第二章二次函數(shù)之二次函數(shù)中的線段問題 2023-2024學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)

第二章二次函數(shù)之二次函數(shù)中的線段問題北師大版2023—2024學(xué)年九年級(jí)下冊(cè)1.如圖，拋物線y＝﹣x2+x；過點(diǎn)E（10，0），矩形ABCD的邊AB在線段OE上（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），點(diǎn)C，D在拋物線上．設(shè)A（t，0），當(dāng)t＝2時(shí)，AD＝4．當(dāng)t為何值時(shí)，矩形ABCD的周長(zhǎng)有最大值？最大值是多少？2.如圖,拋物線y=與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn),對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)P,點(diǎn)E是x軸上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)E作EN⊥x軸于點(diǎn)N.連接AE交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)F,連接BE并延長(zhǎng)交對(duì)稱軸于點(diǎn)G,試證明PF+PG的值為定值,并求出該定值.變式.拋物線y＝ax2+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且位于x軸下方，直線PA，PB與y軸分別交于E、F兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．變式：已知拋物線y＝kx2﹣4kx+3k（k＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．點(diǎn)E為x軸下方拋物線y＝kx2﹣4kx+3k（k＞0）上一動(dòng)點(diǎn)，若k＝1時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸DH交x軸于點(diǎn)H，直線AE交y軸于點(diǎn)M，直線BE交對(duì)稱軸DH于點(diǎn)N，求MO+NH的值；3．如圖，拋物線y＝﹣x2+4；的頂點(diǎn)C在y軸正半軸上，與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左邊），OA＝OC．點(diǎn)P在第四象限，點(diǎn)Q在第二象限，且AP∥BQ；①如圖2，若四邊形APBQ的面積為2，求直線AP的解析式；②如圖3，直線AQ、BP分別交y軸于E、F兩點(diǎn)，求OE+OF的值．4．如圖，P（m，n）是拋物線上任意一點(diǎn)，l是過點(diǎn)（0，﹣2）且與x軸平行的直線，過點(diǎn)P作直線PH⊥l，垂足為H．（1）填空：當(dāng)m＝0時(shí)，OP＝，PH＝；當(dāng)m＝4時(shí)，OP＝，PH＝；（2）對(duì)任意m，n，猜想OP與PH的大小關(guān)系，并證明你的猜想．5.如圖，已知直線l：y＝﹣1和拋物線L：y＝x2，拋物線L的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，直線y＝kx+1與y軸交于點(diǎn)F，與拋線L交于點(diǎn)B（x1，y1），C（x2，y2），且x1＜x2．（1）點(diǎn)P是拋物線L上一動(dòng)點(diǎn)．①以點(diǎn)P為圓心，PF為半徑作⊙P，試判斷⊙P與直線l的位置關(guān)系，并說明理由；②若點(diǎn)Q（2，3），當(dāng)|PQ﹣PF|的值最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）求證：無論k為何值，直線l總是與以BC為直徑的圓相切．變式：函數(shù)上的定點(diǎn)是指，一個(gè)含參數(shù)的函數(shù)無論參數(shù)取何值，函數(shù)的圖象都過某一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為定點(diǎn)．例如，在函數(shù)y＝kx中，當(dāng)x＝0時(shí)，無論參數(shù)k取何值，函數(shù)值y＝0，所以這個(gè)函數(shù)過定點(diǎn)（0，0）．（1）分別求函數(shù)y＝kx+2k和y＝kx2﹣kx+2019的定點(diǎn)；（2）若過原點(diǎn)的兩條直線OA、OB分別與二次函數(shù)y＝x2交于點(diǎn)A（m，m2）和點(diǎn)B（n，n2）（mn＜0）且OA⊥OB，試求直線AB上的定點(diǎn)；（3）若直線CD：y＝kx+2k+5與