考點(diǎn)02 整式與因式分解（精講）（原卷版）

考點(diǎn)02.整式與因式分解（精講）【命題趨勢(shì)】整式與因式分解在各地中考數(shù)學(xué)中難度中下，每年考查3題左右，分值為12分左右，主要考查整式的加減、乘除法則及冪的運(yùn)算，難度一般不大，偶爾考察整式的基本概念。因式分解作為整式乘法的逆運(yùn)算，在數(shù)學(xué)中考中占比不大，但是依然屬于必考題，常以簡(jiǎn)單選擇、填空題的形式出現(xiàn)，難度不大。對(duì)于整式與因式分解的復(fù)習(xí)，需要學(xué)生熟練掌握相關(guān)概念及運(yùn)算法則等，探究與表達(dá)規(guī)律、乘法公式的相關(guān)運(yùn)用偶爾考查難度相對(duì)較大，望同學(xué)們多加注意！【知識(shí)清單】1：代數(shù)式的相關(guān)概念（☆☆）（1）代數(shù)式：用基本的運(yùn)算符號(hào)把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來(lái)的式子叫做代數(shù)式。（2）代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式中的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算得出的結(jié)果叫做代數(shù)式的值。2：整式的相關(guān)概念（☆☆☆）（1）單項(xiàng)式：由數(shù)與字母或字母與字母相乘組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，所有字母指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)，數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)。（2）多項(xiàng)式：由幾個(gè)單項(xiàng)式相加組成的代數(shù)式叫做多項(xiàng)式，多項(xiàng)式里次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)，其中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。（3）整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱(chēng)為整式。3：整式的運(yùn)算（☆☆☆）（1）同類(lèi)項(xiàng)：多項(xiàng)式中所含字母相同并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)，叫做同類(lèi)項(xiàng)。（2）整式的加減：一般地，幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類(lèi)項(xiàng)。（3）冪的運(yùn)算：am·an=am+n；（am）n=amn；（ab）n=anbn；am÷an=。（4）整式的乘法：1）單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。2）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：m（a+b+c）=ma+mb+mc。3）多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb。（5）乘法公式：（1）平方差公式：；（2）完全平方公式：。（6）整式的除法：（1）單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，把系數(shù)、同底數(shù)的冪分別相除，作為商的因式：對(duì)于只在被除式含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的因式.（2）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加。（7）整式的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號(hào)時(shí)先算括號(hào)里面。（8）探究與表達(dá)規(guī)律常見(jiàn)類(lèi)型：1）一列數(shù)的規(guī)律：把握常見(jiàn)幾類(lèi)數(shù)的排列規(guī)律及每個(gè)數(shù)與排列序號(hào)之間的關(guān)系。2）一列等式的規(guī)律：用含有字母的代數(shù)式總結(jié)規(guī)律，注意此代數(shù)式與序號(hào)之間的關(guān)系。3）圖形（圖表）規(guī)律：觀察前幾個(gè)圖形，確定每個(gè)圖形中圖形的個(gè)數(shù)或圖形總數(shù)與序號(hào)之間的關(guān)系。4）圖形變換的規(guī)律：找準(zhǔn)循環(huán)周期內(nèi)圖形變換的特點(diǎn)，然后用圖形變換總次數(shù)除以一個(gè)循環(huán)變換周期，進(jìn)而觀察商和余數(shù)。5）數(shù)形結(jié)合的規(guī)律：觀察前項(xiàng)（一般前3項(xiàng)）及利用題中的已知條件，歸納猜想一般性結(jié)論。4：因式分解（☆☆☆）（1）因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)因式積的形式，叫因式分解，因式分解與整式乘法是互逆運(yùn)算.（2）因式分解的基本方法：1）提取公因式法：；2）運(yùn)用公式法：平方差與完全平方公式；3）十字相乘：；4）分組分解。（3）分解因式的一般步驟：“一提二套三檢查”。1）如果多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式，應(yīng)先提取公因式；2）如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式，可以嘗試使用公式法：為兩項(xiàng)時(shí)，考慮平方差公式；為三項(xiàng)時(shí)，考慮完全平方公式或十字相乘；為四項(xiàng)時(shí)，考慮利用分組的方法進(jìn)行分解；3）檢查分解因式是否徹底，必須分解到每一個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解為止?！疽族e(cuò)點(diǎn)歸納】1.規(guī)范書(shū)寫(xiě)格式：列代數(shù)時(shí)要按要求規(guī)范地書(shū)寫(xiě)．像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號(hào)不寫(xiě)，數(shù)與數(shù)相乘必須寫(xiě)乘號(hào)；除法可寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，帶分?jǐn)?shù)與字母相乘需把代分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，書(shū)寫(xiě)單位名稱(chēng)什么時(shí)不加括號(hào)，什么時(shí)要加括號(hào)．注意代數(shù)式括號(hào)的適當(dāng)運(yùn)用．2.單項(xiàng)式的指數(shù)只和字母的指數(shù)有關(guān)，與系數(shù)的指數(shù)無(wú)關(guān)。如單項(xiàng)式的次數(shù)是2＋3＋4=9。3.合并同類(lèi)項(xiàng)一定要完全、徹底，不能有漏項(xiàng)，而且合并同類(lèi)項(xiàng)結(jié)果可能是單項(xiàng)式，也可能是多項(xiàng)式。4.因式分解分解對(duì)象是多項(xiàng)式，分解結(jié)果必是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個(gè)要素缺一不可?！竞诵目键c(diǎn)】核心考點(diǎn)1.代數(shù)式的相關(guān)概念例1：（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）2023長(zhǎng)春馬拉松于5月21日在南嶺體育場(chǎng)鳴槍開(kāi)跑，某同學(xué)參加了7.5公里健康跑項(xiàng)目，他從起點(diǎn)開(kāi)始以平均每分鐘x公里的速度跑了10分鐘，此時(shí)他離健康跑終點(diǎn)的路程為公里．（用含x的代數(shù)式表示）變式1.（2023·河北石家莊·統(tǒng)考三模）某校舉辦的知識(shí)競(jìng)賽，共道題，規(guī)定答對(duì)一道題加x分，答錯(cuò)一道題（不答按錯(cuò)）扣分，小明答錯(cuò)了2道題，他得到的分?jǐn)?shù)是（）A． B． C． D．變式2.（2023·河北滄州·?？级＃┘?、乙、丙三個(gè)盒中分別放有不同數(shù)量的棋子，其中甲盒中棋子個(gè)數(shù)為，乙盒中棋子的個(gè)數(shù)是甲盒中棋子個(gè)數(shù)的2倍，丙盒中棋子的個(gè)數(shù)比乙盒中棋子的個(gè)數(shù)少．

（1）請(qǐng)用含的代數(shù)式表示乙盒中棋子的個(gè)數(shù)；丙盒中棋子的個(gè)數(shù)；（2）現(xiàn)從三個(gè)盒中分別拿出一些棋子后，使每個(gè)盒中剩下的棋子個(gè)數(shù)均相等，若從丙盒中拿出的棋子個(gè)數(shù)比甲盒中拿出的棋子個(gè)數(shù)多3個(gè)，從乙盒中拿出的棋子個(gè)數(shù)是其剩下棋子個(gè)數(shù)的2倍，則從三個(gè)盒中共拿出的棋子個(gè)數(shù)是．例2：（2023上·山東泰安·九年級(jí)校考期末）根據(jù)如圖所示的程序，計(jì)算y的值，若輸入x的值是時(shí)，則輸出的y值等于．變式1.（2023·安徽·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示為一金字塔運(yùn)算程序，其中箭頭為數(shù)字的移動(dòng)方向，字母表示限制條件，序號(hào)為運(yùn)算方式，已知：；①：；：；②：；：；③：；：；④：；：；：，若某層中的數(shù)字達(dá)到限制條件，就可以通過(guò)相應(yīng)的運(yùn)算方式進(jìn)入新一層，安安將輸入的數(shù)字定為2，則最后輸出的結(jié)果為(

)

A． B． C． D．無(wú)法得到例3：（2023年山東省濟(jì)寧市中考數(shù)學(xué)真題）已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則．變式1．（2023年江蘇省南通市中考數(shù)學(xué)真題）若，則的值為（

）A．24 B．20 C．18 D．16變式2．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）若，則的值為．核心考點(diǎn)2.整式的相關(guān)概念例4：（2022·廣東·中考真題）單項(xiàng)式的系數(shù)為_(kāi)__________．變式1.（2023.廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）下列結(jié)論中正確的是（

）A．單項(xiàng)式的系數(shù)是，次數(shù)是4 B．單項(xiàng)式m的次數(shù)是1，系數(shù)為0C．多項(xiàng)式是二次三項(xiàng)式 D．在，，，，，0中整式有4個(gè)變式2．（2020·四川綿陽(yáng)市·中考真題）若多項(xiàng)式是關(guān)于x，y的三次多項(xiàng)式，則_____．例5：（2023·廣東東莞·統(tǒng)考一模）若和是同類(lèi)項(xiàng)，則．變式1．（2022·湖南湘潭·中考真題）下列整式與為同類(lèi)項(xiàng)的是（

）A． B． C． D．變式2．（2023·江蘇·?？寄M預(yù)測(cè)）已知單項(xiàng)式與是同類(lèi)項(xiàng)，則______．核心考點(diǎn)3.整式的運(yùn)算例6：（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）下列運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．變式1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）下列運(yùn)算正確的是（

）A．B．C．D．變式2.（2023·浙江杭州·?？寄M預(yù)測(cè)）電子文件的大小常用等作為單位，其中，某視頻文件的大小約為等于()A． B． C． D．例7：（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．變式1．（2023·山東青島·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：．變式2．（2023·陜西西安·?？级＃┫然?jiǎn)，再求值：，其中，．例8：（2023年江蘇省鎮(zhèn)江市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在甲、乙、丙三只袋中分別裝有球29個(gè)、29個(gè)、5個(gè)，先從甲袋中取出個(gè)球放入乙袋，再?gòu)囊掖腥〕鰝€(gè)球放入丙袋，最后從丙袋中取出個(gè)球放入甲袋，此時(shí)三只袋中球的個(gè)數(shù)相同，則的值等于（

）

A．128 B．64 C．32 D．16變式1．（2023·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）若m、n滿(mǎn)足，則．變式2．（2023.江蘇·?？寄M預(yù)測(cè)）已知，則x的值為．變式3．（2022·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）當(dāng)今大數(shù)據(jù)時(shí)代，“二維碼”具有存儲(chǔ)量大．保密性強(qiáng)、追蹤性高等特點(diǎn)，它己被廣泛應(yīng)用于我們的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期間，區(qū)區(qū)“二維碼”己經(jīng)展現(xiàn)出無(wú)窮威力．看似“碼碼相同”，實(shí)則“碼碼不同”．通常，一個(gè)“二維碼”由1000個(gè)大大小小的黑白小方格組成，其中小方格專(zhuān)門(mén)用做糾錯(cuò)碼和其他用途的編碼，這相當(dāng)于1000個(gè)方格只有200個(gè)方格作為數(shù)據(jù)碼．根據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，這200個(gè)方格可以生成個(gè)不同的數(shù)據(jù)二維碼，現(xiàn)有四名網(wǎng)友對(duì)的理解如下：YYDS（永遠(yuǎn)的神）：就是200個(gè)2相乘，它是一個(gè)非常非常大的數(shù)；DDDD（懂的都懂）：等于；JXND（覺(jué)醒年代）：的個(gè)位數(shù)字是6；QGYW（強(qiáng)國(guó)有我）：我知道，所以我估計(jì)比大．其中對(duì)的理解錯(cuò)誤的網(wǎng)友是___________（填寫(xiě)網(wǎng)名字母代號(hào)）．例9：（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）若實(shí)數(shù)m滿(mǎn)足，則．變式1．（2023年四川省涼山州數(shù)學(xué)中考真題）已知是完全平方式，則的值是．變式2．（2022·黑龍江大慶·中考真題）已知代數(shù)式是一個(gè)完全平方式，則實(shí)數(shù)t的值為_(kāi)______．變式3．（2023年河北省中考數(shù)學(xué)真題）若k為任意整數(shù)，則的值總能（

）A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除例10：（2023年四川省攀枝花市中考數(shù)學(xué)真題）我們可以利用圖形中的面積關(guān)系來(lái)解釋很多代數(shù)恒等式．給出以下4組圖形及相應(yīng)的代數(shù)恒等式：①

②

③

④

其中，圖形的面積關(guān)系能正確解釋相應(yīng)的代數(shù)恒等式的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)變式1．（2023年湖北省隨州市中考數(shù)學(xué)真題）設(shè)有邊長(zhǎng)分別為a和b()的A類(lèi)和B類(lèi)正方形紙片、長(zhǎng)為a寬為b的C類(lèi)矩形紙片若干張．如圖所示要拼一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，需要1張A類(lèi)紙片、1張B類(lèi)紙片和2張C類(lèi)紙片．若要拼一個(gè)長(zhǎng)為、寬為的矩形，則需要C類(lèi)紙片的張數(shù)為(

)

A．6 B．7 C．8 D．9變式2．（2022·湖北隨州·中考真題）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽著作，是數(shù)學(xué)發(fā)展史的一個(gè)里程碑．在該書(shū)的第2幕“幾何與代數(shù)”部分，記載了很多利用幾何圖形來(lái)論證的代數(shù)結(jié)論，利用幾何給人以強(qiáng)烈印象將抽象的邏輯規(guī)律體現(xiàn)在具體的圖形之中．(1)我們?cè)趯W(xué)習(xí)許多代數(shù)公式時(shí)，可以用幾何圖形來(lái)推理，觀察下列圖形，找出可以推出的代數(shù)公式，（下面各圖形均滿(mǎn)足推導(dǎo)各公式的條件，只需填寫(xiě)對(duì)應(yīng)公式的序號(hào)）公式①：公式②：公式③：公式④：圖1對(duì)應(yīng)公式______，圖2對(duì)應(yīng)公式______，圖3對(duì)應(yīng)公式______，圖4對(duì)應(yīng)公式______；(2)《幾何原本》中記載了一種利用幾何圖形證明平方差公式的方法，如圖5，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；（已知圖中各四邊形均為矩形）(3)如圖6，在等腰直角三角形ABC中，，D為BC的中點(diǎn)，E為邊AC上任意一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)G，作F點(diǎn)H過(guò)點(diǎn)B作BF//AC交EG的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．記△BFG與△CEG的面積之和為，△ABD與△AEH的面積之和為．①若E為邊AC的中點(diǎn)，則的值為_(kāi)______；②若E不為邊AC的中點(diǎn)時(shí)，試問(wèn)①中的結(jié)論是否仍成立？若成立，寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

例11：（2023·四川德陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）在“點(diǎn)燃我的夢(mèng)想，數(shù)學(xué)皆有可衡”數(shù)學(xué)創(chuàng)新設(shè)計(jì)活動(dòng)中，“智多星”小強(qiáng)設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)：對(duì)依次排列的兩個(gè)整式m，n按如下規(guī)律進(jìn)行操作：第1次操作后得到整式串m，n，；第2次操作后得到整式串m，n，，；第3次操作后…其操作規(guī)則為：每次操作增加的項(xiàng)，都是用上一次操作得到的最末項(xiàng)減去其前一項(xiàng)的差，小強(qiáng)將這個(gè)活動(dòng)命名為“回頭差”游戲．則該“回頭差”游戲第2023次操作后得到的整式中各項(xiàng)之和是（

）A． B．m C． D．變式1.（2023年湖南省岳陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)真題）觀察下列式子：；；；；；…依此規(guī)律，則第（為正整數(shù)）個(gè)等式是．變式2．（2023年湖南省常德市中考數(shù)學(xué)真題）觀察下邊的數(shù)表（橫排為行，豎排為列），按數(shù)表中的規(guī)律，分?jǐn)?shù)若排在第a行b列，則的值為(

)

……A．2003 B．2004 C．2022 D．2023變式3．（2023年黑龍江省大慶市中考數(shù)學(xué)真題）1261年，我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提到了如圖所示的數(shù)表，人們將這個(gè)數(shù)表稱(chēng)為“楊輝三角”．

觀察“楊輝三角”與右側(cè)的等式圖，根據(jù)圖中各式的規(guī)律，展開(kāi)的多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為．例12：（2023年四川省綿陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)真題）如下圖，將形狀、大小完全相同的“●”和線(xiàn)段按照一定規(guī)律擺成以下圖形，第1幅圖形中“●”的個(gè)數(shù)為，第2幅圖形中“●”的個(gè)數(shù)為，第3幅圖形中“●”的個(gè)數(shù)為，…，以此類(lèi)推，那么的值為（）

A． B． C． D．變式1.（2023年重慶市中考數(shù)學(xué)真題）用圓圈按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有2個(gè)圓圈，第②個(gè)圖案中有5個(gè)圓圈，第③個(gè)圖案中有8個(gè)圓圈，第④個(gè)圖案中有11個(gè)圓圈，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑦個(gè)圖案中圓圈的個(gè)數(shù)為（

）

A．14 B．20 C．23 D．26變式2．（2023年黑龍江省綏化市中考數(shù)學(xué)真題）在求的值時(shí)，發(fā)現(xiàn)：，，從而得到．按此方法可解決下面問(wèn)題．圖（1）有1個(gè)三角形，記作；分別連接這個(gè)三角形三邊中點(diǎn)得到圖（2），有5個(gè)三角形，記作；再分別連接圖（2）中間的小三角形三邊中點(diǎn)得到圖（3），有9個(gè)三角形，記作；按此方法繼續(xù)下去，則．（結(jié)果用含n的代數(shù)式表示）

例13：（2021·湖北鄂州市·中考真題）數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組的同學(xué)在學(xué)習(xí)了完全平方公式之后，針對(duì)兩個(gè)正數(shù)之和與這兩個(gè)正數(shù)之積的算術(shù)平方根的兩倍之間的關(guān)系進(jìn)行了探究，請(qǐng)閱讀以下探究過(guò)程并解決問(wèn)題．猜想發(fā)現(xiàn)：由；；；；；猜想：如果，，那么存在（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）．猜想證明：∵∴①當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，∴；②當(dāng)，即時(shí)，，∴．綜合上述可得：若，，則成立（當(dāng)日僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）．猜想運(yùn)用：（1）對(duì)于函數(shù)，當(dāng)取何值時(shí)，函數(shù)的值最?。孔钚≈凳嵌嗌?？變式探究：（2）對(duì)于函數(shù)，當(dāng)取何值時(shí)，函數(shù)的值最?。孔钚≈凳嵌嗌?？拓展應(yīng)用：（3）疫情期間、為了解決疑似人員的臨隔離問(wèn)題．高速公路榆測(cè)站入口處，檢測(cè)人員利用檢測(cè)站的一面墻（墻的長(zhǎng)度不限），用63米長(zhǎng)的鋼絲網(wǎng)圍成了9間相同的長(zhǎng)方形隔離房，如圖．設(shè)每間離房的面積為（米2）．問(wèn)：每間隔離房的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，可使每間隔離房的面積最大？最大面積是多少？變式1.（2023上·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）代數(shù)式的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8變式2.（2023上·廣西河池·?？寄M預(yù)測(cè)）閱讀下列材料：我們把多項(xiàng)式及叫做完全平方公式，如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方公式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，可以求代數(shù)式的最大值或最小值．例如：求代數(shù)式的最小值．解：∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，的最小值為；再例如：求代數(shù)式的最大值．解：∵，∴，∴；∴當(dāng)時(shí)，的最大值為．(1)【直接應(yīng)用】代數(shù)式