湖南省益陽市2025屆高三9月教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（含答案）

湖南省益陽市2025屆高三9月教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知力={%|-2<%<2},B={x|log2x<1},M=4CiB.則知是()

A.{x\x<2}B.{x|-2<%<2}C.{x|0<%<1}D.{x|0<%<2]

2.已知復(fù)數(shù)z滿足|z-4=2,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點的軌跡是()

A.直線B.圓C.橢圓D.拋物線

3.已知等比數(shù)列九}中，。1+%=2,%+=16,則由0+早12=()

A.26B.32C.512D.1024

4,已知f⑺=，二””2貝1W(-3))=()

(sm7rx(x>0)

A-一亨B.0C.1D.苧

22

5.已知橢圓E:菅+y2=1與雙曲線/:a―y2=1的焦點重合，則雙曲線F的離心率為()

A岑B.|C.fD邛

6.在平行四邊形4BCD中，BE=^BC,AF=|AE,若荏=爪荏+n而，,則TH+n=()

115

A.三B.：C.7D.1

D26

7.已知拋物線C1:y2=M，。2：川=8x的焦點分別為6、F2,若P、Q分別為的、C2上的點，且線段PQ平行

于久軸，則下列結(jié)論錯誤的是()

A.當(dāng)|PQ|=機寸，A&PQ是直角三角形

B.當(dāng)|PQ|=抖，△F2PQ是等腰三角形

C.存在四邊形6F2PQ是菱形

D.存在四邊形F/2PQ是矩形

8.已知函數(shù)/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)無<。時，/(%)=?%(%+2),則下列說法正確的是()

A.函數(shù)/(%)有兩個零點B.當(dāng)久>0時，f(x)=-ex(-x+2)

C./(x)>0的解集是(—2,0)U(2,+8)D.VX1x2eR都有|/(%i)-/(%2)lV3

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知函數(shù)/(%)=2sin(2%+9,.則下列結(jié)論成立的是()

A./(x)的最小正周期為兀B.曲線y=/(x)關(guān)于直線*=]對稱

C.點(一盍,0)是曲線y=/(x)的對稱中心D"(x)在(0,兀)上單調(diào)遞增

10.已知函數(shù)/■(久)=e8-對于任意實數(shù)a,b,下列結(jié)論成立的有()

A"(x)min=1

B.函數(shù)f(X)-ex-x在定義域上單調(diào)遞增

C.曲線f(%)=1一久在點(0,1)處的切線方程是y=1

D.若a=—6>0,貝行(a)>/(6)

11.在棱長為1的正方體A8CD-4名6。1中，P為棱BBi上一點，且B1P=2PB,Q為正方形8%的(7內(nèi)一動

點(含邊界)，則下列說法中正確的是()

A.若DiQ〃平面&PD,則動點Q的軌跡是一條長為苧的線段

B.不存在點Q使得OiQ，平面&PD

C.三棱錐Q-aPD的最大體積為亮

lo

D.若OiQ=竽且DiQ與平面&PD所成的角最大時，三棱錐Q—4P。的體積為寺

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若sina=則cos2a=.

13.在某世界杯足球賽上，a,b,c,d四支球隊進入了最后的比賽，在第一輪的兩場比賽中，a對b,c對

d,然后這兩場比賽的勝者將進入冠亞軍決賽，這兩場比賽的負者比賽，決出第三名和第四名、若a對從a

對d的勝率均為0.6,a,對c、c對d的勝率均為0.5,貝b獲得冠軍的概率為.

14.已知｛即｝是各項均為正整數(shù)的無窮遞增數(shù)列，對于k€N*,定義集合

Bk=｛iEN*.\at<k],設(shè)法為集合取中元素的個數(shù)，若取=0時;規(guī)定為;=0.

(1)若。?=3n,貝!1bio=;

(2)若數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，則數(shù)列｛即｝的前50項之和為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知△ABC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,且JZasinC-ccosA—c=0.

⑴求4

(2)若a=4,則AABC面積為2口，求6+c的值.

16.(本小題15分)

某公園為了提升公園形象，提高游客旅游的體驗感，他們更新了部分設(shè)施，調(diào)整了部分旅游線路.為了解游

客對新措施是否滿意，隨機抽取了100名游客進行調(diào)查，男游客與女游客的人數(shù)之比為2:3,其中男游客有

35名滿意，女游客有15名不滿意.

滿意不滿意總計

男游客35

女游客15

合計100

(1)完成2x2列聯(lián)表，依據(jù)表中數(shù)據(jù)，以及小概率值a=0.05的獨立性檢驗，能否認為游客對公園新措施

滿意與否與性別有關(guān)?

(2)從被調(diào)查的游客中按男、女分層抽樣抽取5名游客.再隨機從這5名游客中抽取3名游客征求他們對公園進

一步提高服務(wù)質(zhì)量的建議，其中抽取男游客的人數(shù)為X.求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

2

n(Qd—bc)

參考公式：2,其中a+b+c+d.

Z=(a+b)(c+d)(a+c)Q+d)n=

參考數(shù)據(jù):

a0.100.0500.0100.005

2.7063.8416.6357.879

17.(本小題15分)

如圖，四邊形力BCD與四邊形4DEF均為等腰梯形，BC//AD,EF//AD,AD=4,4B=YI,BC=EF=

2,AF=FBL^^ABCD,M為4。上一點，且FM1AD,連接8。、BE、BM.

(1)證明：BC1平面8FM;

(2)求平面4BF與平面DBE的夾角的余弦值.

18.(本小題17分)

1

已知兩點4(-2,0),B.(2,0)及一動點P,直線P4PB的斜率滿足岫4/PB=-；，動點P的軌跡記為C.過點

4

(1,0)的直線/與C交于M,N兩點，直線AM,BN交于點Q.

(1)求C的方程；

(2)求44MN的面積的最大值；

(3)求點Q的軌跡方程.

19.(本小題17分)

若函數(shù)/(久)=Inx-|x2.

(1)若a=4,且曲線y=/(久)的切線I過點(0,2e2),求直線I的方程；

(2)證明:若)(%1)=/(%2)(。＜%1＜久2)，則/歿笠)＜0；

(3)若G(x)=/(%)+%+ln^＜。恒成立，求a的取值范圍.

參考答案

l.D

2.5

3.D

4.0

5.4

6.5

7.C

8.C

9./4C

10.ACD

U.BCD

嗝

13.0.33

14.2；1275

15.解：(1)由正弦定理得a=2Rsin4c=2RsinC,又V3asinC-ccosA—=0,

???V3sinAsinC—sinCcosZ—sinC=0.

vCG(0,TT)，???sinCH0.???V3sinZ—cosZ-1=0.2sin(X-7)=1.

6

TT

Ae(0,7T),???=-.

(2)ABC面積為2V3,???2V3=^bcsinA=^bcsin^=4be,be=8.

LL34

va=4,A-由a2=廬+/_2bccos/得16=b2+c2-2bcx

即(b+c)2=16+3bc=40..?.b+c=2/10.

16.解：(1)因為調(diào)查的男游客人數(shù)為：mx100=40,

所以，調(diào)查的女游客人數(shù)為100-40=60,于是可完成2X2列聯(lián)表如下:

滿意不滿意總計

男游客35540

女游客451560

合計8020100

零假設(shè)為％:游客對公園新措施滿意與否與性別無關(guān).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得：

2100x(35x15-45x5)275。

%=—=20x40嬴上=我<3<3.841=%。5,

根據(jù)小概率值a=0.05的22獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷為不成立，因此可以認為為成立，即游客對公

園新措施滿意與否與性別無關(guān).

(2)由(1)可知男游客抽2人，女游客抽3人，

依題意可知X的可能取值為0,1,2,并且X服從超幾何分布，

即P(X=0)=§g==，

所以X的分布列為:

101010

F(X)=0X^+1XA+2X±=

17.1?：(1)因為F8_L平面2BCD,又4。<=平面23。￡),

所以FB12D.又FM12D,且FBCFM=F,

所以，AD_L平面BFM,因為BC〃4D,

所以，BCl5FffiBFM.

(2)作EN14D,垂足為N.則FM〃EM又EF〃/W,

所以四邊形FMNE是平行四邊形，又EN1AD,

所以四邊形FMNE是矩形.

又四邊形4DEF為等腰梯形，且4。=4,EF=2,所以=1.

由(1)知4D1平面BFM,所以BM14C.

又力B=72,所以BM=1.

在RtAAFM中，F(xiàn)M=VXF2-AM2=710.

在RtAFMB中，F(xiàn)B=VFM2-BM2=3.

由上可知，能以BM,BC,BF所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

A

則4(-1,一1,0),5(0,0,0),F(0,0,3),￡)(-1,3,0),E(0,2,3),

所以，AB=(1,1,0),BF=(0,0,3),BD=(-1,3,0),BE=(0,2,3).

設(shè)平面ABF的法向量為沅=Oi，yi，Zi),

由『票。喂變A'可取—I，。

設(shè)平面BDE的法向量為元=(x2,y2,z2),

嚼嚼二得片MMJ?？扇≡?(932).

,u/一一、m-n9—33V-47

因m此L'COS<6'n>=哂="+/81+9+4=V

依題意可知，平面4BF與平面DBE的夾角的余弦值為空.

18.解：(1)設(shè)動點PQ,y),因為直線PA,P8的斜率滿足kpQkpB=-J，

,備,蠢=一；(*豐士2)，化簡整理得9+y2=1(久豐±2).

所以軌跡C的方程為［+y2=1(%±2).

(2)由已知可設(shè)過點(1,0)的直線I的方程為：x=ty+l(t€R),點M(xi，yi),點號(久2，丫2)，

x^ty+1

由Q+y2=1，得上2+4)y2+2ty-3=0,顯然/>0.%+%=西比月=有.

C.1,-2-HIv31(2擾-4-(-3>(產(chǎn)+4)65

SAAMN-2|一2-1|\yi-y2\~2-M+4?

令〃=，"+3,則〃2V3,/="2一3,所以S—MN=

設(shè)s(a)=磊，則s'Q)=(君，所以SQ)在［6,+8)單調(diào)遞減，所以sQ)的最大值為

s(Y3)=苧即a=t=0時，△4MN的面積取最大值名.

(3)由已知可設(shè)直線的方程為y=-^7?(%+2),即y=(%+2),

直線BN的方程為y=3%Q—2),即y=U(x—2),

%2-2?2-1

消去y得饋？=瞪，顯然為火。。，???連=三，(*)

片了2

rhC\4S?—2t—3112t1t1

由(2)，侍為+%=H，%光:不，?.?五+元=了?"一五=§+五，

所以(*)式可化為=1":)，■,-%+2=3(%—2),即x=4.

計元式,+五)

所以點Q的軌跡方程為久=4(y豐0).

19.1?：(1)由題意得/''(X)=§-ax=>0),

設(shè)所求切線的切點為(x°,y°)，則直線/的方程為y—y0=/'(Xo)0—%。)，

即y-yo==也(x-XO)>又M)=Inxo-=ln%0-2詔,

x0N

214X2

???2e—(lnx0—2%Q)=°(0—%。).即In%。+2XQ-2e—1=0,

%o

令t(%)=In%+2x2—2e2—1,可知y=1(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

又t(e)=0,所以方程。%o+2XQ—2e2—1=0有唯一解久°=e.

所以，直線，的方程是y=J：x+2/(或(1-4e2)%-ey+2e3=0)

x

(2)證明：???/(%i)=f(x2)(0<%]<%2)，???In/~^i=1n%2一百分

即華羋=地產(chǎn)，要證/，(號今vo,

由(1)知只要證———幽抖<0,即證一一-欣「1%<0,

、,%]+%22%]+%2xl~x2

又因為0</<》2，即證2(丁)〉仙二,(*)

%1+%2%2

令言=3貝欲證(*)式成立，等價于證明與臺〉lnt,

設(shè)函數(shù)h(t)=Int—箸(0<t<1),則h'(t)=1-^=鬻>。，

所以函數(shù)h(t)是(0,1)上的增函數(shù)，所以h(t)<八(1)=0,即等>lnt成立,

所以廣仔要)<0

⑶解法一：由題意得G(x)=Inx—|x2+x+ln|(x>0,a>0).

則G'(x)=4—a久+1=匕竺*,令G'Q)=0,得%=擔(dān)/”或x=上平亞(舍去),

xx乙a乙a

在(0,1+丁b上,G'(x)>0,在(1+塞森,+8)上,G'(x)<0,

G(x)在(0,二室竺)上單調(diào)遞增，在(如筍,+8)上單調(diào)遞減，

當(dāng)且僅當(dāng)x=J于前時,G(x)取得最大值G(i+『5GQLax=G(1