2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：基本不等式 專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練【原卷版】

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-14基本不等式-專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練【原卷版】

時(shí)間：45分鐘

基礎(chǔ)鞏固

一、選擇題

1.設(shè)％>0,則>=3—3%—1的最大值是（）

x

A.3B.3-2^2

C.-1D.3-2^3

2.已知x三，則^=三"有（）

A.最大值:B.最小值J

24

C.最大值1D.最小值1

3.若對(duì)x>0,y>0,有（x+Zjok+je加恒成立，則加的取值范

圍是（）

A.加W4B.m>4

C.m<0D.相W8

4.高三學(xué)生在新的學(xué)期里，剛剛搬入新教室，隨著樓層的升高,

上、下樓耗費(fèi)的精力增多，因此不滿(mǎn)意度升高，已知當(dāng)教室在第九層

樓時(shí)，上、下樓造成的不滿(mǎn)意度為〃，但高處空氣清新，嘈雜聲較小,

環(huán)境較好，因此隨著教室所在樓層的升高，環(huán)境不滿(mǎn)意度降低，設(shè)教

室在第〃層樓時(shí)，環(huán)境不滿(mǎn)意度為8,則同學(xué)們認(rèn)為最適宜的教室所在

n

的樓層應(yīng)為（）

A.2B.3

C.4D.8

5.已知a,b,C滿(mǎn)足Ab>c時(shí)，不等式‘一+‘一+”>0恒

a—bb—cc—a

成立，則屈勺取值范圍是()

A.B.A<1

C.2<4D.1>4

6.若0<41<42,0<61<岳，且41+42=61+62=1,則下列代數(shù)式中

值最大的是()

A.4161+4262B.a\a2~\~b\bi

C.4162+4261D.1

2

71

7.已知%>0,y>0,x+2y=l.若—~I>加2+3加+4恒成立，則實(shí)數(shù)

%y

m的取值范圍是()

A.(―00,—4]U[―1,+°0)

B.(—8,-1]U[4,+8)

C.(-4,1)

D.(-1,4)

8.設(shè)x,y,z^R,且x+y+z=2,貝1j%2+》2+z2的最小值為()

42

A.-B.-

33

C.-D.1

3

二、填空題

9.若對(duì)任意x>0,,廣?Wa恒成立,則。的取值范圍

x2+3x+l

是.

10.若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足<+產(chǎn)+盯=1,則x+y的最大值是.

三、解答題

11.已知正常數(shù)a,6和正實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足a+Z)=10,-+-=Lx

%y

+y的最小值為18,求a,b的值.

12.某市在建造運(yùn)動(dòng)會(huì)主體育場(chǎng)時(shí)需建造隔熱層，并要求隔熱層

的使用年限為15年.已知每厘米厚的隔熱層建造成本是4萬(wàn)元，設(shè)每

年的能源消耗費(fèi)用為/萬(wàn)元，隔熱層的厚度為％厘米，兩者滿(mǎn)足關(guān)系

式：刃=」7（°WxW10,左為常數(shù)）.若無(wú)隔熱層，則每年的能源消

2x十5

耗費(fèi)用為6萬(wàn)元，15年的總維修費(fèi)用為10萬(wàn)元，記/為15年的總費(fèi)

用.（總費(fèi)用=隔熱層的建造成本費(fèi)用+使用15年的能源消耗費(fèi)用十

15年的總維修費(fèi)用）

（1）求"的表達(dá)式；

（2）請(qǐng)問(wèn)當(dāng)隔熱層的厚度為多少厘米時(shí)，15年的總費(fèi)用/最小，

并求出最小值.

能力提升

13.（多選題）下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)%>0時(shí)，

B.當(dāng)%>2時(shí)，％+1的最小值是2

C.當(dāng)％<4時(shí)，尸4%—2+二一的最小值為5

4-4x—5

D.當(dāng)％>0,y>0時(shí)，在+上22

yx

14.已知0<q<l,0<b<l,不等式辦2+%+620對(duì)于一切實(shí)數(shù)》恒

19.

成立，又存在xoWR,使笈8+配+。=0成立，則——+;一7的最小值

1—a1—b

為（）

A10^2B.4+?

,L

3

C.4+也D.4^2

15.某項(xiàng)研究表明：在考慮行車(chē)安全的情況下，某路段車(chē)流量網(wǎng)單

位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)測(cè)量點(diǎn)的車(chē)輛數(shù)，單位：輛/時(shí)）與車(chē)流速度M假設(shè)車(chē)輛

以相同速度%亍駛，單位：米/秒）、平均車(chē)長(zhǎng)/（單位：米）的值有關(guān),

76000/

其公式為：F=

j+18,+20/

(1)如果不限定車(chē)型，1=6.05,則最大車(chē)流量為_(kāi)_______輛/時(shí);

(2)如果限定車(chē)型，1=5,則最大車(chē)流量比(1)中的最大車(chē)流量增

加輛/時(shí).

16.設(shè)訪6為正實(shí)數(shù)，且1+：=2也

ab

(1)求a2+b2的最小值；

(2)若(q—b)2N4(ab)3,求ab的值.

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-14基本不等式-專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練【解析版】

時(shí)間：45分鐘

基礎(chǔ)鞏固

一、選擇題

1.設(shè)％>0,則y=3—3x—1的最大值是（D）

A.3B.3—2啦

C.-1D.3-2^3

解析：?.”>（）,：.31+"21=20當(dāng)且僅當(dāng)％=/時(shí)取

x、\1&x3

等號(hào)，???一［3x+1w—23，

則>=3—3%—1W3—23，故選D.

X

2.已知Xe：，則y=—―二+5有（口）

22x—4

A.最大值:B.最小值J

24

C.最大值1D.最小值1

解析：》=力生9="艾±1=1（”—2）+二當(dāng)且僅當(dāng)

2x~42（%—2）2

x-2=」，即x=3時(shí)等號(hào)成立，故y有最小值1,故選D.

x~2

3.若對(duì)x>0,y>0,有（x+2y）［+Je/n恒成立，則加的取值范

圍是（D）

A.mW4B.m>4

C.m<0D.小W8

解析：由x>0,y>0,得（x+2_y）[+J=2+也+'+224+2、小工

^%yNXy

=8,當(dāng)且僅當(dāng)2y=x時(shí)取等號(hào)，則加W8,故選D.

4.高三學(xué)生在新的學(xué)期里，剛剛搬入新教室，隨著樓層的升高，

上、下樓耗費(fèi)的精力增多，因此不滿(mǎn)意度升高，已知當(dāng)教室在第九層

樓時(shí)，上、下樓造成的不滿(mǎn)意度為〃，但高處空氣清新，嘈雜聲較小，

環(huán)境較好，因此隨著教室所在樓層的升高，環(huán)境不滿(mǎn)意度降低，設(shè)教

室在第〃層樓時(shí)，環(huán)境不滿(mǎn)意度為*則同學(xué)們認(rèn)為最適宜的教室所在

n

的樓層應(yīng)為（B）

A.2B.3

C.4D.8

解析：由題意知，教室在第幾層樓時(shí)，同學(xué)們總的不滿(mǎn)意度

+824/，當(dāng)且僅當(dāng)即”=2也時(shí)，不滿(mǎn)意度最小，又

nn

N*,分別把〃=2,3代入》="+8,易知”=3時(shí)，y最小，故最適宜的

n

教室應(yīng)在3樓.

5.已知a,b,c滿(mǎn)足a>b>c時(shí)，不等式‘一+」一+工>0恒

a-bb-cc-a

成立，則7的取值范圍是（C）

A.B.A<1

C.2<4D.1>4

*1^?1—I

解析：由題意知，原不等式可變形為2<（q—c>Q—bb-c]=[{a

—b）+（b—01L+M=I+L+K+I,而1+小+…+

b-ca~bb~ca-b

124（當(dāng)且僅當(dāng)（4-5）2=屹一°）2時(shí)等號(hào)成立），則丸<4.故選C.

6.若0<41<42,0<61<62,且+42=61+62=1，則下列代數(shù)式中

值最大的是（A）

A.aibi^-aibiB.a\a2~\~b\bi

C.a\b2~\~a2b\D2

解析：由0<tZl<tZ2,0<Z)l<Z>2,

。1+。2bl+Z?2

21

易知。1。2+6仍2<12J2+l2=

2

又a\bi+aibi—(①歷+aib\)=(ai—ai)b\+(及-a\)bi=(<22—ai)(岳

—Z)i)>0,

所以4仍1+42岳>41岳+。2bl.

注意到1=(ai+(22)(61+62)=aibi+a2b2+aibi+aib\<2(a\b\+

aibi),所以a而1+。2歷>

綜上可知a\b\+a2bi最大.

7.已知x>0,y>0,x+2y=l.若一■I■—>???+3加+4怛成立，則實(shí)數(shù)

%y

加的取值范圍是(c)

A.(―00,—4]U[―1,+°0)

B.(—8,-1]U[4,+°°)

C.(-4,1)

D.(-1,4)

解析：R+；〕xi=R+；[a+2y)=4-卜出即m2+3m+4<8

%y

恒成立，m2+3m—4<0的解集為(一4,1).故選C.

8.設(shè)x,y,z￡R,且x+y+z=2,則N+y+zZ的最小值為(A)

42

A.-B-

33

cAD.1

3

解析：由題意，得(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(肛+yz+z%)W12+y2

+z2+(x2+/)+儼+z2)+(x2+z2)=3(/+/+Z2),即/+y+

=當(dāng)且僅當(dāng)％=y=z=；時(shí)取等號(hào))，所以％2+V+z2的

最小值為，故選A.

二、填空題

9.若對(duì)任意%>0,一：「Wa恒成立,則a的取值范圍是。力:.

x2+3x+l5

解析：因?yàn)閤>0,所以％+122.

當(dāng)且僅當(dāng)X=1時(shí)取等號(hào)，所以有

X____1V

x2+3x+1x+1+32+35'

x

即的最大值為(故心！

10-若實(shí)數(shù)-滿(mǎn)足改y+町=，則…的最大值是可.

解析：注意到消元有難度，而目標(biāo)式為x+.V,且條件可以構(gòu)造出

x+y的平方，于是1=(x+y)2一肛N(x+y)2—(彳2)2=：Q+y)2,所以

：2(x+y)2,所以一2；Wx+yW、J,當(dāng)且僅當(dāng)％=>=；時(shí)取最大

三、解答題

11.已知正常數(shù)a,6和正實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足a+6=10,-+-=Lx

%y

+y的最小值為18,求a,b的值.

解：因?yàn)閤+y=(x+y)T=(%+>)?[+J=a+Z?+變+近5+

,,1歹

2\/ab=(-\/a+-\/b)2,

當(dāng)且僅當(dāng)"=近，即丫=、，時(shí),等號(hào)成立，

xyxa

所以x+.V的最小值為（4?+回2=18,

又。+6=10,所以必=16.

所以。，b是方程12—10%+16=0的兩根，

所以4=2,6=8或a=8,b=2.

12.某市在建造運(yùn)動(dòng)會(huì)主體育場(chǎng)時(shí)需建造隔熱層，并要求隔熱層

的使用年限為15年.已知每厘米厚的隔熱層建造成本是4萬(wàn)元，設(shè)每

年的能源消耗費(fèi)用為/萬(wàn)元，隔熱層的厚度為x厘米，兩者滿(mǎn)足關(guān)系

式：w=/7（°WxW10,左為常數(shù)）.若無(wú)隔熱層，則每年的能源消

2x十5

耗費(fèi)用為6萬(wàn)元，15年的總維修費(fèi)用為10萬(wàn)元，記R為15年的總費(fèi)

用.（總費(fèi)用=隔熱層的建造成本費(fèi)用+使用15年的能源消耗費(fèi)用十

15年的總維修費(fèi)用）

（1）求J2的表達(dá)式；

（2）請(qǐng)問(wèn)當(dāng)隔熱層的厚度為多少厘米時(shí)，15年的總費(fèi)用/最小，

并求出最小值.

解：（1）依題意，當(dāng)％=0時(shí)，p=6,：.6=\,：,k=30.

3030450

故yi=,^2=4x1-15+10=4x41-10(0<x<10).

2x+52x+52x+5

450450

(2)口=4%+--+10=(4x+10)+--=2(2x+5)+

2%十52%十5

450

、2-2(2X+5)?黑=6。,

2%+5

450

當(dāng)且僅當(dāng)2（2%+5）=二-,即x=5時(shí)，/取得最小值，最小值

2x+5

為60,

...隔熱層的厚度為5厘米時(shí)，15年的總費(fèi)用達(dá)到最小值，最小值

為60萬(wàn)元.

能力提升

13.（多選題）下列結(jié)論正確的是（AD）

A.當(dāng)%>0時(shí)，&+］與2

B.當(dāng)%>2時(shí)，的最小值是2

X

C.當(dāng)白時(shí)，尸4x—2+二一的最小值為5

4-4X一5

D.當(dāng)x>0,y>0時(shí)，甚+?22

yx

解析：在A中，當(dāng)％>0時(shí)，4>0,出+!22,當(dāng)且僅當(dāng)％=1

時(shí)取等號(hào)，結(jié)論成立；在B中，當(dāng)x>2時(shí)，X-=2,當(dāng)且

XX

僅當(dāng)％=1時(shí)取等號(hào)，但x>2取不到1,因此x+1的最小值不是2,結(jié)

X

論錯(cuò)誤；在C中，因?yàn)樗?—4x>0,則y=4x—2+1=

44x-5

54X+5-4J+3<-2XAJ（5-4X）^^+3=1,當(dāng)且僅當(dāng)5—4%

=1一,即x=l時(shí)取等號(hào)，結(jié)論錯(cuò)誤；顯然D正確，故選AD.

5—4%

14.已知0<q<l,0<b<l,不等式辦2+X+beo對(duì)于一切實(shí)數(shù)%恒

19

成立，又存在xo￡R,使6君+祀+。=0成立，則——+;一7的最小值

1一QLb

為（B）

AlogB.4+返

33

C.4+^2D.4也

解析：因?yàn)椴坏仁睫k2+x+bNO對(duì)于一切實(shí)數(shù)X恒成立，所以對(duì)

應(yīng)方程的根的判別式/1=1—4MWO,即4/21.又存在xo￡R,使b蟠

+xo+q=O成立，所以/2=1—4仍20,即4aZ?Wl,所以4ab=1,即

11?124?

b=-(l<4a<4).所以一++—++2

4。1~a1~b1~a\——14—4。4?—1

4a

4121

—(4-4a+4a-1)X+-(4-4a+4a-1)X+2=2+

44^?34^?13

_

4(4a1)_1_2(4—4a)廠

-4-4a4a-1+224+1X2A/8=4+也(當(dāng)且僅當(dāng)幽"3=

333i4—4。

2(4—40時(shí),等號(hào)成立).所以」一十