江蘇省南通市部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期8月聯(lián)合統(tǒng)一調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南通市部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期8月聯(lián)合統(tǒng)一調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，解得或，所以，又，所以.故選：C.2.當(dāng)m＜1時，復(fù)數(shù)m（3+i）﹣（2+i）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗m（3+i）﹣（2+i）化簡得（3m﹣2）+i（m﹣1），∵，∴3m﹣2＞0，m﹣1＜0，∴所對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，故選：D.3.空間中有8個點(diǎn)，其中任何4個點(diǎn)不共面，過每3個點(diǎn)作一個平面，可以作平面?zhèn)€數(shù)為（）A.42 B.56 C.64 D.81〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意知“三個不共線的點(diǎn)確定一個平面”，且所確定的平面與點(diǎn)的順序無關(guān)，所以共可確定的平面?zhèn)€數(shù)是個.故選：B.4.若直線l的方程為x-ysinθ+2=0，則直線l的傾角的范圍是（）A.[0，] B.[，] C.[，] D.[，）∪（，）〖答案〗C〖解析〗當(dāng)時，方程為，傾斜角為，當(dāng)時，直線的斜率，所以，即，綜上，故選：C．5.在中，，BC邊上的高等于,則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè),故選C.6.考慮以為樣本空間的古典概型．設(shè)X和Y定義上，取值的成對分類變量，則“與獨(dú)立”是“與獨(dú)立”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗與獨(dú)立，則，即，.即，故“與獨(dú)立.反之亦然.故選：A.7.四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計結(jié)果，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（）A.平均數(shù)為3，中位數(shù)為2 B.平均數(shù)為2，方差為2.4C.中位數(shù)為3，眾數(shù)為2 D.中位數(shù)為3，方差為2.8〖答案〗B〖解析〗對于A，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，1，2，5，6時，滿足平均數(shù)為3，中位數(shù)為2，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故A錯誤；對于B，若平均數(shù)為2，且出現(xiàn)6點(diǎn)，則方差，則平均數(shù)為2，方差為時，一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故B正確；對于C，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為2，2，3，4，6時，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故C錯誤；對于D，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，2，3，3，6時，滿足中位數(shù)為3，平均數(shù)為，方差為，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故D錯誤；故選：B．8.已知A，B為雙曲線上不同兩點(diǎn)，下列點(diǎn)中可為線段的中點(diǎn)的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)的中點(diǎn)，所以，易知，由點(diǎn)差法可得，若，此時，與雙曲線聯(lián)立，即lAB與雙曲線只有一個交點(diǎn)，故A若，則此時，與雙曲線聯(lián)立，即lAB與雙曲線有兩個交點(diǎn)，故B若，則此時，與雙曲線聯(lián)立，即lAB與雙曲線有一個交點(diǎn)，故C若，則此時，與雙曲線聯(lián)立，顯然無解，即lAB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故D故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.李明每天7：00從家里出發(fā)去學(xué)校，有時坐公交車，有時騎自行車．他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：坐公交車平均用時30分鐘，樣本方差為36；自行車平均用時34分鐘，樣本方差為4．假設(shè)坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布，則（）A.P(X＞32)＞P(Y＞32)B.P(X≤36)＝P(Y≤36)C.李明計劃7：34前到校，應(yīng)選擇坐公交車D.李明計劃7：40前到校，應(yīng)選擇騎自行車〖答案〗BCD〖解析〗A.由條件可知，，根據(jù)對稱性可知，故A錯誤；B.,，所以，故B正確；C.=，所以，故C正確；D.，，所以，故D正確.故選：BCD.10.半正多面體（semiregularsolid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個正三角形和六個正方形構(gòu)成（如圖所示），若它的所有棱長都為，則（）A.平面EABB.該二十四等邊體的體積為C.該二十四等邊體外接球的表面積為D.PN與平面EBFN所成角的正弦值為〖答案〗BD〖解析〗對于A，假設(shè)A對，即平面，于是，，但六邊形為正六邊形，，矛盾，所以A錯誤；對于B，補(bǔ)齊八個角構(gòu)成棱長為2的正方體，則該二十四等邊體的體積為，所以B對；對于C，取正方形對角線交點(diǎn)，即為該二十四等邊體外接球的球心，其半徑為，其表面積為，所以C錯誤；對于D，因為在平面內(nèi)射影為，所以與平面所成角即為，其正弦值為，所以D對．故選：BD．11.聲音中包含著正弦函數(shù)，周期函數(shù)產(chǎn)生了美妙的音樂.若我們聽到的聲音的函數(shù)是，則（）A.的最小正周期是B.是的最小值C.是的零點(diǎn)D.在存在極值〖答案〗ACD〖解析〗對于A選項，函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，且，因此，函數(shù)的最小正周期是，A對；對于B選項，因為，又因為，故不是的最小值，B錯；對于C選項，對任意的，，故是的零點(diǎn)，C對；對于D選項，，則，當(dāng)時，，則，令可得，所以，，可得，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，因此，在存在極值，D對.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若平面向量，，兩兩的夾角相等，且，，則______.〖答案〗2或5〖解析〗由題意，平面向量，，兩兩的夾角相等，包括兩種情況，可得兩兩夾角為或兩兩夾角為，當(dāng)兩兩夾角為時，可得，則；當(dāng)兩兩夾角為時，可得，則．13.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，則的面積為________．〖答案〗〖解析〗設(shè)，，由得，，所以，，所以，因為點(diǎn)到直線的距離，所以.14.如圖，正方形ABCD的邊長為5，取正方形ABCD各邊的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，作第二個正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點(diǎn)I，J，K，L，作第三個正方形IJKL，依次方法一直繼續(xù)下去，則所有這些正方形的面積之和趨近于________．〖答案〗50〖解析〗記第個正方形的面積為，第個正方形的邊長為，則第個正方形的對角線長為，所以第全正方形的邊長為，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以若這個作圖過程可以一直繼續(xù)下，則所有這些下方形的面積之和將趨近于常數(shù)50.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知動點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和M到定直線的距離的比是常數(shù)．（1）求動點(diǎn)M的軌跡E；（2）在E上是否存在一點(diǎn)使得它到直線的距離最?。咳舸嬖?，請求出最小距離；若不存在，請說明理由．解：（1）設(shè)d是點(diǎn)M到直線的距離，根據(jù)題意，動點(diǎn)M的軌跡E就是集合．由此得．將此式兩邊平方，并化簡，得，所以M的軌跡E為．（2）由直線方程方程可知與坐標(biāo)軸交點(diǎn)為，易知此直線與橢圓無公共點(diǎn)，設(shè)直線m與該直線平行，則直線m的方程可以寫成．由方程組，消去y，得．令其根的判別式，解得或，當(dāng)時，直線與橢圓的公共點(diǎn)到直線的距離最小，最小距離．16.在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架ABCD，ABEF的邊長都是1，且它們所在的平面互相垂直．活動彈子M，N分別在正方形對角線AC和BF上移動，且CM和BN的長度保持相等，記．（1）求MN的長；（2）當(dāng)MN的長最小時，求平面MNA與平面MNB夾角的余弦值．解：（1）以B原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，因為，所以，，所以．（2），當(dāng)時，最小，此時，M，N為中點(diǎn)，則，），取MN的中點(diǎn)G，連接AG，BG，則，因為，，所以，，所以是平面MNA與平面MNB的夾角或其補(bǔ)角，因為，，所以，所以平面MNA與平面MNB夾角的余弦值是．17.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時，求證．（1）解：當(dāng)時，，則，又，，所以切線方程為：，即．（2）證明：當(dāng)，時，，則有，故只需證明當(dāng)時，．當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，故在區(qū)間上有唯一實根，且，當(dāng)時，；當(dāng)x∈x0,+從而當(dāng)時，取得最小值，由，得，，故，綜上，當(dāng)時，．18.根據(jù)某地區(qū)氣象水文部門長期統(tǒng)計，可知該地區(qū)每年夏季有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.05.（1）從該地區(qū)抽取的年水文資料中發(fā)現(xiàn)，恰好3年無洪水事件的概率與恰好4年有洪水事件的概率相等，求的值；（2）今年夏季該地區(qū)某工地有許多大型設(shè)備，遇到大洪水時要損失60000元，遇到小洪水時要損失20000元.為保護(hù)設(shè)備，有以下3種方案：方案1：修建保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)為3000元，但圍墻只能防小洪水.方案2：修建保護(hù)大壩，建設(shè)費(fèi)為7000元，能夠防大洪水.方案3：不采取措施.試比較哪一種方案好，請說明理由.解：（1）∵該地區(qū)每年夏季有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.05∴即該地區(qū)每年夏季無洪水的概率為，∵該地區(qū)抽取的年水文資料中發(fā)現(xiàn)，恰好3年無洪水事件的概率與恰好4年有洪水事件的概率相等，且符合獨(dú)立性重復(fù)試驗二項分布，∴，解得，∴；（2）設(shè)方案1、方案2和方案3的損失為隨機(jī)變量為、和，分布列分別為：方案1，，3000600000.950.05∴，方案270001∴，方案3，，020000600000.70.250.05∴，∴方案1的期望值最小，選擇方案1好.19.將個不同的數(shù)按照某種順序排成一列得到數(shù)列，對任意，如果，那么稱數(shù)對構(gòu)成數(shù)列的一個逆序?qū)?，一個有窮數(shù)列的全部逆序?qū)Φ目倲?shù)稱為該數(shù)列的逆序數(shù)．（1）若將1，2，3，4四個數(shù)構(gòu)成的數(shù)列恰有2個逆序?qū)?，請寫出符合條件的數(shù)列組合；（2）計算以下數(shù)列的逆序數(shù)．（?。唬áⅲ?；（3）已知數(shù)列，，…，的逆序數(shù)為，求，，…，的逆序數(shù)．解：（1）由1，2，3，4構(gòu)成的逆序?qū)τ校?，，，，．若第一個數(shù)