2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時素養(yǎng)檢測十四平面的基本事實與推論含解析新人教B版必修第四冊

PAGE十四平面的基本領(lǐng)實與推論(25分鐘50分)一、選擇題(每小題4分,共20分,多選題全部選對得4分,選對但不全得2分,有選錯的得0分)1.(多選題)下列說法不正確的是 ()A.梯形的四個頂點共面B.三條平行直線共面C.有三個公共點的兩個平面重合D.三條直線兩兩相交,可以確定3個平面【解析】選BCD.因為梯形有兩邊平行,所以梯形確定一個平面,所以A是正確的;三條平行直線不肯定共面,如直三棱柱的三條平行的棱,所以B不正確;有三個公共點的兩個平面不肯定重合,如兩個平面相交,三個公共點都在交線上,所以C不正確;三條直線兩兩相交,可以確定的平面?zhèn)€數(shù)是1或3,所以D不正確.2.已知點A,直線a,平面α,以下命題表達(dá)正確的個數(shù)是 ()①A∈a,a?α?A?α;②A∈a,a∈α?A∈α;③A?a,a?α?A?α;④A∈a,a?α?A?α.A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選A.①錯,如圖:②a∈α符號不對;③錯,如圖:④A?α符號書寫不對.3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,假如P,Q,R分別是AB,AD,B1C1的中點,那么在正方體中過點P,Q,R的截面圖形是 ()A.三角形 B.四邊形C.五邊形 D.六邊形【解析】選D.如圖,延長PQ分別交CB,CD的延長線于點M,N,連接MR,交BB1于點E,交CC1的延長線于點H,連接NH,分別交D1D,D1C1于點F,G,則六邊形QPERGF為截面圖形.4.(2024·浙江高考)已知空間中不過同一點的三條直線m,n,l,則“m,n,l在同一平面”是“m,n,l兩兩相交”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選B.已知m,n,l兩兩相交,可以推出m,n,l在同一個平面,反之,已知m,n,l在一個平面,可以推出m,n,l兩兩相交,或者m∥n,l與m,n相交等多種狀況,故“m,n,l在同一平面”是“m,n,l兩兩相交”的必要不充分條件.5.如圖所示,平面α∩平面β=l,A,B∈α,C∈β,C?l,直線AB∩l=D,過A,B,C三點確定的平面為γ,則平面γ,β的交線必過 ()A.點A B.點BC.點C,但不過點D D.點C和點D【解析】選D.由已知,得點C和點D既在平面β內(nèi)又在平面γ內(nèi),故在β與γ的交線上.二、填空題(每小題4分,共8分)6.設(shè)平面α與平面β相交于l,直線a?α,直線b?β,a∩b=M,則M__________l.

【解析】因為a∩b=M,a?α,b?β,所以M∈α,M∈β.又因為α∩β=l,所以M∈l.答案:∈【補償訓(xùn)練】如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,試依據(jù)圖形填空:(1)平面ABB1A1∩平面A1B1C1D1=________;

(2)平面A1C1CA∩平面ABCD=__________;

(3)平面A1C1CA∩平面D1B1BD=__________;

(4)平面A1B1C1D1,平面B1C1CB,平面ABB1A1的公共點為__________.

答案:(1)A1B1(2)AC(3)OO1(4)B17.空間三條直線,假如其中一條直線和其他兩條直線都相交,那么這三條直線能確定的平面?zhèn)€數(shù)是________.

【解析】如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,①AA1∩AB=A,AA1∩A1B1=A1,直線AB,A1B1與AA1可以確定一個平面(平面ABB1A1).②AA1∩AB=A,AA1∩A1D1=A1,直線AB,AA1與A1D1可以確定兩個平面(平面ABB1A1和平面ADD1A1).③三條直線AB,AD,AA1交于一點A,它們可以確定三個平面(平面ABCD,平面ABB1A1和平面ADD1A1).答案:1或2或3三、解答題(共22分)8.(10分)如圖所示,已知E,F與G分別為正方體ABCD-A1B1C1D1棱AB,B1C1與DA的中點,試過E,F,G三點作正方體ABCD-A1B1C1D1的截面.【解析】作法:(1)連接GE并延長交CB的延長線于M,交CD的延長線于N,連接MF,交棱B1B于點H,連接HE;(2)延長EH交A1B1的延長線于點R.連接FR,FR交D1C1于Q;(3)連接QN交D1D于點K,連接KG.六邊形KGEHFQ就是所要作的截面.9.(12分)如圖所示,在空間四邊形各邊AD,AB,BC,CD上分別取E,F,G,H四點,假如EF,GH交于一點P,求證:點P在直線BD上.【證明】因為EF∩GH=P,所以P∈EF且P∈GH.又因為EF?平面ABD,GH?平面CBD,所以P∈平面ABD,且P∈平面CBD,所以P∈平面ABD∩平面CBD,因為平面ABD∩平面CBD=BD,所以P∈BD,所以點P在直線BD上.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題4分,共16分,多選題全部選對得4分,選對但不全對得2分,有選錯的得0分)1.(多選題)已知α,β為平面,A,B,M,N為點,a為直線,下列推理正確的是 ()A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β?a?βB.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β?α∩β=MNC.A∈α,A∈β?α∩β=AD.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共線?α,β重合【解析】選ABD.選項C中,α與β有公共點A,則它們有過點A的一條交線,而不是點A,故C錯.2.空間中有A,B,C,D,E五個點,已知A,B,C,D在同一個平面內(nèi),B,C,D,E在同一個平面內(nèi),那么這五個點 ()A.共面 B.不肯定共面C.不共面 D.以上都不對【解析】選B.若B,C,D共線,則這五個點不肯定共面;若B,C,D不共線,則這五個點肯定共面.3.如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,既與AB共面又與CC1共面的棱的條數(shù)為 ()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】選C.既與AB共面又與CC1共面的棱有CD,BC,BB1,AA1,C1D1,共5條.4.有下列四種敘述:①空間四點共面,則其中必有三點共線;②空間四點不共面,則其中任何三點不共線;③空間四點中有三點共線,則此四點必共面;④空間四點中任何三點不共線,則此四點不共面.其中正確敘述的序號是 ()A.②③④ B.②③ C.①②③ D.①③【解析】選B.因為四棱柱中每個面都有四個點,但這四個點中沒有三點是共線的,所以①錯;因為空間任何三點不共線但四點可以共面,所以④錯.【補償訓(xùn)練】經(jīng)過空間隨意三點作平面 ()A.只有一個 B.可作兩個C.可作多數(shù)個 D.只有一個或有多數(shù)個【解析】選D.若三點不共線,只可以作一個平面;若三點共線,則可以作出多數(shù)個平面.二、填空題(每小題4分,共16分)5.平面α,β相交,在α,β內(nèi)各取兩點,這四點都不在交線上,這四點能確定__________個平面.

【解析】假如這四點在同一平面內(nèi),那么確定一個平面;假如這四點不共面,則隨意三點可確定一個平面,所以可確定四個平面.答案:1或46.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為DB的中點,直線A1C交平面C1BD于點M,則下列結(jié)論正確的是__________.

①C1,M,O三點共線;②C1,M,O,C四點共面;③C1,O,A,M四點共面;④D1,D,O,M四點共面.【解析】連接A1C1,AC,則AC∩BD=O,因為A1C∩平面C1BD=M.所以三點C1,M,O在平面C1BD與平面ACC1A1的交線上,即C1,M,O三點共線,所以①②③均正確,④不正確.答案:①②③7.有下列命題:①空間三點確定一個平面;②有3個公共點的兩個平面必重合;③空間兩兩相交的三條直線確定一個平面;④等腰三角形是平面圖形;⑤垂直于同始終線的兩條直線平行;⑥一條直線和兩平行線中的一條相交,也必和另一條相交.其中正確命題的序號是__________.

【解析】由平面的基本領(lǐng)實1知,不共線的三點才能確定一個平面,所以命題①錯,②中當(dāng)三個公共點共線時,兩平面可以不重合,③中空間兩兩相交的三條直線有三個交點或一個交點,若為三個交點,則這三條直線共面,若只有一個交點,則可能確定一個平面或三個平面.因為在正方體ABCD-A′B′C′D′中,直線BB′⊥AB,BB′⊥BC,但AB與BC不平行,所以⑤錯.因為在正方體ABCD-A′B′C′D′中,AB∥CD,BB′∩AB=B,但BB′與CD不相交,所以⑥錯.答案:④8.設(shè)P表示一個點,a,b表示兩條直線,α,β表示兩個平面,給出下列四個命題,其中正確命題的序號是__________.

①P∈a,P∈α?a?α;②a∩b=P,b?β?a?β;③a∥b,a?α,P∈b,P∈α?b?α;④α∩β=b,P∈α,P∈β?P∈b.【解析】當(dāng)a∩α=P時,P∈a,P∈α,但a?α,所以①錯;a∩β=P時,②錯;如圖,因為a∥b,P∈b,所以P?a,所以由直線a與點P確定唯一平面α,又因為a∥b,所以由a與b確定唯一平面γ,但γ經(jīng)過直線a與點P,所以γ與α重合,所以b?α,故③正確;兩個平面的公共點必在其交線上,故④正確.答案:③④三、解答題(共38分)9.(12分)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是BD的中點,對角線AC1與過A1B,D的平面交于點P,求證:點A1,P,O在同始終線上.【證明】如圖,連接AC,A1C1,因為O是BD的中點,所以O(shè)是AC的中點,即O∈AC,又因為AC?平面ACC1A1,所以O(shè)∈平面ACC1A1.因為P∈AC1,又因為AC1?平面ACC1A1,所以P∈平面ACC1A1,所以A1,P,O都在平面ACC1A1內(nèi).又因為A1,P,O都在平面A1BD內(nèi),所以A1,P,O都在平面ACC1A1與平面A1BD的交線上,即A1,P,O三點共線.10.(12分)已知三個平面兩兩相交,有三條交線,求證:若這三條交線不平行,則它們交于一點.【解題指南】證明三線共點的基本思路是先證其中兩條直線有交點,再證該交點在第三條直線上.對于證空間中多線共點,平面幾何中證多線共點的思維方法仍舊適用,只是在思索中應(yīng)考慮空間圖形的特點.【解析】已知:如圖,設(shè)三個平面為α,β,γ,且α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a.且a,b,c不平行.求證:a,b,c三線交于一點.證明:因為α∩β=c,α∩γ=b,所以b?α,c?α.因為b,c不相互平行,所以b,c交于一點.設(shè)b∩c=P,因為P∈c,c?β,所以P∈β.同理,P∈γ.因為β∩γ=a,所以P∈a.故a,b,c交于一點P.11.(14分)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為D1C1,B1C1的中點,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,如圖所示:(1)求證:D,B,E,F四點共面;(2)作出直線A1C與平面BDEF的交點R的位置.【解析】(1)由于CC1和BF在同一個平面內(nèi)且不平行,故必相交.設(shè)交點