2025年高考數(shù)學復習之空間向量與立體幾何

2025年高考數(shù)學復習熱搜題速遞之空間向量與立體幾何（2024年7月）

選擇題（共10小題）

1.己知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面a所成的角都相等，則a截此正方體所得截面面積的

最大值為（

3V32V33V2V3

A.-----C.—D.

442

2.在長方體AIBICLDI中，AB=BC=2,AG與平面BB1C1C所成的角為30°,則該長方體的體

積為（）

A.8B.6V2C.8V2D.8百

3.已知AABC是面積為丁的等邊三角形,且其頂點都在球。的球面上.若球。的表面積為16m則。

到平面45c的距離為（）

4.如圖，在正方體ABC。-481CiDi中，點O為線段8。的中點，設點尸在線段CQ上，直線。尸與平

面48。所成的角為a,則sina的取值范圍是（）

V62V22V2

C.T'VD.I—.1]

5.在長方體A8CQ-AiBiCiDi中，己知81D與平面ABC。和平面A4121B所成的角均為30°,則（）

A.AB^2AD

B.A8與平面A81C1。所成的角為30°

C.AC=CB\

D.81。與平面881cle所成的角為45°

6.己知四棱錐S-ABC。的底面是正方形，側棱長均相等，E是線段AB上的點（不含端點）.設SE與BC

所成的角為91，SE與平面ABC。所成的角為。2,二面角S-AB-C的平面角為例，則（）

A.01^02^03B.03^92^01C.01^03^02D.02<03^01

7.如圖，已知正四面體o-ABC（所有棱長均相等的三棱錐），P、0、R分別為A3、BC、CA上的點,

BQCR

AP=PB,—=—=2,分別記二面角。-PR-Q,D-PQ-R,。-QR-P的平面角為a、0、y,則

QCRA

（）

A.y<a<pB.a<y<pC.a<p<yD.p<y<a

8.已知正四棱柱AiBO中，AAi=2AB,則CD與平面2￡>G所成角的正弦值等于（）

9.在平行六面體（底面是平行四邊形的四棱柱）ABCO-ALBICLDI中，A8=AD=AAi=l,ZBAD=ZBAAi

=ND44=60°,則AC1的長為（）

10.日辱是中國古代用來測定時間的儀器，利用與號面垂直的辱針投射到號面的影子來測定時間.把地球

看成一個球（球心記為。），地球上一點4的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點A處的水平

面是指過點A且與OA垂直的平面.在點A處放置一個日辱，若辱面與赤道所在平面平行，點A處的

緯度為北緯40°,則號針與點A處的水平面所成角為（）

A.20°B.40°C.50°D.90°

二.填空題（共5小題）

7

11.已知圓錐的頂點為S,母線S4,S3所成角的余弦值為SA與圓錐底面所成角為45°,若的

面積為5m，則該圓錐的側面積為.

12.已知NACB=90°,尸為平面A3C外一點，PC=2,點P到/兩邊AC,BC的距離均為百，那

么P到平面ABC的距離為.

13.已知圓錐的頂點為S,母線SA,S3互相垂直，SA與圓錐底面所成角為30°.若ASAB的面積為8,

則該圓錐的體積為.

14.如圖，在棱長為2的正方體ABC。-AIBICLDI中，E為BC的中點，點P在線段。1E上，點尸到直線

CC1的距離的最小值為.

15.已知02是空間單位向量，e1?e2=彳若空間向量。滿足b,e1=2,b?e2=m且對于任意了，y^R,

ee

\b-(xe1+ye2)|>\b-(xoi+yo2)l=1(無0，yoeR),貝!Ixo=,yo=，\b\

三.解答題(共5小題)

16.如圖，在四棱錐尸-A8CD中，AB//CD,且/CZ)P=90°.

(1)證明：平面B48_L平面以。；

(2)若必=PO=AB=OC,ZAPD=90°，求二面角A-PB-C的余弦值.

17.如圖，在三棱錐P-A3C中，AB=BC=2五,B4=P3=PC=AC=4,。為AC的中點.

(1)證明：PO_L平面ABC；

(2)若點M在棱BC上，且二面角M-E4-C為30°,求尸C與平面所成角的正弦值.

18.如圖，四棱錐P-A8CD中，側面外。為等邊三角形且垂直于底面ABC。，AB=BC=1AD,ZBAD=

ZABC=90°,E是P。的中點.

(1)證明：直線CE〃平面B42；

(2)點M在棱PC上，且直線與底面A8CD所成角為45°,求二面角M。的余弦值.

19.如圖，直四棱柱ABC￡)-48ICLDI的底面是菱形，441=4,48=2,ZSA￡)=60°,E,M,N分別是

BC,BBi,A1D的中點.

(1)證明：〃平面C1DE；

(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.

20.如圖，直三棱柱ABC-481cl的體積為4,△4BC的面積為2/.

(1)求A到平面A1BC的距離；

(2)設。為4C的中點，AAi^AB,平面AiBC_L平面求二面角A-3。-C的正弦值.

2025年高考數(shù)學復習熱搜題速遞之空間向量與立體幾何（2024年7月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面a所成的角都相等，則a截此正方體所得截面面積的

最大值為（）

3V32V33V2V3

A.-----B.-----C.-----D.—

4342

【考點】幾何法求解直線與平面所成的角.

【專題】計算題；數(shù)形結合；綜合法；空間位置關系與距離；空間角.

【答案】A

【分析】利用正方體棱的關系，判斷平面a所成的角都相等的位置，然后求解a截此正方體所得截面

面積的最大值.

【解答】解：正方體的所有棱中，實際上是3組平行的棱，每條棱所在直線與平面a所成的角都相等，

如圖：所示的正六邊形平行的平面，并且正六邊形時，a截此正方體所得截面面積的最大，

此時正六邊形的邊長立，

2

a截此正方體所得截面最大值為：6X苧x哈2=筌

故選：A.

【點評】本題考查直線與平面所成角的大小關系，考查空間想象能力以及計算能力，有一定的難度.

2.在長方體ABC。-481CiDi中，AB=BC=2,ACi與平面881cle所成的角為30°,則該長方體的體

積為（）

A.8B.6V2C.8V2D.8V3

【考點】幾何法求解直線與平面所成的角.

【專題】計算題；數(shù)形結合；轉化思想；綜合法；空間位置關系與距離.

【答案】C

【分析】畫出圖形，利用已知條件求出長方體的高，然后求解長方體的體積即可.

【解答】解：長方體ABCZ）-43ICLDI中，AB=BC=2,

AQ與平面881cle所成的角為30°,

AD

即NACiB=30°,可得BCi=+%-=25.

tan^O

可得BBI=J(2佝2_22=2&.

所以該長方體的體積為：2x2x2a=8a.

故選：C.

【點評】本題考查長方體的體積的求法，直線與平面所成角的求法，考查計算能力.

3.已知△ABC是面積為迪的等邊三角形，且其頂點都在球。的球面上.若球。的表面積為16m則。

4

到平面ABC的距離為（）

l3V3

A.V3B.-C.1D.—

22

【考點】空間中點到平面的距離.

【專題】計算題；轉化思想；分析法；空間位置關系與距離；直觀想象；數(shù)學運算.

【答案】C

【分析】畫出圖形，利用已知條件求三角形ABC的外接圓的半徑，然后求解即可.

【解答】解：由題意可知圖形如圖：△ABC是面積為延的等邊三角形，^—AB2=―,

444

：.AB=BC=AC=3f

可得：AOi=xx3=V3,

球O的表面積為16n,

外接球的半徑為：&所以4ITR2=I6TT,解得H=2,

所以。到平面ABC的距離為：V4^3=l.

故選：C.

【點評】本題考查球的內接體問題，求解球的半徑，以及三角形的外接圓的半徑是解題的關鍵.

4.如圖，在正方體ABC。-ALBICiDi中，點。為線段8。的中點,設點尸在線段CC1上，直線。尸與平

面48。所成的角為a,則sina的取值范圍是（）

V62V22V2

C.D?丁I】

【考點】幾何法求解直線與平面所成的角.

【專題】空間角；直觀想象；數(shù)學運算.

【答案】B

【分析】由題意可得：直線。尸于平面48。所成的角a的取值范圍是[4。4,舒U[/CiOAi，身.再

利用正方體的性質和直角三角形的邊角關系即可得出.

【解答】解：由題意可得：直線OP于平面所成的角a的取值范圍是[上4。4>^[ZCrOAr,

不妨取AB=2.

在RtAAOAi中，sinZAOA.=勃=,2=電.

公°3

sinZCiOAi=sin(it-2ZA0A1)=sin2NAOAi=2sinNAOAicosNAOAi=2x亨x字=＞乎，

■/U1

sin2=1.

；.sina的取值范圍是悖，1].

【點評】本題考查了正方體的性質和直角三角形的邊角關系、線面角的求法，考查了推理能力，屬于中

檔題.

5.在長方體ABCD-481C1D1中，已知81。與平面ABCD和平面AA1818所成的角均為30°,則（）

A.AB^2AD

B.AB與平面ABiCxD所成的角為30°

C.AC=CBi

D.BiD與平面BB1C1C所成的角為45°

【考點】幾何法求解直線與平面所成的角.

【專題】數(shù)形結合；數(shù)形結合法；空間位置關系與距離；空間角；直觀想象.

【答案】D

【分析】不妨令A4i=l,可根據(jù)直線與平面所成角的定義，確定長方體的各棱長，即可求解.

BD,不妨令AAi=l,

在長方體ABC。-A1B1C1D1中，4。_1面44出13,221_1面42。。,

所以/B1D8和NO81A分別為B1D與平面ABCD和平面AA1B1B所成的角,

所以在中，BBi=AAi^l,BD=陋,BJ)=2,

在中，DBi=2,AD=1,ABr=V3,

所以A8=a,CBr=V2,AC=V3,

故選項A,C錯誤，

由圖易知，A3在平面481cl。上的射影在ABi上,

所以為AB與平面AB1C1D所成的角，

在RtAABBi中，sin/BiAB=鬻=/=,，

故選項3錯誤，

則BiD在平面881cle上的射影為BiC,

所以NO81C為31。與平面BB1GC所成的角，

在RtZXOBiC中，BtC=V2=DC,所以NO81C=45°,

所以選項D正確，

故選：D.

【點評】本題考查了直線與平面所成角，屬于中檔題.

6.已知四棱錐S-ABC。的底面是正方形，側棱長均相等，E是線段A8上的點（不含端點）.設SE與8C

所成的角為81，SE與平面ABC。所成的角為。2,二面角S-AB-C的平面角為例，則（）

A.91^02^03B.03^92^01C.01<03^02D.02<03^01

【考點】幾何法求解二面角及兩平面的夾角.

【專題】數(shù)形結合；數(shù)形結合法；空間角.

【答案】D

【分析】作出三個角，表示出三個角的正弦或正切值，根據(jù)三角函數(shù)的單調性即可得出三個角的大小.

【解答】解：???由題意可知S在底面ABCD的射影為正方形ABC。的中心.

過E作EF//BC,交CD于F,過底面ABCD的中心0作0N1EF交EF于N,

連接SN,

取AS中點連接SM,OM,OE,則EN=OM,

則01=/SEN,02=/SE。，03=Z5MO.

顯然，01,92,例均為銳角.

??nSNSN八SO八

?tan0i=詆=蠲，tanS3=旃，SN2SO,

.,.91^03,

一SOSO

又sin?3=瑞，sine2=SE>SM,

：.03^02.

故選：D.

【點評】本題考查了空間角的計算，三角函數(shù)的應用，屬于中檔題.

7.如圖，已知正四面體。-ABC(所有棱長均相等的三棱錐)，P、Q、R分別為A3、BC、CA上的點，

B0cR

AP=PB,—=—=2,分別記二面角。-PR-。，D-PQ-R,。-QR-尸的平面角為a、仇丫，則

()

A.y<a<pB.a<y<pC.a<p<yD.p<y<cx

【考點】空間向量法求解二面角及兩平面的夾角.

【專題】空間位置關系與距離；空間角；空間向量及應用.

【答案】B

【分析】解法一：如圖所示，建立空間直角坐標系.設底面AABC的中心為。不妨設。尸=3.則。

(0,0,0),P(0,-3,0),C(0,6,0),D(0,0,6立),。(舊，3,0),砍一2百，0,0),利

用法向量的夾角公式即可得出二面角.

解法二：如圖所示，連接。尸，OQ,OR,過點。分別作垂線：OEUR,OF±PQ,0G1QR,垂足分

別為E,F,G,連接。E,DF,DG.可得tana=^.tan0=黑，tany=黑.由已知可得：OE>OG>

OF.即可得出.

【解答】解法一：如圖所示，建立空間直角坐標系.設底面△ABC的中心為。.

不妨設0P=3.貝！I。（0,0,0）,2（0,-3,0）,C（0,6,0）,2X0,0,6魚）,2（3同-3,0）.。（遮，3,0）,

火（一2百，0,0）,

PR=（-26,3,0）,PD=（0,3,6V2）,PQ=（V3,6,0）,QR=（-3遮,一3,0）,

QD=（-V3,-3,6V2）.

設平面PDR的法向量為日=（尤，y,z）,則恒W=。，可得卜2岳：3y=0,

IrPO=013y+6A/2Z=0

可得￡=（灰，2V2,-1）,取平面ABC的法向量晶=（0,0,1）.

—?-1

,it、m-n-1保71

貝m?。輈osOn,n>=~~=-T=,取a=arccos-^：.

|m||n|V15

_,3V2

同理可得：B=arccos-------v=arccos-^.

HV681rV95

??工>生>工

V15V95V681'

a<y<p.

解法二：如圖所示，連接OP,OQ,OR,過點O分別作垂線：OE±PR,OF±PQ,OG±QR,垂足分

別為E,F,G,連接。E,DF,DG,

設OD=h.

則tana=瓦;.

同理可得：tan0=市，tany=詆.

由已知可得：OE>OG>OF.

tana<tany<tanp,a,0,y為銳角.

a<y<p.

故選：B.

【點評】本題考查了空間角、空間位置關系、正四面體的性質、法向量的夾角公式，考查了推理能力與

計算能力，屬于難題.

8.已知正四棱柱ABC。-ALBICLDI中，441=248,則CD與平面8。。所成角的正弦值等于（）

2V3V21

A.-B.—C.—D.一

3333

【考點】直線與平面所成的角.

【專題】綜合題；壓軸題；空間角；空間向量及應用.

【答案】A

—>—>—>

【分析】設A2=l,則A4i=2,分別以AG、必。的方向為無軸、y軸、z軸的正方向建立空間

直角坐標系，設蔡=（尤,y,z）為平面BDC1的一個法向量,C。與平面BDC1所成角為。，則sin8=|:一|

\n\\DC\

在空間坐標系下求出向量坐標，代入計算即可.

—>—>—>

【解答】解：設AB=1,則A4i=2,分別以/4、D?、心。的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立

空間直角坐標系,

如下圖所示：

則。(0,0,2),Ci(1,0,0),B(1,1,2),C(1,0,2),

—>—?—>

DB=(1,1,0),DCj=(1,0,-2),DC=(1,0,0),

'TT

設蔡=(尤，y,z)為平面BDQ的一個法向量，貝杷,絲=。，即產+廠%取元=(2,-2,1),

U-DC^OG_2z=0

->->

nDC?

設CD與平面BOCi所成角為e,則sine=|7-1=1

\n\\DC\

故選：A.

【點評】本題考查直線與平面所成的角，考查空間向量的運算及應用，準確理解線面角與直線方向向量、

平面法向量夾角關系是解決問題的關鍵.

9.在平行六面體(底面是平行四邊形的四棱柱)ABCD-431C1D1中，AB=AD=A4i=l,ZBAD^ZBAAi

=ZZ)AAi=60°,則ACi的長為()

【考點】空間向量的數(shù)量積運算.

【專題】數(shù)形結合；方程思想；空間向量及應用；直觀想象；數(shù)學運算.

【答案】D

—T—>—>2—?—?—>—>—2T

222

【分析】由AC】=4B+AD+A41,可得={AB+AD+AA^=AB+AD+AA1+2AB-

—>—>—>—>—>

AD+2,AB-AA1+2AD-AAr,即可得出.

T—>T—>

【解答】解：=AB+AD+AA1,

T2—>—?T—>—>—>2—>—>——>—>

222

則AC1=(XB+AD+AAt)=AB+AD++2AB?AO+2ZB?441+2AD?A4i

=1+1+1+3X2X1X1XCOS60°

=6.

T_

\AC±\=V6.

故選：D.

【點評】本題考查了平行四邊形法則、向量數(shù)量積運算性質、模的計算公式，考查了推理能力與計算能

力，屬于中檔題.

10.日唇是中國古代用來測定時間的儀器，利用與唇面垂直的唇針投射到唇面的影子來測定時間.把地球

看成一個球（球心記為。），地球上一點A的緯度是指。4與地球赤道所在平面所成角，點A處的水平

面是指過點A且與垂直的平面.在點A處放置一個日唇，若辱面與赤道所在平面平行，點A處的

緯度為北緯40°,則號針與點A處的水平面所成角為（）

A.20°B.40°C.50°D.90°

【考點】幾何法求解直線與平面所成的角.

【專題】計算題；轉化思想；轉化法；空間角；數(shù)學運算.

【答案】B

【分析】由緯度的定義和線面角的定義，結合直角三角形的性質，可得號針與點A處的水平面所成角.

【解答】解：可設A所在的緯線圈的圓心為。，。?！怪庇诰暰€所在的圓面，

由圖可得/OHA為號針與點A處的水平面所成角，

又為40°且

在RtZkOHA中，O'A_LOH,：.ZOHA=ZOAO'=AO°,

另解：畫出截面圖，如下圖所示，其中CD是赤道所在平面的截線.

/是點A處的水平面的截線，由題意可得04_U,A3是號針所在直線.根是號面的截線，由題意辱面和

赤道面平行，唇針與唇面垂直，

根據(jù)平面平行的性質定理可得m//CD,

根據(jù)線面垂直的定義可得A8_L相，由于NAOC=40°,m〃CD,

所以/OAG=/AOC=40°,由于/OAG+/GAE=/BAE+/GAE=90°,

所以/BAE=NOAG=40°,也即號針與A處的水平面所成角為N8AE=40°,

【點評】本題是立體幾何在生活中的運用，考查空間線面角的定義和求法，屬于基礎題.

二.填空題（共5小題）

7

11.已知圓錐的頂點為S,母線SA,S8所成角的余弦值為3SA與圓錐底面所成角為45°,若△SAB的

面積為5同，則該圓錐的側面積為40/TT.

【考點】直線與平面所成的角.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；空間位置關系與距離.

【答案】40V2TT.

【分析】利用已知條件求出圓錐的母線長，利用直線與平面所成角求解底面半徑，然后求解圓錐的側面

積.

【解答】解：圓錐的頂點為S,母線SA,S3所成角的余弦值為(可得sin/IS8=J1-(獷=等.

△SAB的面積為5V15,

可得|sa2sin/ASB=5Vl^,即jsa2x手=5715,即SA=4逐.

SA與圓錐底面所成角為45°,可得圓錐的底面半徑為：yX4A/5=2V10.

則該圓錐的側面積：-x4^/1071x4遮=40V2TT.

故答案為：40A/2TT.

【點評】本題考查圓錐的結構特征，母線與底面所成角，圓錐的截面面積的求法，考查空間想象能力以

及計算能力.

12.已知/AC8=90°,P為平面ABC外一點，PC=2,點尸到/ACB兩邊AC,8C的距離均為百，那

么P到平面ABC的距離為_魚_.

【考點】點、線、面間的距離計算.

【專題】計算題；數(shù)形結合；數(shù)形結合法；空間位置關系與距離；邏輯推理.

【答案】見試題解答內容

【分析】過點P作PO_LAC,交AC于。，作交BC于E,過尸作PO1,平面ABC,交平面

ABC于0,連結0。，0C,則尸Z)=PE=百，從而C￡>=CE=0O=0E=J22-(V3)2=1,由此能求出

尸到平面ABC的距離.

【解答】解：ZACB=90°,尸為平面ABC外一點，PC=2,

點P到ZACB兩邊AC,BC的距離均為百，

過點P作PD_LAC,交AC于。，作PE_L8C,交BC于E,

過P作尸。_L平面ABC,交平面ABC于。，

連結。0C,則PO=PE=g,

由題意得CD=CE=0D=0E=22-(V3)2=1,

：.PO=y/PD2-OD2=V3^T=V2.

到平面ABC的距離為迎.

故答案為：V2.

【點評】本題考查點到平面的距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考

查推理能力與計算能力，屬于中檔題.

13.已知圓錐的頂點為S,母線SA,S3互相垂直，SA與圓錐底面所成角為30°.若△SA8的面積為8,

則該圓錐的體積為8n.

【考點】直線與平面所成的角；棱柱、棱錐、棱臺的體積.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；空間位置關系與距離；空間角.

【答案】見試題解答內容

【分析】利用已知條件求出母線長度，然后求解底面半徑，以及圓錐的高.然后求解體積即可.

1

【解答】解：圓錐的頂點為S,母線SA,S3互相垂直，△SAB的面積為8,可得：-S〃=8,解得SA

2

=4,

SA與圓錐底面所成角為30°.可得圓錐的底面半徑為：2V3,圓錐的高為：2,

則該圓錐的體積為：V=|x7Tx(2V3)2x2=8TT.

故答案為：8n.

【點評】本題考查圓錐的體積的求法，母線以及底面所成角的應用，考查轉化思想以及計算能力.

14.如圖，在棱長為2的正方體A8CD-ALBICLDI中，E為的中點，點P在線段。歸上，點尸到直線

CCi的距離的最小值為.

【考點】點、線、面間的距離計算.

【專題】空間位置關系與距離.

【答案】見試題解答內容

【分析】如圖所示，取B1C1的中點F,連接EF,ED1,利用線面平行的判定即可得到CC〃平面D1EF,

進而得到異面直線D1E與C1C的距離.

【解答】解：如圖所示，取31cl的中點F,連接EREDi,

：.CCi//EF,

又EFu平面DiEF,CCW平面D1EF,

，CCi〃平面D1EF.

直線QC上任一點到平面D1EF的距離是兩條異面直線Q1E與CC1的距離.

過點Ci作C1M1D1F,

?平面￡>1EF_L平面AiBiCiDi.

平面D\EF.

過點M作尸交。1E于點P,貝UM尸〃CiC.

取CiN=MP,連接PN,則四邊形MPNCi是矩形.

可得NP_L平面DxEF,

2xl

在Rt/XQiCiF中，GM?。/=OiCi?CiR得=■7=攣.

JIw5

,2V5

點P到直線CC1的距離的最小值為個一?

故答案為2V亍5

【點評】熟練掌握通過線面平行的性質即可得到異面直線的距離是解題的關鍵.

15.已知“，方是空間單位向量，”,與=2,若空間向量b滿足b?%=2,b-e2=且對于任意x，yER,

一（%出+ye2）1Z—（/ei+y（）C2）l=1（刈，yoGR）,則xo=1，yo=2，\b\=_2V2_.

【考點】空間向量的數(shù)量積運算；平面向量數(shù)量積的性質及其運算.

【專題】創(chuàng)新題型；空間向量及應用.

【答案】見試題解答內容

【分析】由題意和數(shù)量積的運算可得VelW>=梟不妨設3=(；，9，0),扇=(1,0,0),由已

$22

22

知可解b=可得|b-(遍+'■/=(x+與性)+^(y-2)+?,由題意可得當x二xo=

2214

1,y=yo=2時，(x+亭2+1(y-2)?+金取最小值1,由模長公式可得|b|.

_*__>—>—>—>—>—>—>—>1

【解答】解：=|e1||e2|cos<e1*e2>=cos<e1*e2>=2>

TT7T

<e1-e2>=w，

不妨設q=(3，0),e2=(1，0,0),b=(m,n,t),

則由題意可知b?er=嚴+fz=2,

T75

b-e2=m=5,

解得m=n=亨，

-5遮、

b=(―,—，/),

22

TTT51V3V3

?：b-(xe1+ye2)=(-—~x-)；,———%,力，

~\—~D51r\73730O

2

\b—(xet+ye2)r=-y),+(———%)+r,

由題意當x=xo=l,y=yo=2時，(x+馬")2+^(y-2)2十金取最小值1,

此時l2-1,故而=J(|)2+(亨)2+t2=2V2

故答案為：1；2；2V2

【點評】本題考查空間向量的數(shù)量積，涉及向量的模長公式，屬中檔題.

三.解答題(共5小題)

16.如圖，在四棱錐尸-ABCQ中，AB//CD,且NBAP=/CDP=90°.

(1)證明：平面E48_L平面B4D；

(2)若以=PO=AB=OC,ZAP￡)=90"，求二面角A-尸8-C的余弦值.

【考點】二面角的平面角及求法；平面與平面垂直.

【專題】綜合題；數(shù)形結合；向量法；空間角.

【答案】見試題解答內容

【分析】(1)由已知可得PDLCD,再由AB〃CD,得AB_LP￡),利用線面垂直的判定可得

平面B4。，進一步得到平面朋8_L平面必。；

(2)由已知可得四邊形ABC。為平行四邊形，由(1)知A8_L平面得至ijABUZ),則四邊形A8CQ

為矩形，設出=AB=2a,則AD=2/a.取中點O,8C中點E,連接尸。、0E,以。為坐標原點，

分別以04、0E、0P所在直線為無、y、z軸建立空間直角坐標系，求出平面P2C的一個法向量，再證

―>

明POJ_平面RLB,得PD為平面B48的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角A-PB-C

的余弦值.

【解答】(1)證明：,：ZBAP=ZCDP=90°,：.PA±AB,PD±CD,

'：AB//CD,：.AB±PD,

又：以CPO=P,且小U平面B4Z),P￡)u平面出。，

PAD,又ABu平面

平面B4B_L平面PAD-,

(2)解：".'AB//CD,AB=CD,四邊形ABC。為平行四邊形，

由(1)知AB_L平面抬。，則四邊形A8CD為矩形，

在△APD中，由出=尸。，NAP。=90°,可得△E4。為等腰直角三角形，

設PA=AB=2a,則AD=2y[2a.

取A。中點。，BC中點E,連接P。、OE,

以。為坐標原點，分別以040E、OP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，

則：D(-V2a,0,0),B(夜a,2a,0),P(0,0,V2a),C(—&a,2a,0).

PD=(一五a,0/—V2a),PB=2a,—V2a),BC={-2y[2a,0,0).

設平面PBC的一個法向量為蔡=(%,y,z),

由口”=°，得產：+2ay-缶z=0,取產1得屋(°,在煙.

(展BC=0l-2V2ax=0

平面E4。，AOu平面E4。，：.AB±PD,

5LPDLPA,PAHAB=A,

—>—>

.*.PO_L平面B48,貝為平面E4B的一個法向量，PD=(—五a,0,-V2a).

TT

TTPD,Tl—2Q_y/~3

???cosVPD,n>=Cr

\PD\\n\2ax遮3

由圖可知，二面角A-PB-C為鈍角,

二面角A--C的余弦值為一字.

【點評】本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用空間向量求二面

角的平面角，是中檔題.

17.如圖，在三棱錐尸-ABC中，AB=BC=2五,PA=PB=PC=AC=4,。為AC的中點.

(1)證明：PO_L平面ABC；

(2)若點M在棱8C上，且二面角M-B4-C為30°,求尸C與平面所成角的正弦值.

【考點】直線與平面所成的角；直線與平面垂直.

【專題】轉化思想；向量法；轉化法；空間位置關系與距離；空間向量及應用.

【答案】見試題解答內容

【分析】⑴利用線面垂直的判定定理證明尸O，AC,POLOB即可；

(2)根據(jù)二面角的大小求出平面B4M的法向量，利用向量法即可得到結論.

【解答】(1)證明：連接B0,

,:AB=BC=2五,。是AC的中點，

：.BO±AC,且8。=2,

又PA=PC=PB=AC=4,

C.POLAC,PO=2<3,

則PB1=PO1+BO1,

則P01.0B,

\'OBHAC=O,

；.PO_L平面ABC；

(2)建立以。坐標原點，OB,0C,。尸分別為x,y,z軸的空間直角坐標系如圖:

A(0,-2,0),P(0,0,2遮)，C(0,2,0),B(2,0,0),

—>

BC=(-2,2,0),

—?—>

設BM=XBC=(-2入，2入，0),0<A<l

則4"=8時-34=(-2入，2入，0)-(-2,-2,0)=(2-2A,2入+2,0),

則平面B4c的法向量為茄=(1,0,0),

設平面的法向量為蔡=(x,y,z),

則易=(0,-2,-2V3),

則九?尸4=_2y-2V3z=0,nMM=(2-2入)x+(2入+2)y=0

令z=1,貝y=-V3,x=("J?立,

l-A

->(a+i)V^i—

即ri=(--------，—V3,1),

l-A

??,二面角M-B4-C為30°,

—>—?

mn、百

.,.cos30°=|b^|=三，

|m||n|/

(4+1)遮

即J(凈￡―1入+3—.1—二—2，

解得入=/或入=3(舍)，

則平面M朋的法向量蔡=(2V3,-V3,1),

PC=(0,2,-2后，

———2.^3—2,^34、叵、/^

尸C與平面B4M所成角的正弦值sin0=|cos<PC,n>|=||=妥=

V16-V16164

【點評】本題主要考查空間直線和平面的位置關系的應用以及二面角，線面角的求解，建立坐標系求出

點的坐標，利用向量法是解決本題的關鍵.

18.如圖，四棱錐P-A8CD中，側面出。為等邊三角形且垂直于底面ABC。，AB=BC=1AD,ZBAD=

ZABC^9Q°,E是PZ)的中點.

(1)證明：直線CE〃平面B48；

(2)點M在棱PC上，且直線與底面ABC。所成角為45°,求二面角M。的余弦值.

【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行.

【專題】數(shù)形結合；轉化思想；綜合法；空間位置關系與距離；空間角.

【答案】(1)證明見解答.

Vio

(2)-----.

5

【分析】(1)取出的中點R連接EEBF,通過證明CE〃BR利用直線與平面平行的判定定理證明

即可.

(2)利用已知條件轉化求解/到底面的距離，作出二面角的平面角，然后求解二面角AB-D的

余弦值即可.

【解答】(1)證明：取出的中點R連接ERBF,因為E是尸。的中點，

所以EFj/。，AB=BC=ZBAD=ZABC=9Q°,：.BC//^AD,

...8CEF是平行四邊形，可得CE〃BF,BFu平面CEC平面加8,

直線CE〃平面PAB；

(2)解：四棱錐P-ABC。中，

側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=1AD,

ZBAD=ZABC=90°,E是尸。的中點.

取A。的中點。，M在底面ABCD上的射影N在OC上，設AD=2,則4B=BC=1,OP=<3,

：.ZPCO=60°,直線與底面48CD所成角為45°,

可得：BN=MN,CN=^-MN,BC=\,

可得：l+^BN2=BN2,BN=*,MN=^-,

作NQJ_AB于。，連接M。，ABLMN,

所以/MQN就是二面角M-AB-D的平面角，MQ=Jl2+(苧￥

二面角M-AB-D的余弦值為：焉=

D

B

【點評】本題考查直線與平面平行的判定定理的應用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及

計算能力.

19.如圖，直四棱柱A8C。-486/51的底面是菱形，A4i=4,A8=2,ZBAD=60°,E,M,N分別是

BC,BBi,4。的中點.

(1)證明：MN〃平面CiDE；

(2)求二面角A-MAi-N的正弦值.

【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行.

【專題】數(shù)形結合；向量法；空間角.

【答案】見試題解答內容

【分析】(1)過N作NH_LA。，證明NA/〃8"，再證明可得NM〃DE,再由線面平行的判

定可得〃平面C1DE；

(2)以。為坐標原點，以垂直于。C得直線為無軸，以DC所在直線為y軸，以。力所在直線為z軸

建立空間直角坐標系，分別求出平面與平面M4Al的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可

得二面角A-MAi-N的正弦值.

【解答】(1)證明：如圖，過N作NH_LA。，則N”〃AAi,且=

y.MB//AAi,MB=^AAr,四邊形為平行四邊形，則

由N”〃A4i,N為4。中點，得”為AD中點，而E為BC中點,

C.BE//DH,BE=DH,則四邊形BEDH為平行四邊形，則BH〃DE,

C.NM//DE,

:NMC平面CiDE,DEu平面C1DE,

〃平面C1DE；

(2)解：以。為坐標原點，以垂直于。C的直線為無軸，以DC所在直線為y軸，以。。1所在直線為

z軸建立空間直角坐標系，

則N(一,2)