2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)(理)試題變式題17-20題-(學(xué)生版+解析)

2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題變式題17-20題原題171．記為數(shù)列的前n項和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．變式題1基礎(chǔ)2．已知數(shù)列的各項為正數(shù)，其前項和滿足，設(shè)．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求的最大值．變式題2基礎(chǔ)3．已知數(shù)列的前項和公式為(1)求的通項公式；(2)求的前項和的最小值．變式題3基礎(chǔ)4．已知數(shù)列的前項和為.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求的最大值及取得最大值時的值.變式題4鞏固5．已知數(shù)列的前項和為，點在直線上．(1)求數(shù)列的前項和，以及數(shù)列通項公式；(2)若數(shù)列滿足：，設(shè)數(shù)列的前項和為，求的最小值．變式題5鞏固6．已知正項數(shù)列的首項為1，其前項和為，滿足.(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)若，是的前項和，已知對于都成立，求的取值范圍.變式題6鞏固7．已知數(shù)列的前n項和.(1)求的通項公式．(2)的前多少項和最大？(3)設(shè)，求數(shù)列的前n項和.變式題7鞏固8．已知數(shù)列滿足，設(shè).(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和的最小值.變式題8提升9．已知數(shù)列的前項和為，，______.指出、、…中哪一項最大，并說明理由.從①，，②是和的等比中項這兩個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答.變式題9提升10．已知正項數(shù)列的前n項和為，，當(dāng)且時，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）請判斷是否存在三個互不相等的正整數(shù)p，q，r成等差數(shù)列，使得，，也成等差數(shù)列.變式題10提升11．已知等差數(shù)列的前n項和為.（1）若數(shù)列為等差數(shù)列，且，求；（2）若，求公差d的取值范圍.原題1812．在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．變式題1基礎(chǔ)13．如圖，在三棱柱中，平面，，．(1)求證：平面；(2)記和的交點為M，點N在線段上，滿足平面，求直線與平面所成角的正弦值．變式題2基礎(chǔ)14．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，，點是的中點.(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.變式題3基礎(chǔ)15．如圖，在直角中，PO⊥OA，PO=2OA，將繞邊PO旋轉(zhuǎn)到的位置，使，得到圓錐的一部分，點C為的中點．(1)求證：；(2)設(shè)直線PC與平面PAB所成的角為，求．變式題4鞏固16．在直角梯形中，，，，，M為線段中點，將沿折起，使平面平面，得到幾何體.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.變式題5鞏固17．在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，，E為的中點，點P在平面內(nèi)的投影F恰好在直線上．(1)證明：．(2)求直線與平面所成角的正弦值．變式題6鞏固18．如圖，在四邊形ABCD中，BC＝CD，BC⊥CD，AD⊥BD，以BD為折痕把△ABD折起，使點A到達(dá)點P的位置，且PC⊥BC．(1)證明：PD⊥平面BCD；(2)若M為PB的中點，二面角P﹣BC﹣D等于60°，求直線PC與平面MCD所成角的正弦值．變式題7鞏固19．如圖，在三棱柱中，，F(xiàn)是的中點．(1)證明：；(2)求與平面所成角的正弦值．變式題8提升20．如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，點在上．（1）求證：；（2）若二面角的大小為，求與平面所成角的正弦值．變式題9提升21．如圖，在中，，，為的中點，，.現(xiàn)將沿翻折至，得四棱錐.（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的正切值變式題10提升22．如圖，在七面體中，四邊形是菱形，其中，，，是等邊三角形，且.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.原題1923．甲、乙兩個學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結(jié)果相互獨立．(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．變式題1基礎(chǔ)24．為弘揚奧運精神，某校開展了“冬奧”相關(guān)知識趣味競賽活動.現(xiàn)有甲?乙兩名同學(xué)進(jìn)行比賽，共有兩道題目，一次回答一道題目.規(guī)則如下：①拋一次質(zhì)地均勻的硬幣，若正面向上，則由甲回答一個問題，若反面向上，則由乙回答一個問題.②回答正確者得10分，另一人得0分；回答錯誤者得0分，另一人得5分.③若兩道題目全部回答完，則比賽結(jié)束，計算兩人的最終得分.已知甲答對每道題目的概率為，乙答對每道題目的概率為，且兩人每道題目是否回答正確相互獨立.(1)求乙同學(xué)最終得10分的概率；(2)記X為甲同學(xué)的最終得分，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.變式題2基礎(chǔ)25．冰壺是2022年2月4日至2月20日在中國舉行的第24屆冬季奧運會的比賽項目之一．冰壺比賽的場地如圖所示，其中左端（投擲線的左側(cè)）有一個發(fā)球區(qū)，運動員在發(fā)球區(qū)邊沿的投擲線將冰壺擲出，使冰壺沿冰道滑行，冰道的右端有一圓形的營壘，以場上冰壺最終靜止時距離營壘區(qū)圓心的遠(yuǎn)近決定勝負(fù)，甲、乙兩人進(jìn)行投擲冰壺比賽，規(guī)定冰壺的重心落在圓中，得3分，冰壺的重心落在圓環(huán)中，得2分，冰壺的重心落在圓環(huán)中，得1分，其余情況均得0分．已知甲、乙投擲冰壺的結(jié)果互不影響，甲、乙得3分的概率分別為，；甲、乙得2分的概率分別為，；甲、乙得1分的概率分別為，．(1)求甲所得分?jǐn)?shù)大于乙所得分?jǐn)?shù)的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所得的分?jǐn)?shù)之差的絕對值為，求的分布列和期望．變式題3基礎(chǔ)26．某紫砂壺加工工坊在加工一批紫砂壺時，在出窯過程中有的會因為氣溫驟冷、泥料膨脹率不均等原因?qū)е伦仙皦爻霈F(xiàn)一定的瑕疵而形成次品，有的直接損毀．通常情況下，一把紫砂壺的成品率為，損毀率為．對于燒窯過程中出現(xiàn)的次品，會通過再次整形調(diào)整后入窯復(fù)燒，二次出窯，其在二次出窯時不出現(xiàn)次品，成品率為．已知一把紫砂壺加工的泥料成本為500元/把，每把壺的平均燒窯成本為50元/次，復(fù)燒前的整形工費為100元/次，成品即可對外銷售，售價均為1500元．(1)求一把紫砂壺能夠?qū)ν怃N售的概率；(2)某客戶在一批紫砂壺入窯前隨機對一把紫砂壺坯料進(jìn)行了標(biāo)記，求被標(biāo)記的紫砂壺的最終獲利X的數(shù)學(xué)期望．變式題4鞏固27．甲、乙兩名同學(xué)參加某個比賽，比賽開始前箱子中裝有3個紅球3個白球，箱子中裝有1個紅球2個白球．比賽規(guī)則是：先由甲同學(xué)從箱子中每次取一個球放入箱子中，若從箱子中放入箱子中的球是紅球則停止取球，若是白球則繼續(xù)取球放球過程，直到第一次取到紅球并放入箱子中為止．然后再由乙同學(xué)從箱子中任取一個球，若取出的是紅球則乙同學(xué)獲勝，否則甲同學(xué)獲勝．(1)用表示甲同學(xué)從箱子中取出放入箱子中球的個數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)求甲同學(xué)獲勝的概率．變式題5鞏固28．高二年級某班學(xué)生在數(shù)學(xué)校本課程選課過程中，已知第一小組與第二小組各有六位同學(xué).每位同學(xué)都只選了一個科目，第一小組選《數(shù)學(xué)運算》的有1人，選《數(shù)學(xué)解題思想與方法》的有5人，第二小組選《數(shù)學(xué)運算》的有2人，選《數(shù)學(xué)解題思想與方法》的有4人，現(xiàn)從第一、第二兩小組各任選2人分析選課情況.(1)求選出的4人均選《數(shù)學(xué)解題思想與方法》的概率；(2)設(shè)為選出的4個人中選《數(shù)學(xué)運算》的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．變式題6鞏固29．2021年12月，新冠疫情的嚴(yán)重反彈，擾亂了西安市民乃至陜西全省人民正常的生活秩序，各行各業(yè)的正常生產(chǎn)、運營受到嚴(yán)重影響，相關(guān)部門，為了盡快杜絕疫情的擴(kuò)散，果斷實施了小區(qū)封控、西安市區(qū)封城、市民足不出戶等有效措施.2022年1月下旬小區(qū)相繼解封.某銷售商場為盡快彌補疫情帶來的損失，推行高檔電器“大屏幕電視機、冰箱和洗衣機”三種商品的搶購優(yōu)惠促銷活動.活動規(guī)則是：人人都可以參加三種商品的搶購，但每種商品只能搶購一次一件；優(yōu)惠標(biāo)準(zhǔn)是：搶購成功者，大屏幕電視機優(yōu)惠800元；冰箱優(yōu)惠500元；洗衣機優(yōu)惠300元，張某參加了這次搶購且三種商品都搶購，假設(shè)搶購成功與否相互獨立，搶購三種商品成功的概率順次為、、，已知這三種商品都能搶購成功的概率為，至少一種商品能搶購成功的概率為.(1)①求、的值；②求張某恰好搶購成功兩種商品的概率.(2)求張某搶購成功獲得的優(yōu)惠總金額的分布列和數(shù)學(xué)期望.變式題7鞏固30．2022年4月16日上午9：57神舟十三號航天員翟志剛、王亞平、葉光富順利返回地面．半年內(nèi)，航天員們順利完成了兩次出艙任務(wù)，兩次“天空課堂”講課，還組織了天宮畫展、春節(jié)跨年以及迎元宵活動，為全國觀眾留下了深刻印象，也掀起了一股航天熱．邢臺市某中學(xué)航天愛好者協(xié)會為了解學(xué)生對航天知識的掌握程度，對該校高一、高二年級全體學(xué)生進(jìn)行了相關(guān)知識測試，然后從高一、高二各隨機抽取了20名學(xué)生成績（百分制），并對數(shù)據(jù)（成績）進(jìn)行了整理、描述和分析．下面給出了整理的相關(guān)信息：等級EDCBA成績高一人數(shù)123410高二頻率0.10.150.20.30.25(1)從高一和高二樣本中各抽取一人，這兩個人成績都不低于90分的概率是多少？(2)分別從高一全體學(xué)生中抽取一人，從高二全體學(xué)生中抽取2人，這三人中成績不低于90分的人數(shù)記為X，用頻率估計概率，求X的分布列和期望．變式題8提升31．猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名．規(guī)則如下：參賽選手按第一關(guān)，第二關(guān)，第三關(guān)的順序依次猜歌名闖關(guān)，若闖關(guān)成功依次分別獲得猜公益基金元，元，元，當(dāng)選手闖過一關(guān)后，可以選擇游戲結(jié)束，帶走相應(yīng)公益基金；也可以繼續(xù)闖下一關(guān)，若有任何一關(guān)闖關(guān)失敗，則游戲結(jié)束，全部公益基金清零．假設(shè)某嘉賓第一關(guān)，第二關(guān)，第三關(guān)闖關(guān)成功的概率分別是，，，該嘉賓選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率均為，且各關(guān)之間闖關(guān)成功與否互不影響．（1）求該嘉賓第一關(guān)闖關(guān)成功且獲得公益基金為零的概率；（2）求該嘉賓獲得的公益基金總金額的分布列及均值．變式題9提升32．為進(jìn)一步激發(fā)青少年學(xué)習(xí)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的熱情，某校舉辦了“我愛古詩詞”對抗賽，在每輪對抗賽中，高二年級勝高三年級的概率為，高一年級勝高三年級的概率為，且每輪對抗賽的成績互不影響．(1)若高二年級與高三年級進(jìn)行4輪對抗賽，求高三年級在對抗賽中至少有3輪勝出的概率；(2)若高一年級與高三年級進(jìn)行對抗，高一年級勝2輪就停止，否則開始新一輪對抗，但對抗不超過5輪，求對抗賽輪數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望．變式題10提升33．1971年“乒乓外交”翻開了中美關(guān)系的新篇章，2021年休斯頓世乒賽中美兩國選手又一次踐行了“乒乓外交”所蘊含的友誼?尊重?合作的精神，使“乒乓外交”的內(nèi)涵和外延得到了進(jìn)一步的豐富和創(chuàng)新，幾十年來，乒乓球運動也成為國內(nèi)民眾喜愛的運動之一，今有小王?小張?小馬三人進(jìn)行乒乓球比賽，規(guī)則為：先由兩人上場比賽，另一人做裁判，敗者下場做裁判，另兩人上場比賽，依次規(guī)則循環(huán)進(jìn)行比賽.由抽簽決定小王?小張先上場比賽，小馬做裁判.根據(jù)以往經(jīng)驗比賽：小王與小張比賽小王獲勝的概率為，小馬與小張比賽小張獲勝的概率為，小馬與小王比賽小馬獲勝的概率為.(1)比賽完3局時，求三人各勝1局的概率；(2)比賽完4局時，設(shè)小馬做裁判的次數(shù)為X，求X的分布列和期望.原題2034．設(shè)拋物線的焦點為F，點，過F的直線交C于M，N兩點．當(dāng)直線MD垂直于x軸時，．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線與C的另一個交點分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時，求直線AB的方程．變式題1基礎(chǔ)35．已知圓，一動圓與直線相切且與圓外切．（1）求動圓圓心的軌跡的方程；（2）過作直線，交（1）中軌跡于兩點，若中點的縱坐標(biāo)為，求直線的方程．變式題2基礎(chǔ)36．已知拋物線的焦點為、為拋物線上兩個不同的動點，當(dāng)過且與軸平行時的面積為2．（1）求拋物線的方程；（2）分別過作垂直于軸，若，求與軸的交點的橫軸標(biāo)的取值范圍．變式題3基礎(chǔ)37．已知拋物線的焦點為F，點M是拋物線的準(zhǔn)線上的動點．(1)求p的值和拋物線的焦點坐標(biāo)；(2)設(shè)直線l與拋物線相交于A、B兩點，且，求直線l在x軸上截距b的取值范圍．變式題4鞏固38．如圖，拋物線的焦點為F，點A為拋物線上的一動點，直線AF交拋物線于另一點B，當(dāng)直線的斜率為1時，線段的中點的橫坐標(biāo)為2．（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過B與軸平行的直線和過F與AB垂直的直線交于點N，求N的縱坐標(biāo)的取值范圍．變式題5鞏固39．已知拋物線：的焦點為，點在拋物線上．(1)若，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與拋物線交于，兩點，點的坐標(biāo)為，且滿足，原點到直線的距離不小于，求的取值范圍．變式題6鞏固40．已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為1.(1)求C的方程；(2)已知點在C上，且線段AB的中垂線l的斜率為，求l在y軸上的截距的取值范圍.變式題7鞏固41．已知圓的圓心為，點是圓上的動點，點是拋物線的焦點，點在線段上，且滿足.(1)求點的軌跡的方程；(2)不過原點的直線與（1）中軌跡交于兩點，若線段的中點在拋物線上，求直線的斜率的取值范圍.變式題8提升42．如圖，已知過點，圓心C在拋物線上運動，若MN為在x軸上截得的弦，設(shè)，，當(dāng)C運動時，是否變化？證明你的結(jié)論．求的最大值，并求出取最大值時值及此時方程．變式題9提升43．如圖，已知點是焦點為的拋物線上一點，，是拋物線上異于的兩點，且直線，的傾斜角互補，若直線的斜率為．（Ⅰ）證明：直線的斜率為定值；（Ⅱ）求焦點到直線的距離（用表示）；（Ⅲ）在中，記，，求的最大值．變式題10提升44．設(shè)點是拋物線上異于原點O的一點，過點P作斜率為、的兩條直線分別交于、兩點（P、A、B三點互不相同）．(1)已知點，求的最小值；(2)若，直線AB的斜率是，求的值；(3)若，當(dāng)時，B點的縱坐標(biāo)的取值范圍．2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題變式題17-20題原題171．記為數(shù)列的前n項和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．變式題1基礎(chǔ)2．已知數(shù)列的各項為正數(shù)，其前項和滿足，設(shè)．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求的最大值．變式題2基礎(chǔ)3．已知數(shù)列的前項和公式為(1)求的通項公式；(2)求的前項和的最小值．變式題3基礎(chǔ)4．已知數(shù)列的前項和為.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求的最大值及取得最大值時的值.變式題4鞏固5．已知數(shù)列的前項和為，點在直線上．(1)求數(shù)列的前項和，以及數(shù)列通項公式；(2)若數(shù)列滿足：，設(shè)數(shù)列的前項和為，求的最小值．變式題5鞏固6．已知正項數(shù)列的首項為1，其前項和為，滿足.(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)若，是的前項和，已知對于都成立，求的取值范圍.變式題6鞏固7．已知數(shù)列的前n項和.(1)求的通項公式．(2)的前多少項和最大？(3)設(shè)，求數(shù)列的前n項和.變式題7鞏固8．已知數(shù)列滿足，設(shè).(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和的最小值.變式題8提升9．已知數(shù)列的前項和為，，______.指出、、…中哪一項最大，并說明理由.從①，，②是和的等比中項這兩個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答.變式題9提升10．已知正項數(shù)列的前n項和為，，當(dāng)且時，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）請判斷是否存在三個互不相等的正整數(shù)p，q，r成等差數(shù)列，使得，，也成等差數(shù)列.變式題10提升11．已知等差數(shù)列的前n項和為.（1）若數(shù)列為等差數(shù)列，且，求；（2）若，求公差d的取值范圍.原題1812．在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．變式題1基礎(chǔ)13．如圖，在三棱柱中，平面，，．(1)求證：平面；(2)記和的交點為M，點N在線段上，滿足平面，求直線與平面所成角的正弦值．變式題2基礎(chǔ)14．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，，點是的中點.(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.變式題3基礎(chǔ)15．如圖，在直角中，PO⊥OA，PO=2OA，將繞邊PO旋轉(zhuǎn)到的位置，使，得到圓錐的一部分，點C為的中點．(1)求證：；(2)設(shè)直線PC與平面PAB所成的角為，求．變式題4鞏固16．在直角梯形中，，，，，M為線段中點，將沿折起，使平面平面，得到幾何體.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.變式題5鞏固17．在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，，E為的中點，點P在平面內(nèi)的投影F恰好在直線上．(1)證明：．(2)求直線與平面所成角的正弦值．變式題6鞏固18．如圖，在四邊形ABCD中，BC＝CD，BC⊥CD，AD⊥BD，以BD為折痕把△ABD折起，使點A到達(dá)點P的位置，且PC⊥BC．(1)證明：PD⊥平面BCD；(2)若M為PB的中點，二面角P﹣BC﹣D等于60°，求直線PC與平面MCD所成角的正弦值．變式題7鞏固19．如圖，在三棱柱中，，F(xiàn)是的中點．(1)證明：；(2)求與平面所成角的正弦值．變式題8提升20．如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，點在上．（1）求證：；（2）若二面角的大小為，求與平面所成角的正弦值．變式題9提升21．如圖，在中，，，為的中點，，.現(xiàn)將沿翻折至，得四棱錐.（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的正切值變式題10提升22．如圖，在七面體中，四邊形是菱形，其中，，，是等邊三角形，且.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.原題1923．甲、乙兩個學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結(jié)果相互獨立．(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．變式題1基礎(chǔ)24．為弘揚奧運精神，某校開展了“冬奧”相關(guān)知識趣味競賽活動.現(xiàn)有甲?乙兩名同學(xué)進(jìn)行比賽，共有兩道題目，一次回答一道題目.規(guī)則如下：①拋一次質(zhì)地均勻的硬幣，若正面向上，則由甲回答一個問題，若反面向上，則由乙回答一個問題.②回答正確者得10分，另一人得0分；回答錯誤者得0分，另一人得5分.③若兩道題目全部回答完，則比賽結(jié)束，計算兩人的最終得分.已知甲答對每道題目的概率為，乙答對每道題目的概率為，且兩人每道題目是否回答正確相互獨立.(1)求乙同學(xué)最終得10分的概率；(2)記X為甲同學(xué)的最終得分，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.變式題2基礎(chǔ)25．冰壺是2022年2月4日至2月20日在中國舉行的第24屆冬季奧運會的比賽項目之一．冰壺比賽的場地如圖所示，其中左端（投擲線的左側(cè)）有一個發(fā)球區(qū)，運動員在發(fā)球區(qū)邊沿的投擲線將冰壺擲出，使冰壺沿冰道滑行，冰道的右端有一圓形的營壘，以場上冰壺最終靜止時距離營壘區(qū)圓心的遠(yuǎn)近決定勝負(fù)，甲、乙兩人進(jìn)行投擲冰壺比賽，規(guī)定冰壺的重心落在圓中，得3分，冰壺的重心落在圓環(huán)中，得2分，冰壺的重心落在圓環(huán)中，得1分，其余情況均得0分．已知甲、乙投擲冰壺的結(jié)果互不影響，甲、乙得3分的概率分別為，；甲、乙得2分的概率分別為，；甲、乙得1分的概率分別為，．(1)求甲所得分?jǐn)?shù)大于乙所得分?jǐn)?shù)的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所得的分?jǐn)?shù)之差的絕對值為，求的分布列和期望．變式題3基礎(chǔ)26．某紫砂壺加工工坊在加工一批紫砂壺時，在出窯過程中有的會因為氣溫驟冷、泥料膨脹率不均等原因?qū)е伦仙皦爻霈F(xiàn)一定的瑕疵而形成次品，有的直接損毀．通常情況下，一把紫砂壺的成品率為，損毀率為．對于燒窯過程中出現(xiàn)的次品，會通過再次整形調(diào)整后入窯復(fù)燒，二次出窯，其在二次出窯時不出現(xiàn)次品，成品率為．已知一把紫砂壺加工的泥料成本為500元/把，每把壺的平均燒窯成本為50元/次，復(fù)燒前的整形工費為100元/次，成品即可對外銷售，售價均為1500元．(1)求一把紫砂壺能夠?qū)ν怃N售的概率；(2)某客戶在一批紫砂壺入窯前隨機對一把紫砂壺坯料進(jìn)行了標(biāo)記，求被標(biāo)記的紫砂壺的最終獲利X的數(shù)學(xué)期望．變式題4鞏固27．甲、乙兩名同學(xué)參加某個比賽，比賽開始前箱子中裝有3個紅球3個白球，箱子中裝有1個紅球2個白球．比賽規(guī)則是：先由甲同學(xué)從箱子中每次取一個球放入箱子中，若從箱子中放入箱子中的球是紅球則停止取球，若是白球則繼續(xù)取球放球過程，直到第一次取到紅球并放入箱子中為止．然后再由乙同學(xué)從箱子中任取一個球，若取出的是紅球則乙同學(xué)獲勝，否則甲同學(xué)獲勝．(1)用表示甲同學(xué)從箱子中取出放入箱子中球的個數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)求甲同學(xué)獲勝的概率．變式題5鞏固28．高二年級某班學(xué)生在數(shù)學(xué)校本課程選課過程中，已知第一小組與第二小組各有六位同學(xué).每位同學(xué)都只選了一個科目，第一小組選《數(shù)學(xué)運算》的有1人，選《數(shù)學(xué)解題思想與方法》的有5人，第二小組選《數(shù)學(xué)運算》的有2人，選《數(shù)學(xué)解題思想與方法》的有4人，現(xiàn)從第一、第二兩小組各任選2人分析選課情況.(1)求選出的4人均選《數(shù)學(xué)解題思想與方法》的概率；(2)設(shè)為選出的4個人中選《數(shù)學(xué)運算》的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．變式題6鞏固29．2021年12月，新冠疫情的嚴(yán)重反彈，擾亂了西安市民乃至陜西全省人民正常的生活秩序，各行各業(yè)的正常生產(chǎn)、運營受到嚴(yán)重影響，相關(guān)部門，為了盡快杜絕疫情的擴(kuò)散，果斷實施了小區(qū)封控、西安市區(qū)封城、市民足不出戶等有效措施.2022年1月下旬小區(qū)相繼解封.某銷售商場為盡快彌補疫情帶來的損失，推行高檔電器“大屏幕電視機、冰箱和洗衣機”三種商品的搶購優(yōu)惠促銷活動.活動規(guī)則是：人人都可以參加三種商品的搶購，但每種商品只能搶購一次一件；優(yōu)惠標(biāo)準(zhǔn)是：搶購成功者，大屏幕電視機優(yōu)惠800元；冰箱優(yōu)惠500元；洗衣機優(yōu)惠300元，張某參加了這次搶購且三種商品都搶購，假設(shè)搶購成功與否相互獨立，搶購三種商品成功的概率順次為、、，已知這三種商品都能搶購成功的概率為，至少一種商品能搶購成功的概率為.(1)①求、的值；②求張某恰好搶購成功兩種商品的概率.(2)求張某搶購成功獲得的優(yōu)惠總金額的分布列和數(shù)學(xué)期望.變式題7鞏固30．2022年4月16日上午9：57神舟十三號航天員翟志剛、王亞平、葉光富順利返回地面．半年內(nèi)，航天員們順利完成了兩次出艙任務(wù)，兩次“天空課堂”講課，還組織了天宮畫展、春節(jié)跨年以及迎元宵活動，為全國觀眾留下了深刻印象，也掀起了一股航天熱．邢臺市某中學(xué)航天愛好者協(xié)會為了解學(xué)生對航天知識的掌握程度，對該校高一、高二年級全體學(xué)生進(jìn)行了相關(guān)知識測試，然后從高一、高二各隨機抽取了20名學(xué)生成績（百分制），并對數(shù)據(jù)（成績）進(jìn)行了整理、描述和分析．下面給出了整理的相關(guān)信息：等級EDCBA成績高一人數(shù)123410高二頻率0.10.150.20.30.25(1)從高一和高二樣本中各抽取一人，這兩個人成績都不低于90分的概率是多少？(2)分別從高一全體學(xué)生中抽取一人，從高二全體學(xué)生中抽取2人，這三人中成績不低于90分的人數(shù)記為X，用頻率估計概率，求X的分布列和期望．變式題8提升31．猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名．規(guī)則如下：參賽選手按第一關(guān)，第二關(guān)，第三關(guān)的順序依次猜歌名闖關(guān)，若闖關(guān)成功依次分別獲得猜公益基金元，元，元，當(dāng)選手闖過一關(guān)后，可以選擇游戲結(jié)束，帶走相應(yīng)公益基金；也可以繼續(xù)闖下一關(guān)，若有任何一關(guān)闖關(guān)失敗，則游戲結(jié)束，全部公益基金清零．假設(shè)某嘉賓第一關(guān)，第二關(guān)，第三關(guān)闖關(guān)成功的概率分別是，，，該嘉賓選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率均為，且各關(guān)之間闖關(guān)成功與否互不影響．（1）求該嘉賓第一關(guān)闖關(guān)成功且獲得公益基金為零的概率；（2）求該嘉賓獲得的公益基金總金額的分布列及均值．變式題9提升32．為進(jìn)一步激發(fā)青少年學(xué)習(xí)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的熱情，某校舉辦了“我愛古詩詞”對抗賽，在每輪對抗賽中，高二年級勝高三年級的概率為，高一年級勝高三年級的概率為，且每輪對抗賽的成績互不影響．(1)若高二年級與高三年級進(jìn)行4輪對抗賽，求高三年級在對抗賽中至少有3輪勝出的概率；(2)若高一年級與高三年級進(jìn)行對抗，高一年級勝2輪就停止，否則開始新一輪對抗，但對抗不超過5輪，求對抗賽輪數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望．變式題10提升33．1971年“乒乓外交”翻開了中美關(guān)系的新篇章，2021年休斯頓世乒賽中美兩國選手又一次踐行了“乒乓外交”所蘊含的友誼?尊重?合作的精神，使“乒乓外交”的內(nèi)涵和外延得到了進(jìn)一步的豐富和創(chuàng)新，幾十年來，乒乓球運動也成為國內(nèi)民眾喜愛的運動之一，今有小王?小張?小馬三人進(jìn)行乒乓球比賽，規(guī)則為：先由兩人上場比賽，另一人做裁判，敗者下場做裁判，另兩人上場比賽，依次規(guī)則循環(huán)進(jìn)行比賽.由抽簽決定小王?小張先上場比賽，小馬做裁判.根據(jù)以往經(jīng)驗比賽：小王與小張比賽小王獲勝的概率為，小馬與小張比賽小張獲勝的概率為，小馬與小王比賽小馬獲勝的概率為.(1)比賽完3局時，求三人各勝1局的概率；(2)比賽完4局時，設(shè)小馬做裁判的次數(shù)為X，求X的分布列和期望.原題2034．設(shè)拋物線的焦點為F，點，過F的直線交C于M，N兩點．當(dāng)直線MD垂直于x軸時，．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線與C的另一個交點分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時，求直線AB的方程．變式題1基礎(chǔ)35．已知圓，一動圓與直線相切且與圓外切．（1）求動圓圓心的軌跡的方程；（2）過作直線，交（1）中軌跡于兩點，若中點的縱坐標(biāo)為，求直線的方程．變式題2基礎(chǔ)36．已知拋物線的焦點為、為拋物線上兩個不同的動點，當(dāng)過且與軸平行時的面積為2．（1）求拋物線的方程；（2）分別過作垂直于軸，若，求與軸的交點的橫軸標(biāo)的取值范圍．變式題3基礎(chǔ)37．已知拋物線的焦點為F，點M是拋物線的準(zhǔn)線上的動點．(1)求p的值和拋物線的焦點坐標(biāo)；(2)設(shè)直線l與拋物線相交于A、B兩點，且，求直線l在x軸上截距b的取值范圍．變式題4鞏固38．如圖，拋物線的焦點為F，點A為拋物線上的一動點，直線AF交拋物線于另一點B，當(dāng)直線的斜率為1時，線段的中點的橫坐標(biāo)為2．（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過B與軸平行的直線和過F與AB垂直的直線交于點N，求N的縱坐標(biāo)的取值范圍．變式題5鞏固39．已知拋物線：的焦點為，點在拋物線上．(1)若，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與拋物線交于，兩點，點的坐標(biāo)為，且滿足，原點到直線的距離不小于，求的取值范圍．變式題6鞏固40．已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為1.(1)求C的方程；(2)已知點在C上，且線段AB的中垂線l的斜率為，求l在y軸上的截距的取值范圍.變式題7鞏固41．已知圓的圓心為，點是圓上的動點，點是拋物線的焦點，點在線段上，且滿足.(1)求點的軌跡的方程；(2)不過原點的直線與（1）中軌跡交于兩點，若線段的中點在拋物線上，求直線的斜率的取值范圍.變式題8提升42．如圖，已知過點，圓心C在拋物線上運動，若MN為在x軸上截得的弦，設(shè)，，當(dāng)C運動時，是否變化？證明你的結(jié)論．求的最大值，并求出取最大值時值及此時方程．變式題9提升43．如圖，已知點是焦點為的拋物線上一點，，是拋物線上異于的兩點，且直線，的傾斜角互補，若直線的斜率為．（Ⅰ）證明：直線的斜率為定值；（Ⅱ）求焦點到直線的距離（用表示）；（Ⅲ）在中，記，，求的最大值．變式題10提升44．設(shè)點是拋物線上異于原點O的一點，過點P作斜率為、的兩條直線分別交于、兩點（P、A、B三點互不相同）．(1)已知點，求的最小值；(2)若，直線AB的斜率是，求的值；(3)若，當(dāng)時，B點的縱坐標(biāo)的取值范圍．參考答案：1．(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差即可得到，從而得證；（2）法一：由（1）及等比中項的性質(zhì)求出，即可得到的通項公式與前項和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得．（1）因為，即①，當(dāng)時，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數(shù)列．（2）[方法一]：二次函數(shù)的性質(zhì)由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當(dāng)或時，．[方法二]：【最優(yōu)解】鄰項變號法由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，即有.則當(dāng)或時，．【整體點評】（2）法一：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，適用于可以求出的表達(dá)式；法二：根據(jù)鄰項變號法求最值，計算量小，是該題的最優(yōu)解．2．（1）證明見解析，；（2）.【詳解】試題分析：（1）當(dāng)時可求,當(dāng)時,,從而可知數(shù)列是首項為,公差為的等差數(shù)列,從而可求得通項公式；（2）由（1）,而,可求得,利用等差數(shù)列求和公式即可求得,進(jìn)而求得最大值.試題解析：解：（1）當(dāng)時，，∴當(dāng)時，，即∴，∴，∴∴，所以是等差數(shù)列，（2），，∵，∴是等差數(shù)列∴，當(dāng)時，考點：定義證明等差數(shù)列及數(shù)列求通項,求和.【思路點晴】本題考查數(shù)列的求和,著重考查等差數(shù)列關(guān)系的確定及其通項公式和求和公式的應(yīng)用,考查推理與運算能力,屬于中檔題目.第一問將已知的關(guān)于和與項的關(guān)系變形,然后仿寫一個新的等式,將兩個式子相減得到項的關(guān)系,利用等差數(shù)列的定義證明；第二問求出數(shù)列的通項公式進(jìn)而求出求和公式,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值問題,注意的取值范圍為正整數(shù).3．(1)；(2)當(dāng)或時，的值最小，值為.【分析】（1）由得通項公式，再討論情況；（2）由（1）中的可知數(shù)列為等差數(shù)列，其中，所有的非正項的和取最小值．（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，=經(jīng)檢驗，滿足此式，所以（2）由（1）可知，數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)，得，當(dāng)或時，的值最小，值為.4．（1）證明見解析；（2）前16項或前17項和最大，最大值為.【解析】（1）先由求通項公式，再利用定義法證明即可；（2）先判斷的n的范圍，得到數(shù)列的正負(fù)分布，即得何時最大.【詳解】解：（1）證明：當(dāng)時，，又當(dāng)時，，滿足，故的通項公式為，∴.故數(shù)列是以32為首項，為公差的等差數(shù)列；（2）令，即，解得，故數(shù)列的前16項或前17項和最大，此時.5．(1)，，(2)-15【分析】（1）根據(jù)題意得到，根據(jù)得到通項公式.（2），根據(jù)通項的正負(fù)確定最值，計算得到答案.（1），則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；而，∴，.（2），當(dāng)時，，當(dāng)時，，故.6．(1)證明見解析，(2)或【分析】（1）結(jié)合化簡已知條件，求得，結(jié)合證得數(shù)列為等差數(shù)列，然后求得，進(jìn)而求得.（2）先求得，然后求得的最大值，進(jìn)而通過解一元二次不等式求得的取值范圍.（1）∵，∴，∵∴，∴，∴，又由，∴是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列；所以，∴，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，上式也符合，所以.（2），時，，，，，，∴或5時，，∴或.7．(1)(2)前16項或前17項的和最大(3)【分析】（1）利用遞推關(guān)系：當(dāng)時，，當(dāng)時，，即可得出．（2）令，得，解出即可得出．（3）由（2）知，當(dāng)時，，利用等差數(shù)列前項和公式計算可得；當(dāng)時，，則進(jìn)而得出．（1）解：因為，當(dāng)時，當(dāng)時，所以，經(jīng)檢驗當(dāng)時也成立，所以；（2）解：令，即，所以，故數(shù)列的前17項大于或等于零．又，故數(shù)列的前16項或前17項的和最大．（3）由（2）知，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以當(dāng)時，．當(dāng)時，．故．8．(1)證明見解析，(2)【分析】（1）由遞推公式兩邊同乘，即可得到，從而得到為等差數(shù)列，再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式計算可得；（2）首先根據(jù)等差數(shù)列求和公式得到，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得；（1）解：因為，所以，由，所以，且，所以數(shù)列以為首項，以1為公差的等差數(shù)列，所以；（2）解：由（1）可知，所以，所以當(dāng)或時取得最小值，且9．①②均能得到最大.【解析】根據(jù)可得，從而可判斷為等差數(shù)列，若選①，則可得，故可判斷出等差數(shù)列的通項何時變號，從而得到的最大項.若選②，則可求出，同樣可判斷出等差數(shù)列的通項何時變號，從而得到的最大項.【詳解】因為，故，故.當(dāng)時，即，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，所以，故，也即是故，所以為等差數(shù)列.若選①，因為，，故，故，，故最大.若選②，則，故，解得，故，故，故最大.【點睛】本題為數(shù)列中的補全條件解答題，考查數(shù)列的通項與前項和的關(guān)系以及等差數(shù)列前和的最值問題，后者常通過項何時開始變號來確定何時取最值，本題屬于中檔題.10．（1）；（2）不存在.【解析】（1）由已知可得當(dāng)且時，有，可得，仍成立，故，平方后得，化簡可得，可得數(shù)列是等差數(shù)列，從而求得數(shù)列的通項公式；（2）由題意有，又由（1）可知可得，由，有，故，，所以不存在三個互不相等的正整數(shù)p，q，r成等差數(shù)列，使得，，也成等差數(shù)列.【詳解】解：（1）當(dāng)且時，有，可得，由，滿足該式，可得當(dāng)時，有，平方后可得當(dāng)且時，有可化為有由，有，可得數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，有故數(shù)列的通項公式為（2）由題意有又由（1）可知有由，有，，有可得故不存在三個互不相等的正整數(shù)p，q，r成等差數(shù)列，使得，，也成等差數(shù)列.【點睛】給出與的遞推關(guān)系，求an，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.11．（1）；（2）或.【分析】（1）設(shè)數(shù)列公差為，由通項公式再平方可以得到關(guān)于的式子，再由求得通項公式，由求出，這時就求出了.（2）由等差數(shù)列前n項和公式代入題中式子，得到關(guān)于與的二次式，將看成參數(shù)，則式子為關(guān)于的一元二次方程，因為肯定存在，則這個一元二次方程的判別式大于等于零，據(jù)此解出d的取值范圍.【詳解】（1）∵數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，∴，∴，∴當(dāng)時，

當(dāng)時也應(yīng)成立，此時，故此時，.（2）∵為等差數(shù)列，首項為，∴，，∴，∴，整理得，，上述方程對有解，故，∴.12．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）作于，于，利用勾股定理證明，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，從而可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.（1）證明：在四邊形中，作于，于，因為，所以四邊形為等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因為平面，平面，所以，又，所以平面，又因為平面，所以；（2）解：如圖，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，，則，則，設(shè)平面的法向量，則有，可取，則，所以與平面所成角的正弦值為.13．(1)證明見解析(2)【分析】（1）線面垂直證明線線垂直，進(jìn)而證明出線面垂直；（2）先找到點的位置，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行計算.（1）證明：∵在三棱柱中，平面，因為平面，故，因為，，所以平面，∵平面，∴，因為∥，所以，因為，故四邊形為菱形，故，∵，∴平面（2）由平面，平面，平面平面，故，又M為中點，故N為中點.以B為坐標(biāo)原點，分別以為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，，設(shè)平面的法向量，由，得，取，又，設(shè)直線與平面所成的角大小為，則即直線與平面所成角的正弦值為.14．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和判定定理即可證明；（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，通過線面角相關(guān)公式進(jìn)行計算即可.（1）如圖，連接，∵四邊形是正方形，∴.又平面，平面，∴，∵平面，，∴平面，又平面，∴（2）易知，，兩兩垂直，以點為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.∵，∴，，，，，∴，，.設(shè)平面的法向量為，則，令，得.設(shè)直線與平面所成角為，由圖可知，則.即直線與平面所成角的正弦值為.15．(1)證明見解析(2)【分析】（1）本題首先易證PO⊥平面AOB，可得PO⊥AB，再證AB⊥平面POC；（2）根據(jù)線面夾角可知，利用空間向量計算處理．（1）證明：由題意知：，∴PO⊥平面AOB，又∵平面AOB，所以PO⊥AB．又點C為的中點，所以O(shè)C⊥AB，，所以AB⊥平面POC，又∵平面POC，所以PC⊥AB．（2）以O(shè)為原點，，，的方向分別作為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，所以，，．設(shè)平面PAB的法向量為，則取，則可得平面PAB的一個法向量為，所以．16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)定理及線面垂直的判定定理即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得線面夾角的正弦值即可；（1）證明：在直角梯形中，，，，∴，，從而又平面平面，且平面平面∴平面，平面，∴.又，且，∴平面（2）取的中點O，連接，由題設(shè)知為等腰直角三角形，又平面平面，且平面平面，平面連接，因為M，O分別為和的中點，由（1）可知，以分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則設(shè)直線與平面所成角為θ，故直線與平面所成角的正弦值為.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由四邊形為長方形得，由平面得，根據(jù)線面垂直的判斷定理可得平面，再由性質(zhì)定理可得答案；（2）連接，由（1）和已知得，求出、，過做交于，分別以所在的直線為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量、，利用線面角的向量求法可得答案.（1）因為，，E為的中點，所以，所以四邊形為長方形，，因為平面，平面，所以，又因為，所以平面，平面，所以．（2）連接，由（1）平面，平面，所以，因為，所以，所以，即，，，所以，即，過做交于，分別以所在的直線為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，所以，即，令，則，所以，設(shè)直線PB與平面PAD所成角的為，所以，所以直線PB與平面PAD所成角的正弦值為．18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線線垂直得到線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直，再證明出線面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解線面角.（1）∵BC⊥CD，BC⊥PC，且PC∩CD＝C，∴BC⊥平面PCD，又∵PD?平面PCD，∴BC⊥PD．∵PD⊥BD，BD∩BC＝B，∴PD⊥平面BCD；（2）∵PC⊥BC，CD⊥BC，∴∠PCD是二面角P﹣BC﹣D的平面角，則∠PCD＝60°，因此，取BD的中點O，連接OM，OC，由已知可得OM，OC，OD兩兩互相垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)C，OD，OM所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)OB＝1，則P（0，1，），C（1，0，0），D（0，1，0），M（0，0，），，，．設(shè)平面MCD的一個法向量為，由，取z，得．∴cos．故直線PC與平面MCD所成角的正弦值為．19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點為G，連接，可證，從而證明，證明平面，從而證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點的坐標(biāo)，再求得平面的法向量和的坐標(biāo)，根據(jù)向量的夾角公式即可求得答案.（1）取中點為G，連接，在中，根據(jù)勾股定理可得，因此，而已知平面，∴，∴，由余弦定理可得，故,因此平面，而平面，∴．（2）由（1）得，，又平面，故以C為坐標(biāo)原點，分別為x,y,z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則：，，設(shè)平面的法向量為，則，令，可取，又，所以與平面所成角的正弦值．20．（1）證明見解析；（2）【分析】（1）利用線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理即可證得；（2）根據(jù)所給的二面角的大小，結(jié)合空間向量，從而確定出點的位置，再用空間向量確定出線面角的正弦值．【詳解】（1）取的中點，連結(jié)，則，所以四邊形為平行四邊形，，又，，又平面，平面，且，平面，平面又平面，（2）以為坐標(biāo)原點，分別所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)，易得，設(shè)平面的法向量為，，則，令則．又平面的法向量為，由題知，解得，即，而是平面的一個法向量，設(shè)直線與平面所成的角為，則．故直線與平面所成的角的正弦值為．21．（1）證明見解析；（2）7【分析】（1）設(shè)為的中點，通過證明，來證明面，從而證得；（2）法一：連結(jié)，設(shè)在面上的射影點為，則由題知點在上，且為直線與平面所成角，通過條件算出，，即可求得直線與平面所成角的正切值；法二：如圖，以為原點，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，運用向量法求解直線與平面所成角的正切值.【詳解】（1）設(shè)為的中點，為的中點，，則，故，則，又，則，所以是的角平分線，且三點共線.由，且,得面，則；（2）法一：連結(jié).由平面得，平面平面，交線為，所以在面上的射影點在上，為直線與平面所成角.在中，，由余弦定理得，，故，，又，在得，由余弦定理得，則，所以，由（1）得為角平分線，在中，，由余弦定理得，則，所以，所以直線與平面所成角的正切值為7.法二：如圖，以為原點，為軸建立空間直角坐標(biāo)系.，設(shè)，由，得，得.,平面法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，所以，,則，所以直線與平面所成角的正切值為7.【點睛】本題主要考查了直線與直線垂直的證明，直線與平面所成角的求解，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查了學(xué)生的直觀想象，邏輯推理與運算求解能力.22．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）取中點，可得，可得平面，及平面，由等邊三角形得，可得平面，故，由可得答案；（2）連接，過點作平面于點，得平面平面，由（1）知平面，平面，以點為原點，以射線，為，軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系Gxyz，設(shè)，得和平面的法向量，由可得答案.【詳解】（1）取中點，連接，，，所以，由余弦定理得，得，，又，且，則平面，故，又，所以平面，則，由等邊三角形得，且，則平面，故，又，因此.（2）連接，過點作平面于點，連接，，由平面得平面平面，則點在平面內(nèi)的射影位于直線上，由等邊三角形得點在平面內(nèi)的射影位于的中垂線上，因此，由幾何關(guān)系可確定點在平面內(nèi)的射影位于的重心，又由（1）知平面，平面，則，，，，五點共面，如圖，以點為原點，以射線，為，軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系Gxyz，不妨設(shè)，則，，，在和中，由余弦定理得，，則，解得，因此，，，設(shè)平面的法向量，由得，取，設(shè)直線與平面所成角為，則，因此，直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題主要考查了線線垂直和線面角的求法，解題的關(guān)鍵點是如何根據(jù)已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，考查了學(xué)生的空間想象能力和計算能力.23．(1)；(2)分布列見解析，.【分析】（1）設(shè)甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，再根據(jù)甲獲得冠軍則至少獲勝兩個項目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互獨立事件的乘法公式即可求出；（2）依題可知，的可能取值為，再分別計算出對應(yīng)的概率，列出分布列，即可求出期望．（1）設(shè)甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為．（2）依題可知，的可能取值為，所以，,，，.即的分布列為01020300.160.440.340.06期望.24．(1)(2)分布列見解析，X的數(shù)學(xué)期望為【分析】（1）根據(jù)題意得到乙同學(xué)最終得10分的所有可能情況，求出其概率再相加即可；（2）根據(jù)題意寫出甲同學(xué)的最終得分X的所有可能取值，求出其概率再運用期望計算公式求得X的數(shù)學(xué)期望即可.（1）記“乙同學(xué)最終得10分”為事件A，則可能情況為甲回答兩題且錯兩題；甲?乙各答一題且各對一題；乙回答兩題且對一題錯一題，則，所以乙同學(xué)得10分的概率是.（2）甲同學(xué)的最終得分X的所有可能取值是0，5，10，15，20.，，，，.X的分布列為X05101520P，所以X的數(shù)學(xué)期望為.25．(1)(2)分布列見解析，期望為：【分析】（1）根據(jù)題意先求出甲乙分別得0分的概率，甲所得分?jǐn)?shù)大于乙所得分?jǐn)?shù)分為：甲得3分乙得2或1或0分，甲得2分乙得1或0分，甲得1分乙得0分，再分析求解概率即可；（2）根據(jù)題意得可能取值為0，1，2，3，再分別求概率，再畫出分布列，求解期望即可.（1）由題意知甲得0分的概率為，乙得0分的概率為，甲所得分?jǐn)?shù)大于乙所得分?jǐn)?shù)分為：甲得3分乙得2或1或0分，甲得2分乙得1或0分，甲得1分乙得0分所以所求概率為．（2）可能取值為0，1，2，3，所以，隨機變量的分布列為：X0123P所以26．(1)(2).【分析】（1）計算出第一次為次品，經(jīng)過復(fù)燒，二次出窯為成品的概率，加上第一次即為正品的概率，求出答案；（2）求出X的可能取值及相應(yīng)的概率，求出分布列，計算出期望.（1）設(shè)一把紫砂壺第一次出窯為次品為事件A，則，則第一次為次品，經(jīng)過復(fù)燒，二次出窯為成品的概率為，則一把紫砂壺能夠?qū)ν怃N售的概率，（2）X的可能取值為1500-500-50=950,1500-500-50-100-50=800，-500-50=-550，-500-50-100-50=-700，則，，，，則X的分布列為：950800-550-700所以最終獲利X的數(shù)學(xué)期望為：27．(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為(2)【分析】（1）求出的取值和概率可得分布列；（2）分別計算箱子中裝有2個紅球2個白球的概率、箱子中裝有2個紅球3個白球的概率、箱子中裝有2個紅球4個白球的概率、箱子中裝有2個紅球3個白球的概率，再求和可得答案.（1）的可能取值是，，，，，故的分布列是故數(shù)學(xué)期望為，故的數(shù)學(xué)期望是．（2）時，表示箱子中裝有2個紅球2個白球，則甲獲勝的概率，時，表示箱子中裝有2個紅球3個白球，甲獲勝的概率，時，表示箱子中裝有2個紅球4個白球，甲獲勝的概率，時，表示箱子中裝有2個紅球5個白球，甲獲勝的概率，故甲獲勝的概率28．(1)(2)分布列見解析，期望為【分析】（1）設(shè)“從第一小組選出的2人選《數(shù)學(xué)解題思想與方法》”為事件，“從第二小組選出的2人選《數(shù)學(xué)解題思想與方法》”為事件，結(jié)合相互獨立事件的概率乘法公式，即可求解；（2）先隨機變量可能的取值為0，1，2，3，求得相應(yīng)的概率，得出隨機變量的分布列，利用期望的公式，即可求解.（1）解：設(shè)“從第一小組選出的2人選《數(shù)學(xué)解題思想與方法》”為事件，“從第二小組選出的2人選《數(shù)學(xué)解題思想與方法》”為事件,由于事件、相互獨立，且，所以選出的4人均選《數(shù)學(xué)解題思想與方法》的概率為.（2）解：由題意，隨機變量可能的取值為0，1，2，3，可得，，，，所以隨機變量的分布列為：0123P所以隨機變量的數(shù)學(xué)期望.29．(1)①；②(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為元【分析】（1）①根據(jù)題目條件列出方程組，求出，②設(shè)出事件，利用獨立事件概率乘法公式和互斥事件加法公式計算出概率；（2）求出的可能取值及對應(yīng)的概率，得到分布列，計算出數(shù)學(xué)期望.（1）①由題意得即解得：②設(shè)“張某恰好搶購到兩種商品”為事件.則搶購到大屏幕電視機和冰箱且沒有搶購到洗衣機，或搶購到冰箱和洗衣機且沒有搶購到大屏幕電視機，或搶購到大屏幕電視機和洗衣機且沒有搶購到冰箱.∴.即張某搶購成功兩種商品的概率為（2）的可能取值為0，300，500，800，1100，1300，1600，，，，，，∴張某搶購成功獲得的優(yōu)惠總金額的分布列為0300500800110013001600張某搶購成功獲得的優(yōu)惠總金額的數(shù)學(xué)期望為（元）30．(1)；(2)分布列見解析；期望為1.【分析】（1）利用相互獨立事件同時發(fā)生的概率進(jìn)行求解；（2）先確定X的所有取值，然后逐個求解概率，列出分布列，利用期望公式求解期望.（1）從高一樣本中抽取一人，這個人的成績不低于分的概率，從高二樣本中抽取一人，這個人的成績不低于分的概率為，因此，從高一和高二樣本中各抽取一人，這兩個人成績都不低于分的概率為．（2）由題意可知，隨機變量的可能取值有，，，．則，，，，

．所以，隨機變量的分布列如下表所示：．31．(1)；(2)分布列見解析，均值為1125元.【分析】(1)事件A=“第一關(guān)闖關(guān)成功且獲得公益基金為零”，A1=“第一關(guān)闖關(guān)成功第二關(guān)闖關(guān)失敗”，A2=“前兩關(guān)闖關(guān)成功第三關(guān)闖關(guān)失敗”，求出與，利用互斥事件的加法公式即可得；(2)寫出該嘉賓獲得的公益基金總金額為隨機變量的所有可能值，計算出對應(yīng)的概率，即可得分布列及均值.【詳解】(1)事件A=“第一關(guān)闖關(guān)成功且獲得公益基金為零”，A1=“第一關(guān)闖關(guān)成功第二關(guān)闖關(guān)失敗”，A2=“前兩關(guān)闖關(guān)成功第三關(guān)闖關(guān)失敗”，顯然A1與A2互斥，且A=A1+A2，，，所以該嘉賓第一關(guān)闖關(guān)成功且獲得公益基金為零的概率為；(2)該嘉賓獲得的公益基金總金額為隨機變量，的可能值為0，1000，3000，6000，，，，，所以的分布列為：0100030006000的均值為：(元).32．(1)(2)分布列見解析；期望為【分析】（1）先求得高三年級勝高二年級的概率，再根據(jù)相互獨立事件的概率計算公式求解即可；（2）先確定出X的所有可能取值，分別求出相應(yīng)概率，從而列出分布列，求得數(shù)學(xué)期望．（1）由題意，知高三年級勝高二年級的概率為．設(shè)高三年級在4輪對抗賽中有x輪勝出，“至少有3輪勝出”的概率為P，則．（2）由題意可知，3，4，5，則，，，，故X的分布列為X2345P．33．(1)(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：【分析】（1）“比賽完3局時，求三人各勝1局”分為兩種情況，①小王勝小張，小王輸給小馬，小馬輸給小張；②小張勝小王，小張輸給小馬，小馬輸給小王.（2）比賽完4局時，小馬做1次裁判分為兩種情況：①小王勝小張，小王輸給小馬，小馬勝小張；②小王輸給小張，小張輸給小馬，小馬勝小王.比賽完4局時，小馬最多做2次裁判.（1）設(shè)小王與小張比賽小王獲勝記為事件A，小馬與小張比賽小張獲勝記為事件B，小馬與小王比賽小馬獲勝記為事件C，且A，B，C相互獨立.則設(shè)“比賽完3局時，三人各勝1局”記為事件M，則（2）X的可能取值為1，2則X的分布列為X12P則34．(1)；(2).【分析】（1）由拋物線的定義可得，即可得解；（2）法一：設(shè)點的坐標(biāo)及直線，由韋達(dá)定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，設(shè)直線，結(jié)合韋達(dá)定理可解.（1）拋物線的準(zhǔn)線為，當(dāng)與x軸垂直時，點M的橫坐標(biāo)為p，此時，所以，所以拋物線C的方程為；（2）[方法一]：【最優(yōu)解】直線方程橫截式設(shè)，直線，由可得，，由斜率公式可得，，直線，代入拋物線方程可得，，所以，同理可得，所以又因為直線MN、AB的傾斜角分別為，所以，若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以當(dāng)最大時，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.[方法二]：直線方程點斜式由題可知，直線MN的斜率存在.設(shè),直線由得：，,同理，.直線MD:,代入拋物線方程可得：，同理，.代入拋物線方程可得:,所以，同理可得，由斜率公式可得：（下同方法一）若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以當(dāng)最大時，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.[方法三]：三點共線設(shè)，設(shè),若P、M、N三點共線，由所以，化簡得，反之，若,可得MN過定點因此，由M、N、F三點共線，得，

由M、D、A三點共線，得，

由N、D、B三點共線，得，則，AB過定點（4,0）（下同方法一）若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以當(dāng)最大時，，所以直線.【整體點評】（2）法一：利用直線方程橫截式，簡化了聯(lián)立方程的運算，通過尋找直線的斜率關(guān)系，由基本不等式即可求出直線AB的斜率，再根據(jù)韋達(dá)定理求出直線方程，是該題的最優(yōu)解，也是通性通法；法二：常規(guī)設(shè)直線方程點斜式，解題過程同解法一；法三：通過設(shè)點由三點共線尋找縱坐標(biāo)關(guān)系，快速找到直線過定點，省去聯(lián)立過程，也不失為一種簡化運算的好方法．35．（1）；（2）.【分析】（1）利用直接法，求動圓圓心P的軌跡T的方程；（2）法一：由（1）得拋物線E的焦點C（1，0）設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），利用點差法，求出線段AB中點的縱坐標(biāo)，得到直線的斜率，求出直線方程．法二：設(shè)直線l的方程為x＝my+1，聯(lián)立直線與拋物線方程，設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），通過韋達(dá)定理，求出m即可．【詳解】（1）設(shè)P（x，y），則由題意，|PC|﹣（x），∴x+1，化簡可得動圓圓心P的軌跡E的方程為y2＝4x；（2）法一：由（1）得拋物線E的方程為y2＝4x，焦點C（1，0）設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），則兩式相減．整理得∵線段AB中點的縱坐標(biāo)為﹣1∴直線l的斜率直線l的方程為y﹣0＝﹣2（x﹣1）即2x+y﹣2＝0.法二：由（1）得拋物線E的方程為y2＝4x，焦點C（1，0）設(shè)直線l的方程為x＝my+1由消去x，得y2﹣4my﹣4＝0設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），∵線段AB中點的縱坐標(biāo)為﹣1∴解得直線l的方程為即2x+y﹣2＝0.【點睛】本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線位置關(guān)系的運用，考查平方差法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，難度較小．36．（1）；（2）且.【分析】（1）直接利用三角形的面積列式求解，可得拋物線方程；（2）設(shè)出，，，，再設(shè)與軸的交點設(shè)為，由圖可得，，結(jié)合，得，即，由此求得的取值范圍．【詳解】（1）當(dāng)過且與軸平行時，，拋物線的方程為（2）設(shè)，與軸的焦點設(shè)為，由拋物線的幾何圖形可知無論，位于軸的同側(cè)或異側(cè)，都有，，，

又時三角形不存在且與軸的交點的橫軸標(biāo)的取值范圍是37．(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義與方