河南濕封市2025屆高三數(shù)學(xué)二?？荚囋囶}理含解析

PAGE1-河南省開(kāi)封市2025屆高三數(shù)學(xué)二模考試試題理（含解析）留意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合,再求得解.【詳解】由題得或，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的化簡(jiǎn)和交集運(yùn)算，考查對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)定義域的求法，考查一元二次不等式的解法，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平，屬于基礎(chǔ)題.2.已知復(fù)數(shù)（為復(fù)數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式即可得出．【詳解】解：復(fù)數(shù)，則．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式，考查了推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．3.2024年，河南省鄭州市的房?jī)r(jià)照舊是鄭州市民關(guān)切的話題．總體來(lái)說(shuō)，二手房房?jī)r(jià)有所下降，相比二手房而言，新居市場(chǎng)照舊強(qiáng)勁，價(jià)格持續(xù)上升．已知銷(xiāo)售人員主要靠售房提成領(lǐng)取工資．現(xiàn)統(tǒng)計(jì)鄭州市某新居銷(xiāo)售人員一年的工資狀況的結(jié)果如圖所示，若近幾年來(lái)該銷(xiāo)售人員每年的工資總體狀況基本穩(wěn)定，則下列說(shuō)法正確的是（）A.月工資增長(zhǎng)率最高的為8月份B.該銷(xiāo)售人員一年有6個(gè)月的工資超過(guò)4000元C.由此圖可以估計(jì)，該銷(xiāo)售人員2024年6，7，8月的平均工資將會(huì)超過(guò)5000元D.該銷(xiāo)售人員這一年中的最低月工資為1900元【答案】C【解析】【分析】依據(jù)月工資改變圖，6月份月工資增長(zhǎng)率最高，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤，有7個(gè)月工資超過(guò)4000元，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤，近幾年來(lái)該銷(xiāo)售人員每年的工資總體狀況基本穩(wěn)定，則可以估計(jì)該銷(xiāo)售人員2024年6，7，8月的平均工資將會(huì)超過(guò)5000元，最低月工資為1300元，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤．【詳解】解：對(duì)于選項(xiàng)：依據(jù)月工資改變圖可知，6月份月工資增長(zhǎng)率最高，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)：該銷(xiāo)售人員一年中工資超過(guò)4000元的月份有：1，6，7，8，9，11，12，有7個(gè)月工資超過(guò)4000元，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)：由此圖可知，銷(xiāo)售人員2024年6，7，8月的平均工資都超過(guò)了8000元，而近幾年來(lái)該銷(xiāo)售人員每年的工資總體狀況基本穩(wěn)定，則可以估計(jì)該銷(xiāo)售人員2024年6，7，8月的平均工資將會(huì)超過(guò)5000元是正確的；對(duì)于選項(xiàng)：由此圖可知，該銷(xiāo)售人員這一年中的最低月工資為1300元，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡(jiǎn)潔的合情推理，屬于基礎(chǔ)題．4.已知：，則的值為（）A.7 B.8 C.15 D.16【答案】C【解析】【分析】利用二項(xiàng)式綻開(kāi)式的通項(xiàng)求出即得解.【詳解】由題得的綻開(kāi)式的通項(xiàng)為，令；令,所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式綻開(kāi)式的通項(xiàng)求系數(shù)，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平，屬于基礎(chǔ)題.5.已知雙曲線：的一個(gè)焦點(diǎn)為，過(guò)作軸的垂線分別交雙曲線的兩漸近線于，兩點(diǎn)，若的面積為，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】不妨設(shè)，求出,得化簡(jiǎn)即得解.【詳解】不妨設(shè)，聯(lián)立.所以，所以.所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)，考查直線和雙曲線的位置關(guān)系，考查雙曲線的離心率的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平，屬于基礎(chǔ)題.6.九連環(huán)是我國(guó)古代至今廣為流傳的一種益智嬉戲，它由九個(gè)鐵絲圓環(huán)相連成串，按肯定規(guī)則移動(dòng)圓環(huán)的次數(shù)，確定解開(kāi)圓環(huán)的個(gè)數(shù)在某種玩法中，用表示解下個(gè)圓環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)，數(shù)列滿意，且則解下5個(gè)環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)為（）A.7 B.10 C.16 D.22【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意，由逐項(xiàng)地推到，再利用的值即可算出結(jié)果．【詳解】，，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平，屬于基礎(chǔ)題.7.已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，依據(jù)圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)，可得出這個(gè)幾何體的表面積是（）A.6 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知中幾何體的三視圖，我們可以推斷出該幾何體是底面是一個(gè)底和高均為2的等腰三角形，側(cè)面由一個(gè)底和高均為2的等腰三角形和兩個(gè)腰長(zhǎng)為底面長(zhǎng)為的等腰三角形，分別求出各面面積，累加可得結(jié)果．【詳解】由三視圖得幾何體原圖如圖所示，該幾何體是一個(gè)在俯視圖為底面的三棱錐，底面是一個(gè)底和高均為2的等腰三角形，高為2，一個(gè)側(cè)面由一個(gè)底和高均為2的等腰三角形，另外兩個(gè)側(cè)面是腰長(zhǎng)為，底邊長(zhǎng)為的等腰三角形，其高為，故其表面積為.故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的學(xué)問(wèn)點(diǎn)是由三視圖求面積，其中推斷出幾何體各面的形態(tài)是解答本題的關(guān)鍵．8.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合在區(qū)間上單調(diào)遞增，建立不等式關(guān)系，即可求解．【詳解】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，解得，，所以，，因此，的取值范圍是.故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)、單調(diào)性的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平，屬于中等題．9.己知平行四邊形中，，，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求出直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，，求出的解析式，再利用二次函數(shù)求出函數(shù)的最小值即得解.【詳解】如圖所示，以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，所以直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，，所以，所以，當(dāng)時(shí)，取到最小值.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對(duì)量的坐標(biāo)表示和運(yùn)算，考查函數(shù)最值的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平，解決本題的關(guān)鍵是聯(lián)想到建立坐標(biāo)系利用坐標(biāo)來(lái)探討.10.已知正方形，其內(nèi)切圓與各邊分別切于點(diǎn)，，、，連接，，，．現(xiàn)向正方形內(nèi)隨機(jī)拋擲一枚豆子，記事務(wù)：豆子落在圓內(nèi)，事務(wù)：豆子落在四邊形外，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意，計(jì)算正方形與圓的面積比，利用條件概率公式求出的值．【詳解】由題意，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則圓的半徑為，面積為；正方形的邊長(zhǎng)為，面積為；所求的概率為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查條件概率和幾何概型的概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平．11.已知定義在上的奇函數(shù)，對(duì)隨意實(shí)數(shù)，恒有，且當(dāng)時(shí)，，則（）A.6 B.3 C.0 D.【答案】B【解析】【分析】先求出函數(shù)的周期為，求出的值即得解.【詳解】由題得，所以函數(shù)的周期為.由題得，，，所以，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的周期的推斷和應(yīng)用，考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平.12.如圖，在四棱錐中，，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，作棱錐的截面，分別與側(cè)棱，交于，兩點(diǎn)，則四棱錐體積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】如圖所示，設(shè),則,設(shè)三棱錐的高為，三棱錐的高為，先求出，再求出，求出的最大值即得解.【詳解】如圖所示，設(shè),則,設(shè)三棱錐的高為，三棱錐的高為，由題得,所以由題得，因?yàn)槠矫?所以所以,所以.在△中，由正弦定理得,在△中，由正弦定理得,所以在△中，.所以，當(dāng)時(shí)，取最小值，所以取最小值.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何體體積的計(jì)算和最值的求法，考查正弦定理和三角恒等變換，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平和分析推理實(shí)力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)．則函數(shù)在處的切線方程為_(kāi)__________．【答案】【解析】【分析】先求導(dǎo)數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求出斜率，最終利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程即可．【詳解】解：，，故切線方程為：，即．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及切線方程的求法．屬于基礎(chǔ)題．14.已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，，成等比數(shù)列，，則__________．【答案】4【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，解方程和即得，即得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題得和.，所以.故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和的基本量的計(jì)算，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平，屬于基礎(chǔ)題.15.現(xiàn)有灰色與白色的卡片各八張，分別寫(xiě)有數(shù)字1到8．甲、乙、丙、丁四個(gè)人每人面前擺放四張，并按從小到大的依次自左向右排列（當(dāng)灰色卡片和白色卡片數(shù)字相同時(shí)，白色卡片擺在灰色卡片的右側(cè)）．如圖，甲面前的四張卡片已經(jīng)翻開(kāi)，則寫(xiě)有數(shù)字4的灰色卡片是__________．（填寫(xiě)字母）【答案】【解析】【分析】由題得,假設(shè),再推出沖突，得到假設(shè)不成立，再假設(shè)得到答案.【詳解】由題得,假設(shè),則,此時(shí)白色的“4”在灰色的“4”的左邊，不符合題意，所以假設(shè)不成立.假設(shè)則由題得：白2，灰3，白7，灰8；灰1，白5，白6，灰7；白1，灰2，灰4，白8；白3，白4，灰5，灰6.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查推理證明，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平和分析推理實(shí)力.16.設(shè)，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)，分別作直線，，且，若與橢圓交于，兩點(diǎn)，與橢圓交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)，在軸上方），則四邊形面積的最大值為_(kāi)_________．【答案】4【解析】【分析】先求出兩平行直線沒(méi)有斜率時(shí)，此時(shí)，再求出當(dāng)兩平行直線有斜率時(shí)，最大值為1，綜合得最大值為1，再依據(jù)四邊形的面積為,即得解.【詳解】當(dāng)兩平行直線沒(méi)有斜率時(shí)，此時(shí).當(dāng)兩平行直線有斜率時(shí)，設(shè)直線的方程為即，聯(lián)立橢圓方程，消去得，由弦長(zhǎng)公式得，又原點(diǎn)到直線的距離為，所以，所以，設(shè)，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，所以的最大值為1，因?yàn)?，所以的最大值?，因?yàn)樗倪呅蔚拿娣e為，所以四邊形的面積為,所以此時(shí)四邊形的面積的最大值為4.故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中面積的最值問(wèn)題的求解，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平和分析推理實(shí)力.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.如圖，在三棱柱中，為正三角形，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)．（1）證明：；（2）求和平面所成角的正弦值．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）先證明平面，即得證；（2）先證明平面，再以為坐標(biāo)系原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，再利用向量法求直線和平面所成角的正弦值.【詳解】（1）證明：由，，，，因?yàn)?，所以，又，，平面，所以平面，平面，所以；?）由（1）知，又，所以，又，，所以平面，平面，所以平面平面，取中點(diǎn)，由為正三角形知，平面，又平面平面，所以平面．以為坐標(biāo)系原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則且，所以取，則，，則，所以，所以直線和平面所成角的正弦值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查空間直線平面的位置關(guān)系的證明，考查空間直線和平面所成的角的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平和分析推理計(jì)算實(shí)力.18.如圖，在梯形中，∥，．（1）若，且，求的面積；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用余弦定理求出，再利用即可求解；（2）先求出，，再利用正弦定理求出，求出，再利用余弦定理求出.【詳解】（1）由知，，，在中，，，由余弦定理，知，所以，即，解得或（舍），所以的面積．（2）在中，因?yàn)椋?，所以，，由正弦定理，所以，又，在中，由余弦定理，知所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角恒等變換求值，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平和分析推理計(jì)算實(shí)力.19.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且2，，成等差數(shù)列．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，過(guò)點(diǎn)作直線交曲線于，兩點(diǎn)，試問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）存在，定點(diǎn)【解析】【分析】（1）設(shè)，由題得，化簡(jiǎn)即得解；（2）設(shè)的方程為，與聯(lián)立得到韋達(dá)定理，再把韋達(dá)定理代入即得解.【詳解】（1）設(shè)，由條件知，所以．兩邊平方得，，所以（滿意），所以點(diǎn)的軌跡方程為．（2）由題意知直線的斜率存在．設(shè)的方程為，與聯(lián)立得，，所以，，．又設(shè)，，，則為定值，從而得，所以存在定點(diǎn)，使得為定值．【點(diǎn)睛】本題主要考查軌跡方程的求法，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線中的定點(diǎn)定值問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平和分析推理計(jì)算實(shí)力.20.已知函數(shù)．（1）當(dāng)，時(shí)，求的最小值；（2）若函數(shù)，，若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）．（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出的減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，即得的最小值；（2）等價(jià)于在上有解，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性即得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以．當(dāng)時(shí)，，，所以，所以當(dāng)時(shí)，．故由，得；由，得，所以的減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，所以的最小值為．（2）由題意得，，，函數(shù)有零點(diǎn)，即在上有解，所以，設(shè)，則．若，則，即，解得，且；若，則，即，解得，所以在，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．而，，，，又，所以，或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的最值，考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性和有解問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平和分析推理實(shí)力.21.某中醫(yī)藥探討所研制出一種新型抗癌藥物，服用后須要檢驗(yàn)血液是否為陽(yáng)性，現(xiàn)有份血液樣本每個(gè)樣本取到的可能性均等，有以下兩種檢驗(yàn)方式：（1）逐份檢驗(yàn)，則須要檢驗(yàn)次；（2）混合檢驗(yàn)，將其中份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)，若結(jié)果為陰性，則這份的血液全為陰性，因而這份血液樣本只需檢驗(yàn)一次就夠了；若檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這份血液原委哪份為陽(yáng)性，就須要對(duì)這份再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為次假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果總陽(yáng)性還是陰性都是相互獨(dú)立的，且每份樣本是陽(yáng)性的概率為．（1）假設(shè)有6份血液樣本，其中只有兩份樣本為陽(yáng)性，若實(shí)行遂份檢驗(yàn)的方式，求恰好經(jīng)過(guò)兩次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)的概率．（2）現(xiàn)取其中的份血液樣本，記采納逐份檢驗(yàn)的方式，樣本須要檢驗(yàn)的次數(shù)為；采納混合檢驗(yàn)的方式，樣本簡(jiǎn)要檢驗(yàn)的總次數(shù)為；（ⅰ）若，試運(yùn)用概率與統(tǒng)計(jì)的學(xué)問(wèn)，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，（ⅱ）若，采納混合檢驗(yàn)的方式須要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望少，求的最大值（，，，，，）【答案】（1）（2）（?。áⅲ?【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率求出恰好經(jīng)過(guò)兩次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)的概率；（2）（?。┫惹蟪觯倩?jiǎn)即得解；（ⅱ）由，得到，再利用導(dǎo)數(shù)解不等式得解.【詳解】（1）設(shè)“恰好經(jīng)過(guò)兩次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)”為事務(wù)，則，即恰好經(jīng)過(guò)兩次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)的事務(wù)的概率為．（2）（?。┯深}意知，取值的可能有1，，，，所以，由，得，即，所以，所以關(guān)于函數(shù)關(guān)系．（ⅱ）由題意知，，所以，即，所以，又，所以，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得，即，設(shè)，則，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，所以的最大值為8．【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率的計(jì)算，考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率的計(jì)算，考查隨機(jī)變量的期望的計(jì)算，考查利用導(dǎo)數(shù)解不等式，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平和