考點03 實數(shù)的運算（解析版）

考點三實數(shù)的運算知識點整合(1)實數(shù)的加減法則.注意異號兩數(shù)相加時,取“絕對值較大”的數(shù)的“符號”.(2)實數(shù)的乘除法則.注意“異號”得“負(fù)”，除法中的除數(shù)不等于0.兩數(shù)的積為0,則兩數(shù)中至少有一個為0.(3)實數(shù)的乘方開方運算中,乘方時,注意底數(shù)相同,開平方時,被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).(4)實數(shù)的混合運算中,在同一個式子里，先乘方、開方，然后乘、除，最后加、減．有括號時，先算括號里面．(5)實數(shù)的運算律:加法交換律、結(jié)合律,乘法交換律、結(jié)合律、分配律.(6)熟記特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、二次根式、絕對值等的運算.注意運算順序，分清先算什么，再算什么.考向一實數(shù)的綜合運算典例引領(lǐng)1．計算：．【答案】【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，根據(jù)立方根，算術(shù)平方根，平方差公式進(jìn)行計算即可求解．【詳解】原式．2．計算：【答案】3【分析】本題主要考查了實數(shù)的混合運算，分別計算乘方，化簡算術(shù)平方根和立方根，然后再計算加減運算即可．【詳解】解：．3．計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)5【分析】本題主要考查了實數(shù)的混合計算．（1）直接利用算術(shù)平方根，絕對值的性質(zhì)化簡以及實數(shù)數(shù)加減運算法則計算即可；（2）直接利用立方根、算術(shù)平方根性質(zhì)以及絕對值的性質(zhì)分別化簡計算即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．4．已知，，，．(1)請化簡這四個數(shù)．(2)根據(jù)化簡結(jié)果，列式表示這四個數(shù)中“有理數(shù)的和”與“無理數(shù)的積”的差，然后計算結(jié)果．【答案】(1)8，1，，(2)【分析】本題主要考查實數(shù)的運算，實數(shù)的分類．（1）根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、絕對值的定義分別求解即可；（2）根據(jù)題意列出算式，再進(jìn)一步計算即可．【詳解】（1）解：，，，．（2）解：由（1）中結(jié)果知：，為有理數(shù)，，為無理數(shù)，．5．計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合計算，實數(shù)的混合計算，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)有理數(shù)的加減計算法則求解即可；（2）根據(jù)有理數(shù)乘法分配律進(jìn)行求解即可；（3）先計算立方根，算術(shù)平方根和乘方，再計算加減法即可；（4）先計算乘方，再計算乘除法，最后計算加減法即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．6．計算：(1)；(2)求式中x的值：．【答案】(1)(2)或【分析】（1）先計算立方根，算術(shù)平方根及絕對值，再計算加減即可；（2）先移項，再根據(jù)平方根的定義解方程即可．【詳解】（1）原式（2）或7．計算：【答案】【分析】本題考查實數(shù)的混合運算，先運算乘方，開方和去絕對值，然后運算加法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：．8．對任意有理數(shù)，定義一種運算“”：．(1)計算的結(jié)果為______；(2)計算的值；(3)定義的新運算“”對交換律是否成立？請寫出你的探究過程．【答案】(1)(2)22(3)定義的新運算“”對交換律成立【分析】本題主要考查了新定義下實數(shù)運算．（1）按照給定的新定義運算計算即可；（2）先按照新定義運算計算，再將其結(jié)果與計算即可求出結(jié)果；（3）按新定義分別運算和即可說明理由．【詳解】（1）解：（2）；（3）∵，，∴，定義的新運算“”對交換律成立．9．符號“f”表示一種運算，它對一組數(shù)的運算如下：，，，…(1)利用以上運算的規(guī)律寫出；（為正整數(shù)）(2)計算；(3)計算的值．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】此題主要考查了定義新運算，解題的關(guān)鍵是觀察數(shù)字規(guī)律和熟練掌握實數(shù)的運算法則．（）根據(jù)題意中的運算，觀察規(guī)律即可寫出；（）由（）中求出的表達(dá)式，即可求出的值；（）由（）中求出的表達(dá)式，即可求出的值．【詳解】（1）解：∵，，，，…，∴，故答案為：；（2）∵，，，，，∴；（3）．10．觀察下列各式：第1個式子：．第2個式子：．第3個式子：．……根據(jù)其規(guī)律，解答下列問題：(1)__________．(2)第n個式子為__________．(3)利用以上規(guī)律計算：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了有理數(shù)計算中的規(guī)律問題，掌握“裂項”規(guī)律是解題關(guān)鍵，此題旨在考查學(xué)生的舉一反三能力．（1）觀察各等式左右兩邊的變化規(guī)律，即可求解；（2）第n個式子左邊為：，右邊為：；（3）利用所得規(guī)律即可“裂項”求解．【詳解】（1），故答案為：；（2）解：第n個式子為：故答案為：；（3）解：原式．．11．問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，王老師出示了一個問題：，(1)第5個式子為________，第個式子為________．(2)計算：(3)計算：【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題目中給出的條件及對應(yīng)規(guī)律，即可求出5個式子和第個式子；（2）根據(jù)第1問的規(guī)律，尋找第二問和第一問的關(guān)系即可求出的值；（3）先找出分母的規(guī)律，尋找此規(guī)律是第一問分母規(guī)律的，按照第一問的規(guī)律即可求出答案．【詳解】（1）解：由題意知，第5個式子為：，第個式子為：．故答案為：；．（2）解：故答案為：．（3）解：故答案為：．【點睛】本題考查了數(shù)字規(guī)律，解題的關(guān)鍵在于通過例子尋找規(guī)律公式．12．閱讀下面的文字，解答問題：我們知道是無理數(shù)，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此不能將的小數(shù)部分全部寫出來，于是小慧用來表示的小數(shù)部分，你明白小慧的表示方法嗎？事實上，因為的整數(shù)部分是1，將一個數(shù)減去它的整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．例如：，即，的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為．請解答：(1)的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是；(2)已知是的整數(shù)部分，是的小數(shù)部分，求的值【答案】(1)2；(2)【分析】本題考查無理數(shù)的估算，涉及二次根式性質(zhì)、代數(shù)式求值，讀懂文字材料，理解表示無理數(shù)整數(shù)部分與小數(shù)部分的方法是解決問題的關(guān)鍵．（1）先估算的范圍，再由材料中的方法表示即可得到答案；（2）先估算的范圍，再由材料中的方法表示，代值求解即可得到答案．【詳解】（1）解：，，的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為，故答案為：2；；（2）解：，，是的整數(shù)部分，是的小數(shù)部分，，，．13．如圖，數(shù)軸上A點表示的數(shù)是，P是數(shù)軸上一動點．

(1)在數(shù)軸上，把點A向左平移4個單位長度得到點B，求點B表示的數(shù)；(2)若點C表示的數(shù)是B所表示數(shù)的相反數(shù)，求點C表示的數(shù)；(3)若點P從點A向點B以每秒3個單位長度向B運動，到達(dá)點B后又向A運動，到達(dá)A后再向B運動，如此往復(fù)運動問當(dāng)點P運動2022秒時，點P與點C的位置有什么關(guān)系？請說明理由．【答案】(1)(2)(3)P在C點的左側(cè)，理由見解析【分析】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，實數(shù)的大小比較，實數(shù)的加減運算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點距離即可求解；（2）根據(jù)相反數(shù)的定義即可求解；（3）根據(jù)題意，得出P運動2022秒時，P在A點左側(cè)個單位長度，即P表示的數(shù)為，進(jìn)而判斷所表示的數(shù)的大小，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）解：∵數(shù)軸上A點表示的數(shù)是，把A點向左平移4個單位長度得到B點，∴B點表示的數(shù)為；（2）解：∵點表示的數(shù)是B所表示數(shù)的相反數(shù)，∴點表示的數(shù)為；（3）解：，∴P運動2022秒時，P在A點左側(cè)2個單位長度，即P表示的數(shù)為，因為表示的數(shù)是，∴，∵，∴，即．∴P在C點的左側(cè)．

14．一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，如圖所示：

(1)當(dāng)輸入的為時，輸出的值是______；(2)若輸入有效的值后，始終輸不出值，請寫出所有滿足要求的的值，并說明你的理由；(3)若輸出的是，請求出兩個滿足要求的值．【答案】(1)(2)或，理由見解析(3)5或【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根的定義進(jìn)行計算即可；（2）根據(jù)0或1的算術(shù)平方根的特殊性得出答案；（3）可以考慮1次運算輸出結(jié)果，2次運算輸出結(jié)果，進(jìn)而得出答案．【詳解】（1）解：當(dāng)時，的算術(shù)平方根為，而是有理數(shù)，的算術(shù)平方根為，而是有理數(shù)，的算術(shù)平方根為，故答案為：；（2）或，理由如下：因為的算術(shù)平方根是，的算術(shù)平方根是，無論進(jìn)行多少次運算都不可能是無理數(shù)；（3）若次運算就是無理數(shù)，則輸入的數(shù)為，若次運算輸出的數(shù)是無理數(shù)，則輸入的數(shù)是，∴滿足要求的值可以是：5或．【點睛】本題考查算術(shù)平方根、有理數(shù)和無理數(shù)，理解算術(shù)平方根的定義是正確解答的前提．15．下圖是一個數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)

(1)當(dāng)輸入的x為16時，輸出的y值是______．(2)若輸入有效的x值后，始終輸不出y值，請寫出滿足要求的x的值______．(3)若輸入的值，且輸出的y是，請寫出滿足要求的x的值______．【答案】(1)；(2)和1；(3)5和25．【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根，即可解答；（2）根據(jù)0和1的算術(shù)平方根是它們本身，0和1是有理數(shù)，所以始終輸不出值；（3）根據(jù)625的算術(shù)平方根是25，25的算術(shù)平方根是5，5的算術(shù)平方根是，進(jìn)行回答即可．【詳解】（1）的算術(shù)平方根是4，4是有理數(shù)，4不能輸出，的算術(shù)平方根是2，2是有理數(shù)，2不能輸出，的算術(shù)平方根是，是無理數(shù)，輸出，故答案為：（2）和1的算術(shù)平方根是它們本身，0和1是有理數(shù)，當(dāng)和1時，始終輸不出的值，故答案為：和1；（3）625的算術(shù)平方根是25，25的算術(shù)平方根是5，5的算術(shù)平方根是，當(dāng)和5時，輸出的y是，故答案為：5和25．【點睛】本題考查了算術(shù)平方根，解決本題的關(guān)鍵是熟記算術(shù)平方根的定義．16．如圖是一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，其工作原理如圖所示．

(1)當(dāng)輸入的x值為時，求輸出的y值；(2)若輸入有意義的x值后，始終輸不出y值，請寫出所有滿足要求的x的值，并說明你的理由；(3)若輸出的y值是，直接寫出x的負(fù)整數(shù)值．【答案】(1)(2)1或2或3，理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)絕對值和算術(shù)平方根的定義進(jìn)行計算即可；（2）根據(jù)0或1的算術(shù)平方根的特殊性得出答案；（3）可以考慮1次運算輸出結(jié)果，2次運算輸出結(jié)果，進(jìn)而得出答案．【詳解】（1）解：當(dāng)時，，4的算術(shù)平方根為，而2是有理數(shù)，2的算術(shù)平方根為，故答案為：；（2）解：1或2或3，理由如下：∵0的算術(shù)平方根是0，1的算術(shù)平方根是1，∴當(dāng)或0時，解得或2或3，∴當(dāng)或2或3時，無論進(jìn)行多少次運算都不可能是無理數(shù)；（3）解：若1次運算就是，∴∴∴解得或，∴x為負(fù)整數(shù)，則輸入的數(shù)為；若2次運算輸出的數(shù)是，∴∴∴解得或∵∴不符合題意，綜上所述，．【點睛】本題考查算術(shù)平方根、有理數(shù)和無理數(shù)，理解算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵．17．一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器如圖所示：

(1)當(dāng)輸入的值為16時，輸出的值是______；(2)若輸入有效的值后，始終輸不出值，則所有滿足要求的的值為______；(3)若輸出的值是，請直接寫出兩個滿足要求的的值．【答案】(1)(2)0，1(3)，【分析】（1）根據(jù)運算規(guī)則即可求解；（2）根據(jù)0的算術(shù)平方根是0，1的算術(shù)平方根是1即可判斷；（3）根據(jù)運算法則，進(jìn)行逆運算即可求得無數(shù)個滿足條件的數(shù)．【詳解】（1）解：當(dāng)時，取算術(shù)平方根，不是無理數(shù)，繼續(xù)取算術(shù)平方根，不是無理數(shù)，繼續(xù)取算術(shù)平方根得，是無理數(shù)，所以輸出的y值為；故答案為：；（2）解：當(dāng)，1時，始終輸不出y值．因為0的算術(shù)平方根是0，1的算術(shù)平方根是1，一定是有理數(shù)；故答案為：0，1；（3）解：25的算術(shù)平方根為5，5的算術(shù)平方根是，∴，都滿足要求．【點睛】本題考查了算術(shù)平方根的計算和無理數(shù)的判斷，正確理解給出的運算方法是關(guān)鍵．18．如圖是一個按運算規(guī)則進(jìn)行的數(shù)值轉(zhuǎn)換器：(1)若輸入的x為16，則輸出的y值是；(2)若輸入有效的x值后，始終輸不出y值，則x的值是；(3)若輸出y的值是，請寫出兩個滿足要求的x值．【答案】(1)(2)0或1(3)5，25（答案不唯一）【分析】（1）由，，，即可得到答案；（2）根據(jù)1和0的算術(shù)平方根還等于它本身，即可做出解答；（3）根據(jù)題意寫出兩個滿足要求的x值即可．【詳解】（1）解：∵，，，∴輸入的x為16，輸出的y值是，故答案為：（2）∵1和0的算術(shù)平方根還等于它本身，∴輸入0或1后，始終輸不出y值，故答案為：0或1（3）∵，5的算術(shù)平方根是，∴兩個滿足要求的x值可以是25或5．故答案為：5，25（答案不唯一）【點睛】此題考查了算術(shù)平方根、實數(shù)的分類，熟練掌握算術(shù)平方根的求法是解題的關(guān)鍵．19．對于任意實數(shù)a、b，用“※”定義新運算如下：(1)．如．已知的結(jié)果是6，求的值．(2)．如．已知結(jié)果為，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了新定義，根據(jù)平方根和立方根的定義解方程，熟練掌握平方根和立方根的定義是的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題目所給新定義的運算法則，得出，根據(jù)平方根的定義即可求解；（2）根據(jù)題目所給新定義的運算法則，得出，根據(jù)立方根的定義即可求解．【詳解】（1）解：由題意，得，∵∴，則∴．（2）解：由題意，得，∵，∴，則，∴∴．20．規(guī)定：將n個整數(shù)，，按一定順序排列組成一個n元有序數(shù)組，n為正整數(shù)，記作，，，稱此數(shù)組中各個數(shù)絕對值之和為“模和”S，即．將所有滿足“模和”為S的n元有序數(shù)組的個數(shù)為記為．例如：若二元數(shù)組的“模和”，即，其中滿足條件的二元有序數(shù)組有，，，，共4個，則．請根據(jù)以上規(guī)定完成下列各題：(1)填空：，．(2)若，則．(3)用含為正整數(shù)）的式子填空：．【答案】(1)2；8(2)99(3)【分析】本題考查了數(shù)字的變化類，找到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)例子，仿照寫出、；（2）從例子和（1）求得的值，總結(jié)規(guī)律；（3）求、、時，的值，從中總結(jié)規(guī)律．【詳解】（1）解：，，即，滿足條件的一元有序數(shù)組有（1）、，共兩個，，，，即，滿足條件的二元有序數(shù)組有、、、、、、、，共8個，則；故答案為：2；8．（2）解：由、，可得，，時，；故答案為：99．（3）解：時，，滿足條件的三元有序數(shù)組有，0，、，1，、，0，、，0，、，，、，0，，共6個，則，時，，時，，．故答案為：．21．規(guī)定表示一對數(shù)對，給出如下定義：，，與稱為數(shù)對的一對“對稱數(shù)對”．例如：數(shù)對的一對“對稱數(shù)對”為與．(1)數(shù)對的一對“對稱數(shù)對”是______；(2)若數(shù)對的一個“對稱數(shù)對”是，則的值是______；(3)若數(shù)對一個“對稱數(shù)對”是，求的值．【答案】(1)與(2)1(3)或【分析】本題主要考查了新定義運算，理解和應(yīng)用新定義是解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)新定義即可得出答案；（2）根據(jù)新定義可得，解方程即可得出答案；（3）根據(jù)新定義得出方程組，解方程即可得出答案．【詳解】（1）解：，，數(shù)對的一對“對稱數(shù)對”是與，故答案為：與（2）解：數(shù)對的一個“對稱數(shù)對”是，，，故答案為：1；（3）解：數(shù)對一個“對稱數(shù)對”是，或，或．22．觀察下列各式：第一個式子：；第二個式子：；第三個式子：；…(1)求第四個式子為：；(2)求第n個式子為：（用n表示）；(3)求＋…＋的值．【答案】(1)(2)（n為正整數(shù)）(3)【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡及數(shù)字變化的規(guī)律，解題的關(guān)鍵是：（1）觀察題中所給式子各部分的變化規(guī)律即可解決問題．（2）利用（1）中的發(fā)現(xiàn)即可解決問題．（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論即可解決問題．【詳解】（1）解：觀察題中所給式子可知，第四個式子為：．故答案為：．（2）由（1）中的發(fā)現(xiàn)可知，第個式子為：．故答案為：為正整數(shù)）．（3）原式．23．若a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的伴隨數(shù)．比如：2的伴隨數(shù)是．(1)求的伴隨數(shù)．(2)若，是的伴隨數(shù)，是的伴隨數(shù)，…以此類推，則______，______，______．(3)若，是的伴隨數(shù)，是的伴隨數(shù)，…以此類推，則______．【答案】(1)(2)，，(3)【分析】（1）根據(jù)新定義的運算法則計算即可；（2）根據(jù)新定義的運算法則計算即可；（3）根據(jù)新定義的運算法則計算，，，，的值，發(fā)現(xiàn)，，，為一個循環(huán)，從而的解．【詳解】（1）解：的伴隨數(shù)是；（2），，；（3），，，，，由上述計算得，，，，為一個循環(huán)，，．【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算和新定義-數(shù)a的伴隨數(shù)，能靈活運用有理數(shù)的運算法則進(jìn)行計算是解此題的關(guān)鍵．24．分析探索題：細(xì)心觀察如圖，認(rèn)真分析各式，然后解答問題．；；

(1)請用含有為正整數(shù)的等式______；(2)推算出______．(3)求出的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可；（2）根據(jù)題意找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可；（3）根據(jù)題意列出算式，根據(jù)乘方法則，加法法則計算即可．【詳解】（1）解：由題意得：，故答案為：；（2），所以，故答案為：；（3）．【點睛】本題考查的是勾股定理、數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)題意找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．25．某班將在期中學(xué)生表彰大會上邀請受表彰學(xué)生的家長參會，小王設(shè)計了圖1樣式的長方形邀請函：正面繪制了3個A類正方形和4個B類正方形，并對陰影部分進(jìn)行上色，已知每個A類正方形的面積為2，每個B類正方形的面積是4．

(1)A類正方形的邊長是________；(2)求長方形邀請函的周長；(3)小李建議將圖1正中間的正方形去掉，以中間的“工”形代表“工作之星”的含意，如圖2所示，則修改后的陰影部分的周長是________．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了算術(shù)平方根，實數(shù)的混合運算．正確求解四邊形的邊長是解題的關(guān)鍵．（1）由A類正方形的面積為2，可知A類正方形的邊長是；（2）由B類正方形的面積是4，可知B類正方形的邊長是，則長方形的長為，寬為，根據(jù)周長公式計算求解即可；（3）如圖，由題意知，陰影部分由兩個類長方形，兩個類長方形，一個類正方形組成，則類長方形的長為，寬為2，周長為；類長方形的長為2，寬為，周長為；根據(jù)陰影部分的周長為，計算求解即可．【詳解】（1）解：∵A類正方形的面積為2，∴A類正方形的邊長是，故答案為：；（2）解：∵B類正方形的面積是4，∴B類正方形的邊長是，∴長方形的長為，寬為，∵，∴長方形邀請函的周長為；（3）解：如圖，由題意知，陰影部分由兩個類長方形，兩個類長方形，一個類正方形組成，

類長方形的長為，寬為2，周長為；類長方形的長為2，寬為，周長為；∴陰影部分的周長為，故答案為：．變式拓展1．計算：．【答案】1【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵，根據(jù)完全平方公式、算術(shù)平方根的定義、立方根的意義求解即可．【詳解】解：原式．2．計算.(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查實數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握實數(shù)混合運算的順序和運算法則．【詳解】（1）解：原式；（2）原式.3．計算：【答案】6【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，先化簡算術(shù)平方根、立方根（正數(shù)的立方根是正數(shù)）以及平方運算，得，再計算即可作答．【詳解】解：．4．計算：；【答案】2.6【分析】本題考查實數(shù)的混合運算，分別對根號下進(jìn)行變形或計算，再計算算術(shù)平方根和立方根，然后依次相加、減是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，．5．計算：(1)(2)【答案】(1)1(2)3【分析】本題考查了實數(shù)的運算．（1）根據(jù)算術(shù)平方根、立方根的性質(zhì)化簡，再計算加減即可；（2）根據(jù)乘方、算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡，再計算加減即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．6．任意給出一個非零實數(shù)m，按如圖所示的程序進(jìn)行計算．(1)當(dāng)m=1時，輸出的結(jié)果為________．(2)當(dāng)實數(shù)m的一個平方根是﹣時，求輸出的結(jié)果．【答案】(1)0(2)-2【分析】（1）將m=1代入流程圖，逐步計算即可；（2）根據(jù)題意求出m的值，代入流程圖計算即可求出值．【詳解】（1）解：當(dāng)m=1時，；（2）根據(jù)題意得：m==3，∴．【點睛】此題考查了實數(shù)的運算，以及平方根，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．7．探究規(guī)律，完成相關(guān)題目．定義“*”運算：；；；；；．(1)歸納*運算的法則：兩數(shù)a，b進(jìn)行*運算時，________．（文字語言或符號語言均可）特別地，0和任何數(shù)進(jìn)行*運算，或任何數(shù)和0進(jìn)行*運算，________．(2)計算：________．(3)是否存在有理數(shù)m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，說明理由；【答案】(1)同號得正，異號得負(fù)，并把兩數(shù)的平方相加．等于這個數(shù)的平方．(2)17(3)，【分析】本題主要考查新定義下的有理數(shù)運算，根據(jù)*運算的運算法則進(jìn)行運算，（1）根據(jù)*運算歸納出*運算的運算法則即可；（2）根據(jù)*運算的運算法則，以及有理數(shù)的混合運算即可求得答案；（3）根據(jù)*運算的運算法則，將原式化簡，再結(jié)合平方的非負(fù)性即可解得答案；【詳解】（1）解：兩數(shù)a，b進(jìn)行?運算時，同號得正，異號得負(fù)，并把兩數(shù)的平方相加．特別地，0和任何數(shù)進(jìn)行?運算，或任何數(shù)和0進(jìn)行*運算，等于這個數(shù)的平方．（2）原式，（3）∵，∴，∴，，解得，，8．閱讀理解題．定義：如果一個數(shù)的平方等于，記，這個數(shù)叫做虛數(shù)單位，把形如（a，b為實數(shù)）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫這個復(fù)數(shù)的實部，b叫做這個復(fù)數(shù)的虛部，它的加、減、乘法運算與整式的加、減、乘法運算類似．例如計算：根據(jù)以上信息，完成下列問題：(1)填空：；(2)計算：；(3)計算：．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1），據(jù)此即可求解；（2）利用材料所給乘法運算和乘方運算法則即可求解；（3）據(jù)此可找到規(guī)律求解．【詳解】（1）解：故答案為：（2）解：原式（3）解：由題意可得：∵∴原式【點睛】本題以新定義題型為背景，考查了學(xué)生舉一反三以及抽象概括能力．9．【閱讀】求值解：設(shè)①，將等式①的兩邊同時乘以2得：②由②－①得：即：【運用】仿照此法計算：；【延伸】如圖，將邊長為1的正方形分成4個完全一樣的小正方形，得到左上角一個小正方形為，選取右下角的小正方形進(jìn)行第二次操作，又得到左上角更小的正方形，依次操作2023次，依次得到小正方形、、、…、．

完成下列問題：①小正方形的面積_______，________；②求正方形、、、…、的面積和．【答案】運用：；延伸：①，；②【分析】（1）設(shè)，兩邊乘以5得到，兩等式相減得到，得到，即可；（2）①根據(jù)，，，，可得；②設(shè)，兩邊都乘以，得到，兩等式相減得到，即可得出．【詳解】運用：解：令①，得：②，①得：，整理得：，即；延伸：解：①根據(jù)題意：，，，，依此規(guī)律，，故答案為：，；設(shè)，兩邊都乘以得：，兩等式相減得到，．【點睛】本題考查數(shù)字類規(guī)律的探索，解決問題的關(guān)鍵是明確題意，探究數(shù)字的變化規(guī)律，運用探究得到的規(guī)律解答．10．觀察下列算式：①；②；③；④；…(1)寫出第⑥個等式；(2)猜想第n個等式_；（用含n的式子表示）(3)計算：．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）觀察所給的等式，直接寫出即可；（2）通過觀察可得第個等式為；（3）利用（2）的規(guī)律，將所求的式子化為，再運算即可．【詳解】（1）解：第⑥個等式為，故答案為：；（2）第個等式為，故答案為：；（3）．【點睛】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，通過觀察所給的等式，探索出等式的一般規(guī)律，并能靈活應(yīng)用規(guī)律運算是解題的關(guān)鍵．11．請你觀察：；；；…；；以上方法稱為“裂項相消求和法”請類比完成：(1)______；(2)______；(3)計算：的值．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）根據(jù)題意，對式子進(jìn)行裂項，求解即可；（2）根據(jù)題意，對式子進(jìn)行裂項，求解即可；（3）根據(jù)題意，對式子中的每一項進(jìn)行裂項，然后求解即可．【詳解】（1）解：；（2）；（3）．【點睛】此題考查了與實數(shù)有關(guān)的運算，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確的對每一項進(jìn)行裂項，然后求解．12．如圖是一個無理數(shù)篩選器的工作流程圖．(1)當(dāng)x為9時，y值為；(2)如果輸入0和1，（填“能”或“不能”）輸出y值；(3)當(dāng)輸出的y值是時，請寫出滿足題意的x值：．（寫出兩個即可）【答案】(1)(2)不能(3)5或25（答案不唯一）【分析】（1）根據(jù)運算流程圖，即可求解；（2）根據(jù)0的算術(shù)平方根是0，1的算術(shù)平方根是1，即可判斷；（3）根據(jù)運算法則，進(jìn)行逆運算即可得到滿足題意的x值．【詳解】（1）解：當(dāng)輸入x=9時，9的算術(shù)平方根為3，不是無理數(shù)，3的算術(shù)平方根為，即；故答案為：（2）解：當(dāng)輸入x=0或1時，因為0的算術(shù)平方根是0，始終是有理數(shù)，1的算術(shù)平方根是1，也始終是有理數(shù)，所以不能輸出y；故答案為：不能（3）解：當(dāng)時，，此時x=5；當(dāng)時，，，此時x=25；故答案為：5或25（答案不唯一）【點睛】本題考查了無理數(shù)以及算術(shù)平方根，正確理解工作流程圖是解題的關(guān)鍵．13．如圖為一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器．(1)若輸入的x值為3，則輸出的y值為________；若輸入的x值為9，則輸出的y值為________；(2)若輸入x值后，經(jīng)過兩次取算術(shù)平方根運算，輸出的y值為，求輸入的x的值．(3)尚進(jìn)同學(xué)輸入非負(fù)數(shù)x值后，卻始終輸不出y值．請你分析，他輸入的x值是_______．【答案】(1)(2)36(3)0或1【分析】（1）根據(jù)運算規(guī)則即可求解；（2）根據(jù)兩次取算術(shù)平方根運算，輸出的y值為，返回運算兩次平方可得x的值；（3）根據(jù)0和1的算術(shù)平方根分別是0和1，可得結(jié)論．【詳解】（1）當(dāng)時，取算術(shù)平方根為，為無理數(shù)，則輸出的y值為；當(dāng)，取算術(shù)平方根為3，3是有理數(shù)，繼續(xù)計算，取算術(shù)平方根為，為無理數(shù)，則輸出的y值為；故答案為：，（2）當(dāng)時，，，則（3）當(dāng)x=0，1時，始終輸不出y值，∵0，1的算術(shù)平方根是0，1，一定是有理數(shù)，∴他輸入的x值是0或1．故答案為：0或1．【點睛】本題考查了程序與實數(shù)計算，理解題意是解題的關(guān)鍵．14．如圖為一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器．(1)當(dāng)輸入的x值為4時，輸出的y值為；當(dāng)輸入的x值為16時，輸出的y值為；(2)輸入x值后，經(jīng)過兩次取算術(shù)平方根運算，輸出的y值為，求輸入的x值；(3)嘉淇發(fā)現(xiàn)輸入x值后要取其算術(shù)平方根，因此他輸入的x為非負(fù)數(shù)．但是當(dāng)他輸入x值后，卻始終輸不出y值，請你分析，他輸入的x值是多少？【答案】(1)；(2)輸入的x值為9(3)他輸入的x值為0或1【分析】（1）根據(jù)運算的定義即可直接求解．（2）對平方兩次即可出答案．（2）始終輸不出y值，x為非負(fù)數(shù)，則x的任何算術(shù)平方根都是有理數(shù)，只有0和1，即可得到答案．【詳解】（1）解：依據(jù)題意得：當(dāng)x=4時，，繼續(xù)輸入x=2，結(jié)果：；當(dāng)x=16時，是有理數(shù)，繼續(xù)輸入x=4，是有理數(shù)，繼續(xù)輸入x=2，結(jié)果：；故答案為：；．（2）∵輸出y的值為，∴第二次輸入的數(shù)為，∴第一次輸入的數(shù)為；∴輸入的值為9．（3）∵x為非負(fù)數(shù)，∴當(dāng)x=1時，1的算術(shù)平方根是1，1是有理數(shù)，始終輸不出y值，∴當(dāng)x=0時，0的算術(shù)平方根是0，0是有理數(shù)，，始終輸不出y值，∴x取值為1或0．【點睛】此題考查算術(shù)平方根概念及無理數(shù)，解題關(guān)鍵是正確理解題目中規(guī)定的運算．15．對于平面直角坐標(biāo)系中的任意一點，給出如下定義：記，將點與稱為點的一對“相伴點”．例如：點的一對“相伴點”是點與．(1)點的一對“相伴點”的坐標(biāo)是_________與____________；(2)若點的一對“相伴點”重合，則的值為__________；(3)若點的一個“相伴點”的坐標(biāo)為，求點的坐標(biāo)．【答案】(1)或(2)0(3)或【分析】對于（1），根據(jù)新定義解答即可；對于（2），分別表示出a，b，再根據(jù)點重合得出答案；對于（3），分兩種情況列出方程組，再求出解即可．【詳解】（1）根據(jù)題意可知，，所以一對“相伴點”是點與．故答案為：，；（2）根據(jù)題意可知，，因為一對“相伴點”重合，所以，即，解得．故答案為：0；（3）分兩種情況討論：當(dāng)時，解得，所以點B的坐標(biāo)是；當(dāng)時，解得，所以點B的坐標(biāo)是．所以點B的坐標(biāo)是或．【點睛】