2025屆河北省秦皇島市高二數(shù)學第一學期期末質量檢測試題含解析

2025屆河北省秦皇島市高二數(shù)學第一學期期末質量檢測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知命題：，；命題：，.則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.2．若復數(shù)，則（）A B.C. D.3．已知，，，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）A. B.C. D.4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入，那么輸出的a值為（）A.3 B.27C.-9 D.95．設數(shù)列的前項和為，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，則（）A.255 B.257C.127 D.1296．復數(shù)，則對應的點所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限7．如圖，已知正方體，點P是棱中點，設直線為a，直線為b．對于下列兩個命題：①過點P有且只有一條直線l與a、b都相交；②過點P有且只有兩條直線l與a、b都成角．以下判斷正確的是（）A.①為真命題，②為真命題 B.①為真命題，②為假命題C.①為假命題，②為真命題 D.①為假命題，②為假命題8．雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A. B.C. D.9．直線與直線平行，則兩直線間的距離為（）A. B.C. D.10．數(shù)學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線，已知△的頂點，，且，則△的歐拉線的方程為（）A. B.C. D.11．下列求導不正確的是（）A B.C. D.12．已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)在上單調遞增B.函數(shù)上有兩個零點C.函數(shù)有極大值16D.函數(shù)有最小值二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．必然事件的概率是________.14．已知點，是橢圓內的兩個點，M是橢圓上的動點，則的最大值為______15．已知點P是拋物線上的一個動點，則點P到點M(0，2)的距離與點P到該拋物線準線的距離之和的最小值為______________16．設橢圓的左，右焦點分別為，，過的直線l與C交于A，B兩點（點A在x軸上方），且滿足，則直線l的斜率為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)為常數(shù)，函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調性；（2）若函數(shù)的圖象與直線相切，求實數(shù)的值；（3）當時，在上有兩個極值點且恒成立，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）隨著生活條件的改善，人們健身意識的增強，健身器械比較暢銷，某商家為了解某種健身器械如何定價可以獲得最大利潤，現(xiàn)對這種健身器械進行試銷售.統(tǒng)計后得到其單價x（單位：百元）與銷量y（單位：個）的相關數(shù)據(jù)如下表：單價x（百元/個）3035404550日銷售量y（個）1401301109080（1）已知銷量y與單價x具有線性相關關系，求y關于x的線性回歸方程；（2）若每個健身器械的成本為25百元，試銷售結束后，請利用（1）中所求的線性回歸方程確定單價為多少百元時，銷售利潤最大？（結果保留到整數(shù)），附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為.參考數(shù)據(jù)：.19．（12分）已知等比數(shù)列的公比為，前項和為，，，（1）求（2）在平面直角坐標系中，設點，直線的斜率為，且，求數(shù)列的通項公式20．（12分）已知橢圓C對稱中心在原點，對稱軸為坐標軸，且，兩點（1）求橢圓C的方程；（2）設M、N分別為橢圓與x軸負半軸、y軸負半軸的交點，P為橢圓上在第一象限內一點，直線PM與y軸交于點S，直線PN與x軸交于點T，求證：四邊形MSTN的面積為定值21．（12分）撫州市為了了解學生的體能情況，從全市所有高一學生中按80：1的比例隨機抽取200人進行一分鐘跳繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，分為組畫出頻率分布直方圖如圖所示，現(xiàn)一，二兩組數(shù)據(jù)丟失，但知道第二組的頻率是第一組的3倍（1）若次數(shù)在以上含次為優(yōu)秀，試估計全市高一學生的優(yōu)秀率是多少？全市優(yōu)秀學生的人數(shù)約為多少？（2）求第一組、第二小組的頻率是多少？并補齊頻率分布直方圖；（3）估計該全市高一學生跳繩次數(shù)的中位數(shù)和平均數(shù)？22．（10分）已知函數(shù)在處的切線與直線平行（1）求值，并求此切線方程；（2）證明：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】利用基本不等式判斷命題的真假，由不等式性質判斷命題的真假，進而確定它們所構成的復合命題的真假即可.【詳解】由，當且僅當時等號成立，故不存在使，所以命題為假命題，而命題為真命題，則為真，為假，故為假，為假，為真，為假.故選：C2、A【解析】根據(jù)復數(shù)的乘法運算即可求解.【詳解】由，故選：A3、B【解析】計算出、的值，執(zhí)行程序框圖中的程序，進而可得出輸出結果.【詳解】，，則，執(zhí)行如圖所示的程序，，成立，則，不成立，輸出的值為.故選：B.4、B【解析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)累乘值，并判斷滿足時輸出的值【詳解】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得，時，不滿足條件，；不滿足條件，；不滿足條件，；滿足條件，退出循環(huán)，輸出的值為27故選：5、C【解析】由題設可得，再由即可求值.【詳解】由數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，∴，即，∴.故選：C.6、C【解析】化簡復數(shù)，根據(jù)復數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】由題意，復數(shù)，所以復數(shù)對應的點為位于第三象限.故選：C.7、A【解析】①由正方形的性質，可以延伸正方形，再利用兩條平行線確定一個平面即可；②一組鄰邊與對角面夾角相等，在平面內繞P轉動，可以得到二條直線與a、b的夾角都等于.【詳解】如下圖所示，在側面正方形和再延伸一個正方形和，則平面和在同一個平面內，所以過點P，有且只有一條直線l，即與a、b相交，故①為真命題；取中點N，連PN，由于a、b為異面直線，a、b的夾角等于與b的夾角.由于平面，平面，，所以平面，所以與與b的夾角都為.又因為平面，所以與與b的夾角都為，而，所以過點P，在平面內存在一條直線，使得與與b的夾角都為，同理可得，過點P，在平面內存在一條直線，使得與與的夾角都為；故②為真命題.故選：A8、A【解析】分析：根據(jù)離心率得a,c關系，進而得a,b關系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結果.詳解：因為漸近線方程為，所以漸近線方程為，選A.點睛：已知雙曲線方程求漸近線方程：.9、B【解析】先根據(jù)直線平行求得，再根據(jù)公式可求平行線之間的距離.【詳解】由兩直線平行，得，故，當時，，，此時，故兩直線平行時又之間的距離為，故選：B.10、D【解析】由題設條件求出垂直平分線的方程，且△的外心、重心、垂心都在垂直平分線上，結合歐拉線的定義，即垂直平分線即為歐拉線.【詳解】由題設，可得，且中點為，∴垂直平分線的斜率，故垂直平分線方程為，∵，則△的外心、重心、垂心都在垂直平分線上，∴△的歐拉線的方程為.故選：D11、C【解析】由導數(shù)的運算法則、復合函數(shù)的求導法則計算后可判斷【詳解】A：；B：；C：；D：故選：C12、C【解析】對求導，研究的單調性以及極值，再結合選項即可得到答案.【詳解】，由，得或，由，得，所以在上遞增，在上遞減，在上遞增，所以極大值為，極小值為，所以有3個零點，且無最小值.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】直接由必然事件的定義求解【詳解】因為必然事件是一定要發(fā)生的，所以必然事件的概率是1，故答案為：114、##【解析】結合橢圓的定義求得正確答案.【詳解】依題意，橢圓方程為，所以，所以是橢圓的右焦點，設左焦點為，根據(jù)橢圓的定義可知，，所以的最大值為.故答案為：15、【解析】由拋物線的定義得：，所以，當三點共線時，最小可得答案.【詳解】如圖所示：，由拋物線的定義得：，所以，由圖象知：當三點共線時，最小，.故答案為：.16、【解析】設出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，結合根與系數(shù)關系以及求得直線的斜率.【詳解】橢圓，由于在軸上方且直線的斜率存在，所以直線的斜率不為，設直線的方程為，且，由，消去并化簡得，設，，則①，②，由于，所以③，由①②③解得所以直線的方程為，斜率為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析；（2）7；（3）【解析】（1）根據(jù)題意求得，討論，，，時解，即可得出函數(shù)的單調區(qū)間；（2）設切點為則結合，得令通過求導研究單調性解得進而解出的值.（3）由已知可得解析式，觀察有，求導得原題意可轉化為函數(shù)在上有兩個不同零點.結合根分布可得，函數(shù)的兩個極值點為是在上的兩個不同零點可得且，代入函數(shù)中令通過單調性求出進而可得答案.【詳解】解：(1)，令，解得：①當時，由得，由得，在上單調遞減，在上單調遞增；②當時，由得或由得所以在上單調遞減，在上單調遞增；③當時，恒成立，所以上單調遞增.④當時，由得或由得所以在上單調遞減，在上單調遞增.綜上：①當時，在上單調遞減，在上單調遞增；②當時，在上單調遞減，在上單調遞增；③當時，在上單調遞增.④當時，在上單調遞減，在上單調遞增.(2)設切點為則(*)，由可得(**)，聯(lián)立(*)(**)可得，設則，所以在單調遞增，在單調遞減，又，所以，所以.（3）由已知可得令由題意知在上有兩個不同零點.則，因為函數(shù)的兩個極值點為，則和是在上的兩個不同零點.所以且，所以令則所以在上單調遞增，所以有其中，即又恒成立，所以故實數(shù)的取值范圍為.【點睛】方法點睛：已知不等式恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問題常用的方法：（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調性求解；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)值域或最值問題加以解決；（3）數(shù)形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合的方法求解.18、（1）；（2）確定單價為50百元時，銷售利潤最大.【解析】（1）根據(jù)參考公式和數(shù)據(jù)求出，進而求出線性回歸方程；（2）設出定價，結合（1）求出利潤，進而通過二次函數(shù)的性質求得答案.【小問1詳解】由題意，，則，，結合參考數(shù)據(jù)可得，，所以線性回歸方程為.【小問2詳解】設定價為x百元，利潤為，則，由題意，則（百元）時，最大.故確定單價為50百元時，銷售利潤最大.19、（1），；（2），【解析】（1）設出等比數(shù)列的首項和公比，根據(jù)已知條件列出關于的方程組，由此求解出的值，則通項公式可求；（2）根據(jù)題意表示出斜率關系，然后采用累加法求解出的通項公式.【詳解】（1）因為等比數(shù)列的公比為，，，由已知，，得，解得或（舍），所以，，由得，所以所以，（2）由直線的斜率為，得，即，由，，，，，可得，所以，當時也滿足，所以，20、（1）（2）證明見解析【解析】（1）設橢圓方程為，利用待定系數(shù)法求得的值，即可得出答案；（2）設，，，易得，分別求出直線PM和直線PN的方程，從而可求出的坐標，再根據(jù)即可得出答案.【小問1詳解】解：依題意設橢圓方程為，將，代入得，解得得，，∴所求橢圓方程為；【小問2詳解】證明：設，，，，P點坐標滿足，即，直線PM：，可得，直線PN：，可得，.21、（1）8640；（2）第一組頻率為，第二組頻率為．頻率分布直方圖見解析；（3）中位數(shù)為，均值為121.9【解析】（1）求出優(yōu)秀的頻率，計算出抽取的人員中優(yōu)秀學生數(shù)后可得全體優(yōu)秀學生數(shù)；（2）由頻率和為1求得第一組、第二組頻率，然后可補齊頻率分布直方圖；（3）在頻率分布直方圖中計算出頻率對應的值即為中位數(shù)，用各組數(shù)據(jù)中點值乘以頻率后相加得均值【詳解】（1）由頻率分布直方圖，分數(shù)在120分以上的頻率為，因此優(yōu)秀學生有（人）；（2）設第一組頻率為，則第二組頻率為，所以，，第一組頻率為，第二組頻率為頻率分布直方圖如下：（3）前3組數(shù)據(jù)的頻率和為，中位數(shù)在第四組，設中位數(shù)為，則，均值為22、（1）；；（2）證明見解析.【解析】（1）根