人教版九年級數(shù)學(xué)上冊專項復(fù)習(xí)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題22.5二次函數(shù)的應(yīng)用

典例精析

【典例1】某企業(yè)安排75名工人生產(chǎn)甲，乙兩種產(chǎn)品，每名工人每天可生產(chǎn)2件甲產(chǎn)品或1件乙產(chǎn)品，且

每名工人每天只能生產(chǎn)一種產(chǎn)品，甲產(chǎn)品每件可獲利20元.根據(jù)市場需求，乙產(chǎn)品每天產(chǎn)量不少于5件，

當乙產(chǎn)品每天生產(chǎn)5件時，每件可獲利150元，每增加1件，當天平均每件利潤減少2元，設(shè)每天安排x

(尤為不小于5的整數(shù))名工人生產(chǎn)乙產(chǎn)品.

(1)用含x的代數(shù)式表示：每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品的工人有名；每件乙產(chǎn)品可獲利潤元；

(2)若每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品可獲得的利潤比生產(chǎn)乙產(chǎn)品可獲得的利潤多450元，求每件乙產(chǎn)品可獲得的利潤；

(3)該企業(yè)在不增加工人數(shù)量的情況下，增加生產(chǎn)丙產(chǎn)品，要求每天甲，丙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量相等.已知每

名工人每天可生產(chǎn)1件丙產(chǎn)品，丙產(chǎn)品每件可獲利25元，該企業(yè)每天生產(chǎn)三種產(chǎn)品，且可獲得的總利潤的

和最大時，請求出尤的值.

【思路點撥】

(1)根據(jù)題意列代數(shù)式即可；

(2)根據(jù)(1)中數(shù)據(jù)表示每天生產(chǎn)甲乙產(chǎn)品獲得利潤，根據(jù)題意構(gòu)造方程即可；

(3)設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品機人，則生產(chǎn)丙產(chǎn)品人，則切=等，設(shè)生產(chǎn)三種產(chǎn)品每天可獲得的總利潤的和為

卬元，根據(jù)題意列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.

【解題過程】

解：(1)由已知，每天安排無人生產(chǎn)乙產(chǎn)品時，生產(chǎn)甲產(chǎn)品的有(75-x)人；

在乙每件150元獲利的基礎(chǔ)上，增加(尤-5)人,利潤減少2(尤-5)元每件，則乙產(chǎn)品的每件利潤為150

-2(%-5)=(160-2x)元.

故答案為：(75-x)；(160-2x)；

(2)由題意

20x2(75-x)=x(160-2x)+450,

-100x+1275=0,

解得xi=15,%2=85(不合題意，舍去)，

??x~~15,

???160-2%=130,

答：每件乙產(chǎn)品可獲得的利潤是130元;

（3）設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品加人，則生產(chǎn)丙產(chǎn)品2根人，可獲得的總利潤的和為w元,

m+2m+x=75,

根據(jù)題意得：

w=20x2m+25x2m+x(160-2x)

=90m+160x-22

=90x+160x-2/

=-2/+130x+2250,

.,.對稱軸為直線x=-J及八=32-,

??”為正整數(shù)，-2<0,

.?.%=32或%=33時w最大，

當x=32時，機=與必不是整數(shù)，

當％=33時，m=-g-=14,

:?％=33,

答：x的值為33.

學(xué)霸必刷＞]

1.（2022?鞍山）某超市購進一批水果，成本為8元/飯，根據(jù)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種水果在未來10天的售價

m（元伙g）與時間第x天之間滿足函數(shù)關(guān)系式相=%+18（1金10,x為整數(shù)），又通過分析銷售情況，發(fā)

現(xiàn)每天銷售量y（飯）與時間第無天之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，下表是其中的三組對應(yīng)值.

時間第X天259

銷售量W依333026

（1）求y與尤的函數(shù)解析式；

（2）在這10天中，哪一天銷售這種水果的利潤最大，最大銷售利潤為多少元?

2.（2022?沙市區(qū)模擬）荊州某旅游公司在景區(qū)內(nèi)配置了50輛觀光車供游客租賃使用，假定每輛觀光車一

天內(nèi)最多只能出租一次，且每輛車的日租金x（元）是5的倍數(shù).發(fā)現(xiàn)每天的營運規(guī)律如下：當無不超過100

元時，觀光車能全部租出；當x超過100元時，每輛車的日租金每增加5元，租出去的觀光車就會減少1

輛.已知所有觀光車每天的管理費是1100元.

（1）如果要使觀光車全部租出且每天的凈收入為正，則每輛車的日租金至少應(yīng)為多少元？（注：凈收入=

租車收入-管理費）

（2）當每輛車的日租金為多少元時，每天的凈收入最多？

3.（2022?朝陽）某商店購進了一種消毒用品，進價為每件8元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每天的銷售量y（件）

與每件售價x（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系（其中8區(qū)15,且x為整數(shù)）.當每件消毒用品售價為9元時,

每天的銷售量為105件；當每件消毒用品售價為11元時，每天的銷售量為95件.

（1）求y與尤之間的函數(shù)關(guān)系式.

（2）若該商店銷售這種消毒用品每天獲得425元的利潤，則每件消毒用品的售價為多少元？

（3）設(shè)該商店銷售這種消毒用品每天獲利w（元），當每件消毒用品的售價為多少元時，每天的銷售利潤

最大？最大利潤是多少元？

4.（2022?九龍坡區(qū)自主招生）在臍橙豐收時，為了減少臍橙的庫存，某臍橙銷售公司決定開發(fā)市場增加銷

售點進行銷售，經(jīng)銷售發(fā)現(xiàn)，臍橙的每日銷售量y（依）與銷售單價元/依）滿足關(guān)系式：y=-100X+3000,

銷售單價不低于6元/依且不高于20元/飯.當每日銷售量低于2000依時，該臍橙的成本價格為6元飯，當

每日銷售量不低于2000依時，該臍橙的成本價格5元/原，設(shè)該公司銷售臍橙的日獲利為w（元）.

（1）求該公司銷售臍橙的日獲利w與銷售單價x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當銷售單價定為多少時，銷售這種臍橙日獲利最大？最大利潤為多少元？

5.（2022?鞍山二模）某科技公司生產(chǎn)一款精密零件，每個零件的成本為80元，當每個零件售價為200元

時，每月可以售出1000個該款零件，若每個零件售價每降低5元，每月可以多售出100個零件，設(shè)每個零

件售價降低尤元，每月的銷售利潤為w元.

（1）求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）為了更好地回饋社會，公司決定每銷售1個零件就捐款〃（0<?<6）元作為抗疫基金，當40W爛60時,

捐款后每月最大的銷售利潤為135000元，求n的值.

6.（2022?南京模擬）某地實施產(chǎn)業(yè)扶貧種植某種水果，其成本經(jīng)過測算為20元/千克，投放市場后，經(jīng)過

市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種水果在上市的一段時間內(nèi)的銷售單價p（元/千克）與時間t（天）之間的函數(shù)圖象如圖，

且其日銷售量y（千克）與時間，（天）的關(guān)系是：y=-2/+160.（0</<80,且/為整數(shù)）

（1）試求銷售單價°（元/千克）與時間，（天）之間的函數(shù)表達式；

（2）哪一天的銷售利潤最大？最大日銷售利潤為多少？

7.（2022?惠民縣一模）為落實“精準扶貧”精神，市農(nóng)科院專家指導(dǎo)李大爺利用坡前空地種植優(yōu)質(zhì)草莓.根

據(jù)市場調(diào)查，在草莓上市銷售的28天中，其銷售價格m（元/公斤）與第x天之間滿足爪=

2%+16（1<%<14）

一久+58（144W28）G為正整數(shù)）,銷售量〃（公斤）與第、天之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示?

（1）求銷售量〃與第x天之間的函數(shù)關(guān)系式;

（2）求草莓上市銷售第8天李大爺?shù)匿N售收入;

（3）求草莓上市銷售的第11天至14天這4天，每天的銷售收入y與第x天之間的函數(shù)關(guān)系式；并求出這

4天當中哪一天的銷售額最高？為多少元?

0I1028x

8.（2022?南陵縣自主招生）交通工程學(xué)理論把在單向道路上行駛的汽車看成連續(xù)的流體，并用流量、速度、

密度三個概念描述車流的基本特征，其中流量q（輛/小時）指單位時間內(nèi)通過道路指定斷面的車輛數(shù)；速

度v（千米/小時）指通過道路指定斷面的車輛速度，密度k（輛/千米）指通過道路指定斷面單位長度內(nèi)的

車輛數(shù).為配合大數(shù)據(jù)治堵行動，測得某路段流量q與速度v之間關(guān)系為〃=-2，+120口

（1）當該路段的車流速度為多少時，流量達到最大？最大流量是多少？

（2）已知q,v,左滿足q=就.

①市交通運行監(jiān)控平臺顯示，當18W怯28該路段不會出現(xiàn)交通擁堵現(xiàn)象.試分析當車流密度k在什么范圍

時，該路段不會出現(xiàn)交通擁堵現(xiàn)象；

②在理想狀態(tài)下，假設(shè)前后兩車車頭之間的距離d（米）均相等，當d=25米時請求出此時的速度也

9.（2022?城廂區(qū)校級一模）為了防控新冠疫情，某市計劃在體育中考時增設(shè)考生進入考點需進行體溫檢測

的措施.防疫部門為了解學(xué)生錯峰進入考點進行體溫檢測的情況，調(diào)查了一所學(xué)校某天上午考生進入考點

的累計人數(shù)y（人）與時間x（分鐘）的變化情況，數(shù)據(jù)如下表：（表中9?15表示9〈止15）

時間X（分鐘）01234567899?15

人數(shù)y（人）0170320450560650720770800810810

（1）根據(jù)這15分鐘內(nèi)考生進入考點的累計人數(shù)與時間的變化規(guī)律，利用初中所學(xué)函數(shù)知識求出y與x之間

的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如果考生一進考點就開始測量體溫，體溫檢測點有2個，每個檢測點每分鐘檢測20人，考生排隊測

量體溫，求排隊人數(shù)最多時有多少人？全部考生都完成體溫檢測需要多少時間？

10.（2022?江岸區(qū)校級模擬）中考臨近，七一中學(xué)、七一華源中學(xué)食堂為提高全體初三學(xué)子伙食，精心購

買4、2兩種食材共600依，A食材的價格為每千克5元，當2食材購買量不大于3004時，2食材的價格

為每千克9元，當8食材購買量大于300依時，每增加10口，8食材的價格降低0.1元.設(shè)購買8種食材

xkg（x為10的整數(shù)倍）.

（1）若x<300,購買A、8兩種食材共花了3800元，求A、2兩種食材各多少千克？

（2）若尤>300,且購買A食材的數(shù)量不少于8食材數(shù)量的一半，求購買A種食材多少千克時，購買的總

費用最少，最少總費用是多少元？

（3）若購買A食材不超過mkg（m<250）,購買B食材超過300依，商家獲得的最大銷售額為4000元，

求m的值.

11.（2022?洪山區(qū)模擬）某超市銷售A、2兩種玩具，每個A型玩具的進價比每個2型玩具的進價高2元,

若用600元進A型玩具的數(shù)量與用500元進B型玩具的數(shù)量相同.

（1）求A、8兩種玩具每個進價是多少元？

（2）超市某天共購進A、8兩種玩具共50個，當天全部銷售完.銷售A型玩具的價格y（單位：元/個）與

銷售量x（單位：個）之間的函數(shù)關(guān)系是：y=-2x+80；銷售8型玩具日獲利機（單位：元）與銷售量”（單

位：個）之間的關(guān)系為：m=\6n-260.

①若該超市銷售這50個玩具日獲利共300元，問B型玩具的銷售單價是多少元？

②該超市購進的50個玩具中，8型玩具的數(shù)量不少于A型玩具數(shù)量的數(shù)量的4倍，超市想盡快售完，決定

每個A型玩具降價。（0<a<6）元銷售，8型玩具的銷售情況不變，若超市銷售這50個玩具日獲利的最大

值為820元，直接寫出a的值.

12.（2022春?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，學(xué)校要用一段長為36米的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形花圃，墻

長為16米.

（1）若矩形A8CD的面積為144平方米，求矩形的邊的長.

（2）要想使花圃的面積最大、A8邊的長應(yīng)為多少米？最大面積為多少平方米？

AD

花圃

Br

13.（2022春?宿豫區(qū)期中）如圖，正常水位時，拋物線形拱橋下的水面寬A8為20m此時拱橋的最高點

到水面的距離為4m.

（1）把拱橋看作一個二次函數(shù)的圖象，建立恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担蟪鲞@個二次函數(shù)的表達式；

（2）當水面寬10/77時，達到警戒水位，如果水位以02m/h的速度持續(xù)上漲，那么達到警戒水位后，再過

多長時間此橋孔將被淹沒？

AB

14.（2022?寧夏）2022北京冬奧會自由式滑雪空中技巧比賽中，某運動員比賽過程的空中剪影近似看作一

條拋物線，跳臺高度為4米，以起跳點正下方跳臺底端。為原點，水平方向為橫軸，豎直方向為縱軸,

建立如圖所示平面直角坐標系.已知拋物線最高點8的坐標為（4,12）,著陸坡頂端C與落地點。的距

CE3

離為2.5米，若斜坡CD的坡度i=3：4（即丁=-）.

DE4

求：（1）點A的坐標；

（2）該拋物線的函數(shù)表達式；

（3）起跳點A與著陸坡頂端C之間的水平距離OC的長.（精確到0.1米）

（參考數(shù)據(jù)：V3-1.73）

15.（2022?欽州一模）跳繩是大家喜愛的一項體育運動，當繩子甩到最高處時，其形狀視為拋物線.如圖

是甲，乙兩人將繩子甩到最高處時的示意圖，已知兩人拿繩子的手離地面的高度都為bn,并且相距4m,

現(xiàn)以兩人的站立點所在的直線為x軸，過甲拿繩子的手作x軸的垂線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標

系，且繩子所對應(yīng)的拋物線解析式為y=—2/+bx+c.

（1）求繩子所對應(yīng)的拋物線解析式（不要求寫自變量的取值范圍）；

（2）身高1.70機的小明，能否站在繩子的正下方，讓繩子通過他的頭頂？

（3）身高1.64機的小軍，站在繩子的下方，設(shè)他距離甲拿繩子的手為確保繩子能通過他的頭頂，請求

出s的取值范圍.

16.（2022?環(huán)江縣模擬）如圖1是一座拋物線型拱橋Ci側(cè)面示意圖.水面寬與橋面長均為24w，

點E在C￡）上，DE=6m,測得橋面到橋拱的距離EF為1.5%以橋拱頂點。為原點，橋面為x軸建立平面

直角坐標系.

圖1圖2

（1）求橋拱頂部。離水面的距離；

（2）如圖2,在（1）的條件下，橋面上方有3根高度均為4"?的支柱CG,OH,DI,過相鄰兩根支柱頂端

的鋼纜是形狀相同的拋物線C2,C3,其最低點與橋面C。的距離均為1九求拱橋拋物線Ci與鋼纜拋物線

C2的豎距離的最小值.

17.（2022春?江夏區(qū)校級月考）某公園要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，水管OA長

2.25m.在水管的頂端安裝一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1相處達到最高，

高度為3m.

（1）建立如圖所示平面直角坐標系，求拋物線（第一象限部分）的解析式；

（2）不考慮其它因素，水池的直徑至少要多少米才能使噴出的水流不落到池外？

（3）實際施工時，經(jīng)測量，水池的最大半徑只有2.5相，在不改變噴出的拋物線形水柱形狀的情況下，且噴

出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1相處達到最高，需對水管的長度進行調(diào)整，求調(diào)整后水管的最

18.(2022?承德二模)如圖1,在建筑工人臨時宿舍外，有兩根相距10米的立柱AB,垂直于水平地面

上，在AB,CD間拉起一根晾衣繩，由于繩子本身的重力，使繩子無法繃直，其形狀可近似看成拋物線y=

17

京2+bx+c,已知繩子最低點距離地面1米.以點B為坐標原點，直線2。為無軸，直線A8為y軸建立平面

直角坐標系.

(1)求立柱A2的長度；

(2)一段時間后，繩子被抻長，下垂更多，為了防止衣服碰到地面，在線段8。之間與AB相距4米的地

方加上一根立柱撐起繩子，這時立柱左側(cè)的拋物線目的最低點相對點A下降了1米，距立柱也是

1米，如圖2所示，求的長；

(3)若加在線段3。之間的立柱的長度是2.4米，并通過調(diào)整的位置，使拋物線H的開口大小與

拋物線y=右/+1的開口大小相同，頂點距離地面1.92米.求與CD的最近距離.

瞇

D*Dx

19.（2022?路南區(qū)二模）如圖是某同學(xué)正在設(shè)計的一動畫示意圖，x軸上依次有A,O,N三個點，且AO

=2,在ON上方有五個臺階乃?乃（各拐角均為90°）,每個臺階的高、寬分別是1和1.5,臺階乃到尤

軸距離OK=10.從點A處向右上方沿拋物線L：y=-f+4x+12發(fā)出一個帶光的點P.

（1）寫出拋物線乙與y軸的交點坐標為，點A的坐標為；

（2）通過計算說明點P會落在哪個臺階上；

（3）當點P落到臺階上后立即彈起，又形成了另一條與L形狀相同的拋物線C,且最大高度為11,求C

的解析式，并說明其對稱軸是否與臺階必有交點.

O

20.（2022?順平縣二模）如圖，某跳水運動員進行10米跳臺跳水訓(xùn)練，水面邊緣點E的坐標為（-邑-

10）.運動員（將運動員看成一點）在空中運動的路線是經(jīng)過原點。的拋物線.在跳某個規(guī)定動作時，運

動員在空中最高處A點的坐標為（1,-）,正常情況下，運動員在距水面高度5米以前，必須完成規(guī)定的

4

翻騰、打開動作，并調(diào)整好入水姿勢，否則就會失誤.運動員入水后，運動路線為另一條拋物線.

（1）求運動員在空中運動時對應(yīng)拋物線的解析式并求出入水處B