考點02 整式與因式分解（精講）（原卷版）

考點02.整式與因式分解（精講）【命題趨勢】整式與因式分解在各地中考數(shù)學中難度中下，每年考查3題左右，分值為12分左右，主要考查整式的加減、乘除法則及冪的運算，難度一般不大，偶爾考察整式的基本概念。因式分解作為整式乘法的逆運算，在數(shù)學中考中占比不大，但是依然屬于必考題，常以簡單選擇、填空題的形式出現(xiàn)，難度不大。對于整式與因式分解的復習，需要學生熟練掌握相關概念及運算法則等，探究與表達規(guī)律、乘法公式的相關運用偶爾考查難度相對較大，望同學們多加注意！【知識清單】1：代數(shù)式的相關概念（☆☆）（1）代數(shù)式：用基本的運算符號把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來的式子叫做代數(shù)式。（2）代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式中的運算關系計算得出的結(jié)果叫做代數(shù)式的值。2：整式的相關概念（☆☆☆）（1）單項式：由數(shù)與字母或字母與字母相乘組成的代數(shù)式叫做單項式，所有字母指數(shù)的和叫做單項式的次數(shù)，數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)。（2）多項式：由幾個單項式相加組成的代數(shù)式叫做多項式，多項式里次數(shù)最高的項的次數(shù)叫做這個多項式的次數(shù)，其中不含字母的項叫做常數(shù)項。（3）整式：單項式和多項式統(tǒng)稱為整式。3：整式的運算（☆☆☆）（1）同類項：多項式中所含字母相同并且相同字母的指數(shù)也相同的項，叫做同類項。（2）整式的加減：一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項。（3）冪的運算：am·an=am+n；（am）n=amn；（ab）n=anbn；am÷an=。（4）整式的乘法：1）單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。2）單項式與多項式相乘：m（a+b+c）=ma+mb+mc。3）多項式與多項式相乘：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb。（5）乘法公式：（1）平方差公式：；（2）完全平方公式：。（6）整式的除法：（1）單項式除以單項式，把系數(shù)、同底數(shù)的冪分別相除，作為商的因式：對于只在被除式含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的因式.（2）多項式除以單項式：先把這個多項式的每一項除以單項式，再把所得的商相加。（7）整式的混合運算的運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號時先算括號里面。（8）探究與表達規(guī)律常見類型：1）一列數(shù)的規(guī)律：把握常見幾類數(shù)的排列規(guī)律及每個數(shù)與排列序號之間的關系。2）一列等式的規(guī)律：用含有字母的代數(shù)式總結(jié)規(guī)律，注意此代數(shù)式與序號之間的關系。3）圖形（圖表）規(guī)律：觀察前幾個圖形，確定每個圖形中圖形的個數(shù)或圖形總數(shù)與序號之間的關系。4）圖形變換的規(guī)律：找準循環(huán)周期內(nèi)圖形變換的特點，然后用圖形變換總次數(shù)除以一個循環(huán)變換周期，進而觀察商和余數(shù)。5）數(shù)形結(jié)合的規(guī)律：觀察前項（一般前3項）及利用題中的已知條件，歸納猜想一般性結(jié)論。4：因式分解（☆☆☆）（1）因式分解：把一個多項式化成幾個因式積的形式，叫因式分解，因式分解與整式乘法是互逆運算.（2）因式分解的基本方法：1）提取公因式法：；2）運用公式法：平方差與完全平方公式；3）十字相乘：；4）分組分解。（3）分解因式的一般步驟：“一提二套三檢查”。1）如果多項式各項有公因式，應先提取公因式；2）如果各項沒有公因式，可以嘗試使用公式法：為兩項時，考慮平方差公式；為三項時，考慮完全平方公式或十字相乘；為四項時，考慮利用分組的方法進行分解；3）檢查分解因式是否徹底，必須分解到每一個多項式都不能再分解為止?！疽族e點歸納】1.規(guī)范書寫格式：列代數(shù)時要按要求規(guī)范地書寫．像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號；除法可寫成分數(shù)形式，帶分數(shù)與字母相乘需把代分數(shù)化為假分數(shù)，書寫單位名稱什么時不加括號，什么時要加括號．注意代數(shù)式括號的適當運用．2.單項式的指數(shù)只和字母的指數(shù)有關，與系數(shù)的指數(shù)無關。如單項式的次數(shù)是2＋3＋4=9。3.合并同類項一定要完全、徹底，不能有漏項，而且合并同類項結(jié)果可能是單項式，也可能是多項式。4.因式分解分解對象是多項式，分解結(jié)果必是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺一不可?！竞诵目键c】核心考點1.代數(shù)式的相關概念例1：（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）2023長春馬拉松于5月21日在南嶺體育場鳴槍開跑，某同學參加了7.5公里健康跑項目，他從起點開始以平均每分鐘x公里的速度跑了10分鐘，此時他離健康跑終點的路程為公里．（用含x的代數(shù)式表示）變式1.（2023·河北石家莊·統(tǒng)考三模）某校舉辦的知識競賽，共道題，規(guī)定答對一道題加x分，答錯一道題（不答按錯）扣分，小明答錯了2道題，他得到的分數(shù)是（）A． B． C． D．變式2.（2023·河北滄州·?？级＃┘?、乙、丙三個盒中分別放有不同數(shù)量的棋子，其中甲盒中棋子個數(shù)為，乙盒中棋子的個數(shù)是甲盒中棋子個數(shù)的2倍，丙盒中棋子的個數(shù)比乙盒中棋子的個數(shù)少．

（1）請用含的代數(shù)式表示乙盒中棋子的個數(shù)；丙盒中棋子的個數(shù)；（2）現(xiàn)從三個盒中分別拿出一些棋子后，使每個盒中剩下的棋子個數(shù)均相等，若從丙盒中拿出的棋子個數(shù)比甲盒中拿出的棋子個數(shù)多3個，從乙盒中拿出的棋子個數(shù)是其剩下棋子個數(shù)的2倍，則從三個盒中共拿出的棋子個數(shù)是．例2：（2023上·山東泰安·九年級?？计谀└鶕?jù)如圖所示的程序，計算y的值，若輸入x的值是時，則輸出的y值等于．變式1.（2023·安徽·統(tǒng)考模擬預測）如圖所示為一金字塔運算程序，其中箭頭為數(shù)字的移動方向，字母表示限制條件，序號為運算方式，已知：；①：；：；②：；：；③：；：；④：；：；：，若某層中的數(shù)字達到限制條件，就可以通過相應的運算方式進入新一層，安安將輸入的數(shù)字定為2，則最后輸出的結(jié)果為(

)

A． B． C． D．無法得到例3：（2023年山東省濟寧市中考數(shù)學真題）已知實數(shù)滿足，則．變式1．（2023年江蘇省南通市中考數(shù)學真題）若，則的值為（

）A．24 B．20 C．18 D．16變式2．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）若，則的值為．核心考點2.整式的相關概念例4：（2022·廣東·中考真題）單項式的系數(shù)為___________．變式1.（2023.廣東·統(tǒng)考模擬預測）下列結(jié)論中正確的是（

）A．單項式的系數(shù)是，次數(shù)是4 B．單項式m的次數(shù)是1，系數(shù)為0C．多項式是二次三項式 D．在，，，，，0中整式有4個變式2．（2020·四川綿陽市·中考真題）若多項式是關于x，y的三次多項式，則_____．例5：（2023·廣東東莞·統(tǒng)考一模）若和是同類項，則．變式1．（2022·湖南湘潭·中考真題）下列整式與為同類項的是（

）A． B． C． D．變式2．（2023·江蘇·?？寄M預測）已知單項式與是同類項，則______．核心考點3.整式的運算例6：（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）下列運算正確的是（

）A． B． C． D．變式1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）下列運算正確的是（

）A．B．C．D．變式2.（2023·浙江杭州·?？寄M預測）電子文件的大小常用等作為單位，其中，某視頻文件的大小約為等于()A． B． C． D．例7：（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）先化簡，再求值：，其中．變式1．（2023·山東青島·統(tǒng)考中考真題）計算：．變式2．（2023·陜西西安·?？级＃┫然?，再求值：，其中，．例8：（2023年江蘇省鎮(zhèn)江市中考數(shù)學真題）如圖，在甲、乙、丙三只袋中分別裝有球29個、29個、5個，先從甲袋中取出個球放入乙袋，再從乙袋中取出個球放入丙袋，最后從丙袋中取出個球放入甲袋，此時三只袋中球的個數(shù)相同，則的值等于（

）

A．128 B．64 C．32 D．16變式1．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）若m、n滿足，則．變式2．（2023.江蘇·?？寄M預測）已知，則x的值為．變式3．（2022·湖南長沙·中考真題）當今大數(shù)據(jù)時代，“二維碼”具有存儲量大．保密性強、追蹤性高等特點，它己被廣泛應用于我們的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期間，區(qū)區(qū)“二維碼”己經(jīng)展現(xiàn)出無窮威力．看似“碼碼相同”，實則“碼碼不同”．通常，一個“二維碼”由1000個大大小小的黑白小方格組成，其中小方格專門用做糾錯碼和其他用途的編碼，這相當于1000個方格只有200個方格作為數(shù)據(jù)碼．根據(jù)相關數(shù)學知識，這200個方格可以生成個不同的數(shù)據(jù)二維碼，現(xiàn)有四名網(wǎng)友對的理解如下：YYDS（永遠的神）：就是200個2相乘，它是一個非常非常大的數(shù)；DDDD（懂的都懂）：等于；JXND（覺醒年代）：的個位數(shù)字是6；QGYW（強國有我）：我知道，所以我估計比大．其中對的理解錯誤的網(wǎng)友是___________（填寫網(wǎng)名字母代號）．例9：（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）若實數(shù)m滿足，則．變式1．（2023年四川省涼山州數(shù)學中考真題）已知是完全平方式，則的值是．變式2．（2022·黑龍江大慶·中考真題）已知代數(shù)式是一個完全平方式，則實數(shù)t的值為_______．變式3．（2023年河北省中考數(shù)學真題）若k為任意整數(shù)，則的值總能（

）A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除例10：（2023年四川省攀枝花市中考數(shù)學真題）我們可以利用圖形中的面積關系來解釋很多代數(shù)恒等式．給出以下4組圖形及相應的代數(shù)恒等式：①

②

③

④

其中，圖形的面積關系能正確解釋相應的代數(shù)恒等式的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個變式1．（2023年湖北省隨州市中考數(shù)學真題）設有邊長分別為a和b()的A類和B類正方形紙片、長為a寬為b的C類矩形紙片若干張．如圖所示要拼一個邊長為的正方形，需要1張A類紙片、1張B類紙片和2張C類紙片．若要拼一個長為、寬為的矩形，則需要C類紙片的張數(shù)為(

)

A．6 B．7 C．8 D．9變式2．（2022·湖北隨州·中考真題）《幾何原本》是古希臘數(shù)學家歐幾里得的一部不朽著作，是數(shù)學發(fā)展史的一個里程碑．在該書的第2幕“幾何與代數(shù)”部分，記載了很多利用幾何圖形來論證的代數(shù)結(jié)論，利用幾何給人以強烈印象將抽象的邏輯規(guī)律體現(xiàn)在具體的圖形之中．(1)我們在學習許多代數(shù)公式時，可以用幾何圖形來推理，觀察下列圖形，找出可以推出的代數(shù)公式，（下面各圖形均滿足推導各公式的條件，只需填寫對應公式的序號）公式①：公式②：公式③：公式④：圖1對應公式______，圖2對應公式______，圖3對應公式______，圖4對應公式______；(2)《幾何原本》中記載了一種利用幾何圖形證明平方差公式的方法，如圖5，請寫出證明過程；（已知圖中各四邊形均為矩形）(3)如圖6，在等腰直角三角形ABC中，，D為BC的中點，E為邊AC上任意一點（不與端點重合），過點E作于點G，作F點H過點B作BF//AC交EG的延長線于點F．記△BFG與△CEG的面積之和為，△ABD與△AEH的面積之和為．①若E為邊AC的中點，則的值為_______；②若E不為邊AC的中點時，試問①中的結(jié)論是否仍成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，請說明理由．

例11：（2023·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）在“點燃我的夢想，數(shù)學皆有可衡”數(shù)學創(chuàng)新設計活動中，“智多星”小強設計了一個數(shù)學探究活動：對依次排列的兩個整式m，n按如下規(guī)律進行操作：第1次操作后得到整式串m，n，；第2次操作后得到整式串m，n，，；第3次操作后…其操作規(guī)則為：每次操作增加的項，都是用上一次操作得到的最末項減去其前一項的差，小強將這個活動命名為“回頭差”游戲．則該“回頭差”游戲第2023次操作后得到的整式中各項之和是（

）A． B．m C． D．變式1.（2023年湖南省岳陽市中考數(shù)學真題）觀察下列式子：；；；；；…依此規(guī)律，則第（為正整數(shù)）個等式是．變式2．（2023年湖南省常德市中考數(shù)學真題）觀察下邊的數(shù)表（橫排為行，豎排為列），按數(shù)表中的規(guī)律，分數(shù)若排在第a行b列，則的值為(

)

……A．2003 B．2004 C．2022 D．2023變式3．（2023年黑龍江省大慶市中考數(shù)學真題）1261年，我國宋朝數(shù)學家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提到了如圖所示的數(shù)表，人們將這個數(shù)表稱為“楊輝三角”．

觀察“楊輝三角”與右側(cè)的等式圖，根據(jù)圖中各式的規(guī)律，展開的多項式中各項系數(shù)之和為．例12：（2023年四川省綿陽市中考數(shù)學真題）如下圖，將形狀、大小完全相同的“●”和線段按照一定規(guī)律擺成以下圖形，第1幅圖形中“●”的個數(shù)為，第2幅圖形中“●”的個數(shù)為，第3幅圖形中“●”的個數(shù)為，…，以此類推，那么的值為（）

A． B． C． D．變式1.（2023年重慶市中考數(shù)學真題）用圓圈按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有2個圓圈，第②個圖案中有5個圓圈，第③個圖案中有8個圓圈，第④個圖案中有11個圓圈，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑦個圖案中圓圈的個數(shù)為（

）

A．14 B．20 C．23 D．26變式2．（2023年黑龍江省綏化市中考數(shù)學真題）在求的值時，發(fā)現(xiàn)：，，從而得到．按此方法可解決下面問題．圖（1）有1個三角形，記作；分別連接這個三角形三邊中點得到圖（2），有5個三角形，記作；再分別連接圖（2）中間的小三角形三邊中點得到圖（3），有9個三角形，記作；按此方法繼續(xù)下去，則．（結(jié)果用含n的代數(shù)式表示）

例13：（2021·湖北鄂州市·中考真題）數(shù)學課外活動小組的同學在學習了完全平方公式之后，針對兩個正數(shù)之和與這兩個正數(shù)之積的算術(shù)平方根的兩倍之間的關系進行了探究，請閱讀以下探究過程并解決問題．猜想發(fā)現(xiàn)：由；；；；；猜想：如果，，那么存在（當且僅當時等號成立）．猜想證明：∵∴①當且僅當，即時，，∴；②當，即時，，∴．綜合上述可得：若，，則成立（當日僅當時等號成立）．猜想運用：（1）對于函數(shù)，當取何值時，函數(shù)的值最小？最小值是多少？變式探究：（2）對于函數(shù)，當取何值時，函數(shù)的值最小？最小值是多少？拓展應用：（3）疫情期間、為了解決疑似人員的臨隔離問題．高速公路榆測站入口處，檢測人員利用檢測站的一面墻（墻的長度不限），用63米長的鋼絲網(wǎng)圍成了9間相同的長方形隔離房，如圖．設每間離房的面積為（米2）．問：每間隔離房的長、寬各為多少時，可使每間隔離房的面積最大？最大面積是多少？變式1.（2023上·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預測）代數(shù)式的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8變式2.（2023上·廣西河池·?？寄M預測）閱讀下列材料：我們把多項式及叫做完全平方公式，如果一個多項式不是完全平方公式，我們常做如下變形：先添加一個適當?shù)捻?，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學方法，可以求代數(shù)式的最大值或最小值．例如：求代數(shù)式的最小值．解：∵，∴，∴當時，的最小值為；再例如：求代數(shù)式的最大值．解：∵，∴，∴；∴當時，的最大值為．(1)【直接應用】代數(shù)式