半平面

內(nèi)，且垂直于AB,AC=BD=6,AB=8,貝!JCD=______.

14.若三棱錐的棱長(zhǎng)為5,8,21,23,29,3其中teN*,貝亞的一個(gè)取值可以為

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知銳角△4BC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且2csim4=Ca.

⑴求C；

(2)若c=7,AABC的面積為10，^,求△ABC的周長(zhǎng).

16.(本小題15分)

現(xiàn)從某學(xué)校高三年級(jí)男生中隨機(jī)抽取50名測(cè)量身高，測(cè)量發(fā)現(xiàn)被測(cè)學(xué)生身高全部介于160cm和184cM之

間，將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成6組：第1組［160,164),第2組［164,168),…，第6組［180,184］,得到如下

頻率分布直方圖.

(1)求a的值并估計(jì)這50名男生的身高的第60百分位數(shù)；

(2)求這50名男生中身高在176cm以上(含176cm)的人數(shù)；

(3)從這50名男生身高在176cm以上(含176c巾)的人中任意抽取2人，求該2人中身高恰有1人在180cm以上(

含180cm)的概率.

17.(本小題15分)

如圖，在底面為菱形的四棱錐P-4BCD中，P41平面ABCD,^ABC=60°,P4=4B=2,點(diǎn)E,F分別

為棱8C,PD的中點(diǎn)，Q是線段PC上的一點(diǎn).

(1)若Q是直線PC與平面4EF的交點(diǎn)，試確定隹的值；

(2)若三棱錐C-EQ4的體積為今，求直線4Q與平面4EF所成角的正弦值.

E

18.(本小題17分)

已知函數(shù)/(%)=as譏％+bcos%,稱非零向量力=(a,b)為/(%)的“特征向量”，/(%)為萬的“特征函數(shù)”.

⑴設(shè)函數(shù)h(%)=2s譏(與一無)-cos得+%),求函數(shù)八(%)的“特征向量”；

(2)若函數(shù)f(x)的“特征向量”為方=(1,73),求當(dāng)〃久)=凱xG(—找)時(shí)s譏x的值；

(3)若萬=(73,1)的“特征函數(shù)”為/⑺，%￡［0,平］且方程產(chǎn)⑴+(2-a)/(x)+a—3=。存在4個(gè)不相

等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

19.(本小題17分)

在空間直角坐標(biāo)系。-xyz中，已知向量過=(a,b,c),點(diǎn)Po(Xo，y(),Zo).若平面a以記為法向量且經(jīng)過點(diǎn)P(p

則平面a的點(diǎn)法式方程可表示為a(x—x0)+b(y—y0)+c(z—z0)=0,一般式方程可表示為ax+by+

cz+d=0.

(1)若平面a［：2x-y-l=0,平面的：3y-2z+1=0,直線2為平面由和平面用的交線，求直線I的一

個(gè)方向向量；

(2)已知集合「={(x,y,z)||x|W1,|y|W1,|z|W1}.Q={(x,y,z)||x|+|y|+|z|W2},T={(%,y,z)||x|+

|y|<2,|y|+|z|W2,|z|+|x|W2}.記集合Q中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積為明,PnQ中所有點(diǎn)構(gòu)成的

幾何體的體積為彩，集合T中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為W.

(i)求匕和七的值；

(ii)求幾何體勿的體積匕和相鄰兩個(gè)面(有公共棱)所成二面角的余弦值.

參考答案

l.c

2.A

3.A

4.B

5.C

6.B

1.D

8.X

9.CD

1Q.ABD

ll.BCD

12.-1

13.10

14.25(答案不唯一)

15.解：(1)因?yàn)?csbi4=-/3a,

由正弦定理可得2sinCsinA=y[3sinA,

在銳角△注8。中，可得si加4>0,

可得sinC=等,可得C=全

(2)因?yàn)閏=7,S=^absinC=gab-苧=10-\/~3,

解得ab=40,

由余弦定理可得c?=a2+b2-2abcosC=(a+b)2—2ab—2ab■

即49=(a+b)2—2x40—40,

可得a+b=13,

所以△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=13+7=20.

16J?：⑴由頻率分布直方圖的性質(zhì)可得，4x(a+0.07+0.08+0.02+0.02+0.01)=1,

解得a=0.05,

因?yàn)?X(0.05+0.07)=0.48<0,6,4x(0.05+0.07+0.08)=0.8>0,6,

所以第60百分位數(shù)位于[168,172),設(shè)其為小，

則0.48+（m-168）X0.08=0.6,

解得TH=169.5,

即估計(jì)這50名男生的身高的第60百分位數(shù)為169.5cm；

（2）身高在176cm以上（含176cm）的頻率為:0.02x4+0.01X4=0.12,

所以這50名男生中身高在176cm以上（含176cm）的人數(shù)為：50x0.12=6人；

（3）這50名男生中身高在176czn以上（含176czn）的人數(shù)為6人，

其中［176,180）中有0.02x4x50=4人,［180,184］中有0.01X4x50=2人,

從這50名男生身高在176cM以上（含176cm）的人中任意抽取2人，

基本事件總數(shù)n=C6-30,

該2人中身高恰有1人在180cm（含180CM）以上包含的基本事件個(gè)數(shù)爪=盤廢=8,

該2人中身高恰有1人在180cM（含180cm）以上的概率為：P=：=捺=2

17.1?：（1）因?yàn)樗倪呅瘟CD是菱形，ZXBC=60°,￡1是中點(diǎn)，

所以△ABC是等邊三角形，所以AE1BC,又，P4_L平面4BCD,

所以在2點(diǎn)處AE,AD,2P兩兩互相垂直，

則以4為原點(diǎn)，分別以4E,AD,HP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示:

則依題意有E0,0),尸(0,1,1),P(0,0,2),4(0,0,0),C(<3.1,0).

則版=(0,0,0)，AF=(0,1,1)，PC=(<3,l,-2),設(shè)函=I=Qlk,k,_2k),

則而=衣+所=(73fc,fc,2-2fc)，

因?yàn)镼是直線PC與平面4EF的交點(diǎn)，所以AQ,AE,2F共面，

所以存在實(shí)數(shù)小，71,使得而荏+n布，BP(73fc,k,2-2k)=(/3m,n,n),

(2

m=-

y/~3k=7n

所以憶=九，解得《幾=§7,

2—2k=n,2

所以所=,密即霽號(hào).

11夕

-EcAE-XX

(2)依題意有SAMC-2-2-2

設(shè)Q到底面ZBC。的距禺為d,

11

所以d

-d-XV3d=/3-=

則匕;-4EQ=^Q-AEC3-4Ec3-26

所以Q是PC中點(diǎn),則Q(苧￡1)，所以而=(苧［，1>

設(shè)平面2EF的一個(gè)法向量為記-(x,y,z),

則佇."—6"一°,令丫=1,則％=o,z--1,所以記=(0,1,—1),

(m-AF^y+z^O

設(shè)直線4Q與平面4EF所成角為。，

則s譏8=|cos<m,AQ>\=瑞瑞=卜二1

ETxJ以+14

直線AQ與平面2EF所成角的正弦值為

18.解：(1)因?yàn)閔(x)=2(苧cosx—jsinx)—(年cosx-|stnx)=亨cosx-|sinx>

所以九⑶的“特征向量”為p=(―a凈；

(2)由題意知/(%)=sinx+yf3cosx=2sm(x+9

由/(%)=I，得2sin(x+勺=(，sin(x+勺=g,

因?yàn)楣(一得(),％+得€(嗚)，

所以COS(%+與)=I'

所以sin%=sin[(x+?一芻=|sin(x+g)-苧cos(%+今="

(3)/(%)=yfSsinx+cosx=2sin(x+當(dāng)％c[0,等]時(shí)，x+1G[^2TT],

由嚴(yán)。)+(2-a)/(x)+a-3=0,得(/(%)-1)(/(%)-(a-3))=0,

所以/(%)=1或/(%)=a-3,

由f(%)=1，BPsin(x+1)=[而％E[。，等卜解得久=0或1=.

即/(久)=1在久e[0,詈]上有兩個(gè)根，

因?yàn)榉匠虈?yán)(無)+(2-a)/(x)+a—3=。在x￡[0,多]上存在4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

所以當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=a-3且a-3Hl在xC[0,今勺上有兩個(gè)不等實(shí)根，

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=/(久)在xG[0,?]上的圖像和直線y=a-3,

因?yàn)榉匠蘤(久)=a-3(a44)在xG[0,半]上有兩個(gè)不等實(shí)根，

即當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)y=〃久)在xG[0,?]上的圖像和直線y=a—3(a大4)有兩個(gè)公共點(diǎn),

由圖像可知：-2<a—3W0或1<a—3<2,

解得1<aW3或4<a<5,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,3]U(4,5).

19.解：(1)直線/是兩個(gè)平面2x-y-l=0與3y-2z+1=0的交線，

所以直線Lh的點(diǎn)滿足第一斗二^二，

—/z十J.一u

不妨設(shè)y=l，則久=1,z=2,

不妨設(shè)y=3,則x=2,z-5,

所以直線/的一個(gè)方向向量為：(2-1,3-1,5—2)=(1,2,3)；

(2)(i)記集合Q,PCQ中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積分別為％,彩，

考慮集合Q的子集Q'={(Xy,z)W+y+z<2,x>0,y>0,z>0],

即為三個(gè)坐標(biāo)平面與x+y+z=2圍成的四面體，

四面體四個(gè)頂點(diǎn)分別為(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),

此四面體的體積為%,=|x2