2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試·新課標(biāo)Ⅰ卷（數(shù)學(xué)）附試卷分析

2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試·新課標(biāo)Ⅰ卷（數(shù)學(xué)）一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合A={x|-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},則A∩B=A.{-1,0} B.{2,3}C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2}2.若zz-1=1+i,則A.-1-i B.-1+iC.1-i D.1+i3.已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),則x=A.-2 B.-1 C.1 D.24.已知cos(α+β)=m,tanαtanβ=2,則cos(α-β)=A.-3m B.-m3C.m3 D.35.已知圓柱和圓錐的底面半徑相等,側(cè)面積相等,且它們的高均為3,則圓錐的體積為A.23π B.33π C.63π D.93π6.已知函數(shù)f(x)=-x2-2ax-A.(-∞,0] B.[-1,0]C.[-1,1] D.[0,+∞)7.當(dāng)x∈[0,2π]時(shí),曲線y=sinx與y=2sin(3x-π6A.3 B.4 C.6 D.88.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且當(dāng)x<3時(shí),f(x)=x,則下列結(jié)論中一定正確的是A.f(10)>100 B.f(20)>1000C.f(10)<1000 D.f(20)<10000二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.隨著“一帶一路”國際合作的深入,某茶葉種植區(qū)多措并舉推動(dòng)茶葉出口.為了解推動(dòng)出口后的畝收入(單位:萬元)情況,從該種植區(qū)抽取樣本,得到推動(dòng)出口后畝收入的樣本均值x=2.1,樣本方差s2=0.01.已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從正態(tài)分布N(1.8,0.12),假設(shè)推動(dòng)出口后的畝收入Y服從正態(tài)分布N(x,s2),則(若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(Z<μ+σ)≈0.8413)A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.810.設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)2(x-4),則A.x=3是f(x)的極小值點(diǎn)B.當(dāng)0<x<1時(shí),f(x)<f(x2)C.當(dāng)1<x<2時(shí),-4<f(2x-1)<0D.當(dāng)-1<x<0時(shí),f(2-x)>f(x)11.設(shè)計(jì)一條美麗的絲帶,其造型可以看作圖中的曲線C的一部分.已知C過坐標(biāo)原點(diǎn)O,且C上的點(diǎn)滿足:橫坐標(biāo)大于-2,到點(diǎn)F(2,0)的距離與到定直線x=a(a<0)的距離之積為4,則A.a=-2B.點(diǎn)(22,0)在C上C.C在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為1D.當(dāng)點(diǎn)(x0,y0)在C上時(shí),y0≤4三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.設(shè)雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F2作平行于y軸的直線交C于A,B兩點(diǎn),若|F1A13.若曲線y=ex+x在點(diǎn)(0,1)處的切線也是曲線y=ln(x+1)+a的切線,則a=.

14.甲、乙兩人各有四張卡片,每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字,甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1,3,5,7,乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2,4,6,8.兩人進(jìn)行四輪比賽,在每輪比賽中,兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張,并比較所選卡片上數(shù)字的大小,數(shù)字大的人得1分,數(shù)字小的人得0分,然后各自棄置此輪所選的卡片(棄置的卡片在此后的輪次中不能使用).則四輪比賽后,甲的總得分不小于2的概率為.

四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinC=2cosB,a2+b2-c2=2ab.(1)求B;(2)若△ABC的面積為3+3,求c.16.(15分)已知A(0,3)和P(3,32)為橢圓C:x2a2+(1)求C的離心率;(2)若過P的直線l交C于另一點(diǎn)B,且△ABP的面積為9,求l的方程.17.(15分)如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=3.(1)若AD⊥PB,證明:AD∥平面PBC;(2)若AD⊥DC,且二面角A-CP-D的正弦值為427,求AD18.(17分)已知函數(shù)f(x)=lnx2?x+ax+b(x-1)(1)若b=0,且f'(x)≥0,求a的最小值;(2)證明:曲線y=f(x)是中心對稱圖形;(3)若f(x)>-2當(dāng)且僅當(dāng)1<x<2,求b的取值范圍.19.(17分)設(shè)m為正整數(shù),數(shù)列a1,a2,…,a4m+2是公差不為0的等差數(shù)列,若從中刪去兩項(xiàng)ai和aj(i<j)后剩余的4m項(xiàng)可被平均分為m組,且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列,則稱數(shù)列a1,a2,…,a4m+2是(i,j)-可分?jǐn)?shù)列.(1)寫出所有的(i,j),1≤i<j≤6,使得數(shù)列a1,a2,…,a6是(i,j)-可分?jǐn)?shù)列;(2)當(dāng)m≥3時(shí),證明:數(shù)列a1,a2,…,a4m+2是(2,13)-可分?jǐn)?shù)列;(3)從1,2,…,4m+2中一次任取兩個(gè)數(shù)i和j(i<j),記數(shù)列a1,a2,…,a4m+2是(i,j)-可分?jǐn)?shù)列的概率為Pm,證明:Pm>18參考答案1.A2.C3.D4.A5.B6.B7.C8.B9.BC10.ACD11.ABD12.3213.ln214.15.(1)第1步:利用余弦定理求C由余弦定理得cosC=a2+又0<C<π,∴C=π4.第2步:將C代入已知等式求B∴2cosB=sinC=22,∴cosB=12又0<B<π,∴B=π3.(2)第1步:求A由(1)得A=π-B-C=5π12,第2步:利用正弦定理得出a,c的關(guān)系由正弦定理asinA=csinC,得a2第3步:利用三角形面積公式求c∴△ABC的面積S=12acsinB=1+34c2×3得c=22.16.(1)第1步:代入A,P坐標(biāo)求解a,b由題知9b2=19第2步:根據(jù)a,b,c的關(guān)系求解c,得出C的離心率e∴c=a2-b2=3,∴C(2)第1步:求解|PA||PA|=32+(?第2步:得出點(diǎn)B到直線PA的距離h設(shè)點(diǎn)B到直線PA的距離為h,則△ABP的面積為S=12|PA|·h=9,解得h=125第3步:求解點(diǎn)B坐標(biāo)易知直線PA:x+2y-6=0,設(shè)B(x,y),則|x+2解得x=0y=?3或x=?3y=?32第4步:求直線l的方程故l:y=32x-3或y=1217.(1)第1步:證明AD⊥AB由于PA⊥底面ABCD,AD?底面ABCD,∴PA⊥AD,又AD⊥PB,PA∩PB=P,PA,PB?平面PAB,∴AD⊥平面PAB,又AB?平面PAB,∴AD⊥AB.第2步:證明AB⊥BC,得出BC∥AD∵AB2+BC2=AC2,∴AB⊥BC,∴BC∥AD,第3步:證明AD∥平面PBC∵AD?平面PBC,BC?平面PBC,∴AD∥平面PBC.(2)第1步:建系,設(shè)出點(diǎn)A(a,0,0),寫出相關(guān)向量的坐標(biāo)由題意知DC,AD,AP兩兩垂直,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),AD所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,過點(diǎn)D且平行于AP的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),設(shè)A(a,0,0),a>0,則CD=4?a2,C(0,4?a2,0),P(a,0,2),CD=(0,-4?a2,0),AC=(-a,4?a2第2步:得出平面CPD的一個(gè)法向量設(shè)平面CPD的法向量為n=(x,y,z),則CD·n=0CP·n=0,即第3步:得出平面ACP的一個(gè)法向量設(shè)平面ACP的法向量為m=(x1,y1,z1),則m·CP=0m·AC=0,即ax第4步:根據(jù)二面角A-CP-D的正弦值列方程∵二面角A-CP-D的正弦值為427∴余弦值的絕對值為77,故|cos<m,n>|=|m·第5步:得出AD的長又a>0,∴a=3,即AD=3.18.(1)第1步:求函數(shù)f(x)的定義域f(x)的定義域?yàn)?0,2),第2步:求解f'(x)若b=0,則f(x)=lnx2?x+ax,f'(x)=2?xx·(2-x)+x(2-第3步:根據(jù)f'(x)≥0求a的最小值當(dāng)x∈(0,2)時(shí),x(2-x)∈(0,1],f'(x)min=2+a≥0,則a≥-2,故a的最小值為-2.(2)第1步:求解f(2-x)與f(x)的關(guān)系式f(2-x)=ln2?xx+a(2-x)+b(1-x)3=-lnx2?x-ax-b(x-1)3+2a=-f(x第2步:得出曲線y=f(x)的對稱中心故曲線y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(1,a)中心對稱.(3)第1步:求a的值由題知f(1)=a=-2,第2步:求解f'(x)并變形整理此時(shí)f(x)=lnx2?x-2x+b(x-1)3f'(x)=2?xx·(2-x)+x(2-x)2-2+3b(x-1)2=2x(2-x)-2+3b第3步:分類討論,研究f(x)的單調(diào)性,并判斷是否符合題意記g(x)=2x(2-x)+3b,x∈(0,2),易知g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,2)上單調(diào)遞增,g當(dāng)b≥-23時(shí),g(x)≥0,f'(x)≥0,f(x又f(1)=-2,故符合題意.當(dāng)b<-23時(shí),g(1)<0,g(x)=2x(2-x)令g(x)=0,得x=1±1+2因?yàn)閎<-23,所以1+23b∈(0,1),故1+1+2所以當(dāng)x∈(1,1+1+23b)時(shí),g(x)<0,f'(x)<0,f(x)在(1,1+1+23b)上單調(diào)遞減,故f第4步:得出b的取值范圍綜上,b的取值范圍為[-23,+∞).19.(1)(1,2),(1,6),(5,6).(2)第1步:分析當(dāng)m=3時(shí)的分組情況當(dāng)m=3時(shí),刪去a2,a13,其余項(xiàng)可分為以下3組:a1,a4,a7,a10為第1組,a3,a6,a9,a12為第2組,a5,a8,a11,a14為第3組,第2步:分析當(dāng)m>3時(shí)的分組情況,得結(jié)論當(dāng)m>3時(shí),刪去a2,a13,其余項(xiàng)可分為以下m組:a1,a4,a7,a10為第1組,a3,a6,a9,a12為第2組,a5,a8,a11,a14為第3組,a15,a16,a17,a18為第4組,a19,a20,a21,a22為第5組,……,a4m-1,a4m,a4m+1,a4m+2為第m組,可知每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列,故數(shù)列a1,a2,…,a4m+2是(2,13)-可分?jǐn)?shù)列.(3)第1步:證明1,2,…,4m+2是(4p+1,4q+2)-可分?jǐn)?shù)列,并求出方法數(shù)易知a1,a2,…,a4m+2是(i,j)-可分?jǐn)?shù)列?1,2,…,4m+2是(4p+1,4q+2)-可分?jǐn)?shù)列,其中p,q∈{0,1,…,m}.當(dāng)0≤p≤q≤m時(shí),刪去4p+1,4q+2,其余項(xiàng)從小到大,每4項(xiàng)分為1組,可知每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列,故數(shù)列1,2,…,4m+2是(4p+1,4q+2)-可分?jǐn)?shù)列,可分為(1,2,3,4),…,(4p-3,4p-2,4p-1,4p),…,(4(q+1)-1,4(q+1),4(q+1)+1,4(q+1)+2),…,(4m-1,4m,4m+1,4m+2).p,q的可能取值方法數(shù)為Cm+12+m+1=第2步:證明1,2,…,4m+2是(4p+2,4q+1)-可分?jǐn)?shù)列,并求出方法數(shù)易知a1,a2,…,a4m+2是(i,j)-可分?jǐn)?shù)列?1,2,…,4m+2是(4p+2,4q+1)-可分?jǐn)?shù)列,其中p,q∈{0,1,…,m}.當(dāng)q-p>1時(shí),刪去4p+2,4q+1,將1~4p與4q+3~4m+2從小到大,每4項(xiàng)分為1組,可知每組的4個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.考慮4p+1,4p+3,4p+4,…,4q,4q+2是否可分,等同于考慮1,3,4,…,4t,4t+2是否可分,其中t=q-p>1,可分為(1,t+1,2t+1,3t+1),(3,t+3,2t+3,3t+3),(4,t+4,2t+4,3t+4),…,(t,2t,3t,4t),(t+2,2t+2,3t+2,4t+2),每組4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列.故數(shù)列1,2,…,4m+2是(4p+2,4q+1)-可分?jǐn)?shù)列,p,q且q-p>1的可能取值方法數(shù)為Cm+12-m=第3步:證明Pm>1從而Pm≥(m2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試·新課標(biāo)Ⅰ卷（數(shù)學(xué)）試卷分析一、試卷結(jié)構(gòu)與題型特點(diǎn)本次數(shù)學(xué)試卷在結(jié)構(gòu)上保持了傳統(tǒng)的高考數(shù)學(xué)試卷模式，包括選擇題、填空題和解答題三大部分。題型設(shè)計(jì)上，注重了對學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的全面考察，同時(shí)融入了創(chuàng)新元素，旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解題能力。1.選擇題：本部分題目數(shù)量適中，難度分布合理，既包含了基礎(chǔ)概念的理解與應(yīng)用，也涉及了一些需要邏輯推理和計(jì)算能力的題目。多選題的賦分方式得到了優(yōu)化，使得學(xué)生在選擇時(shí)更加謹(jǐn)慎，有利于全面考察學(xué)生的知識點(diǎn)掌握情況。2.填空題：填空題主要考察學(xué)生的基礎(chǔ)運(yùn)算能力和對知識點(diǎn)的準(zhǔn)確理解。部分題目設(shè)計(jì)巧妙，需要學(xué)生具備一定的靈活應(yīng)變能力和解題技巧。3.解答題：解答題部分仍然是試卷的重點(diǎn)和難點(diǎn)。題目設(shè)計(jì)注重了對學(xué)生綜合能力的考察，包括邏輯推理、代數(shù)運(yùn)算、幾何證明等多個(gè)方面。部分題目結(jié)合了實(shí)際情境，增加了題目的趣味性和挑戰(zhàn)性。二、試題難度與區(qū)分度本次數(shù)學(xué)試卷整體難度適中，但區(qū)分度較高。基礎(chǔ)題、中檔題和難題的比例分配合理，既保證了大部分學(xué)生能夠完成基礎(chǔ)題和中檔題，也為優(yōu)秀學(xué)生提供了展示自己能力的機(jī)會(huì)。1.基礎(chǔ)題：主要考察學(xué)生對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的掌握情況，難度不大，但覆蓋面廣。這類題目在試卷中占據(jù)了較大比例，有助于學(xué)生樹立信心，為后續(xù)的中檔題和難題打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。2.中檔題：在基礎(chǔ)題的基礎(chǔ)上增加了難度，需要學(xué)生具備較好的邏輯思維和運(yùn)算能力。這類題目能夠較好地反映學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合能力。3.難題：難度較高，主要考察學(xué)生的創(chuàng)新