安徽省滁州市民辦高中2017-2018學(xué)年高二下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)（理）試題

滁州市民辦高中20172018學(xué)年下學(xué)期第二次月考高二理科數(shù)學(xué)注意事項：本卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題），滿分150分，考試時間120分鐘。答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卷上。請將答案正確填寫在答題卷上，寫在其它地方無效。本次考題主要范圍：選修22等第I卷（選擇題60分）一、選擇題1.已知復(fù)數(shù)，則（）A.B.C.D.2.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為（）A.B.C.D.3.直線y=4x與曲線y=x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為（

）

A.2B.4C.2D.44.函數(shù)在上單調(diào)遞增，那么a的取值范圍是（）

A.B.C.D.5.已知分段函數(shù)，則等于（）A.B.C.D.6.表示一個兩位數(shù)，十位數(shù)和個位數(shù)分別用，表示，記，如，則滿足的兩位數(shù)的個數(shù)為（）A.B.C.D.7.已知函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx的圖象如圖所示，則()．A.B.C.D.8.定義在R上的偶函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），若對任意的實數(shù)x，都有2f（x）+xf'（x）＜2恒成立，則使x2f（x）﹣4f（2）＜x2﹣4成立的實數(shù)x的取值范圍是（

）

A.（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B.（﹣2，0）∪（0，2）

C.{x|x≠±2}9.函數(shù),則在的最大值（）A.B.C.D.10.36的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到：因為36＝22×32，所以36的所有正約數(shù)之和為（1＋3＋32）＋（2＋2×3＋2×32）＋（22＋22×3＋22×32）＝（1＋2＋22）（1＋3＋32）＝91，參照上述方法，可得100的所有正約數(shù)之和為（）A.217B.273C.455D.65111.已知點P是曲線上一動點，α為曲線在點P處的切線的傾斜角，則α的最小值是（）

A.0B.C.D.12.已知是常數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)的圖像可能是（）A.B.C.D.第II卷（非選擇題90分）二、填空題13.若f（2）=3，f′（2）=﹣3，則=

．14.若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則______________．15.函數(shù)f（x）=ex+x在[﹣1，1]上的最大值是

．16.定義函數(shù)y=f（x），x∈I，若存在常數(shù)M，對于任意x1∈I，存在唯一的x2∈I，使得=M，則稱函數(shù)f（x）在I上的“均值”為M，已知f（x）=log2x，x∈[1，22014]，則函數(shù)f（x）=log2x在[1，22014]上的“均值”為

三、解答題17.設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值和最小值.18.觀察下列不等式：；；；；……（1）由上述不等式，歸納出與正整數(shù)有關(guān)的一個一般性結(jié)論；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你得到的結(jié)論.19.已知復(fù)數(shù)，（，為虛數(shù)單位）（1）若是純虛數(shù)，求實數(shù)的值；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第二象限，且，求實數(shù)的取值范圍.20.已知函數(shù)（1）若存在，使成立，求的取值范圍；（2當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍。21.某工藝品廠要設(shè)計一個如圖1所示的工藝品，現(xiàn)有某種型號的長方形材料如圖2所示，其周長為4m，這種材料沿其對角線折疊后就出現(xiàn)圖1的情況．如圖，ABCD（AB＞AD）為長方形的材料，沿AC折疊后AB'交DC于點P，設(shè)△ADP的面積為S2，折疊后重合部分△ACP的面積為S1．

（Ⅰ）設(shè)AB=xm，用x表示圖中DP的長度，并寫出x的取值范圍；

（Ⅱ）求面積S2最大時，應(yīng)怎樣設(shè)計材料的長和寬？

（Ⅲ）求面積（S1+2S2）最大時，應(yīng)怎樣設(shè)計材料的長和寬？

22.已知函數(shù).（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)，證明：當(dāng)時，；（Ⅲ）設(shè)是的兩個零點，證明.

高二理科數(shù)學(xué)參考答案1.C【解析】，選C2.D【解析】本題選擇D選項.3.D【解析】先根據(jù)題意畫出圖形，得到積分上限為2，積分下限為0，曲線y=x3與直線y=4x在第一象限所圍成的圖形的面積是∫（4x﹣x3）dx，

而∫（4x﹣x3）dx=（2x2﹣

x4）|

=8﹣4=4，

∴曲邊梯形的面積是4，

故選：D．

4.A【解析】利用函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)遞增的條件是此函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在此區(qū)間上大于或等于0，得到a2x≥0在[2，]上恒成立，故a2（)≥0，從而求得a的取值范圍．

由題意知，y′=在[2，]上大于或等于0，故a2x≥0在[2，]上恒成立．而a2x在[2，]上是個減函數(shù)，

∴a2（)≥0，a≥1．

故選A．5.C【解析】，故選C.6.C【解析】由題設(shè)可得，即，故應(yīng)選答案C。7.C【解析】，因此，選C.8.A【解析】當(dāng)x＞0時，由2f（x）+xf′（x）﹣2＜0可知：兩邊同乘以x得：2xf（x）﹣x2f′（x）﹣2x＜0

設(shè)：g（x）=x2f（x）﹣x2

則g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）﹣2x＜0，恒成立：

∴g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，

由x2f（x）﹣4f（2）＜x2﹣4，

∴x2f（x）﹣x29.D【解析】由題知，令．，解得．構(gòu)造函數(shù)令則，即在上是減函數(shù)，∴，∴即．所以隨的變化情況如下表：極小值又．又，則對任意的，的圖象恒在下方，所以，即，即故函數(shù)在上的最大值．故本題答案選．10.A【解析】類比36的所有正約數(shù)之和的方法，有：100的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到：因為100=，所以100的所有正約數(shù)之和為(1+2+)(1+5+)=217.可求得100的所有正約數(shù)之和為217.故選A11.D【解析】11..

故答案為:D.12.D【解析】12.試題分析：令的圖象為D.13.9【解析】由洛必達法則可知：==3﹣2×f′（2）=9，故答案為：9．

由函數(shù)為型，根據(jù)洛必達法則，代入即可求得=9．14.【解析】由，得，則，故答案為.15.e+1【解析】f′（x）=ex+1＞0；

∴f（x）在[﹣1，1]上單調(diào)遞增；

∴x=1時，f（x）取最大值e+1．

故答案為：e+1．

可求導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)的符號，從而得出f（x）在[﹣1，1]上單調(diào)遞增，從而便可求出f（x）的最大值．16.1007【解析】f（x）=log2x，x∈[1，22014]，是單調(diào)增函數(shù)，

∴函數(shù)f（x）=log2x在[1，22014]上的“均值”為M=（log21+log222014）=1007，

故答案為：1007．

f（x）=log2x，x∈[1，22014]，是單調(diào)增函數(shù)，利用定義，即可求出函數(shù)f（x）=log2x在[1，22014]上的“均值”17.1.（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）最大值為，最小值為.【解析】（Ⅰ）由題意知，函數(shù)的定義域為．∵，∴，令，得，令，得，令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（Ⅱ）∵，，，又，所以在區(qū)間的最大值為，最小值為.18.（1）.（2）見解析【解析】（1）觀察上述各不等式，得到與正整數(shù)有關(guān)的一般不等式為.（2）以下用數(shù)學(xué)歸納法證明（）.①當(dāng)時，由題設(shè)可知，不等式顯然成立.②假設(shè)當(dāng)（）時，不等式成立，即，那么，當(dāng)時，有.下證，即證.即證，即證，即證，即證.而顯然成立.因此成立.所以當(dāng)時，不等式也成立.根據(jù)①和②，不等式對任意都成立.19.（1）；（2）?！窘馕觥浚?）依據(jù)根據(jù)題意是純虛數(shù)，故，且，故；（2）依，根據(jù)題意在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第二象限，可得綜上，實數(shù)的取值范圍為20.（1）（2）【解析】（1）（2）,所以的取值范圍為21.解：（Ⅰ）由題意，AB=x，BC=2﹣x，∵x＞2﹣x，∴1＜x＜2設(shè)DP=y，則PC=x﹣y，由△ADP≌△CB'P，故PA=PC=x﹣y，由PA2=AD2+DP2，得（x﹣y）2=（2﹣x）2+y2即：.（Ⅱ）記△ADP的面積為S2，則．當(dāng)且僅當(dāng)時，S2取得最大值．故當(dāng)材料長為，寬為時，S2最大．（Ⅲ）于是令，∴∴關(guān)于x的函數(shù)在上遞增，在上遞減，∴當(dāng)時，S1+2S2取得最大值．故當(dāng)材料長為，寬為時，S1+2S2最大22.（Ⅰ）在上