2024-2025學(xué)年湖南省邵陽市高二年級上冊入學(xué)考試數(shù)學(xué)檢測試題（含答案）

2024-2025學(xué)年湖南省邵陽市高二上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)檢測試題

第一部分(選擇題共58分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.復(fù)數(shù)z=9的實(shí)部和虛部分別是()

2+i

1515.

A.1,1B.1,iC.,—D.—,一i

3333

2.已知向量5=(2,2),6=(2,-4),2eR,若方,,+3),貝！U=()

A.-1B.0C.1D.2

3.如圖所示，梯形是平面圖形45CD用斜二測畫法得到的直觀圖，

A'D'=2B'C=2,48'=1,則平面圖形的面積為()

R'/C

A.2B.272C.3D.372

4.已知向量5=(1,1),3=(—2,1),則5在B方向上的投影數(shù)量為()

1

A.B.——

55

5.將函數(shù)y=sin2x+1的圖象向右平移A個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)()

371

A.在區(qū)間一，——上單調(diào)遞增B.在區(qū)間—,7T上單調(diào)遞減

444

5兀3兀

C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.在區(qū)間——,2兀上單調(diào)遞減

2

6.已知/(x)=2sin"+￡(0〉0),若方程=l在區(qū)間(0,2兀)上恰有3個實(shí)根,

則0的取值范圍是()

155,4,4

A.—<ft)<—B.—<ft)<1C.\<G)<—D.1<ft)<—

26633

7.《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)專著，是“算經(jīng)十書”(漢唐之間出現(xiàn)的十部古算書)中非常

重要的一部.在《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.已知“塹

堵"4BC-481G的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，且48=/C=L若球。的表面積為4兀，

則這個三棱柱的表面積是()

A.2+2&B.2V2C.3+2后D.3+273

8.已知/(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且/(x—2)是偶函數(shù)，當(dāng)0<x?2時，/(X)=X2-4X,

則當(dāng)6<x<8時，/(x)的解析式為()

A./(x)=-x?-4xB./(x)=x?-16x+60

C./(x)=x2-12x+32D.f(x)=-x2+12x-32

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.同時拋出兩枚質(zhì)地均勻的骰子甲、乙，記事件/：甲骰子點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，事件8：乙骰子點(diǎn)

數(shù)為偶數(shù)，事件C：甲、乙骰子點(diǎn)數(shù)相同.下列說法正確的有()

A.事件/與事件8對立B.事件Z與事件8相互獨(dú)立

C.事件Z與事件。相互獨(dú)立D.P(C)=P(AB)

7T

10.在△48C中，角48,C的對邊分別為見4c,a=3,A=-,。為4/臺。的外心，則

()

A.若A/BC有兩個解，貝|3<c<2百

B.次?元的取值范圍為［-3百,3百］

C.詼?數(shù)的最大值為9

D.若8,C為平面上的定點(diǎn)，則Z點(diǎn)的軌跡長度為|百兀

★II.為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形45。的直角邊/C所在直線與

a,b都垂直，

斜邊28以直線/C為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論正確的有()

A.當(dāng)直線48與。成60°角時，Z8與6成30°角;

B.當(dāng)直線48與a成60°角時，48與6成60°角;

C.直線48與。所成角的最小值為45。；

D.直線48與。所成角的最大值為60。.

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

*12.如圖，在同一個平面內(nèi)，向量方，礪，玩的模分別為1,1,V2,況與近的夾角

為a,且tana=7,礪與云的夾角為45°.若云=加刀+〃礪(加,R),貝U

m+n=

*13.己知直四棱柱/BCD—4片。12的棱長均為2，NBAD=60°.以Q為球心，石為半

徑的球面與側(cè)面3。。1名的交線長為.

14.已知函數(shù)/(x)=<2*+1(X,°),若函數(shù)g(x)=/(/(x)-加)一2,當(dāng)g(x)恰

2x2+4x+2(x<0)

有3個零點(diǎn)時，求加的取值范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚.

15.(本小題滿分13分)某地區(qū)對初中500名學(xué)生某次數(shù)學(xué)成績進(jìn)行分析，將得分分成8組

(滿分150分)：[65,75),[75,85),[85,95),[95,105),[105,115),[115,125),[125,135),

[135,145),整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求第七組的頻率；

(2)用樣本數(shù)據(jù)估計該地的500名學(xué)生這次考試成績的平均分(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間

的中點(diǎn)值作代表)；

(3)現(xiàn)從500名學(xué)生中利用分層抽樣的方法從[95,105),[105,115)的兩組中抽取5個人進(jìn)

一步做調(diào)查問卷，再從這5個人中隨機(jī)抽取兩人，求抽取到的兩人不在同一組的概率.

★16.(本題滿分15分)如圖，已知多面體均垂直于平面45C,

ZABC=120°,2/=4，“=1,AB=BC=B[B=2.

(1)證明：481,平面44G；

(2)求直線ZG與平面4881所成角的正弦值.

★17.(本題滿分15分)記△48C是內(nèi)角4瓦。的對邊分別為a,Z?,c.已知點(diǎn)。

在邊/C上，BDsinZABC=asinC.

(1)證明：BD=b；

(2)若AD=2DC,求cosZASC.

*18.(本題滿分17分)如圖，四棱錐P-48CD中，為矩形，平面尸2。,平面

(1)求證：ABLPD；

(2)若N8PC=90°,PB=O,PC=2,問Z8為何值時，四棱錐P—/BCD的體積最

大？并求此時平面尸BC與平面QPC夾角的余弦值.

19.（17分）在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，對任意兩個向量應(yīng)=（再,乃），z?=（x2,y2）.

作：OM^m,而=方當(dāng)成方不共線時，記以0M,ON為鄰邊的平行四邊形的面積為

5（7n,?）=|x1y2-x2yl\；當(dāng)慶，為共線時,規(guī)定S（流萬）=0.

（1）分別根據(jù)下列已知條件求S（應(yīng),》）；

①應(yīng)=（2,1）,萬=（—1,2）；②應(yīng)=（1,2）,萬=（2,4）；

（2）若向量/=X成+〃萬（尢〃e艮22+〃2w0）,求證：

S（力，砌+S（萬㈤=（囚+|⑷S（處方）

（3）記次=5,OB=b,OC=c,且滿足3=而+防，同=忖=同=1,求

S?可+s[,可的最大值.

高二上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)答案

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

12345678

ABCDABCD

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

91011

BCABDBC

11.由題意，48是以ZC為軸，為底面半徑的圓錐的母線，由又

圓錐底面，在底面內(nèi)可以過點(diǎn)8,作5。〃。，交底面圓。于點(diǎn)如圖所示，連結(jié)￡>￡,則

〃〃連結(jié)4D,等腰AZBD中，AB=AD=也,當(dāng)直線48與。成60°角

時，ZABD=60°,故BD=亞,又在中，BE=2,DE=41,過點(diǎn)8作

BF//DE,交圓。于點(diǎn)口，連結(jié)4F,由圓的對稱性可知AF=￡>￡=J5,.?.△48/為等

邊三角形，.,.228尸=60°,即Z8與b成60°角，B正確，A錯誤.由最小角定理可知C正

確；

很明顯，可以滿足平面45。，直線a,直線48與。所成的最大角為90°,D錯誤.正確的

說法為BC.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

214.

12.313.（1,3]U{4}（1〈加K3或加=4也對）

2

13.【正確答案】71.

2

解析：如圖：取8]G的中點(diǎn)為E,A8i的中點(diǎn)為ECG的中點(diǎn)為G，因?yàn)镹A4D=60°,直

四棱柱4BCD-481GA的棱長均為2,所以△ABC]為等邊三角形，所以口￡=6，

D1E±B￡,

又四棱柱ABCD-481GA為直四棱柱，所以AB1，平面ABGDi,所以8片，B￡,

因?yàn)?81nB?=B「所以￡>|E，側(cè)面B￡CB,

設(shè)尸為側(cè)面用C]C8與球面的交線上的點(diǎn)，則AELEP,

因?yàn)榍虻陌霃綖镴LD[E=6,所以|￡P(guān)|=JR邛=5與=血,

所以側(cè)面及GC8與球面的交線上的點(diǎn)到￡的距離為夜，

因?yàn)殁钪?|EG|=V2,所以側(cè)面用GC8與球面的交線是扇形ENG的弧死，

7T7T

因?yàn)镹4EE=NC]EG=—,所以NEEG=—,所以根據(jù)弧長公式可得

42

茁/x亞=克兀.

22

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(本小題滿分13分)

【解】(1)由頻率分布直方圖得第七組的頻率為：

1-(0.004+0.012+0.016+0.030+0.020+0.006+0.004)xl0=0.080；

(2)用樣本數(shù)據(jù)估計該地500名學(xué)生這次考試成績的平均分為：

70x0.004x10+80x0.012x10+90x0.016x10+100x0.030x10+110x0.020x10+

120x0.006x10+130x0.008x10+140x0.004x10=102.

（3）由頻率分步直方圖可知[95,105）的頻數(shù)為500x0.030x10=150,[105,115）的頻數(shù)為

500x0.020x10=100,所以兩組人數(shù)比值為3:2,

按照分層抽樣抽取5人，則在[95,105）,[105,115）分別抽取3人和2人，

記[95,105）這組三人的編號為4民。,口05,115）這組兩人的編號為a,6,

故從5人隨機(jī)抽取2名，共10種情況，為：（45）,（4C）,（C,B）,（A,a）,（A,b）,（B,a）,

（C,a）,（C,Z））,（a,b）

設(shè)事件M="從5個人中隨機(jī)抽取兩人，抽取到的兩人不在同一組”

則屈=｛（44）,（4。（8,4）,（3/）,（。,4）,（。/）｝,共6種情況.故P（M）=[=|,

3

即從這5個人中隨機(jī)抽取兩人，則抽取到的兩人不在同一組的概率為一.

5

16.【正確答案】（1）詳見解析；（2）—.

13

方法一：（常規(guī)做法）

（1）由28=2,Z4=4,BB、=2,AAX±AB,BB]±AB,得/耳=44=2后，

所以A[B：+AB；=AA^,故AB｝±AlBl.

由5C=2,BBX=2,Cq=1,BBy±BC,CCA±BC,得4G=V?,

由Z8=5C=2,NA8C=120°4G=技，得2。=26,

由CCjLZC,得/。1=拒，所以/8；+4C；=zc；,故力片，4G.

又因?yàn)?片山1。1=片，8IGu平面4耳。1，所以48]，平面481G.

（2）如圖，過點(diǎn)G作G2,4名，交直線4A于點(diǎn)。，連結(jié).

由幺鳥，平面4月。1，qou平面4用。1，可得又

481n4及=及，

所以平面4881,所以NC/。就是/G與平面ZBB]所成的角.

由4G=7?,44=20,4G=收得：

8+21-5V61

cos/G44二/.sinZQ4A

2/44cl2X2A/2XV21V7萬

CDV39

所以G°=4GsinNG4A=V3故{

sin/G4D=為一13

因此，直線ZC］與平面4aBi所成的角的正弦值是叵.

方法二：（建系向量法）

（1）如圖，以ZC的中點(diǎn)。為原點(diǎn)，分別以射線08,0C為x,y軸的正半軸，建立空間直角

坐標(biāo)系0—型.由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：2（0,-百,0）,5（1,0,0）,4（0,—省,4）,

4（1,0,2）,q（o,V3,i）

因此葩=（1,行,2）,4^=（1,A-2）,淚=（0,2百3）,由彳瓦?麗=0,得

AB［±AXBX.

由彳瓦?布=0,得又因?yàn)?4n4G=4,所以，平面44cl.

（2）設(shè)直線zq與平面ZASi所成的角為必

由（1）可知有=（0,2百,1）,A8=（l,V3,o）,西=（0,0,2）,設(shè)平面4B5］的法向量

n=(x,y,z),

〃,4B—0x+x/3v=0//-\

由4,即，可取萬=-行」,0,所以

n-BBt=02z=0''

因此，直線ZC］與平面4aBi所成的角的正弦值是叵.

asinCb

17.解析：（1）由題設(shè)，BD—由正弦定理知：-----即

sinZABCsinCsinN/BC

sinC

:.BD=—,又白=ac,.?.BD=6得證.

sinZABCbb

。人入

(2)由題意知：BD=b,AD=—,DC=~,

33

,4b2213/2,2b210b2-a2

b2H------c--------cbH-----a2

cosZADB=-----------=――-——,同理cosZCDB=--------------9

2b?”也2b2lb2

333亍

13Z?22210"

9Ca(P,11b2,

Y/ADB=TI—NCDB,—=-----整理得2/+027又=ac，

4b22b23

亍亍

.?.2/+±=獨(dú)，整理得6。4_11。2/+3/?4=(),解得或《=3,

a23b23b22

由余弦定理知；cosZABC=------------=---------

lac32b2

a217a237

當(dāng)二=—時，cos/48C=—〉1不合題意；當(dāng)^=—時，cos/45C=—；

b236b2212

7

綜上，cosZABC=—.

12

18.解析：（1）證明：/BCD為矩形，故

又平面PAD±平面ABCD

平面PADA平面ABCD=AD

所以45,平面尸40,因?yàn)镻Qu平面P40,故48，尸￡).

(2)解:過尸作/￡)的垂線，垂足為。，過。作的垂線，垂足為G,連接PG.

故平面/BCD,平面POG,BCA.PG

在直角三角形APC中，PG=—,GC=2?,BG=—,

333

設(shè)45=加，則r>P=JPG2_0G?=J3—加2,,故四棱錐p—4gCD的體積為

V=j-V6-m-jg—掰2=gV8-6m2.

因?yàn)樨?-6ni2=J_61加2一g1+：

故當(dāng)掰=J時，即48=J時，四棱錐的體積P—/BCD最大.

33

0(0,0,0),cj*,平、

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,,0

7

心半小0,V62^/6布、

故Pc=5C=(0,V6,0),

CD=—[,0,0