陜西省西安市高陵區(qū)第一中學(xué)田家炳中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題理含解析

PAGE17-陜西省西安市高陵區(qū)第一中學(xué)、田家炳中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題理（含解析）一?選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由集合的表示可得，再由集合的交集運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集運(yùn)算，考查了運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.2.已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的值為（）A. B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用待定系數(shù)法求出冪函數(shù)的解析式，再代入自變量的值即可求出函數(shù)值．【詳解】設(shè)冪函數(shù)，冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，，解得，冪函數(shù)，（9）故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪函數(shù)的定義，以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，是基礎(chǔ)題．3.曲線y=x2+3x在點(diǎn)A(1，4)處的切線的斜率k是（）A.4 B.5 C.6 D.【答案】B【解析】【分析】干脆利用切線的斜率就是曲線在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值求解即可.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，因?yàn)榍芯€的斜率就是曲線在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，所以函數(shù)在處的切線斜率（1）．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義．導(dǎo)數(shù)的幾何意義是指函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是曲線在點(diǎn)，處的切線的斜率．它把函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與曲線的切線聯(lián)系在一起，使導(dǎo)數(shù)成為函數(shù)學(xué)問與解析幾何學(xué)問交匯的一個(gè)重要載體．4.下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】依據(jù)偶函數(shù)的定義，A選項(xiàng)為奇函數(shù);B選項(xiàng)為偶函數(shù)；C選項(xiàng)定義域?yàn)椴痪哂衅媾夹?；D選項(xiàng)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).故選：B.5.函數(shù)的零點(diǎn)肯定位于區(qū)間（）A. B. C. D.【答案】A【解析】試題分析：，故零點(diǎn)位于.考點(diǎn)：零點(diǎn)與二分法．6.已知函數(shù)，則f(x)是（）A.非奇非偶函數(shù)，且在(0，+∞)上單調(diào)遞增 B.奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增C.非奇非偶函數(shù)，且在(0，+∞)上單調(diào)遞減 D.偶函數(shù)，且在R上單調(diào)遞減【答案】A【解析】【分析】本題考查函數(shù)的奇偶性和和單調(diào)性的概念及簡(jiǎn)潔復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定.【詳解】要使函數(shù)有意義，需使即解得所以函數(shù)的為定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以是增函數(shù)，又是增函數(shù)，所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，屬于中檔題.7.設(shè)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且在單調(diào)遞減，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】比較、、三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系，再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性并結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】，，即，同理可得，且，，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，，由于函數(shù)為偶函數(shù)，則.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小關(guān)系，同時(shí)也考查了利用中間值法比較指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的大小關(guān)系，考查推理實(shí)力，屬于中等題.8.已知函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.(-1，2) B. C. D.{-1}【答案】B【解析】【分析】由題可知在時(shí)的值域中包含全部負(fù)數(shù)，列出即可解出.【詳解】當(dāng)時(shí),所以要使的的值域?yàn)?需滿意在時(shí)的值域中包含全部負(fù)數(shù)，所以,解得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查已知分段函數(shù)的值域求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.9.已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿意.若，則=（）A. B.0 C.50 D.2【答案】D【解析】分析】首先求出函數(shù)的周期，并求一個(gè)周期內(nèi)的的值，依據(jù)周期性求的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，，又因?yàn)椋?，即，所以，即函?shù)的周期為4，，，，，，，那么.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)的周期，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與變形，計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題型.10.如圖，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝DC＝2，CB＝，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A動(dòng)身，由A→D→C→B沿邊運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在AB上的射影為Q.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，△APQ的面積為y，則y＝f(x)的圖象大致是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡以及二次函數(shù)，三角形的面積公式推斷即可．【詳解】解：P點(diǎn)在AD上時(shí)，△APQ是等腰直角三角形，此時(shí)f（x）＝?x?x＝x2，（0＜x＜2）是二次函數(shù)，解除A，B，P在DC上時(shí)，PQ不變，AQ增加，是遞增的一次函數(shù)，解除C，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查二次函數(shù)以及三角形的面積問題，是一道基礎(chǔ)題．11.若函數(shù)在區(qū)間(0，4)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出的導(dǎo)數(shù)，先求出在區(qū)間(0，4)上單調(diào)的的范圍，即或在恒成立，即可得出不單調(diào)的a的取值范圍.【詳解】可知，若函數(shù)在區(qū)間(0，4)上單調(diào)，則或在恒成立，或，解得或，函數(shù)在區(qū)間(0，4)上不單調(diào)，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.12.設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿意，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可證在上為增函數(shù)，，化為，即，利用單調(diào)性，即可求解.【詳解】設(shè)，在在上為增函數(shù)，兩邊同除以，得，即，，所以不等式的解集為.故答案為:B.【點(diǎn)睛】本題考查構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，解題的關(guān)鍵要依據(jù)已知條件或所求的不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù)，屬于中檔題.二?填空題13.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________.【答案】1【解析】【分析】函數(shù)的零點(diǎn)知，由此可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，結(jié)合函數(shù)圖象，即可得到零點(diǎn)個(gè)數(shù)【詳解】令，得即在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)與的圖象，如圖所示可知兩函數(shù)圖象有1個(gè)交點(diǎn)，故的零點(diǎn)只有一個(gè)故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)，依據(jù)原函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)圖象即可確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)14.已知函數(shù)滿意，且在區(qū)間(-2，2]上，，則的值為___________.【答案】1【解析】【分析】由分段函數(shù)的解析式，依據(jù)函數(shù)的周期性，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】由得函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，則（1），，即．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)值計(jì)算，依據(jù)函數(shù)的周期性結(jié)合分段函數(shù)的表達(dá)式利用轉(zhuǎn)化法是解決本題的關(guān)鍵．15.函數(shù)在定義域上的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)m的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】先推斷出值域的端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的值，然后依據(jù)函數(shù)圖象并結(jié)合值域推斷出的取值范圍.【詳解】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)有，所以，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，或，再結(jié)合圖象可知：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)二次函數(shù)的值域求解參數(shù)范圍，難度一般.求解和二次函數(shù)有關(guān)的值域、定義域問題，有時(shí)候作圖分析能起到事半功倍的效果.16.函數(shù)的定義域?yàn)锳，若且時(shí)總有，則稱為單函數(shù).例如：函數(shù)是單函數(shù).給出下列命題：①函數(shù)是單函數(shù)；②對(duì)數(shù)函數(shù)是單函數(shù)；③若為單函數(shù)，且，則；④在定義域上具有單調(diào)性函數(shù)肯定是單函數(shù)，其中的真命題是___________.(寫出全部真命題的序號(hào))【答案】②③④【解析】【分析】依據(jù)單函數(shù)的定義分別進(jìn)行推斷即可．【詳解】①若函數(shù)是單函數(shù)，則由得，即或，∴不滿意單函數(shù)的定義，故①錯(cuò)誤．②若對(duì)數(shù)函數(shù)是單函數(shù)，則由得，即，∴滿意單函數(shù)的定義，故②正確．③若為單函數(shù)，且，則，則依據(jù)逆否命題的等價(jià)性可知，成立，故③正確．④在定義域上具有單調(diào)性的函數(shù)肯定，滿意當(dāng)時(shí)總有，∴是單函數(shù)，成立，故④正確．故答案為：②③④.【點(diǎn)睛】本題主要考查與函數(shù)有關(guān)的命題的真假推斷，利用單函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．三?解答題17.設(shè)命題：實(shí)數(shù)滿意，其中；命題：實(shí)數(shù)滿意.（1）若，且為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）若為真，則命題和命題均為真命題，分別解兩個(gè)不等式求交集即可；（2）是的充分不必要條件等價(jià)于是的必要不充分條件，列出滿意題意的不等式求解即可.【詳解】（1）對(duì)于：由，得：，又，所以，當(dāng)時(shí)，，對(duì)于：等價(jià)于，解得：，若為真，則真且真，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是：；（2）因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以，且，即，，，則?，即，且，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查命題及其關(guān)系，考查理解實(shí)力和轉(zhuǎn)化思想，屬于常考題.18.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.（1）當(dāng)時(shí)，求的解析式；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）設(shè)，則，再依據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)即可得時(shí)，求的解析式；（2）分和兩類分別解不等式即可得答案.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，又是奇函數(shù)，∴，∴，即當(dāng)時(shí)，（2）當(dāng)時(shí)，由，得，解得或(舍去)，∴；當(dāng)時(shí)，由，得，解得或(舍去)，∴.綜上，或【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)奇偶性求函數(shù)解析式，解指數(shù)型方程，考查運(yùn)算實(shí)力，是中檔題.19.已知函數(shù)g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在區(qū)間上有最大值9和最小值1，設(shè)函數(shù).（1）求a?b的值；（2）若不等式f(2x)-k·2x≥0在x∈[-1，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)對(duì)稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系確定函數(shù)單調(diào)性，再依據(jù)單調(diào)性確定最值取法，列方程組解得的值；

（2）化簡(jiǎn)不等式，并分別變量得為2x+-2≥k·2x，即化為，設(shè),再依據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值即得結(jié)果.【詳解】（1）g(x)=a(x-1)2+1+b-a，因?yàn)閍>0，所以g(x)在區(qū)間[2，4]上是增函數(shù)，故，解得.（2）由已知可得f(x)=x+-2，所以f(2x)-k·2x≥0可化為2x+-2≥k·2x，化為令，則k≤t2-2t+1，因?yàn)閤∈[-1，1]，故t∈[，2]，記h(t)=t2-2t+1，因?yàn)閠∈[，2]，故h(t)min=0，所以k的取值范圍是.【點(diǎn)睛】對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問題，在可能的狀況下把參數(shù)分別出來，使不等式一端是含有參數(shù)的不等式，另一端是一個(gè)區(qū)間上詳細(xì)的函數(shù)，這樣就把問題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù)，另一端是參數(shù)的不等式，便于問題的解決.但要留意分別參數(shù)法不是萬能的，假如分別參數(shù)后，得出的函數(shù)解析式較為困難，性質(zhì)很難探討，就不要運(yùn)用分別參數(shù)法.屬于中檔題.20.商場(chǎng)銷售某種商品的閱歷表明，該商品每日的銷售量(單位：千克)與銷售價(jià)格(單位：元/千克)滿意關(guān)系式，其中，為常數(shù)，已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克．(1)求的值；(2)若商品的成品為3元/千克,試確定銷售價(jià)格的值,使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大【答案】(1)因?yàn)闀r(shí)，所以；(2)由(1)知該商品每日的銷售量，所以商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)：；，令得函數(shù)在(3,4)上遞增，在(4,6)上遞減，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值答：當(dāng)銷售價(jià)格時(shí),商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大，最大值為42.【解析】(1)利用銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克．把x=5,y=11代入,解關(guān)于a的方程即可求a..(2)在（1）的基礎(chǔ)上，列出利潤(rùn)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，利潤(rùn)=銷售量（銷售單價(jià)－成品單價(jià)），然后利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可.21.設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)曲線在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線y=x垂直時(shí)，求a的值；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，由求出；（2）本題等價(jià)于恰有兩個(gè)不相等正實(shí)根，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討的改變狀況，即可求出的范圍.【詳解】（1）由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?，，∴，解?（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則方程恰有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，即方程恰有兩個(gè)不相等的正實(shí)根.設(shè)函數(shù)，∴.當(dāng)時(shí)，恒成立，則函數(shù)在上是增函數(shù)，∴函數(shù)最多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.易知時(shí)，>0恒成立，要使函數(shù)有2個(gè)正零點(diǎn)，則的最小值，即，即，∵，∴，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的零點(diǎn)，屬于較難題.22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（a為參數(shù)），在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為.（1）求C的一般方程和l的傾斜角；（2）設(shè)點(diǎn)，l和C交于A，B兩點(diǎn)，求.【答案】(1)..(2).【解析】【分析】（1）干脆利用參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程公式得到一般方程，再計(jì)算傾斜角.（2）推斷點(diǎn)在直線l上，建立直線參數(shù)方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理得到答案.【詳解】（1）消去參數(shù)α得，即C的一般方程為.由，得，（*）將，代入（*），化簡(jiǎn)得，所以直線l的傾斜角為.（2）由（1），知點(diǎn)在直線l上，可設(shè)直線l參數(shù)方程為（t為參數(shù)），即（t為參數(shù)），代入并化簡(jiǎn)，得，，設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，，所以，，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程，傾斜角，利用直線的參數(shù)方程可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.23.已知函數(shù)（1）求不等式的解集（2）設(shè)，證明：.【答案】(1)或；(2)證明見解析.【解析】【分析】（1）先依據(jù)肯定值定義將不等式化為三個(gè)不等式組，分別求交集，最終求并集（2）利用分析法證明，先依據(jù)肯定值三角不等式將不等式轉(zhuǎn)化為證明，