2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接-空間向量及其運(yùn)算（七大題型）

復(fù)習(xí)材料

第04講空間向量及其運(yùn)算

【題型歸納目錄】

題型一：空間向量的有關(guān)概念及線性運(yùn)算

題型二：共線向量定理的應(yīng)用

題型三：共面向量及應(yīng)用

題型四：空間向量的數(shù)量積

題型五：利用空間向量的數(shù)量積求兩向量的夾角

題型六：利用空間向量的數(shù)量積求線段的長度

題型七：利用空間向量的數(shù)量積證垂直

【知識(shí)點(diǎn)梳理】

知識(shí)點(diǎn)一：空間向量的有關(guān)概念

1、空間向量

(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量.

(2)長度或模：空間向量的大小.

(3)表示方法：

①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；

②字母表示法：用字母a,b,c,…表示；若向量"的起點(diǎn)是/,終點(diǎn)是8,也可記作:石，其模記為同

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或網(wǎng).

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

(1)空間中點(diǎn)的一個(gè)平移就是一個(gè)向量；

(2)數(shù)學(xué)中討論的向量與向量的起點(diǎn)無關(guān)，只與大小和方向有關(guān)，只要不改變大小和方向，空間向

量可在空間內(nèi)任意平移，故我們稱之為自由向量。

2、幾類常見的空間向量

名稱方向模記法

零向量任意00

單位向量任意1

_

a的相反向量：一〃

相反向量相反相等

族的相反向量：BA

相等向量相同相等a=b

知識(shí)點(diǎn)二：空間向量的線性運(yùn)算

(1)向量的加法、減法

c

加法OB=OA+OC=a+bD

空間向量

的運(yùn)算

減法CA^OA-OC^a-b0aA

加法運(yùn)算①交換律：a+b=b+a

律②結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)

(2)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

①定義：實(shí)數(shù)九與空間向量。的乘積而仍然是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算.

當(dāng)XX)時(shí)，版與向量。方向相同；

當(dāng)入<0時(shí)，入。與向量。方向相反；

當(dāng)兒=0時(shí)，坂=0；版的長度是。的長度的囚倍.

②運(yùn)算律

結(jié)合"(聿：入〃(入")=(入〃)a.

分配律：(N+〃)a=Xzi+〃a,X(a+6)=X,a+X/>.

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

(1)空間向量的運(yùn)算是平面向量運(yùn)算的延展，空間向量的加法運(yùn)算仍然滿足平行四邊形法則和三角形法

則.而且滿足交換律、結(jié)合律，這樣就可以自由結(jié)合運(yùn)算，可以將向量合并；

(2)向量的減法運(yùn)算是向量加法運(yùn)算的逆運(yùn)算，滿足三角形法則.

(3)空間向量加法的運(yùn)算的小技巧：

①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，

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即：44+44+44+…+4-14=44

因此，求空間若干向量之和時(shí)，可通過平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量;

②首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量，

即：44+44+/3N4+…+4—4+44=o；

知識(shí)點(diǎn)三：共線問題

共線向量

(1)定義：表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行

向量.

(2)方向向量：在直線/上取非零向量處與向量。平行的非零向量稱為直線/的方向向量.

規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對(duì)任意向量”，都有0〃a.

(3)共線向量定理：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量“，伙〃,0),a〃〃的充要條件是存在實(shí)數(shù)正使。=乂.

(4)如圖，。是直線/上一點(diǎn)，在直線/上取非零向量a,則對(duì)于直線/上任意一點(diǎn)尸，由數(shù)乘向量定義

及向量共線的充要條件可知，存在實(shí)數(shù)3使得羽=福.

知識(shí)點(diǎn)詮釋：此定理可分解為以下兩個(gè)命題：

⑴3//B(BwO)=＞存在唯一實(shí)數(shù)/，使得@=法;

(2)存在唯一實(shí)數(shù)幾，使得花=戒心0),則日/區(qū).

注意：在力。不可丟掉，否則實(shí)數(shù)4就不唯一.

(3)共線向量定理的用途：

①判定兩條直線平行；(進(jìn)而證線面平行)

②證明三點(diǎn)共線。

注意：證明平行時(shí)，先從兩直線上取有向線段表示兩個(gè)向量，然后利用向量的線性運(yùn)算證明向量共線,

進(jìn)而可以得到線線平行，這是證明平行問題的一種重要方法。證明三點(diǎn)共線問題，通常不用圖形，直接利

用向量的線性運(yùn)算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個(gè)公共點(diǎn)。

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知識(shí)點(diǎn)四：向量共面問題

共面向量

(1)定義：平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面向量.

(2)共面向量定理：若兩個(gè)向量”，6不共線，則向量0與向量a,8共面的充要條件是存在唯一的有序

實(shí)數(shù)對(duì)(x,y),使「=皿+跡.

(3)空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,/),使石=/+了就或?qū)臻g任意一

點(diǎn)。，^OP=OA+xAB+yAC.

(4)共面向量定理的用途：

①證明四點(diǎn)共面

②線面平行(進(jìn)而證面面平行)。

知識(shí)點(diǎn)五：空間向量數(shù)量積的運(yùn)算

空間向量的數(shù)量積

(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a,b,則同步|cos{a,b)叫做a,6的數(shù)量積，記作“力.即"心=|a||b|cos

{a,b).

規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0.

(2)常用結(jié)論(a,分為非零向量)

①a_Lb=?。力=0.

(2)a-a=|a||a|cos{a,a}=|a『.

(3)數(shù)量積的運(yùn)算律

數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律(Aa)b)—a(Aft)

交換律ab=ba

分配律a(b~\~c)=ab+ac

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

(1)由于空間任意兩個(gè)向量都可以轉(zhuǎn)化為共面向量，所以空間兩個(gè)向量的夾角的定義和取值范圍、兩個(gè)

向量垂直的定義和表示符號(hào)及向量的模的概念和表示符號(hào)等，都與平面向量相同.

(2)兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是數(shù)而非向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積，其符號(hào)

由夾角的余弦值決定.

(3)兩個(gè)向量的數(shù)量積是兩向量的點(diǎn)乘，與以前學(xué)過的向量之間的乘法是有區(qū)別的，在書寫時(shí)一定要將

它們區(qū)別開來，不可混淆.

知識(shí)點(diǎn)六：利用數(shù)量積證明空間垂直關(guān)系

當(dāng)a_L6時(shí)，ab=0.

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知識(shí)點(diǎn)七：夾角問題

1、定義：已知兩個(gè)非零向量2、b,在空間任取一點(diǎn)D,作厲=2麗=3,則/AOB叫做向量方

與B的夾角，記作〈落力，如下圖。

根據(jù)空間兩個(gè)向量數(shù)量積的定義：ab=同?歸卜0$伉力,

那么空間兩個(gè)向量乙、B的夾角的余弦COS〈7B〉=上^h。

|葉|6|

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

（1）規(guī)定:ow〈1,B〉V"

⑵特別地，如果@B〉=o,那么萬與B同向；如果〈扇3〉="，那么《與3反向;如果〈優(yōu)母=90°,那

么G與B垂直，記作5,3。

2、利用空間向量求異面直線所成的角

異面直線所成的角可以通過選取直線的方向向量，計(jì)算兩個(gè)方向向量的夾角得到。

在求異面直線所成的角時(shí)，應(yīng)注意異面直線所成的角與向量夾角的區(qū)別：如果兩向量夾角為銳角或直

角，則異面直線所成的角等于兩向量的夾角；如果兩向的夾角為鈍角，則異面直線所成的角為兩向量的夾

角的補(bǔ)角。

知識(shí)點(diǎn)八：空間向量的長度

1、定義：

在空間兩個(gè)向量的數(shù)量積中，特別地萩=|司慟COSOO=同2,所以向量）的模：

將其推廣：

\a±b\=7（5+b）2=^a2+la-b+b2；\a+b+c\=y/（a+b+c）2=4a1+b2+c2+1a-b+1b-c+1c-a。

2、利用向量求線段的長度。

將所求線段用向量表示，轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題。一般可以先選好基底，用基向量表示所求向量，

然后利用同2=求來求解。

【典例例題】

題型一：空間向量的有關(guān)概念及線性運(yùn)算

例1.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）在平行六面體/28-480自中，與向量而相等的向量共有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

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【解析】由圖，與向量而大小相等，方向相同的向量有3,瓦G，麗共3個(gè)?

故選：C

例2.（2023?山東濟(jì)南?高二?？计谥校┫铝嘘P(guān)于空間向量的說法中正確的是（）

A.方向相反的兩個(gè)向量是相反向量

B.空間中任意兩個(gè)單位向量必相等

C.若向量畫，畫滿足網(wǎng)＞|西，則存〉函

D.相等向量其方向必相同

【答案】D

【解析】相反向量指的是長度相等，方向相反的向量，故A錯(cuò)誤；

單位向量指的是模為1的向量，方向未定，故B錯(cuò)誤；

向量不能比較大小，故C錯(cuò)誤；

相等向量其方向必相同，故D正確；

故選：D.

例3.（2023?山西?高二校聯(lián)考期中）下列關(guān)于空間向量的說法中錯(cuò)誤的是（）

A.零向量與任意向量平行

B.任意兩個(gè)空間向量一定共面

C.零向量是任意向量的方向向量

D.方向相同且模相等的兩個(gè)向量是相等向量

【答案】C

【解析】由已知，

選項(xiàng)A,零向量方向是任意的，所以零向量任意向量平行，該選項(xiàng)正確；

選項(xiàng)B,平面由兩個(gè)不平行的向量確定，任意兩個(gè)向量可通過平移形成相交，故一定可以確定一個(gè)平面，該

選項(xiàng)正確；

選項(xiàng)C,在直線/上取非零向量上把與向量Z平行的非零向量稱為直線/的方向向量，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D,方向相同且模相等的兩個(gè)向量是相等向量，該選項(xiàng)正確.

故選：C.

例4.（2023?山東濱州?高二統(tǒng)考期末）如圖，在四面體OABC中，OB=b，~OC='c-點(diǎn)M在OA

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上，且滿足血=3疝，N為BC的中點(diǎn),則赤=()

1一3-1一2-1T]一[-27]-3-1一1一

A.—a——b+—cB.——a+—b+—cC.—a——b+—cD.——a+—b+—c

242322232422

【答案】D

【解析】如圖，連接ON,

—?1—?1—.

QN是的中點(diǎn)，.?.ON=—08+—OC,

22

-/OM=3MA,OM=^-0A,

4

?.MN=ON-OM=-0B+-OC--OA--a+-b+-c.

224422

故選：D.

例5.(2023?貴州銅仁?高二統(tǒng)考期末)如圖，在三棱錐045。中，點(diǎn)尸分別是。8,4c的中點(diǎn),M是EF

的中點(diǎn)，設(shè)萬(=a，OB=b，OC=~c^用Z，b,"表示麗？，則麗7=()

1-31-1一3-1一

A.-a--b+-cB.—a——b7+—cc.-a--b+-cD.—a——b+—c

444222424242

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【答案】A

【解析】因?yàn)?是E尸的中點(diǎn)，E,尸分別是03,4C的中點(diǎn),

所以加=:（而+礪）=；（前+茄）+；麗

=^OC-OB+OA-OB^-^OB

=-OA--OB+-OC

444

故選：A

例6.（2023?江蘇淮安?高二淮陰中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）四面體O-Z2C中，9=3萬，。是3c的中點(diǎn)，M

是P。的中點(diǎn)，設(shè)厲=萬，OB=b^OC=c，則弧'=（）

A.一ci-\—bH—cB.—ciH—bH—c

466444

「3一1r1一n1-1廠」

C.—a+—b+—cD.-a+—b+—c

844344

【答案】C

_—?3—?

【解析】因?yàn)槌?3莎，所以。尸=:。/,

4

因?yàn)椤Ｊ荁C的中點(diǎn)，所以而=g（礪+就）,

——?1—?―?1—?1―?3—?1—??31一1

因?yàn)镸為PQ的中點(diǎn)，所以。屈=一（。夕+00）=—。尸+—00=-OA+-（OB+OC）=-a+-b+-c,

22284844

故選：C.

題型二：共線向量定理的應(yīng)用

例7.（2023,圖二課時(shí)練習(xí)）已知空間向量0,b，且48=a+2否，BC=-5a+6b>CD=7a-哧），則一■定共

線的三點(diǎn)是（）

A.4B、CB.B、C、DC.4B、DD.4C、D

【答案】C

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【解析】BD=BC+CD=-5a+6b+la-2b=2a+4b

=2(a+2b)=2AB,

又冠與麗過同一點(diǎn)B,

：.A、B、。三點(diǎn)共線.

故選：C.

例8.(2023?吉林松原?高二吉林油田高級(jí)中學(xué)校考期中)若方=2①，E為空間中不在直線CD上的任意一

點(diǎn)，則直線AB與平面CDE的位置關(guān)系是()

A.相交B.平行C.在平面內(nèi)D.平行或在平面內(nèi)

【答案】D

【解析】因益=21，則有直線42與直線CD平行或重合，而點(diǎn)E不在直線CD上，即點(diǎn)E、直線CZ)

確定平面CDE,

若直線45與直線CD平行，當(dāng)點(diǎn)E在直線AB上時(shí)，直線48在平面CDE內(nèi)，

當(dāng)點(diǎn)E不在直線上時(shí)，CDu平面CDE,平面C0E,于是得/3//平面CDE,

若直線與直線CD重合，則直線在平面CDE內(nèi)，

所以直線與平面CDE的位置關(guān)系是平行或在平面內(nèi).

故選：D

例9.(2023?新疆阿勒泰?高二校聯(lián)考期末)如果空間向量萬萬不共線，且歷=X@+3B,那么工了的值分別

是()

A.x=-l,y=3B.x=-1,y=-3

C.x=l,y=-3D.x=l,y=3

【答案】C

【解析】由題意可知空間向量不共線，S.a-yb=xa+3b,即(x-l)7-(y+3)B=6,

貝iJx_l=0,_(y+3)=0,即x=l,y=_3,

故選：C.

例10.(2023?河南焦作?高二溫縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí))若空間向量Z］不共線，且

-3ya+(2x+y)b=xa+10b,貝!J2x-3y=()

A.6B.12C.18D.24

【答案】C

【解析】?；空間向量乙不不共線,

要使-3ya+(2x+y)b-xa+10Z)，

x=6

n2x-3y=18.

J=一2

故選：C.

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例11.（2023?江蘇?高二專題練習(xí)）滿足下列條件，能說明空間不重合的A、B、C三點(diǎn)共線的是（）

A.AB+BC=ACB.AB-BC=AC

C.AB=BCD.P|=|^C|

【答案】C

【解析】對(duì)于空間中的任意向量，都有AB+BC=AC，說法/錯(cuò)誤；

若方-正=就，則就+就=萬，1^AC+CB=AB,據(jù)此可知就=赤，即氏C兩點(diǎn)重合，選項(xiàng)8錯(cuò)

誤；

AB=BC，則/、B、C三點(diǎn)共線，選項(xiàng)C正確；

P|=|5C|,則線段的長度與線段3c的長度相等，不一定有4B、C三點(diǎn)共線，選項(xiàng)。錯(cuò)誤；

本題選擇C選項(xiàng).

例12.（2023,高二課時(shí)練習(xí)）當(dāng)盟|=|不快0,且3、B不共線時(shí)，萬+3與G-B的關(guān)系是（）

A.共面B.不共面C.共線D.無法確定

【答案】A

【解析】根據(jù)平行四邊形法則可得，以鼠1為鄰邊，則可得平行四邊形的兩條對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量分別為

a+b,a-b,

所以2+5與"一力共面.

故選：A.

題型三：共面向量及應(yīng)用

例13.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）下面關(guān)于空間向量的說法正確的是（）

A.若向量°石平行，則a,B所在直線平行

B.若向量所在直線是異面直線，貝。,右不共面

C.若4,B,C,。四點(diǎn)不共面，則向量在，而不共面

D.若/,B,C,。四點(diǎn)不共面，則向量Z5,AC，而不共面

【答案】D

【解析】向量21平行，21所在直線可以重合，也可以平行，A錯(cuò)誤；

可以通過平移將空間中任意兩個(gè)向量平移到一個(gè)平面內(nèi)，因此空間任意兩個(gè)向量都是共面的，BC錯(cuò)誤；

顯然43,AC,ND是空間中有公共端點(diǎn)/,但不共面的三條線段，所以向量次，AC，而不共面，D正

確.

故選：D

例14.（2023?上海閔行?高二上海市七寶中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知4B、C是空間中不共線的三個(gè)點(diǎn)，若點(diǎn)。

滿足刀+2怎+3雙=6，則下列說法正確的一項(xiàng)是（）

A.點(diǎn)。是唯一的，且一定與4B、C共面

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B.點(diǎn)O不唯一，但一定與4B、C共面

C.點(diǎn)。是唯一的，但不一定與4B、C共面

D.點(diǎn)。不唯一，也不一定與4B、C共面

【答案】A

【解析】由空間向量的知識(shí)可知共面的充要條件為存在實(shí)數(shù)X/,使、=￡+＞），

因?yàn)榉?2無+3反=6，

VV1UULUIL■1.

所以CM=-2O2-3OC，

所以方，而，反共面，

所以。,48,C四點(diǎn)共面，

因?yàn)閍+2赤+3歷=6，所以+標(biāo)）+2（歷+反）=6,

所以點(diǎn)。唯一.

故選：A.

例15.（2023?遼寧鞍山?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在下列條件中，能使M與A,B,C一定共面的是（）

A.OM=2OA-OB-OCB.OM=^OA+^OB+^OC

C.MA+MB+MC=QD.OM+OA+OB+OC=0

【答案】C

【解析】空間向量共面定理，OM=xOA+yOB+zOC,若A,B,C不共線，且A,B,C,M共面，則

其充要條件是x+V+z=l；

對(duì)于A,因?yàn)?-1-1=071,所以不能得出A,B,C,A/■四點(diǎn)共面；

對(duì)于B,因?yàn)椋?；+：=＞1,所以不能得出A,B,C,M四點(diǎn)共面；

對(duì)于C,~MA=-MB-MC,則而，MB＞就為共面向量，所以M與A,B,C一定共面；

對(duì)于D,因?yàn)閮?刀+礪+反=6，所以次=-而-礪-反，因?yàn)?1-1-1=-3#1,所以不能得出

A,B,C,〃四點(diǎn)共面.

故選：C.

例16.（2023?四川綿陽?高二四川省綿陽南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知。為空間任意一點(diǎn)，43，C,尸四點(diǎn)共面,

但任意三點(diǎn)不共線.如果麗=冽刀+濟(jì)+雙，則機(jī)的值為（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】A

【解析】因?yàn)槎?麗-麗,

所以由麗=機(jī)刀+礪+反

^OP-OB^mOA+OB+OC，

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^OP=mOA+2OB+OC

因?yàn)?。為空間任意一點(diǎn)，4民。,尸滿足任意三點(diǎn)不共線，且四點(diǎn)共面，

所以加+2+1=1,故機(jī)=一2.

故選：A.

例17.（2023?河南洛陽?高二統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)D在V/BC確定的平面內(nèi)，O是平面ABC外任意一點(diǎn)，實(shí)數(shù)

X,y滿足比=xE+2y礪-3,貝U：￡的最小值為（）

A.-B.—C.1D.2

55

【答案】A

【解析】因?yàn)闅v=xE+2y礪-灰點(diǎn)。在V/5C確定的平面內(nèi)，

所以x+2y—l=l,即x=2—2y,

所以f=（2-24+y2=5y2_8y+4=5[y—g]

所以當(dāng)y=g4時(shí)，￡o+/o的有最小值]4.

故選：A.

例18.（2023?江蘇淮安?高二校聯(lián)考期中）已知4民C三點(diǎn)不共線，。是平面外任意一點(diǎn)，若由

9=！方+：歷+4反確定的一點(diǎn)P與43,C三點(diǎn)共面，則彳等于（）

7

A.--B.1C.—D.——

331515

【答案】C

【解析】由P與4民。三點(diǎn)共面以及麗=:厲+；礪+九區(qū)，

117

可得，《+§+2=1,所以幾=話.

故選：C.

題型四：空間向量的數(shù)量積

例19.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）化簡：鼠（2石一￡）+（￡-42=

【答案】b2

r/r八/r、2rrr2r2rrr2r2

【解析】a-\2b-a\+\a-b\=2a-b-a+a-2a-b+b=b

故答案為：b

例20.（2023?上海?高二專題練習(xí)）在三棱錐。-45。中，已知45=40=2,BC=1,就?麗=一3，貝!J

CD=

復(fù)習(xí)材料

【答案】V7

【解析】設(shè)NBAC=a,4DAC=/3,顯然|就-海|=|前|=1,

則刀,+萬2一2|就H%Mcosa=l，即％2-4|就|cosa=-3，

而就?麗=-3，^AC-(AD-AB)=AC-AD-ACAB=-3,

于是得211Ccos/?-214clcosa=-3,21AC\cos/?=-3+21AC\cosa,

CD=|AD-ACAD+AC-2AD-AC=4+AC-4|/C|cos￡

------?2------?------?2------k

=4+AC-2(-3+2\AC\cosa)=10+AC-4|/C|cosa=7，

則有?而1=5，所以CD=V7.

故答案為：yf7

例21.(2023?江蘇常州?高二江蘇省深陽中學(xué)?？茧A段練習(xí))在棱長為1的正方體/3CO-431GA中，M為

棱cq上任意一點(diǎn)，則與心反？=.

【答案】1

【解析】如圖，在正方體中，〃■為棱CG上任意一點(diǎn)，則07=2西=2麴，0<2<1,

.-.2A7-5C=（^C+CM）-AD=（A8+2D+/IZ^）-2D=O+2D2+0=1.

故答案為：1.

例22.（2023?江蘇鹽城?高二江蘇省響水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）平行六面體/2CD-4用GA中，以頂點(diǎn)A為端

點(diǎn)的三條棱長都為1,且兩兩夾角為60。，求西?就的值是.

【答案】1

【解析】由題意得西=茄+而+鶴=15-荔+戴，AC=AB+AD，

則西.%=（而-益+聞?（益+而）=詬2一宿+五益+通■.同

=l-l+lxlxcos60°+lxlxcos60°=1,

故答案為：1.

復(fù)習(xí)材料

D.

例23.（2023?湖南衡陽?高二?？计谀┤鐖D，在直三棱柱48C-中，BBX=3,￡、尸分別為棱AB、

【答案】9

【解析】因?yàn)槠矫鍭8C,/3u平面/3C,則BBJ”，同理可知

所以，麗?函=（或+麴+乖）?函=（g而+函+；福）函

1???21???2

=—BABBi+BB1+—AC?BB、=BB1=9.

2,21

故答案為：9.

例24.（2023?湖北荊州?高二統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，正四面體力-BCD的長為1,CE=^CD,則左.刀=

【答案】1/0.5

［解析］AE-AB=(AC+CEyAB=,+河.方=］就+*_就）］.方

復(fù)習(xí)材料

^-AD-AB+-AC-AB^-xlxlxcos60°+—xlxlxcos60°=—

3

故答案為：y

題型五：利用空間向量的數(shù)量積求兩向量的夾角

例25.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體ABCD—ABCTY中，求向量就分別與向量彳百，瓦？,

而,CD，H萬的夾角?

【解析】連接5。，則在正方體45CD—NEC。中，ACLBD,NB4c=45。,AC=AD,=CD,,

所以(%,而)=(記:15)=45°,

（旅，配7）=180。-①，碼=135。,

國，碼=NZZ4C=60。,

^C,Cr>)=120°,

例26.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）已知空間向量3與B夾角的余弦值為?，且同=0，忖=6,令5=5-1,

n=a+2b-

⑴求心3為鄰邊的平行四邊形的面積S；

（2）求麗,添夾角的余弦值.

【解析】（1）根據(jù)條件，cos（a,b）=

|3|-|6|-sin/5,i\=V2xV3x-----=道;

(2)比?力=(2-

=52+a-6-2&2=2+V2xV3x--2x3=-3

yla2-2a-b+b2=J2—2+3=73，

復(fù)習(xí)材料

a+2b=-2+4+12=372；

73x372-6

例27.（2023?廣東深圳?高二深圳市羅湖外語學(xué)校?？计谀┢叫辛骟w

（1）若N3=4,AD=3,AA'=3,ABAD=90°,ABAA'=60°,ADAA'=60°,求NC'長；

（2）若以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長均為2,且它們彼此的夾角都是60°,則AC與所成角的余弦值.

ULUUUQJ_____?----------9

【解析】⑴/氏/。=0，AB-Z7=4X3XCOS600=6，AD-AA'=3x3xcos60°=-

■：AC'^AB+AD+AA'，

2

，西［=四2+|2O|+^4A'^+2AB-AD+2AB-AA'+2AD-AA'

=16+9+9+0+12+9=55,

（2.y：AC^JB+AD，BD'=AD'-AB=AA'+AD-AB>

.?.就?初=（次+石）―（2?+翔-荏）在『+而.2?+|而『=2x2x2xcos60°=4,

I12I?12I，?12I12

V\AC\=網(wǎng)+曲=M+2AB-AD+\AD\=22+2x2x2xcos600+22=12,

V=^AA'+AD-AB^=^AA'^+^AD^+^AB^+2AA'-AD-2.AA'-AB-2AD-AB=3x22-2x2x2xcos60°

=8,Z.\BD'\=2V2,

設(shè)/C與8〃所成的角為0,則cose=k°s（就，而=476

明.網(wǎng)—232016

例28.（2023?重慶江津?高二重慶市江津中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行六面體/8C。-44GA中，以

頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長度都為1,且兩兩夾角為60。.求：

復(fù)習(xí)材料

(2)西與就夾角的余弦值.

【解析】⑴記益=￡，AD=b,AAx=c,則忖=W='|=1,<a^b>=<b,c>=<Q,c>=60。,

a-b=b-c=a-c=—

2

「第2印(

:.\ACI=(a+b+c+a+2a-b+b-c+a-c=3+2x—=6,

X2

.?■|^c；|=V6,即/G的長為";

(2)???AD]=b+c-a,AC=a+b，

2

|阿明川+問+2師一—=3—1=2,阿=W+W+27Z=3,

.?J西卜亞,AC=5

--?---/——?一、/-?|-?|2I-?|2一一?—?—?

yi^BDxAC=\b+c-a\'\a+b\=^\-\a\+b'C+a-c=1,

1_V|即西與就夾角的余弦值為骼.

/.cos<BD、,AC

^2x^36'

題型六：利用空間向量的數(shù)量積求線段的長度

例29.(2023?遼寧沈陽?高二新民市第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí))如圖所示，平行六面體/BCD-4片G。中,

AB=1,AD=2,AAt=3,ABAD=90°,/-BAAX=ADAA,=60°,求的長.

,這三個(gè)向量不共面，｛扇區(qū)可構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則

Aq=AB+BC+CQ=AB+AD+Z^.

復(fù)習(xí)材料

】

又AB=1,AD=2,AAX=3,/BAD=90°,/BAA=ZDAAl=60°.

函卜陛+而+詞="刀+15+詞2

=、

AB+AD+AAX+2AB-AD+2AB-AA.+2AD-AA,

=J詞+⑷2+畫z+2畫.|畫cos90。+2畫.陽cos60°+2⑷.研cos60°

=A/12+22+32+2xlx2xcos900+2xlx3xcos60°+2x2x3xcos60°

=71+4+9+3+6=723.

故答案為：V23

例30.（2023?湖北咸寧?高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行六面體中，48=4,40=3,

AA'=5,ZBAD=90°,ZBAA'=ZDAA'=60°.求：

WAA'-AB

（2）NC的長.

【解析】（1）2??萬=|Z?H1^COS/H/B=5X4X；=10.

（2>.-AC'^AC+CC'=A^+AD+AA'，

AC=^AB+AD+AArJ=AB+AD+AAr+2AB-AD+2AB-AA9+2AD-AA9

=16+9+25+0+2x4x5x—+2x3x5x—=85,

22

「J而卜府，即4。'的長為庖.

例3L（2023?江蘇淮安?高二洪澤湖高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行六面體43CQ-44G2中,

】

AB=4,AD=3,AAX=5,/BAD=90°NBAA=ZDAA[=60°.求：

AB

復(fù)習(xí)材料

(2)48］的長;

(3)/G的長.

【解析】(1)由向量的數(shù)量積的概念，可得可■萬=|您，益kosN4/2=5x4x；=10.

(2)因?yàn)锳Bl-AAX+=AAX+AB,

所以網(wǎng)=J(Z^+萬>=jW+^+2蝠萬=J25+16+2O=M，

即4月的長為質(zhì).

——?—>15—,—?

(3)以為44?4D=5x3xcos60°=耳,皿4B=3x4cos90。=0,

22

所以西卜由+而+西=J(您+而+IW=^11"+AD+AB+2AAl-AD+-2AAcAB+2AD-AB

=^52+32+42+2xl0+2xy+2x0=V85.

例32.(2023?河北唐山?高二灤南縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))如圖1,48C。是平行四邊形，AB=AC=\,

//CD=90°.如圖2,把平行四邊形沿對(duì)角線/C折起，使與C。成60°角，求8。的長.

【解析】ZACD=90°,四邊形23。為平行四邊形，.?.NA4C=90°,

:.AC-CD=0>BA-AC=0;

48與C。成60°角，.?.<茄，函>=60°或120°；

I-----?12I-------?--------------12I-----?12I---------12I------?12------------------?------?------?-------

\BD\=\BA+AC+CD\=畫+|yic|+|cn|+2BA-AC+1BA-CD+2AC-CD

3+2|53||CS|COS<A4,C5>=3+2COS<A4,CZ)>；

當(dāng)〈函，麗>=60。時(shí)，I而『=4,解得：|布卜2；

—,_,._,IUUUI

當(dāng)<A4,CD>=120。時(shí)，|叫2=2,解得：㈣=：2；

二.龍)的長為2或也.

例33.(2023,高二課時(shí)練習(xí))如圖，已知平行六面體48cz)—中，AAX=3,AB=2,AD=4,

/BAD=/BAA】=/DAA、=60。,求4G的長.

復(fù)習(xí)材料

【解析】在平行六面體/BCD—44。］。］中，AC1=AB+AD+CCX-AB+AD+AAX.

所以為2=（方+石+河2

-?2?2.2????

=AB+AD+44+2AB-AD+2AB?AAX+2AA,?AD

-22+42+32+2X2X4XCOS60°+2x2x3xcos60°+2x3x4xcos60°

=55.

所以I阿卜卮

題型七：利用空間向量的數(shù)量積證垂直

例34.（2023?山東泰安,IWJ二統(tǒng)考期中）如圖，在平行六面體48cz）-4圈。］。中，AB=AD=4,AAX=5,

/DAB=/BAA=/DA%=60。,M,N分別為QG，。出1中點(diǎn).

⑴求NG的長；

（2）證明：MN1AQ.

【解析】（1）設(shè)Z3=a,AD=b，A,AX-c,則卜|=忖=4,卜|=5,a.b=8，a'c=b'c=10

uuirUUUDumririr

MN=MCi+CiN=-a--b

AQ=AB+BC+Cq=a+b+c.

uunJrr、2

因?yàn)?d2=\a+b+c\

r2「2「2/「「「「「八

=a+b+c+2a?b+b?c+c?Q

復(fù)習(xí)材料

222

=4+4+5+2(8+10+10)

=113,

所以/G=ViE

unrunr(\rir\,xrr

(2)證明：因?yàn)镸V.4G}(Q+b+c)x

1r2ir2rjr2irr

=—a+—ca——b——b'C

2222

1111

=-X429+-X10——x472——xlO

2222

二0,

所以

例35.(2023?高二課時(shí)練習(xí))如圖，四棱錐尸-43CZ)的各棱長都為

⑴用向量法證明PC;

⑵求I就+^I的值.

【解析】（1）證明：設(shè)/c、BD交于點(diǎn)、O,連接尸O,如圖所示;

四棱錐P-A8CZ）中，AB=BC=CD=DA=a,

二四邊形/3CD是菱形，

J.BDLAC,且。/=OC,即而，區(qū)，麗.能=0；

又PB=PD=a,：.POLBD,即茄，而，麗.麗=0,

55(PO+OC)=0,即麗.京=0,

復(fù)習(xí)材料

：.BD±PC,BPBDLPC；

(2)根據(jù)題意，四棱錐尸-45。。是棱長相等的正四棱錐，且45=〃，

???頂點(diǎn)P在底面的射影是正方形ABCD的中心O,

6

在中，PC=a,OC=-a

2f

萬

：.OP^OC=—a,

2

_4

：.ZACP=<CP，CA>=<AC>PC>=~，

4

/.(1C+PC)2=AC2+2AC?PC+PC2-(V2a)2+2x72a><axcos^+a2^5a2；

■'■\AC+PC\=45a.

例36.(2023?福建三明?高二福建省尤溪第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試)如圖，在正三棱柱/8C-44G中，底面

V/BC的邊長為血.

(1)設(shè)側(cè)棱長為1，試用向量法證明：4BJBG；

(2)設(shè)/片與3G的夾角為?，求側(cè)棱的長.

【解析】(1)證明：AB^AB+JB^BC^BB.+BC,

因?yàn)開L平面48C,所以函.在=0,BBlBC=0,

又因?yàn)閂/3C為正三角形，

所以〈方，灰;>="一(耳2,及;>="一。=等，

所以福?苑=(萬+函)?(兩+而)

2

=ABBB}+ABBC+BBi+BBi-BC

=|甌.|就|cos(麗瑟>+就=-1+1=0,

所以福48I，8CI；

⑵由⑴知葩■?用=|益/就I.COSVN^AQA+^M^-I.

復(fù)習(xí)材料

----------BB1

所以cos<AB,,BCX>=j,

2+BB；2

所以|西|=2,即側(cè)棱的長為2.

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.（2023?山東濱州?高二統(tǒng)考期末）如圖，二面角/-EF-C的大小為45。，四邊形/5FECDEF都是邊長

為1的正方形，則8、。兩點(diǎn)間的距離是（）

A.72B.V3C.-&D.,3+北

【答案】C

【解析】因?yàn)樗倪呅?8尸￡、斯都是邊長為1的正方形，則/E_LEF,DE±EF,

又因?yàn)槎娼?-EP-C的大小為45。,即/血＞=45。，則侔，麗）=45。,

因?yàn)辂?瓦+或+方=或-麗+方，由圖易知刀_L或，刀_1麗,

-2?2-2——???

所以，麗+ED+AB'-2EA-ED+1EA-AB-2ED-AB

=A/1+1+1-2X1X1XCOS450+0-0=73-72.

故選：C.

2.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）平行六面體/BCD-48'。。中，AB=4,AD=3,AA'=5,ABAD90°,

ZBAA'=ZDAA'^60°,則的長為（）

A.10B.C.V61D.屈

【答案】B

【解析】如圖，

復(fù)習(xí)材料

由題知，方2=16,而2=9,五/=25,

AB-A