2023年廣州初中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)

第一章實數(shù)

考點一、實數(shù)的概念及分類（3分）

1.實數(shù)的分類

r正有理數(shù)、

r有理數(shù)匚零」有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)

實數(shù)負(fù)有理數(shù)

r正無理數(shù)'

無理數(shù)J」無限不循環(huán)小數(shù)

負(fù)無理數(shù)

2.無理數(shù)

在理解無理數(shù)時，要抓住“無限不循環(huán)”這一時之，歸納起來有四類：

（1）開方開不盡時數(shù)，如等；

（2）有特定意義的數(shù)，如圓周率?或化簡后具有”的數(shù)，如+8等；

（3）有特定構(gòu)造的數(shù)，如。.…等；

（4）某些三角函數(shù),如sin60o等

考點二、實數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對值（3分）

1.相反數(shù)

實數(shù)與它的相反數(shù)時一對數(shù)（只有符號不一樣的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零），從數(shù)軸

上看，互為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應(yīng)的點有關(guān)原點對稱，假如a與b互為相反數(shù)，則有a+b=O,a=—b,反之亦

成立。

2.絕對值

一種數(shù)的絕對值就是表達(dá)這個數(shù)時點與原點的距離，|a|^0o零的絕對值時它自身，也可當(dāng)作它的相反

數(shù)，若|a|=a,則a》0；若|a|=-a,則aWO。正數(shù)不小于零，負(fù)數(shù)不不小于零，正數(shù)不小于一切負(fù)數(shù)，兩個負(fù)數(shù),

絕對值大的反而小。

3、倒數(shù)

假如a與b互為倒數(shù)，則有ab=l,反之亦成立。倒數(shù)等于自身時數(shù)是1和-1。零沒有倒數(shù)。

考點三、平方根、算數(shù)平方根和立方根（3—10分）

L平方根

假如一種數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)就叫做a的平方根（或二次方跟）。

一種數(shù)有兩個平方根，他們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根。

正數(shù)a的平方根記做“土，

2.算術(shù)平方根

正數(shù)a的正時平方根叫做a的算術(shù)平方根，記作“

正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一種，零的算術(shù)平方根是零。

<a（a>0）廠4a>0

J；注意的雙重非負(fù)用:：

°-a（。<0）?>0

3.立方根

假如一種數(shù)的立方等于a,那么這個數(shù)就叫做a時立方根（或a的三次方根）。

一種正數(shù)有一種正的立方根；一種負(fù)數(shù)有一種負(fù)的立方根；零的立方根是零。

注意：，這闡明三次根號內(nèi)的負(fù)號可以移到根號外面。

考點四、科學(xué)記數(shù)法和近似數(shù)（3—6分）

1.有效數(shù)字

一種近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說它精確到哪一位，這時，從左邊第一種不是零的數(shù)字起到右邊精

確的數(shù)位止的所有數(shù)字，都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。

2.科學(xué)記數(shù)法

把一種數(shù)寫做的形式，其中，n是整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法。

考點五、實數(shù)大小的比較（3分）

1、數(shù)軸

規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸（畫數(shù)軸時，要注意上述規(guī)定的三要素缺一不可）。

解題時要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實數(shù)與數(shù)軸時點是一一對應(yīng)的，并能靈活運用。

2.實數(shù)大小比較的幾種常用措施

（1）數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表達(dá)的兩個數(shù)，右邊時數(shù)總比左邊時數(shù)大。

（2）求差比較：設(shè)a、b是實數(shù)，

a-b>0oa>反

a-b=Qoa=b,

a-b<O<^a<b

（3）求商比較法：設(shè)a、b是兩正實數(shù)，

（4）絕對值比較法：設(shè)a、b是兩負(fù)實數(shù)，則。

（5）平措施：設(shè)a、b是兩負(fù)實數(shù)，則。

考點六、實數(shù)的運算（做題的基礎(chǔ)，分值相稱大）

1.加法互換律

2.加法結(jié)合律

3.乘法互換律

4.乘法結(jié)合律

5.乘法對加法的分派律

6.實數(shù)的運算次序

先算乘方，再算乘除，最終算加減，假如有括號，就先算括號里面的。

第二章代數(shù)式

考點一、整式的有關(guān)概念（3分）

1.代數(shù)式

用運算符號把數(shù)或表達(dá)數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。單獨的一種數(shù)或一種字母也是代數(shù)式。

2.單項式

只具有數(shù)字與字母的積時代數(shù)式叫做單項式。

注意：單項式是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)構(gòu)成的，其中系數(shù)不能用帶分?jǐn)?shù)表達(dá)，如，這種表達(dá)就是錯誤

日勺，應(yīng)寫成。一種單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)。如是6次單項式。

考點二、多項式（11分）

1.多項式

幾種單項式附和叫做多項式。其中每個單項式叫做這個多項式的項。多項式中不含字母的項叫做常數(shù)

項。多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù)。

單項式和多項式統(tǒng)稱整式。

用數(shù)值替代代數(shù)式中的字母，按照代數(shù)式指明的運算，計算出成果，叫做代數(shù)式的值。

注意：（1）求代數(shù)式時值，一般是先將代數(shù)式化簡，然后再將字母的取值代入。

（2）求代數(shù)式時值，有時求不出其字母的值，需要運用技巧，“整體”代入。

2.同類項

所有字母相似，并且相似字母的指數(shù)也分別相似的項叫做同類項。幾種常數(shù)項也是同類項。

3.去括號法則

（1）括號前是“+”，把括號和它前面的“+”號一起去掉，括號里各項都不變號。

（2）括號前是“-”，把括號和它前面的“-”號一起去掉，括號里各項都變號。

4.整式的運算法則

整式附加減法：（1）去括號；（2）合并同類項。

整式的I乘法：

（〃"）〃=/〃（私”都是正整數(shù)）

（"）"=a*'（〃都是正整數(shù)）

（?+/?）（?-/?）=a?一〃

（a+b）?—ct~+2ab+

（a-1））?-a1-lab+b2

整式的除法：

注意：（1）單項式乘單項式的成果仍然是單項式。

（2）單項式與多項式相乘，成果是一種多項式，其項數(shù)與因式中多項式的項數(shù)相似。

（3）計算時要注意符號問題，多項式的每一項都包括它前面的符號，同步還要注意單項式的符

號。

（4）多項式與多項式相乘時展開式中，有同類項時要合并同類項。

(5)公式中的字母可以表達(dá)數(shù)，也可以表達(dá)單項式或多項式。

(6)a°=l(aw0);4一"=—!—(aH0,p為正整數(shù))

ap，

(7)多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加，單項式除以多項

式是不能這樣計算的。

考點三、因式分解(11分)

1.因式分解

把一種多項式化成幾種整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因

式。

2.因式分解的常用措施

(1)提公因式法：

(2)運用公式法：

ci~+2ab+b~—(a+b)?

a~-2ab+b2=(a-b)2

(3)分組分解法：

(4)十字相乘法：

3.因式分解的一般環(huán)節(jié)：

(1)假如多項式的各項有公因式，那么先提取公因式。

(2)在各項提出公因式后來或各項沒有公因式的狀況下，觀測多項式的項數(shù)：2項式可以嘗試運用公

式法分解因式；3項式可以嘗試運用公式法、十字相乘法分解因式；4項式及4項式以上的可以嘗試分組

分解法分解因式

(3)分解因式必須分解到每一種因式都不能再分解為止。

考點四、分式(8~10分)

1.分式歐I概念

一般地，用A.B表達(dá)兩個整式,A+B就可以表到達(dá)的形式，假如B中具有字母，式子就叫做分式。

其中,A叫做分式的分子,B叫做分式的分母。分式和整式通稱為有理式。

2.分式的性質(zhì)

(1)分式的基本性質(zhì)：

分式的分子和分母都乘以(或除以)同一種不等于零的整式，分式時值不變。

(2)分式的變號法則：

分式的分子、分母與分式自身的符號，變化其中任何兩個，分式的值不變。

3.分式的運算法則

ac_acac_ad_ad

bdbdbdbcbe

(9=「(〃為整數(shù))；

a,ba±b

一±一=-----；

ccc

acad±bc

—ztt—-----------

bdbd

考點五、二次根式(初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，分值很大)

1.二次根式

式子叫做二次根式，二次根式必須滿足：具有二次根號“”；被開方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)。

2.最簡二次根式

若二次根式滿足：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，這

樣的二次根式叫做最簡二次根式。

化二次根式為最簡二次根式的措施和環(huán)節(jié)：

(1)假如被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)(包括小數(shù))或分式，先運用商的算數(shù)平方根的性質(zhì)把它寫成分式的形式，然

后運用分母有理化進(jìn)行化簡。

(2)假如被開方數(shù)是整數(shù)或整式，先將他們分解因數(shù)或因式，然后把能開得盡方的因數(shù)或因式開出

來。

3.同類二次根式

幾種二次根式化成最簡二次根式后來，假如被開方數(shù)相似，這幾種二次根式叫做同類二次根式。

4.二次根式的性質(zhì)

(1)(V0)2=a(a>0)

廠a(a>0)

乂

-a(a<0)

(3)4ab=4a?VK(?>0,b>0)

(4)>0,Z?>0)

5.二次根式混合運算

二次根式的混合運算與實數(shù)中的運算次序同樣，先乘方，再乘除，最終加減，有括號的先算括號里的

（或先去括號）。

第三章方程（組）

考點一、一元一次方程的概念（6分）

1、方程

具有未知數(shù)的等式叫做方程。

2.方程的解

能使方程兩邊相等的未知數(shù)時值叫做方程的解。

3.等式的性質(zhì)

（1）等式的兩邊都加上（或減去）同一種數(shù)或同一種整式，所得成果仍是等式。

（2）等式的兩邊都乘以（或除以）同一種數(shù)（除數(shù)不能是零），所得成果仍是等式。

4.一元一次方程

只具有一種未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1時整式方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次

方程的原則形式,a是未知數(shù)x的系數(shù),b是常數(shù)項。

考點二、一元二次方程（6分）

1.一元二次方程

具有一種未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2時整式方程叫做一元二次方程。

2.一元二次方程的一般形式

,它的特性是：等式左邊十一種有關(guān)未知數(shù)x的二次多項式，等式右邊是零，其中叫做二次項,a叫做二

次項系數(shù)；bx叫做一次項,b叫做一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)項。

考點三、一元二次方程的解法（10分）

1.直接開平措施

運用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的措施叫做直接開平措施。直接開平措施合用于解

形如的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，是b的平方根，當(dāng)時，,，當(dāng)b<0時，方程沒有實數(shù)

根。

2.配措施

配措施是一種重要的數(shù)學(xué)措施，它不僅在解一元二次方程上有所應(yīng)用，并且在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域也有著

廣泛的應(yīng)用。配措施的理論根據(jù)是完全平方公式，把公式中的a看做未知數(shù)x,并用x替代，則有。

3.公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的措施，它是解一元二次方程的一般措施。

一元二次方程的求根公式：

-b+-4ac、

x=----------（b2-4Aac>0）

2a

4.因式分解法

因式分解法就是運用因式分解的手段，求出方程的解的措施，這種措施簡樸易行，是解一元二次方程最常

用的措施。

考點四、一元二次方程根的鑒別式（3分）

根的鑒別式

一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的鑒別式，一般用“”來表達(dá)，即

考點五、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（3分）

假如方程的兩個實數(shù)根是，那么，。也就是說，對于任何一種有實數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等

于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商。

考點六、分式方程（8分）

1.分式方程

分母里具有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

2.分式方程的一般措施

解分式方程的思想是將“分式方程”轉(zhuǎn)化為“整式方程”。它的一般解法是：

（1）去分母，方程兩邊都乘以最簡公分母

（2）解所得的整式方程

（3）驗根：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，應(yīng)當(dāng)舍去；若不等于零，就是原方程的

根。

3.分式方程的特殊解法

換元法：

換元法是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一種重要的數(shù)學(xué)思想，其應(yīng)用非常廣泛，當(dāng)分式方程具有某種特殊形式，一般的去

分母不易處理時，可考慮用換元法。

考點七、二元一次方程組（8~10分）

1.二元一次方程

具有兩個未知數(shù)，并且未知項的最高次數(shù)是1時整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是（

2.二元一次方程的解

使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的一種解。

3.二元一次方程組

兩個（或兩個以上）二元一次方程合在一起，就構(gòu)成了一種二元一次方程組。

4二元一次方程組的解

使二元一次方程組的兩個方程左右兩邊時值都相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程組的解。

5.二元一次方正組的解法

（1）代入法（2）加減法

6.三元一次方程

把具有三個未知數(shù)，并且具有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程。

7、三元一次方程組

由三個（或三個以上）一次方程構(gòu)成，并且具有三個未知數(shù)的方程組，叫做三元一次方程組。

第四章不等式（組）

考點一、不等式的概念（3分）

1.不等式

用不等號表達(dá)不等關(guān)系日勺式子，叫做不等式。

2.不等式的解集

對于一種具有未知數(shù)的不等式，任何一種適合這個不等式的未知數(shù)的值，都叫做這個不等式的解。

對于一種具有未知數(shù)的不等式，它的所有解的集合叫做這個不等式的解的集合，簡稱這個不等式的解

集。

求不等式的解集的過程，叫做解不等式。

3.用數(shù)軸表達(dá)不等式的措施

考點二、不等式基本性質(zhì)（3~5分）

1.不等式兩邊都加上（或減去）同一種數(shù)或同一種整式，不等號的方向不變。

2、不等式兩邊都乘以（或除以）同一種正數(shù)，不等號的方向不變。

3.不等式兩邊都乘以（或除以）同一種負(fù)數(shù)，不等號的方向變化。

考試題型：

考點三、一元一次不等式（6~8分）

1.一元一次不等式的概念

一般地，不等式中只具有一種未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1,且不等式的兩邊都是整式，這樣的不等式叫

做一元一次不等式。

2.一元一次不等式的解法

解一元一次不等式的一般環(huán)節(jié):

（1）去分母（2）去括號（3）移項（4）合并同類項（5）將x項的系數(shù)化為1

考點四、一元一次不等式組（8分）

1.一元一次不等式組的概念

幾種一元一次不等式合在一起，就構(gòu)成了一種一元一次不等式組。

幾種一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所構(gòu)成的一元一次不等式組日勺解集。

求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。

當(dāng)任何數(shù)x都不能使不等式同步成立，我們就說這個不等式組無解或其解為空集。

2.一元一次不等式組的解法

（1）分別求出不等式組中各個不等式的解集

（2）運用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組日勺解集。

第五章記錄初步與概率初步

考點一、平均數(shù)（3分）

1.平均數(shù)的概念

（1）平均數(shù)：一般地，假如有n個數(shù)那么，叫做這n個數(shù)的平均數(shù)，讀作“x拔”。

（2）加權(quán)平均數(shù)：假如n個數(shù)中，出現(xiàn)次，出現(xiàn)次，…，出現(xiàn)次（這里），那么，根據(jù)平

均數(shù)的定義，這n個數(shù)的平均數(shù)可以表達(dá)為，這樣求得的平均數(shù)叫做加權(quán)平均數(shù)，其中叫做權(quán)。

2.平均數(shù)的計算措施

（1）定義法

當(dāng)所給數(shù)據(jù)比較分散時，一般選用定義公式：

（2）加權(quán)平均數(shù)法:

當(dāng)所給數(shù)據(jù)反復(fù)出現(xiàn)時，一般選用加權(quán)平均數(shù)公式：，其中。

（3）新數(shù)據(jù)法：

當(dāng)所給數(shù)據(jù)都在某一常數(shù)a的上下波動時，一般選用簡化公式：。

其中，常數(shù)a一般取靠近這組數(shù)據(jù)平均數(shù)的較“整”的數(shù)，,，…，o是新數(shù)據(jù)的平均數(shù)（一般把叫

做原數(shù)據(jù)，叫做新數(shù)據(jù)）。

考點二、記錄學(xué)中的幾種基本概念（4分）

1.總體

所有考察對象的全體叫做總體。

2、個體

總體中每一種考察對象叫做個體。

3、樣本

從總體中所抽取的一部分個體叫做總體的一種樣本。

4.樣本容量

樣本中個體的數(shù)目叫做樣本容量。

5.樣本平均數(shù)

樣本中所有個體的平均數(shù)叫做樣本平均數(shù)。

6.總體平均數(shù)

總體中所有個體的平均數(shù)叫做總體平均數(shù)，在記錄中，一般用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)。

考點三、眾數(shù)、中位數(shù)（3~5分）

1.眾數(shù)

在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

2.中位數(shù)

將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一種數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)

日勺中位數(shù)。

考點四、方差（3分）

1.方差的概念

在一組數(shù)據(jù)中，各數(shù)據(jù)與它們?nèi)丈灼骄鶖?shù)的差的平方的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的方差。一般用“”

表達(dá)，即

1___

S2=—[(.—X)2+(%2—%)2+,，?~卜(居—X)2]

n一

2.方差的計算

(1)基本公式：

I__-

S2=—[(.—X)2+(%2—%)2+,,,+(無〃—X)2]

n

(2)簡化計算公式(I):

§2=—[(%；+%2+,,,+%:)—HX]

n

1—2

也可寫成/=_?；+考+…

n

此公式的記憶措施是：方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方。

(3)簡化計算公式(II):

1—2

52=—[(引+右+…+⑹)—"X']

n

當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的數(shù)據(jù)較大時，可以根據(jù)簡化平均數(shù)的計算措施，將每個數(shù)據(jù)同步減去一種與它們的平

均數(shù)靠近時常數(shù)a,得到一組新數(shù)據(jù)，，…，,那么，

此公式的記憶措施是：方差等于新數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去新數(shù)據(jù)平均數(shù)的平方。

(4)新數(shù)據(jù)法：

原數(shù)據(jù)的方差與新數(shù)據(jù)，，…，時方差相等，也就是說，根據(jù)方差的基本公式，求得日勺方差就

等于原數(shù)據(jù)的方差。

3.原則差

方差的算數(shù)平方根叫做這組數(shù)據(jù)的原則差，用“s”表達(dá)，即

s—22

Js"=J—[(%]—x)+(x2-%)'+,,■+(x?—x)]

\n

考點五、頻率分布(6分)

1.頻率分布的意義

在許多問題中，只懂得平均數(shù)和方差還不夠，還需要懂得樣本中數(shù)據(jù)在各個小范圍所占的比例的大小,

這就需要研究怎樣對一組數(shù)據(jù)進(jìn)行整頓，以便得到它的頻率分布。

2.研究頻率分布的一般環(huán)節(jié)及有關(guān)概念

(1)研究樣本的頻率分布的一般環(huán)節(jié)是:

①計算極差（最大值與最小值的差）

②決定組距與組數(shù)

③決定分點

④列頻率分布表

⑤畫頻率分布直方圖

（2）頻率分布的有關(guān)概念

①極差：最大值與最小值的差

②頻數(shù)：落在各個小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個數(shù)

③頻率：每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)（樣本容量n）的比值叫做這一小組的頻率。

考點六、確定事件和隨機事件（3分）

1.確定事件

必然發(fā)生的事件：在一定的條件下反復(fù)進(jìn)行試驗時，在每次試驗中必然會發(fā)生的事件。

不也許發(fā)生的事件：有的事件在每次試驗中都不會發(fā)生，這樣的事件叫做不也許的事件。

2.隨機事件：

在一定條件下，也許發(fā)生也也許不放聲的事件，稱為隨機事件。

考點七、隨機事件發(fā)生的也許性（3分）

一般地，隨機事件發(fā)生的也許性是有大小的，不一樣的隨機事件發(fā)生時也許性的大小有也許不一樣。

對隨機事件發(fā)生時也許性的大小，我們運用反復(fù)試驗所獲取一定的經(jīng)驗數(shù)據(jù)可以預(yù)測它們發(fā)生機會的大

小。要評判某些游戲規(guī)則對參與游戲者與否公平，就是看它們發(fā)生時也許性與否同樣。所謂判斷事件也許

性與否相似，就是要看各事件發(fā)生時也許性的大小與否同樣，用數(shù)據(jù)來闡明問題。

考點八、概率的意義與表達(dá)措施（5~6分）

1.概率的意義

一般地，在大量反復(fù)試驗中，假如事件A發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么這個常數(shù)p就叫

做事件A的概率。

2.事件和概率日勺表達(dá)措施

一般地，事件用英文大寫字母A,B,C,…，表達(dá)事件A的概率p,可記為P（A）=P

考點九、確定事件和隨機事件的I概率之間的關(guān)系(3分)

1.確定事件概率

(1)當(dāng)A是必然發(fā)生的事件時,P(A)=1

(2)當(dāng)A是不也許發(fā)生的事件時,P(A)=0

2.確定事件和隨機事件的概率之間日勺關(guān)系

事件發(fā)生時也許性越來越小

?-----------------------

01概率時值

II

不也許發(fā)生》必然發(fā)生

事件發(fā)生的也許性越來越大

考點十、古典概型(3分)

1.古典概型的定義

某個試驗若具有：①在一次試驗中，也許出現(xiàn)的構(gòu)造有有限多種；②在一次試驗中，多種成果發(fā)生的

也許性相等。我們把具有這兩個特點的試驗稱為古典概型。

2.古典概型的概率的求法

一般地，假如在一次試驗中，有n種也許的成果，并且它們發(fā)生的也許性都相等，事件A包括其中的m中

成果，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)=

考點十一、列表法求概率(10分)

1.列表法

用列出表格的措施來分析和求解某些事件的概率的措施叫做列表法。

2.列表法的應(yīng)用場所

當(dāng)一次試驗要設(shè)計兩個原因，并且也許出現(xiàn)的成果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有也許的成果，一般

米用列表法。

考點十二、樹狀圖法求概率(10分)

1.樹狀圖法

就是通過列樹狀圖列出某事件時所有也許的成果，求出其概率的措施叫做樹狀圖法。

2.運用樹狀圖法求概率的條件

當(dāng)一次試驗要設(shè)計三個或更多的原因時，用列表法就不以便了，為了不重不漏地列出所有也許的成果，一

般采用樹狀圖法求概率。

考點十三、運用頻率估計概率（8分）

1.運用頻率估計概率

在同樣條件下，做大量的反復(fù)試驗，運用一種隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到某個常數(shù)，可以估計這

個事件發(fā)生的概率。

2、在記錄學(xué)中，常用較為簡樸的試驗措施替代實際操作中復(fù)雜的試驗來完畢概率估計，這樣的試驗稱

為模擬試驗。

3.隨機數(shù)

在隨機事件中，需要用大量反復(fù)試驗產(chǎn)生一串隨機的數(shù)據(jù)來開展記錄工作。把這些隨機產(chǎn)生的數(shù)據(jù)稱為隨

機數(shù)。

第六章一次函數(shù)與反比例函數(shù)

考點一、平面直角坐標(biāo)系（3分）

1.平面直角坐標(biāo)系

在平面內(nèi)畫兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸，就構(gòu)成了平面直角坐標(biāo)系。

其中，水平的數(shù)軸叫做X軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；

兩軸的交點O(即公共的原點)叫做直角坐標(biāo)系的原點；建立了直角坐標(biāo)系的平面，叫做坐標(biāo)平面。

為了便于描述坐標(biāo)平面內(nèi)點的位置，把坐標(biāo)平面被x軸和y軸分割而成的四個部分，分別叫做第一象

限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x軸和y軸上的點，不屬于任何象限。

2.點的坐標(biāo)的概念

點的坐標(biāo)用(a,b)表達(dá)，另一方面序是橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后，中間有“，”分開，橫、縱坐標(biāo)的位置不

能顛倒。平面內(nèi)點的I坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)對，當(dāng)時，(a,b)和(b,a)是兩個不一樣點的坐標(biāo)。

考點二、不一樣位置的點的坐標(biāo)的特性(3分)

1.各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的特性

點P(x,y)在第一象限Ox>0,y>0

點P(x,y)在第二象限Ox<0,y>0

點P(x,y)在第三象限O無<0,y<0

點P(x,y)在第四象限OX>0,y<0

2.坐標(biāo)軸上時點的特性

點P(x,y)在x軸上，x為任意實數(shù)

點P(x,y)在y軸上,y為任意實數(shù)

點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上x,y同步為零，即點P坐標(biāo)為(0,0)

3.兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上點的坐標(biāo)的特性

點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上Ox與y相等

點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上Ox與y互為相反數(shù)

4.和坐標(biāo)軸平行的直線上點時坐標(biāo)的特性

位于平行于x軸的直線上日勺各點時縱坐標(biāo)相似。

位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標(biāo)相似。

5.有關(guān)x軸、y軸或遠(yuǎn)點對稱的點的坐標(biāo)的特性

點P與點p'有關(guān)x軸對稱橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)

點P與點P'有關(guān)y軸對稱縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)

點P與點p'有關(guān)原點對稱o橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)

6.點到坐標(biāo)軸及原點的距離

點P(x,y)到坐標(biāo)軸及原點的距離：

(1)點P(x,y)到x軸的距離等于N

(2)點P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于同

(3)點P(x,y)到原點時距離等于J%?+自

考點三、函數(shù)及其有關(guān)概念(3~8分)

1.變量與常量

在某一變化過程中，可以取不一樣數(shù)值的量叫做變量，數(shù)值保持不變的量叫做常量。

一般地，在某一變化過程中有兩個變量x與y,假如對于x的每一種值，y均有唯一確定的值與它對應(yīng),

那么就說x是自變量,y是x的函數(shù)。

2.函數(shù)解析式

用來表達(dá)函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式。

使函數(shù)故意義的自變量日勺取值的全體，叫做自變量的取值范圍。

3.函數(shù)的三種表達(dá)法及其優(yōu)缺陷

(1)解析法

兩個變量間的函數(shù)關(guān)系，有時可以用一種具有這兩個變量及數(shù)字運算符號的等式表達(dá)，這種表達(dá)法叫

做解析法。

(2)列表法

把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對應(yīng)值列成一種表來表達(dá)函數(shù)關(guān)系，這種表達(dá)法叫做列表法。

(3)圖像法

用圖像表達(dá)函數(shù)關(guān)系的措施叫做圖像法。

4.由函數(shù)解析式畫其圖像的一般環(huán)節(jié)

(1)列表：列表給出自變量與函數(shù)的某些對應(yīng)值

(2)描點：以表中每對對應(yīng)值為坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出對應(yīng)時點

（3）連線：按照自變量由小到大的次序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。

考點四、正比例函數(shù)和一次函數(shù)（3~10分）

1.正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念

一般地，假如（k,b是常數(shù),k0）,那么y叫做x的一次函數(shù)。

尤其地，當(dāng)一次函數(shù)中日勺b為0時，（k為常數(shù),k0）o這時,y叫做x的正比例函數(shù)。

2.一次函數(shù)的I圖像

所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線

3.一次函

數(shù)、正比

例函數(shù)

圖像的

重要特

性：

一次函

數(shù)的

圖像是

通過點

b的J符號函數(shù)圖像圖像特性

（0,b）

日勺直線；

正比例

函數(shù)

的圖像

是通過

原點（0,

0）的直

線。

k的1符號

圖像通過一、二、三象限,y隨x時

b>0增大而增大。

k>0

圖像通過一、三、四象限,y隨x時

b<0增大而增大。

0

y

圖像通過一、二、四象限,y隨x的

b>0L增大而減小

K<0

圖像通過二、三、四象限,y隨x的

b<0jL增大而減小。

1r

注：當(dāng)b=0時，一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例。

4.正比例函數(shù)的I性質(zhì)

一般地，正比例函數(shù)有下列性質(zhì)：

(1)當(dāng)k>0時，圖像通過第一、三象限,y隨x的增大而增大；

(2)當(dāng)k<0時，圖像通過第二、四象限,y隨x的增大而減小。

5.一次函數(shù)的(性質(zhì)

一般地，一次函數(shù)有下列性質(zhì)：

(1)當(dāng)k>0時,y隨x的增大而增大

(2)當(dāng)k<0時,y隨x時增大而減小

6.正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式確實定

確定一種正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式(k0)中時常數(shù)k。確定一種一次函數(shù)，需要確定

一次函數(shù)定義式(k0)中時常數(shù)k和b。解此類問題的一般措施是待定系數(shù)法。

考點五、反比例函數(shù)(3~10分)

1.反比例函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)（k是常數(shù)，k0）叫做反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的解析式也可以寫成日勺形式。自變

量x的取值范圍是X0的一切實數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實數(shù)。

2.反比例函數(shù)的I圖像

反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限，它

們有關(guān)原點對稱。由于反比例函數(shù)中自變量x0,函數(shù)y0,因此，它日勺圖像與x軸、y軸都沒有交點，即

雙曲線的兩個分支無限靠近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸。

3.反比例

函數(shù)的

k

性質(zhì)y=*(4W0)

X

反比例

函數(shù)

k的符號k>0k<0

圖像

①x的取值范圍是X0,①x的I取值范圍是x0,

y的取值范圍是y力0；y的取值范圍是yw0；

性質(zhì)②當(dāng)k>0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別②當(dāng)k<0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別

在第一、三象限。在每個象限內(nèi),y在第二、四象限。在每個象限內(nèi),y

隨x的）增大而減小。隨x的增大而增大。

4.反比例函數(shù)解析式確實定

確定及埃是的措施仍是待定系數(shù)法。由于在反比例函數(shù)中，只有一種待定系數(shù)，因此只需要一對對應(yīng)

值或圖像上的一種點的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式。

5.反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義

如下圖，過反比例函數(shù)圖像上任一點P作x軸、y軸的垂線PM,PN,則所得的矩形PMON的面積

S=PMPN=o

y=xy=k,S=同。

第七章二次函數(shù)

考點一、二次函數(shù)的概念和圖像（3~8分）

1.二次函數(shù)的概念

一般地，假如，那么y叫做x的二次函數(shù)。

y^ax1+以+0（/伉。是常數(shù)，a/0）叫做二次函數(shù)的一般式。

2.二次函數(shù)的I圖像

二次函數(shù)的圖像是一條有關(guān)對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。

拋物線的重要特性：

①有開口方向；②有對稱軸；③有頂點。

3.二次函數(shù)圖像的畫法

五點法：

（1）先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出頂點M,并用虛線畫出對稱軸

（2）求拋物線與坐標(biāo)軸的交點：

當(dāng)拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A,B及拋物線與y軸的交點C,再找到點C的對稱點D。

將這五個點按從左到右的次序連接起來，并向上或向下延伸，就得到二次函數(shù)的圖像。

當(dāng)拋物線與x軸只有一種交點或無交點時，描出拋物線與y軸的交點C及對稱點D。由C、M、D三點可

粗略地畫出二次函數(shù)的草圖。假如需要畫出比較精確的圖像，可再描出一對對稱點A、B,然后順次連接五

點，畫出二次函數(shù)的圖像。

考點二、二次函數(shù)的解析式（10~16分）

二次函數(shù)的解析式有三種形式：

（1）一般式：

（2）頂點式:

(3)當(dāng)拋物線與x軸有交點時，即對應(yīng)二次好方程有實根和存在時，根據(jù)二次三項式的分解因式，

二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。假如沒有交點，則不能這樣表達(dá)。

考點三、二次函數(shù)的最值(10分)

假如自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處獲得最大值(或最小值)，即當(dāng)時,

假如自變量的取值范圍是，那么，首先要看與否在自變量取值范圍內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)x=時,

；若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在范圍內(nèi)的增減性，假如在此范圍內(nèi)，y隨x時增大而增大，則當(dāng)

時，，當(dāng)時，；假如在此范圍內(nèi),y隨x的增大而減小，則當(dāng)時，，當(dāng)時,

考點四、二次函數(shù)的性質(zhì)(6~14分)

1.二

二次函數(shù)

次函

1

數(shù)的y=ax+Zzx+是常數(shù)，Qw0)

性質(zhì)

函數(shù)

a>0a<0

圖像1

(1)拋物線開口向上，并向上無限延伸；(1)拋物線開口向下，并向1下無限延伸；

(2)對稱軸是*=,頂點坐標(biāo)是(，)；(2)對稱軸是*=,頂點坐標(biāo)是(,)；

(3)在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x＜時,y隨x時增大(3)在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x＜時,y隨x時增

而減??；在對稱軸的)右側(cè)，即當(dāng)x＞時，y隨大而增大;在對稱軸日勺右側(cè)，即當(dāng)x＞時,y

X的增大而增大，簡記左減右增；隨X時增大而減小，簡記左增右減；

性質(zhì)(4)拋物線有最低點，當(dāng)x=時,y有最小值，(4)拋物線有最高點，當(dāng)x=時,y有最大值，

bb

(4)拋物線有最低點，當(dāng)*=——時，y有最小(4)拋物線有最高點，當(dāng)x二——時，y有最

2a2a

/上^ac-b~,_^ac-b2

值，＞最小值-而大值，y最大值一4a

2.二次函數(shù)中，的含義:

表達(dá)開口方向：＞0時，拋物線開口向上

＜0時，拋物線開口向下

與對稱軸有關(guān)：對稱軸為*=

表達(dá)拋物線與y軸的交點坐標(biāo)：（0,）

3.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標(biāo)。

因此一元二次方程中的，在二次函數(shù)中表達(dá)圖像與x軸與否有交點。

當(dāng)＞0時，圖像與x軸有兩個交點；

當(dāng)=0時，圖像與x軸有一種交點；

當(dāng)＜0時，圖像與x軸沒有交點。

補充：

1.兩點間距離公式（當(dāng)碰到?jīng)]有思緒的題時，可用此措施拓展思緒，以尋求解題措施）

y八

如圖：點A坐標(biāo)為（xl,yl）點B坐標(biāo)為（x2,y2）

則AB間的距離，即線段AB時長度為A*

---------------------------------------------?

0X

B

2.函數(shù)平移規(guī)律（中考試題中，只占3分，但掌握這個知識點，對提高答題速度有很大協(xié)助，可以大大

節(jié)省做題的I時間）

左加右減、上加下減

第八章圖形日勺初步認(rèn)識

考點一、直線、射線和線段（3分）

1.幾何圖形

從實物中抽象出來的多種圖形，包括立體圖形和平面圖形。

立體圖形：有些幾何圖形的各個部分不都在同一平面內(nèi)，它們是立體圖形。

平面圖形：有些幾何圖形的各個部分都在同一平面內(nèi)，它們是平面圖形。

2.點、線、面、體

（1）幾何圖形的構(gòu)成

點：線和線相交的地方是點，它是幾何圖形中最基本的圖形。

線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線。

面：包圍著體的I是面，分為平面和曲面。

體：幾何體也簡稱體。

（2）點動成線，線動成面，面動成體。

3.直線的概念

一根拉得很緊的線，就給我們以直線的形象，直線是直的，并且是向兩方無限延伸的。

4.射線的概念

直線上一點和它一旁的部分叫做射線。這個點叫做射線的端點。

5.線段的概念

直線上兩個點和它們之間的部分叫做線段。這兩個點叫做線段的端點。

6.點、直線、射線和線段日勺表達(dá)

在幾何里，我們常用字母表達(dá)圖形。

一種點可以用一種大寫字母表達(dá)。

一條直線可以用一種小寫字母表達(dá)。

一條射線可以用端點和射線上另一點來表達(dá)。

一條線段可用它的端點的兩個大寫字母來表達(dá)。

注意：

(1)表達(dá)點、直線、射線、線段時，都要在字母前面注明點、直線、射線、線段。

(2)直線和射線無長度，線段有長度。

(3)直線無端點，射線有一種端點，線段有兩個端點。

(4)點和直線的位置關(guān)系有線面兩種：

①點在直線上，或者說直線通過這個點。

②點在直線外，或者說直線不通過這個點。

7、直線的性質(zhì)

(1)直線公理：通過兩個點有一條直線，并且只有一條直線。它可以簡樸地說成：過兩點有且只有一

條直線。

(2)過一點的直線有無數(shù)條。

(3)直線是是向兩方面無限延伸的，無端點，不可度量，不能比較大小。

(4)直線上有無窮多種點。

(5)兩條不一樣的直線至多有一種公共點。

8、線段的性質(zhì)

(1)線段公理：所有連接兩點的線中，線段最短。也可簡樸說成：兩點之間線段最短。

(2)連接兩點的線段的長度，叫做這兩點的距離。

(3)線段的中點到兩端點的距離相等。

(4)線段的大小關(guān)系和它們的長度的大小關(guān)系是一致的。

9、線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理

垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線。

線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上時點和這條線段兩個端點的距離相等。

逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

考點二、角（3分）

L角的有關(guān)概念

有公共端點的兩條射線構(gòu)成的圖形叫做角，這個公共端點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊。

當(dāng)角的兩邊在一條直線上時，構(gòu)成的角叫做平角。

平角的二分之一叫做直角；不不小于直角的角叫做銳角；不小于直角且不不小于平角的I角叫做鈍角。

假如兩個角附和是一種直角，那么這兩個角叫做互為余角，其中一種角叫做另一種角的余角。

假如兩個角附和是一種平角，那么這兩個角叫做互為補角，其中一種角叫做另一種角的補角。

2?角的表達(dá)

角可以用大寫英文字母、阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫的希臘字母表達(dá)，詳細(xì)的有一下四種表達(dá)措施：

①用數(shù)字表達(dá)單獨的角，如Nl,Z2,/3等。

②用小寫的希臘字母表達(dá)單獨的一種角，如/a,NB,Zy,等。

③用一種大寫英文字母表達(dá)一種獨立（在一種頂點處只有一種角）的角，如/B,NC等。

④用三個大寫英文字母表達(dá)任一種角，如/BAD,ZBAE,NCAE等。

注意：用三個大寫英文字母表達(dá)角時，一定要把頂點字母寫在中間，邊上的字母寫在兩側(cè)。

3.角的度量

角的度量有如下規(guī)定：把一種平角180等分，每一份就是1度的角，單位是度，用“?！北磉_(dá),1度記作

“1°”，n度記作“n°”。

把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分記作“1'”。

把1'的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒記作“1””。

1°=60'=60”

4.角的性質(zhì)

（1）角的大小與邊的長短無關(guān)，只與構(gòu)成角的兩條射線的幅度大小有關(guān)。

（2）角的大小可以度量，可以比較

（3）角可以參與運算。

5.角的平分線及其性質(zhì)

一條射線把一種角提成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。

角的平分線有下面的性質(zhì)定理：

（1）角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。

（2）到一種角的兩邊距離相等時點在這個角的平分線上。

考點三、相交線（3分）

L相交線中的角

兩條直線相交，可以得到四個角，我們把兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中，有公共頂點但沒有公共邊

的兩個角叫做對頂角。我們把兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中，有公共頂點且有一條公共邊的兩個角叫做

臨補角。

臨補角互補，對頂角相等。

直線AB,CD與EF相交（或者說兩條直線AB,CD被第三條直線EF所截），構(gòu)成八個角。其中/I

與N5這兩個角分別在AB,CD的上方，并且在EF的同側(cè)，像這樣位置相似的一對角叫做同位角；N3與

/5這兩個角都在AB,CD之間，并且在EF的異側(cè)，像這樣位置的兩個角叫做內(nèi)錯角；/3與/6在直線

AB,CD之間，并側(cè)在EFaI同側(cè)，像這樣位置的兩個角叫做同旁內(nèi)角。

2、垂線

兩條直線相交所成的四個角中，有一種角是直角時，就說這兩條直線互相垂直。其中一條直線叫做另

一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。

直線AB,CD互相垂直，記作“ABLCD"（或“CDLAB”），讀作“AB垂直于CD"（或“CD垂直于

AB”）。

垂線的I性質(zhì)：

性質(zhì)1:過一點有且