考點17 多邊形與平行四邊形（精講）-2024年中考數(shù)學一輪復習之核心考點精講精練（原卷版）

考點17.多邊形與平行四邊形（精講）【命題趨勢】多邊形與平行四邊形是歷年中考考查重點，年年都會考查，分值為10分左右，預計2024年各地中考還將出現(xiàn)，并且在選擇、填空題中考查多邊形的內(nèi)角和、平行四邊形性質(zhì)和判定、與三角形中位線有關計算的可能性比較大。中考數(shù)學中，對平行四邊形的單獨考察難度一般不大，一般和三角形全等（相似）、函數(shù)、解直角三角形等綜合考查的可能性比較大，對于本考點內(nèi)容，要注重基礎，反復練習，靈活運用?！局R清單】1：多邊形的相關概念（☆☆）1）多邊形的定義：在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形。2）多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線。

3）多邊形對角線條數(shù)：從n邊形的一個頂點可以引（n－3）條對角線，并且這些對角線把多邊形分成了(n－2)個三角形，n邊形的對角線條數(shù)為。4）多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為(n?2)?180°（n≥3）。5）多邊形外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°，與多邊形的形狀和邊數(shù)無關。6）正多邊形的定義：各角相等，各邊相等的多邊形叫做正多邊形。7）平面鑲嵌（密鋪）的條件：在同一頂點內(nèi)的幾個角的和等于360°；所有正多邊形中，單獨使用其中一種能夠進行密鋪(鑲嵌)的只有正三角形、正方形、正六邊形。如果選用多種，則需要滿足：(1)邊長相等；(2)選用正多邊形若干個內(nèi)角的和恰好等于360°。2：平行四邊形的性質(zhì)與判定（☆☆☆）1）平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2）平行四邊形的表示：用符號“?”表示，平行四邊形ABCD記作“?ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.3）平行四邊形的性質(zhì)：（1）兩組對邊平行且相等；（2）對角相等、鄰角互補；（3）對角線互相平分；（4）平行四邊形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，平行四邊形的對角線的交點是平行四邊形的對稱中心。4）補充性質(zhì)：（1）過平行四邊形對稱中心的任一直線等分平行四邊形的面積和周長。（2）如圖①，AE平分∠BAD，則可利用平行線的性質(zhì)結(jié)合等角對等邊得到△ABE為等腰三角形，即AB=BE。（3）如圖②，已知點E為AD上一點，根據(jù)平行線間的距離處處相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE。（4）如圖③，根據(jù)平行四邊形的面積的求法，可得AE·BC=AF·CD。5）平行四邊形的判定定理：①定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；②一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；③兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；④兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；⑤對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。3：中位線（☆☆☆）1）三角形中位線概念：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形中位線。2）三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。3）三角形中位線定理的作用：（1）證明位置關系：可以證明兩條直線平行；（2）證明數(shù)量關系：可以證明線段的倍分關系。4）常用結(jié)論：任意一個三角形都有三條中位線，由此有：結(jié)論1：三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半。結(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。【易錯點歸納】1.多邊形的有關計算的公式有很多，一定要牢記，代錯公式容易導致錯誤；2.切記一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形。【核心考點】核心考點1.多邊形的相關概念例1：（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）若七邊形的內(nèi)角中有一個角為，則其余六個內(nèi)角之和為．變式1.（2023·江蘇連云港·?？既＃┮粋€多邊形的內(nèi)角和等于，那么它是（）A．十邊形 B．十一邊形 C．十二邊形 D．十三邊形變式2.（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖，將正五邊形紙片折疊，使點與點重合，折痕為，展開后，再將紙片折疊，使邊落在線段上，點的對應點為點，折痕為，則的大小為度．

變式3.（2022·湖南常德·中考真題）剪紙片：有一張長方形的紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成了2張紙片；從這2張中任選一張，再用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成了2張紙片，這樣共有3張紙片：從這3張中任選一張，再用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成了2張紙片，這樣共有4張紙片；……；如此下去，若最后得到10張紙片，其中有1張五邊形紙片，3張三角形紙片，5張四邊形紙片，則還有一張多邊形紙片的邊數(shù)為________．例2：（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）正十二邊形的外角和為（）A． B． C． D．變式1.（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖1是我國古建筑墻上采用的八角形空窗，其輪廓是一個正八邊形，窗外之境如同鑲嵌于一個畫框之中．如圖2是八角形空窗的示意圖，它的一個外角（

）

A． B． C． D．變式2.（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）若正n邊形的一個外角為，則．變式3.（2023·河北保定·校考模擬預測）如果一個正多邊形的內(nèi)角比它相鄰的外角大，那么這個多邊形是邊形．例3：（2023·浙江·模擬預測）用三種邊長相等的正多邊形地磚鋪地，其頂點在一起，剛好能完全鋪滿地面，已知正多邊形的邊數(shù)為x、y、z，則的值為．變式1.（2023·吉林長春·校考三模）如圖①是15世紀藝術家阿爾布雷希特·丟勒利用正五邊形和菱形創(chuàng)作的鑲嵌圖案設計，圖②是鑲嵌圖案中的某一片段的放大圖，其中菱形的最小內(nèi)角為度．

變式2.（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預測）20世紀70年代，數(shù)學家羅杰·彭羅斯使用兩種不同的菱形，完成了非周期性密鋪，如下圖，使用了，兩種菱形進行了密鋪，則菱形的銳角的度數(shù)為°．

例4：（2023·浙江麗水·統(tǒng)考一模）已知一個多邊形內(nèi)角和為，則這個多邊形可連對角線的條數(shù)是（

）A．10 B．16 C．20 D．40變式1.（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）如果一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2倍，那么從這個多邊形的一個頂點出發(fā)的對角線的條數(shù)是（

）A．3 B．6 C．9 D．18變式2.（2023·陜西西安·?？寄M預測）一個正多邊形每一個中心角都為40°，則這個正多邊形共有條對角線．核心考點2.平行四邊形的性質(zhì)與判定例5：（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，將四根木條用釘子釘成一個矩形框架，然后向左扭動框架，觀察所得四邊形的變化．下面判斷錯誤的是（

）

A．四邊形由矩形變?yōu)槠叫兴倪呅?B．對角線的長度減小C．四邊形的面積不變 D．四邊形的周長不變變式1.（2023·北京海淀·?？寄M預測）下列命題中的假命題是（

）A．對角線互相平分的四邊形是中心對稱圖形B．有一個角是直角的平行四邊形是軸對稱圖形C．對角線互相垂直的平行四邊形是中心對稱圖形D．等邊三角形既是軸對軸圖形，又是中心對稱圖形變式2.（2023·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，將平行四邊形ABCO放置在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，若點A的坐標是(6，0)，點C的坐標是(1，4)，則點B的坐標是．例6：（2023·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形中，按如下步驟作圖：①以點為圓心，以適當長為半徑畫弧，分別交，于點，；②分別以點，為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)交于點；③作射線交于點．若，則為．

變式1.（2023·山東濰坊·統(tǒng)考二模）已知中，∠A=55°，分別以點B，點C為圓心，以大于的長為半徑畫弧，分別交于點M，N，作直線交于點E，則的度數(shù)為（）

A．55° B．60° C．65° D．70°變式2.（2022·湖南湘潭·中考真題）在中（如圖），連接，已知，，則（

）A． B． C． D．例7：（2023·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，平分，交邊于點，連接，若，則的長為（

）

A．6 B．4 C． D．變式1.（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，為的中點，過點且分別交于點．若，則的長為．

變式2.（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，小宇將一張平行四邊形紙片折疊，使點落在長邊上的點處，并得到折痕，小宇測得長邊，則四邊形的周長為．

變式3.（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．以點為圓心，以的長為半徑作弧交邊于點，連接．分別以點為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧交于點，作射線交于點，交邊于點，則的值為．

例8：（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考模擬預測）如圖，平行四邊形的對角線相交于點，是的中點，連接．下列結(jié)論：①；②平分；③；④．其中結(jié)論正確的序號有（

）

A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④變式1.（2023·廣西北?！そy(tǒng)考三模）如圖，在平行四邊形中，對角線，相交于點O，過點O，交于點F，交于點E．若，，，則圖中陰影部分的面積是（）

A．1.5 B．3 C．6 D．4變式2.（2023·廣東潮州·二模）如圖，在中，為對角線．(1)求證：．(2)尺規(guī)作圖：作的垂直平分線，分別交于點E，F(xiàn)（不寫作法，保留作圖痕跡）；(3)若的周長為10，求的周長．變式3.（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，平分，交于點E，交的延長線于點F．(1)求證：；(2)若，求的長和的面積．

例9：（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，已知，添加下列條件不能判定四邊形是平行四邊形的是（）

A． B． C． D．變式1.（2023·江蘇南通·統(tǒng)考二模）如圖，在中，點，點在對角線上．要使，可添加下列選項中的（

）A． B． C． D．變式2.（2023·河南周口·校聯(lián)考模擬預測）如圖，已知，添加下列條件，不能判定四邊形是平行四邊形的是（

）A． B． C． D．例10：（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，B是AC的中點，點D，E在同側(cè)，，．(1)求證：≌．(2)連接，求證：四邊形是平行四邊形．變式1.（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形的對角線相交于點，點在對角線上，且，連接，．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)若的面積等于2，求的面積．

變式2.（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，在中，點D、E分別為的中點，點H在線段上，連接，點G、F分別為的中點．(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)，求線段的長度．

核心考點3.中位線例11：（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）在中，，分別為邊，的中點，，則的長為cm.變式1.（2023·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題）如圖，為斜邊上的中線，為的中點．若，，則．

變式2.（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長為2的正方形中，E，F(xiàn)分別是上的動點，M，N分別是的中點，則的最大值為．

變式3.（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在中，，，分別為，，邊的中點，于，，則等于（

）

A．4 B．5 C． D．例12：（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，D是AC延長線上的一點，．M是邊BC上的一點（點M與點B、C不重合），以CD、CM為鄰邊作．連接并取的中點P，連接，則的取值范圍是．

變式1.（2023·海南儋州·校聯(lián)考模擬預測）如圖，在中，平分平分，且，相交于點O，若點P為線段的中點，連接，則線段的長為（

）A． B．2 C． D．1變式2.（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，點M是邊上一動點，點D，E分別是，的中點，當時，的長是．若點N在邊上，且，點F，G分別是，的中點，當時，四邊形面積S的取值范圍是．

例13：（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）閱讀與思考：下面是一位同學的數(shù)學學習筆記，請仔細閱讀并完成相應任務．瓦里尼翁平行四邊形我們知道，如圖1，在四邊形中，點分別是邊，的中點，順次連接，得到的四邊形是平行四邊形．

我查閱了許多資料，得知這個平行四邊形被稱為瓦里尼翁平行四邊形．瓦里尼翁是法國數(shù)學家、力學家．瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關系密切．①當原四邊形的對角線滿足一定關系時，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四邊形的周長與原四邊形對角線的長度也有一定關系．③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半．此結(jié)論可借助圖1證明如下：證明：如圖2，連接，分別交于點，過點作于點，交于點．∵分別為的中點，∴．（依據(jù)1）

∴．∵，∴．∵四邊形是瓦里尼翁平行四邊形，∴，即．∵，即，∴四邊形是平行四邊形．（依據(jù)2）∴．∵，∴．同理，…任務：(1)填空：材料中的依據(jù)1是指：_____________．依據(jù)2是指：_____________．(2)請用刻度尺