2024-2025學(xué)年廣東省深圳市某中學(xué)九年級上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷（含詳解）

深圳市東湖中學(xué)2024?2025學(xué)年第一學(xué)期

初三年級（數(shù)學(xué)）學(xué)科暑假作業(yè)檢測

（考試時間：90分鐘試卷分值：100分）

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個選項，其中只有一個是正確的.）

1.用數(shù)軸上點表示下列各數(shù)，其中與原點距離最近的是（）

A.-3B.1C.2D.3

2.下列長度的三條線段不能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.6,8,10B.0.3,0.4,C1.5C.J5,A/12,A/13D.1,,2，A/3

3.若。>b,則下列不等式成立的是（）

。+3"+3o

Aci—5<Z?—5B.—2a<—2bc.———D.a2>b-

22

4.下列從左到右的變形為因式分解的是（）

A.xy2（x-l）=x2y2-xy2B.（a+3）（Q—3）=a?—9

C.2023a2—2023=2023（a+l）（a-l）D.x2,+x—5=（x—2）（x+3）+1

5.如圖，直線4〃。，點。、A分別4、4J二，以點A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交AC、4于點。、E；分別

以。、E為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點B作射線AF交4于點艮若4c4=120。，則N1的

2

度數(shù)為（）

A.20°B.25°C.30°D.50°

6.如圖，在平行四邊形A5CD中，AB=4,BC=6,將線段AB水平向右平移。個單位長度得到線段跖，若

四邊形ECD歹為菱形時，則a值為（）

BEC

AFD

A.1B.2C.3D.4

7.如圖，一次函數(shù)yi=x+b與一次函數(shù)”=履+4的圖象交于點尸（1［，3）,則關(guān)于x的不等式x+b>fcv+4的解

集是（）

C.尤>/D.x<l

8.如圖，將Rt/XABC繞點A按順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到RtADE,點B的對應(yīng)點。恰好落在2c邊上，若

AB=2,ZB=60°,則CO的長為（）

A1B.73C.2D.2A/2

9.下列命題是真命題的是（）.

A.有兩條邊相等的兩個直角三角形全等B.等腰三角形的角平分線、中線和高重合

C.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形D.一個正多邊形的內(nèi)角和為720。，則這個正多邊形

的一個外角等于60。

10.如圖，矩形ABCD中，AB=6,BC=1,動點E,尸分別從點A,C同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速

度沿AB,CD向終點8,。運動，過點E,歹作直線/,過點A作直線/的垂線，垂足為G,則AG的最大值為

A.0B?寸C.2D.1

二、填空題（每小題3分，共15分，請把答案填到答題卡相應(yīng)位置上）.

X

11.若分式——有意義，則無滿足條件是.

X+1

12.若。是方程龍2—2%—3=0的一個根，則代數(shù)式2a2—4a+1的值為.

13.關(guān)于x的分式方程上二+7—=3有增根，則機=.

x-22—x

14.如圖，VA3C中，ZBAC=108°,尸河和QN分別是和AC的垂直平分線，則ZPAQ=

15.如圖，在VA3C中，AB=AC,ZBAC=9Q°,。為AC邊上一動點，且不與點A、點C重合，連接并

延長，在3D延長線上取一點E,使AE=A3=AC,連接CE.過點A作A尸，5石于點F，AF的延長線與EC

的延長線交于點“，已知A3=6,CH=3,則EH=.

E

三、解答題（本題共7小題，共55分）

2x+l〉-9①

16.解不等式組,3x+l并把它的解集表示在數(shù)軸上.

-------l>x（2）

I2

-3-2-1012345

<yI1、尤2_7Y

17.先化簡：——1k-----,然后從0,1,2,3中選一個合適的x的值代入求值.

kx-2）x--4x+4

18.如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，VA3C的頂點均在格點上，在建立平面直

角坐標(biāo)系后，點C的坐標(biāo)為（一2,-1）.

（1）將VA3C向上平移6個單位得到△AB?,畫出△A4C；

(2)以(0,—1)為對稱中心，畫出VA3C關(guān)于該點對稱的△A與C2；

(3)經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)，△A4G和△A與C2成中心對稱，則對稱中心坐標(biāo)為.(注意:請先用鉛筆，然后

再用簽字筆描)

19.為了感受大自然，描繪大自然的美景，李老師打算為學(xué)生購買畫筆(單位：盒)與畫板(單位：個)兩種寫生

工具數(shù)量若干.已知用340元購買畫筆與用300元購買畫板的數(shù)量相同，且每個畫板的單價比每盒畫筆的單價少2

元.

(1)請問購買一盒畫筆和一個畫板各需要多少元？

(2)根據(jù)班級需要，購買畫筆盒數(shù)和畫板個數(shù)總共30件，且購買這些寫生工具的總費用不超過475元，求至少

購買畫板多少個？

20.如圖，在平行四邊形A6CD中，對角線AC,BD交于點0,AE±BD，CFLBD,垂足分別為E，

F,連接AF,CE.

(1)求證：四邊形AECE為平行四邊形；

(2)若BD=8,/AB￡>=30°,求四邊形AECE的面積.

21.定義：對任意一個兩位數(shù)〃，如果。滿足個位數(shù)字與十位數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個兩位數(shù)為

“慧泉數(shù)”.將一個“慧泉數(shù)”的個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)后得到一個新的兩位數(shù)，把這個新兩位數(shù)與原兩位數(shù)

的和與n的商記為/(a).

例如：a=12,對調(diào)個位數(shù)字與十位數(shù)字得到新兩位數(shù)21,新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和為21+12=33,和與H的

商為33+11=3,所以/(12)=3.

根據(jù)以上定義，回答下列問題：

(1)填空：下列兩位數(shù)：40,51,66中，“慧泉數(shù)”為；

(2)計算：

0/(13)；②/(10a+b)；

(3)如果一個“慧泉數(shù)”機的十位數(shù)字是x,個位數(shù)字是x-4,另一個“慧泉數(shù)”〃的十位數(shù)字是x—5,個位

數(shù)字是2,且滿足—/(〃)<8,求x.

22.【初步感知】

(1)如圖1,已知VA3C為等邊三角形，點。為邊3c上一動點(點。不與點3,點C重合).以為邊向右

側(cè)作等邊VADE，連接CE.求證：△ABD02XACE；

AEE

CD

圖2圖3

【類比探究】

(2)如圖2,若點。在邊3C的延長線上,隨著動點。的運動位置不同，線段EC,AC,CD之間的數(shù)量關(guān)系為

,請證明你的結(jié)論.

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖3,在等邊VABC中，AB=5,點尸是邊AC上一定點且AP=2,若點。為射線3C上動點，以

。產(chǎn)為邊向右側(cè)作等邊一連接CE,BE.請問：PE+5E是否有最小值？若有，請求出其最小值；若沒

有，請說明理由.

深圳市東湖中學(xué)2024?2025學(xué)年第一學(xué)期

初三年級（數(shù)學(xué)）學(xué)科暑假作業(yè)檢測

（考試時間：90分鐘試卷分值：100分）

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個選項，其中只有一個是正確的.）

1.用數(shù)軸上的點表示下列各數(shù)，其中與原點距離最近的是（）

A.-3B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了絕對值的定義，一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點到原點的距離.到原點距離最近的點，即

絕對值最小的點，首先求出各個數(shù)的絕對值，即可作出判斷.

【詳解】解：?+3|=3,=|2|=2,|3卜3,1<2<3,

與原點距離最近的是1,

故選：B.

2.下列長度的三條線段不能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.6,8,10B.0.3,0.4,0.5C.小,氏■，屈D.1,也,6

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形判

定即可.如果有這種關(guān)系，就是直角三角形，沒有這種關(guān)系，就不是直角三角形，分析得出即可.

詳解】解：A、62+82=102.

,此三角形是直角三角形，不符合題意；

B、0.32+0.42=0.52,

...此三角形是直角三角形，不符合題意；

C、（新）2+（疝）2/（而「，

此三角形不是直角三角形，符合題意；

D、V+詆2=（而2,

??.此三角形是直角三角形，不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時，應(yīng)先認真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大

邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進而作出判斷.

3.若。>6,則下列不等式成立的是()

A.a-5<b-5B.-2a<-2bC."+33D/>/

22

【答案】B

【解析】

【分析】總的來說，用不等號(<,>,>,W,#)連接的式子叫做不等式.根據(jù)不等式的定義即可判定A錯誤，其余選型根

據(jù)不等式的性質(zhì)判定即可.

【詳解】A:a>b,則a-5>b-5,故A錯誤；

B:a>b,-a<-b,則-2a<-2b,B選項正確.

C：a>b,a+3>b+3,則巴2>色,則C選項錯誤.

22

D：若0>a>b時，a2cb2,則D選項錯誤.

故選B

【點睛】本題主要考查不等式的定義及性質(zhì).熟練掌握不等式的性質(zhì)才能避免出錯.

4.下列從左到右的變形為因式分解的是()

A.xy2(x-l)=x2_y2-xy~B.(a+3)(tz-3)-a2-9

C.2023a?—2023=2023(a+1)(a—1)D.x2+x-5=(x-2)(x+3)+1

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)因式分解的定義進行判斷即可.

【詳解】解：孫2(x—1)=f,2—孫2是整式乘法運算，

(?+3)(?！?)=I—9是整式乘法運算，

f+x-5=(x-2)(x+3)+l右邊不是整式的積的形式，不是因式分解，

2023/-2023=2023(。+1)(。一1)從左到右的變形為因式分解，故符合要求；

故選：C.

【點睛】本題考查了因式分解.解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫

多項式的因式分解.

5.如圖，直線［〃心點C、A分別4、4上，以點A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交AC、4于點。、E；分別

以。、E為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點B；作射線AF交《于點艮若N5C4=120°,則N1的

度數(shù)為(

A.20°B.25°C.30°D.50°

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)作圖可知■平分/C4E,根據(jù)平行線的性質(zhì)，求出/C4E的度數(shù)，即可得解.

【詳解】解：〃4，ZBC4=120°,

/.NCAE=180°-ZBCA=60°,

由作圖可知：竊平分NC4E,

Zl=-ZC4E=30°,

2

故選C.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，基本作圖一作角平分線.解題的關(guān)鍵是根據(jù)作圖方法，得到AF平分NC4E.

6.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4,BC=6,將線段A3水平向右平移。個單位長度得到線段所，若

四邊形ECDF為菱形時，則a的值為（）

【答案】B

【解析】

【分析】首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CD=AB=4,然后根據(jù)菱形的性質(zhì)得到EC=CD=4,然后求解即

可.

【詳解】：四邊形ABCD是平行四邊形，

/.CD=AB=4,

:四邊形EC"為菱形，

EC=CD=4,

?/BC=6,

：.BE=BC-CE=2,

???〃=2.

故選：B.

【點睛】此題考查了平行四邊形和菱形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點.

7.如圖，一次函數(shù)yi=x+b與一次函數(shù)R=AX+4的圖象交于點P(1,3),則關(guān)于x的不等式x+b>fcr+4的解

A.x>-2B.x>0C.x>lD.x<l

【答案】C

【解析】

【詳解】解：當(dāng)x>l時，x+b>kx+4,

即不等式x+b>fcr+4的解集為x>l.

故選C.

8.如圖，將RtZkABC繞點A按順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到Rt.ADE,點B的對應(yīng)點。恰好落在BC邊上，若

AB=2,ZB=60°,則CO的長為（）

A.1B.73C.2D.20

【答案】C

【解析】

【分析】利用含30度直角三角形三邊的關(guān)系得到BC=2AB=4,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得則可判斷△42。

為等邊三角形，所以80=48=2,然后計算即可.

【詳解】解：：/BAC=90。，ZB=60°,

：.BC=2AB^4,

；RfAABC繞點A按順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到RtLADE,點、B的對應(yīng)點。恰好落在BC邊上，

：.AD=AB,

而NB=60°,

.?.△ABO為等邊三角形,

：.BD=AB=2,

：.CD=BC-BD=4-2=2.

故選：C.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)

角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.

9.下列命題是真命題的是().

A.有兩條邊相等的兩個直角三角形全等B.等腰三角形的角平分線、中線和高重合

C.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形D,一個正多邊形的內(nèi)角和為720°,則這個正多邊形

的一個外角等于60。

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了命題真假的判定，全等三角形的判定，等腰三角形三線合一，平行四邊形的判定，正多邊形

的性質(zhì)，根據(jù)上述知識點進行判定即可.

【詳解】解：A、有兩條邊相等的兩個直角三角形不一定全等，因為沒指明是哪兩邊相等，故原選項錯誤，不符合

題意；

B、等腰三角形的頂角平分線、底邊中線和底邊上的高，三線重合，故原選項錯誤，不符合題意；

C、一組對邊平行，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形，或一組對邊相等，另一組對邊相等的四邊形是平行四

邊形，故原選項錯誤，不符合題意；

D、一個正多邊形的內(nèi)角和為720°,

.1.180°(?-2)=720°,

解得，〃=6,即是正六邊形，

360°

這個正多邊形的每個外角為^=60。，故原選項正確，符合題意；

故選：D.

10.如圖，矩形ABCD中，AB=g，BC=1,動點E,尸分別從點A,C同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速

度沿AB，CD向終點8,。運動，過點E,歹作直線/,過點A作直線/的垂線，垂足為G,則AG的最大值為

A.B.C.2D.1

2

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、動點軌跡、與圓有關(guān)的位置關(guān)系等知識，根據(jù)矩形的性質(zhì)以及直角三角形斜

邊中線的性質(zhì)確定G的軌跡是本題解題的關(guān)鍵.

連接AC,BD交于點、0,取。4中點“，連接GH,根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，可以得出G的軌跡，從而

求出AG的最大值.

【詳解】解：連接AC,3D交于點。，取。4中點連接GH,如圖所示：

?..四邊形A3CD是矩形，

：.ZABC=90°,OA^OC,AB//CD,

r.在RtAABC中，AC=siAB2+BC2=+F=2，

：.OA=OC=-AC=1,

2

?：AB//CD,

:.ZEAO=ZFCO,

在ZVIOE與CO9中，

AE=CF

<ZEAO=ZFCO

OA=OC

△AOE也△COf'(SAS),

:.ZAOE=ZCOF,

：.E,O,E共線，

AG±EF,”是。8中點，

...在RtAAGO中，GH=-AO=-,

22

:.G的軌跡為以H為圓心，!為半徑即A。為直徑的圓弧.

2

AG的最大值為AO的長，即AG111ax=AO=L

故選：D.

二、填空題（每小題3分，共15分，請把答案填到答題卡相應(yīng)位置上）.

X

11.若分式——有意義，則X滿足的條件是.

X+1

【答案】XW—1

【解析】

【分析】根據(jù)分式有意義的條件列出不等式，解不等式得到答案.

【詳解】由題意得，X+1W0,

解得XW-1,

故答案為：XW—1.

【點睛】本題考查的是分式有意義的條件，掌握分式的分母不為0是解題的關(guān)鍵.

12.若。是方程r—2%—3=0的一個根，則代數(shù)式2a2—4a+1的值為.

【答案】7

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程的解、求代數(shù)式的值，由題意得出〃一20-3=0,推出2。=3,整體代入

計算即可得出答案.

【詳解】解：是方程好―2%—3=0的一個根，

?'?a2—2a—3=0,

??ci~-2a=3,

2a2-4。+1=2（〃—2。）+I=2x3+1=7,

故答案：7.

13.關(guān)于x的分式方程上二+—=3有增根，則機=.

x—22—x

【答案】-1

【解析】

【分析】等式兩邊同時乘以公因式（x-2）,化簡分式方程，然后根據(jù)方程有增根，求出x的值，即可求出用.

解：方程兩邊同時乘以（％—2）,Mx+m+（-l）=3（x-2）,

m=2x—5,

??,原方程有增根，

%—2=0,

x=2f

m=2x—5=—l,

故答案為：-1.

【點睛】本題考查分式方程的知識，解題的關(guān)鍵是掌握分式方程的增根.

14.如圖，VA3C中，44C=108°,和QN分別是A3和AC的垂直平分線，則NQAQ=

【答案】36。##36度

【解析】

【分析】本題主要考查了線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，利用整體思想求解是解題的關(guān)鍵.由

線段垂直平分線的性質(zhì)知m=依，AQ=CQ,得NB=/PAB,ZC^ZQAC,從而得出答案.

【詳解】解：和QN分別是和AC的垂直平分線，

:.PA=PB，AQ=CQ,

:.ZB=ZPAB,NC=NQAC,

ZBAC=108°,

:.ZB+ZC=12°,

:.ZPAB+ZQAC=12°,

ZPAQ=ABAC_(/PAB+ZQAC)

=108°-72°

=36°,

故答案為：36°.

15.如圖，在VA3C中，AB=AC,ABAC=9Q°,。為AC邊上一動點，且不與點A、點C重合，連接并

延長，在3D延長線上取一點E，使AE=A5=AC,連接CE.過點A作A尸XBE于點E,AF的延長線與EC

的延長線交于點X,已知A3=6,CH=3,則EH=.

B

【答案】3s

【解析】

【分析】如圖，過點。作CG1AH于G,由等腰直角三角形的性質(zhì)可得EW=0斯，CH=^2CG，由

“AAS”可證二井的一CG4,可得AF=CG,由勾股定理可得結(jié)論.

【詳解】解：如圖，過點C作。G1AH于G,

'：AB=AE,

:.ZAED=ZABE,

.?.Zfi4E=180°-2ZA￡D,

.\ZCAE^ZBAE-ZBAC=90°-2ZAED,

AE=AC,

:.ZACE=ZAEC,

ZCAE+ZACE+ZAEC=1SQ0,

:.ZAEC^45°+ZAED,

ZBEC=ZAEC-ZAED=45°,

：.ZFEH=45°,

AH±BE,

.\ZFHE=ZFEH=45°,

EF=FH,

又-NEFH=90°,

EH=ylEF2+FH2=y[2EF，

ZFHE=45°,CG±FH,

.-.ZGCH=ZFHE=45°,

:.GC=GH,

CH=VCG2+GW2=0CG，

ZBAC=ZCGA=90°,

:.ZBAF+ZCAG=90°,ZCAG+ZACG=90°,

:.ZBAF=ZACG,

又=ZAFB=ZAGC,

AFB^CGA(AAS)

:.AF=CG,

CH=72AF，

在RtAE戶中，AE2=AF-+EF2-

..----C/l+----LLri—I\Df

<27V?,7

EH2+CH'=2AB',

VAB=6,CH=3,

；?EH=377；

故答案為：377.

【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，添加恰

當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵.

三、解答題(本題共7小題，共55分)

2x+l〉-9①

16.解不等式組3x+l…，并把它的解集表示在數(shù)軸上.

----------1>%(2)

I2

1111A1111a

-3-2-1012345

【答案】lWx<5；數(shù)軸見解析

【解析】

【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；

大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大

取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集，再表示在數(shù)軸上即可.

【詳解】解：解不等式①，得x<5,

解不等式②，得x21,

.?.原不等式組的解集為：lWx<5,

將不等式的解集在數(shù)軸上表示為

?AII1111A?

-3-2-1012345

<Y?1、尤2_7Y

17.先化簡：------1-----------，然后從012,3中選一個合適的光的值代入求值.

(x-2)x-4x+4

、3

【答案】一，當(dāng)x=l時，原式=3；當(dāng)x=3時，原式=1

x

【解析】

【分析】根據(jù)分式的性質(zhì)，乘法公式，分式的混合運算進行化簡，再根據(jù)分式有意義的條件，代入求值即可.

【詳解】解：［言—1］x2-2x

x2-4x+4

_?x+1x-2),x(x-2)

x-2j(x-2)2

3x-2

=----------X-----------

x-2x

3

=一,

x

由題意得：x(x—2)#0,

xw0和xw2,

/.從0,1,2,3中選一個合適的％的值有x=1或x=3,

一33

當(dāng)x=l時，原式=一=3；當(dāng)x=3時，原式=—=1.

13

【點睛】本題主要考查分式的性質(zhì)，乘法公式，分式的混合運算，分式有意義的條件，代入求值等知識，掌握以上

知識的綜合運用是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，VA3C的頂點均在格點上，在建立平面直

角坐標(biāo)系后，點C的坐標(biāo)為(-2,-1).

(1)將VA5C向上平移6個單位得到△A4G,畫出△A51G；

(2)以(0,—1)為對稱中心，畫出VA3C關(guān)于該點對稱的△A與C?；

(3)經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)，△A4C］和△出與c2成中心對稱，則對稱中心坐標(biāo)為.(注意：請先用鉛筆，然后

再用簽字筆描）

【答案】（1）見解析（2）見解析

（3）（0,2）

【解析】

【分析】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系中圖形的變換，掌握圖形平移，中心對稱的定義和性質(zhì)，圖形結(jié)合思想是

解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)圖形平移的性質(zhì)即可求解；

（2）根據(jù)中心對稱圖形的定義和性質(zhì)作圖即可，繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°即可；

（3）連接對應(yīng)點的連線的交點即可求解.

【小問1詳解】

解：分別作出點A、B、C向上平移6個單位的對應(yīng)點4、耳、G，再順次連接4、耳、G，如圖.

解：連接44、四為、交于點。，如圖.

則。(0,2),即對稱中心坐標(biāo)為(0,2).

19.為了感受大自然，描繪大自然的美景，李老師打算為學(xué)生購買畫筆(單位：盒)與畫板(單位：個)兩種寫生

工具數(shù)量若十.已知用340元購買畫筆與用300元購買畫板的數(shù)量相同，且每個畫板的單價比每盒畫筆的單價少2

元.

(1)請問購買一盒畫筆和一個畫板各需要多少元？

(2)根據(jù)班級需要，購買畫筆盒數(shù)和畫板個數(shù)總共30件，且購買這些寫生工具的總費用不超過475元，求至少

購買畫板多少個？

【答案】(1)購買一盒畫筆需要17元，一個畫板需要15元

(2)18個

【解析】

【分析】(1)設(shè)購買一盒畫筆需要了元，一個畫板需要(4-2)元，根據(jù)用340元購買畫筆與用300元購買畫板的

數(shù)量相同列出方程，解方程即可；

(2)設(shè)購買畫板4個，則購買畫筆(30-a)個，根據(jù)購買這些寫生工具的總費用不超過475元列出不等式解不等

式即可.

【小問1詳解】

解：設(shè)購買一盒畫筆需要1元，一個畫板需要(％-2)元，

解得：x=17,

經(jīng)檢驗，x=17是原方程的解，且符合題意，

則x—2=15,

答：購買一盒畫筆需要17元，一個畫板需要15元.

【小問2詳解】

解：設(shè)購買畫板。個，則購買畫筆(30-a)個,

根據(jù)題意有17(30—a)+15a<475,

解得：a>17.5,

根據(jù)題意可知。為整數(shù)，

■■a的最小值為18.

答：至少購買畫板18個.

【點睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程或不等式,

注意最后對分式方程的解進行檢驗.

20.如圖，在平行四邊形A3CD中，對角線AC,BD交于點、O,AE±BD，CF±BD,垂足分別為E，

F，連接AF,CE.

(1)求證：四邊形AECE為平行四邊形；

(2)若BD=8,ABD=30°,求四邊形AECE的面積.

【答案】(1)見解析(2)26

【解析】

【分析】(1)證ABE^rCDF(AAS),得AE=CF,再由AE//CF1,即可得出結(jié)論；

(2)由平行四邊形的性質(zhì)得。3=L3。=4,再由含30。角的直角三角形的性質(zhì)得。4=,。3=2,

22

OE=^OA=1,則AE=^,然后求出SAOE=，3,即可解決問題.

22

【小問1詳解】

證明：四邊形ABCD是平行四邊形，

:.AB=CD,AB//CD,

:.NABE=NCDF,

AE±BD,CFLBD,

:.NAEB=NCFD=9。。,AE//CF,

在，A3E和VCDF中，

ZAEB=NCFD

<ZABE=NCDF,

AB=CD

ABE^^CDF(AAS),

:.AE=CF,

又?.AE//CF,

，四邊形AECE為平行四邊形；

【小問2詳解】

解：四邊形ABCD是平行四邊形，BD=8,

:.OB=-BD=4,

2

ABLAC,

:.^BAC=90°,

，AB￡)=30。，

:.OA=-OB=2,ZAO5=90°-30。=60。，

2

AE±BD,

：.ZAEO=9Q°,

ZOAE=90°-/AOE=30°,

:.OE=-OA=1,

2

2

AE=yjo^-OE=A/22-12=A/3,

；.S=-OE-AE=-xlx^^—，

AOE222

$四邊形AECF=4SAOE=4x9=?

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)、勾股

定理以及三角形面積等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

21.定義：對任意一個兩位數(shù)如果。滿足個位數(shù)字與十位數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個兩位數(shù)為

“慧泉數(shù)”.將一個“慧泉數(shù)”的個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)后得到一個新的兩位數(shù)，把這個新兩位數(shù)與原兩位數(shù)

的和與11的商記為/(?).

例如：a=12,對調(diào)個位數(shù)字與十位數(shù)字得到新兩位數(shù)21,新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和為21+12=33,和與H的

商為33+11=3,所以3(12)=3.

根據(jù)以上定義，回答下列問題：

(1)填空：下列兩位數(shù)：40,51,66中，“慧泉數(shù)”為；

(2)計算：

①/(13)；@fdOa+b).

(3)如果一個“慧泉數(shù)”機的十位數(shù)字是x,個位數(shù)字是x-4,另一個“慧泉數(shù)”〃的十位數(shù)字是％—5,個位

數(shù)字是2,且滿足/(加)一/(〃)<8,求x.

【答案】(1)51(2)①"13)=4；@f(10a+b)=a+b

(3)x=6或x=8

【解析】

【分析】(1)根據(jù)“慧泉數(shù)”的定義分析即可；

(2)根據(jù)73)的定義求解即可；

(3)根據(jù)⑵中②的結(jié)論可寫出/(〃。與/5)的表達式，代入/(W—/5)<8解不等式，結(jié)合“慧泉數(shù)”個位

數(shù)字與十位數(shù)字的特點可得x的值.

【小問1詳解】

解：51的個位數(shù)字與十位數(shù)字不同，且都不為0,51為“慧泉數(shù)”.

【小問2詳解】

13+31.j...］、(10a+b)+(10b+a)ll(a+0).

解：f(13)=--------=4,f(10na+b)=-----------------------=--------=a+b.

111111

【小問3詳解】

解：m,〃均為慧泉數(shù)，

0<x<9

0<%-4<9

.■,<0<x-5<9,解得x=6或8或9.

xw尤一4

x—