重慶市九龍坡區(qū)2024屆高三下學(xué)期二診數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1重慶市九龍坡區(qū)2024屆高三下學(xué)期二診數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.（）1.設(shè)集合，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗函數(shù)中，，解得，即，解不等式，得或，則或，，對(duì)于A，或，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D正確.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗設(shè)R)，則，由，得，即，所以，解得，故，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限.故選：B.3.設(shè)為正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，則的值為（）A.20 B.512 C.1024 D.2048〖答案〗C〖解析〗設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，則當(dāng)時(shí)，由得：，不滿足，所以，則，又因?yàn)椋?所以可得：，化簡(jiǎn)得：，解得，所以，故選：C.4.民間娛樂(lè)健身工具陀螺起源于我國(guó)，最早出土的石制陀螺在山西夏縣的新石器時(shí)代遺址中發(fā)現(xiàn)．如圖，是一個(gè)陀螺的立體結(jié)構(gòu)圖（上端是圓柱，下端是圓錐），已知底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個(gè)陀螺的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得圓錐體的母線長(zhǎng)為，所以圓錐體的側(cè)面積為，圓柱體的側(cè)面積為，圓柱的底面面積為，所以此陀螺的表面積為（），故選：B.5.過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線交該拋物線于點(diǎn)M，N，已知點(diǎn)M在第一象限，過(guò)M作該拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為Q，若直線QF的傾斜角為120°，則的長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，，則,在中，，故，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，代入中，解得，則，因，則直線的斜率為，于是，代入，整理得：，解得或，即.故.故選：C.6.有一組樣本數(shù)據(jù)0，1，2，3，4，添加一個(gè)數(shù)X形成一組新的數(shù)據(jù)，且，則新的樣本數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)不變的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意得，，由于，，所以原數(shù)據(jù)和新數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)均為第二個(gè)數(shù)，所以，當(dāng)X為1，2，3，4時(shí)，新的樣本數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)不變，所以，新的樣本數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)不變的概率是.故選：D.7.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，，．則a的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，，得，即，所以，又，所以，即，所以，又，由正弦定理，得，所以.故選：A.8.已知函數(shù)的定義域是，對(duì)任意的，，，都有，若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，知函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以為奇函數(shù).令，則，所以為偶函數(shù)，對(duì)于，有，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減.由，得，，當(dāng)時(shí)，變形為，即，解得；當(dāng)時(shí)，變形為，即，解得，綜上，不等式的解集為.故選：B.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A：∵，冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，∴，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B：∵，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，又∵，∴，∴，即，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：∵，則，冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，∴，∴，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)B可知：，∴，∵，∴，∴，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.為偶函數(shù)C.在上單調(diào)遞增D.若，則的最小值為〖答案〗BD〖解析〗由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱可得：，解得：，又因?yàn)?，所以，即選項(xiàng)A是錯(cuò)誤的；此時(shí)，則為偶函數(shù)，所以選項(xiàng)B是正確的；當(dāng)，，此時(shí)正弦函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，所以選項(xiàng)C也是錯(cuò)誤的；因?yàn)?，所以，而，則的最小值就是半個(gè)周期，即，所以選項(xiàng)D是正確的.故選：BD.11.已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且，點(diǎn)P是雙曲線上位于第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，的平分線交x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)作垂直于PM于點(diǎn)E．則下列說(shuō)法正確的是（）A.若點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為，則雙曲線的離心率為2B.當(dāng)時(shí)，面積為C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為D.若，則〖答案〗AC〖解析〗A：易知，又雙曲線的一條漸近線方程為，則到該漸近線的距離為，又，所以，所以，得雙曲線的離心率為，故A正確；B：在中，，得，由余弦定理得，即，得，所以的面積為，又，所以，故B錯(cuò)誤；C：因?yàn)?，，所以，由角平分線定理可得，得，又，所以，又，所以，故C正確；D：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，如圖，易知，即，所以，又分別是的中點(diǎn)，所以，所以，又點(diǎn)P在第一象限，故直線的斜率必小于漸近線的斜率，設(shè)漸近線的傾斜角為，由，得，則，即，整理得，又，所以，解得，故D錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，是直線上任意一點(diǎn)，則______．〖答案〗12〖解析〗由，，可得，設(shè)，可得，因?yàn)槭侵本€上任意一點(diǎn)，所以，即，所以.13.有4人到甲、乙、丙三所學(xué)校去應(yīng)聘，若每人至多被一所學(xué)校錄用，每所學(xué)校至少錄用其中1人，則所有不同的錄用情況種數(shù)為_(kāi)________.（用數(shù)字作答）〖答案〗60〖解析〗當(dāng)人中有三人被錄取，則不同的錄取情況數(shù)為，當(dāng)4人全部被錄取，則不同的錄取情況數(shù)為，綜上不同的錄取情況數(shù)共有種.14.若函數(shù)在定義域內(nèi)存在使得，則稱為“函數(shù)”，為該函數(shù)的一個(gè)“點(diǎn)”．設(shè)，若是的一個(gè)“點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____；若為“函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗根據(jù)定義，若是一個(gè)“點(diǎn)”，則，即，得.若“函數(shù)”，則存在“點(diǎn)”，設(shè)為，則，即.不妨設(shè)，則由可知，這得到，所以；若，取，則.所以，故是的“點(diǎn)”，所以為“函數(shù)”.綜上，使得為“函數(shù)”的的取值范圍是.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是矩形，，過(guò)棱的中點(diǎn)E作于點(diǎn)，連接．（1）證明：；（2）若，求平面與平面所成角的正弦值．（1）證明；∵四邊形為矩形，∴，∵平面，平面，∴，又，平面，∴平面，又平面，∴．∵，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴．又，平面，∴平面．平面，∴．又，,平面，∴平面，平面，∴．（2）解：如圖，因兩兩垂直，故可以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，．由（1）可知，可看成平面的一個(gè)法向量，可看成平面的一個(gè)法向量．設(shè)平面與平面的所成角為，∴，∴，∴平面與平面所成角的正弦值為．16.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)函數(shù)的極大值為，求證：．（1）解：當(dāng)時(shí)，，且即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：，所以函數(shù)在點(diǎn)的斜率，又，所以函數(shù)在點(diǎn)的切線方程為：，即．（2）證明：由得函數(shù)導(dǎo)數(shù)為：．所以當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極大值為：．要證明，即證明，設(shè)，且.則導(dǎo)數(shù)為：，所以當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增，所以，即即，所以．17.某娛樂(lè)節(jié)目闖關(guān)游戲共有三關(guān)，游戲規(guī)則如下：選手依次參加第一、二、三關(guān)，每關(guān)闖關(guān)成功可獲得的獎(jiǎng)金分別為200元、400元、600元，獎(jiǎng)金可累加；若某關(guān)闖關(guān)成功，選手可以選擇結(jié)束闖關(guān)游戲并獲得相應(yīng)獎(jiǎng)金，也可以選擇繼續(xù)闖關(guān)；若有任何一關(guān)闖關(guān)失敗，則連同前面所得獎(jiǎng)金全部歸零，闖關(guān)游戲結(jié)束．選手甲參加該闖關(guān)游戲，已知選手甲第一、二、三關(guān)闖關(guān)成功的概率分別為，，，每一關(guān)闖關(guān)成功選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率均為，且每關(guān)闖關(guān)成功與否互不影響．（1）求選手甲第一關(guān)闖關(guān)成功，但所得總獎(jiǎng)金為零的概率；（2）設(shè)選手甲所得總獎(jiǎng)金為X，求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望．解：（1）根據(jù)題意得，選手甲第一關(guān)闖關(guān)成功，但所得總獎(jiǎng)金為零的事件分為兩類情況：第一種情況為：第一關(guān)闖關(guān)成功，第二關(guān)闖關(guān)失敗，其概率為：；第二種情況為：第一關(guān)闖關(guān)成功，第二關(guān)闖關(guān)成功，第三關(guān)闖關(guān)失敗，其概率為：；記“選手甲第一關(guān)闖關(guān)成功，但所得總獎(jiǎng)金為零”為事件A，∴．（2）根據(jù)題意得：X的可能取值為：0，200，600，1200，∴，，，，∴X的分布列為：X02006001200P∴X的期望為：．18.已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，兩焦點(diǎn)，與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，點(diǎn)在橢圓C上．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)D．①設(shè)內(nèi)切圓的圓心為I，求的最大值；②設(shè)，，證明：為定值．（1）解：由題意得：解得，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（2）如圖，①解：因?yàn)镮為的內(nèi)切圓圓心，則，顯然∠IAB是銳角，當(dāng)且僅當(dāng)∠IAB最大時(shí)，最大，即須使最大，又，則須使最小，在橢圓中，，，在中，由余弦定理，．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)，為正三角形時(shí)，取得最大值，∠IAB取最大值，此時(shí)的最大值為；②證明：由（1）知，由條件可知的斜率存在且不為0，設(shè)l的方程為，則，令可得．聯(lián)立方程得，，設(shè)，，則，，由可得，則有，解得，同理．∴．故為定值．19.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王