重點突圍：專題3 用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題（解析版）-人教八下期中綜合復習

八年級數(shù)學下冊期中期末綜合復習專題提優(yōu)訓練（人教版）專題3用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題【典型例題】1．（2022·江蘇·南京玄武外國語學校八年級期末）滑撐桿在懸窗中應(yīng)用廣泛．如圖，某款滑撐桿由滑道，撐桿、組成，滑道固定在窗臺上．懸窗關(guān)閉或打開過程中，撐桿、的長度始終保持不變．當懸窗關(guān)閉時，如圖①，此時點與點重合，撐桿、恰與滑道完全重合；當懸窗完全打開時，如圖②，此時撐桿與撐桿恰成直角，即，測量得，撐桿，求滑道的長度．【答案】滑道的長度為51cm．【解析】【分析】設(shè)cm，可得出cm，cm，在在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理可得m的值，由此可得結(jié)論．【詳解】解：設(shè)cm，則由圖①可知cm，由圖②可知cm，∵，∴在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理可得，，∴，解得，∴滑道的長度為51cm．【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，能結(jié)合撐桿、的長度始終保持不變正確表示出BC和AC是解題關(guān)鍵．【專題訓練】一、解答題1．（2021·黑龍江龍鳳·七年級期末）《九章算術(shù)》中的“引葭赴岸”問題：今有池方一丈，葭（一種蘆葦類植物）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊，水深幾何？其大意是：有一個邊長為10尺的正方形池塘，一棵蘆葦生長在它的正中央，高出水面1尺．如果把該蘆葦拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳壳『门龅桨哆叄ㄈ鐖D所示），則水深多少尺．【答案】12【解析】【分析】我們可以將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學幾何圖形，如圖所示，根據(jù)題意，可知的長為10尺，則尺，設(shè)尺，表示出水深，根據(jù)勾股定理建立方程，求出方程的解即可得到水深．【詳解】依題意畫出圖形，設(shè)蘆葦長尺，則水深尺，因為尺，所以尺，在中，，解得：，即水深12尺，故答案為：12．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理列出方程式解題的關(guān)鍵．2．（2021·江西樂平·八年級期中）《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學代表作，書中記載：今有開門去閫（門檻）一尺，不合四寸，問門廣幾何？其大意：如圖，推開雙門（大小相同），雙門間隙CD＝4寸，點C、點D與門檻AB的距離CE＝DF＝1尺（1尺＝10寸），求AB的長．【答案】52寸【解析】【分析】取的中點為點，由題意可得，設(shè)寸，則寸，利用勾股定理即可求解【詳解】如圖：取的中點為點，則的中點也為根據(jù)題意可得：，設(shè)寸，則寸．，尺寸解得：寸寸【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，弄清題意，構(gòu)建直角三角形是解題關(guān)鍵．3．（2022·江蘇蘇州·八年級期末）滑梯的示意圖如圖所示，左邊是樓梯，右邊是滑道，立柱，垂直于地面，滑道的長度與點到點的距離相等，滑梯高，且，求滑道的長度．【答案】2.5m【解析】【分析】設(shè)AC=xm，則AE=AC=xm，AB=AE-BE=（x-0.5）m，在Rt△ABC中利用勾股定理列出方程，通過解方程即可求得答案．【詳解】解：設(shè)AC=xm，則AE=AC=xm，AB=AE-BE=（x-0.5）m，由題意得：∠ABC=90°，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x-0.5）2+1.52=x2，解得x=2.5，∴AC=2.5m．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中抽象出直角三角形，難度不大．4．（2021·全國·八年級課時練習）如圖，在離水面高度為5米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子的長為13米，此人以0.5米/秒的速度收繩問6秒后船向岸邊移動了多少米？（假設(shè)繩子是直的，結(jié)果保留根號）【答案】船向岸邊移動了米．【解析】【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理計算出AB長，再根據(jù)題意可得CD長，然后再次利用勾股定理計算出AD長，再利用BD=AB-AD可得BD長．【詳解】解：在Rt△ABC中：∵∠CAB=90°，BC=13米，AC=5米，∴（米），∵此人以0.5米每秒的速度收繩，6秒后船移動到點D的位置，∴CD=13-0.5×6=10（米），∴（米），∴BD=AB-AD=（米），答：船向岸邊移動了（）米．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．5．（2021·陜西·西安高新第一中學初中校區(qū)東區(qū)初級中學八年級階段練習）明朝數(shù)學家程大位在《算法統(tǒng)宗》中寫了一首計算秋千繩索長度的詞《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步恰竿齊，五尺板高離地……”翻譯成現(xiàn)代文為：如圖，秋千細索懸掛于O點，靜止時豎直下垂，A點為踏板位置，踏板離地高度為一尺（尺）．將它往前推進兩步（于點E，且尺），踏板升高到點B位置，此踏板高地五尺（尺，），則秋千繩索長多少尺？【答案】【解析】【分析】設(shè)OB＝OA＝x（尺），在Rt△OBE中利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．【詳解】解：設(shè)OB＝OA＝x（尺），∵四邊形BECD是矩形，∴BD＝EC＝5（尺），在Rt△OBE中，OB＝x，OE＝x?4，BE＝10，∴x2＝102＋（x?4）2，∴x＝．∴OA的長度為（尺）．【點睛】本題考查勾股定理，矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．6．（2021·四川東坡·八年級期中）我市《道路交通管理條例》規(guī)定：小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過60km/h．如圖，一輛小汽車在一條城市街道上沿直道行駛，某一時刻剛好行駛到車速檢測點A正前方30m的C處，2秒后又行駛到與車速檢測點A相距50m的B處．請問這輛小汽車超速了嗎？若超速，請求出超速了多少？【答案】超速了，超速了12km/h【解析】【分析】由勾股定理可求得小汽車行駛的距離，再除以小汽車行駛的時間即為小汽車行駛的車速，再與限速比較即可．【詳解】.解：由已知得∴在直角三角形ABC中AB2＝AC2＋BC2∴BC2＝AB2－AC2＝，又∵72－60＝12km/h∴這輛小汽車超速了，超速了12km/h．【點睛】本題考查了勾股定理，其中1米/秒=3.6千米/時的速度換算是易錯點．7．（2021·天津津南·八年級期中）一架云梯長25m，如圖所示斜靠在一而墻上，梯子底端C離墻7m．（1）這個梯子的頂端A距地面有多高?（2）如果梯子的頂端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向滑動了多少米?【答案】（1）這個梯子的頂端距地面有高；（2）梯子的底部在水平方向滑動了．【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可求解；（2）先求出BD，再根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：（1）由題意可知：，；，在中，由勾股定理得：，∴，因此，這個梯子的頂端距地面有高．（2）由圖可知：AD=4m，，在中，由勾股定理得：，∴，∴．答：梯子的底部在水平方向滑動了．【點睛】此題主要考查勾股定理的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意在直角三角形中，利用勾股定理進行求解．8．（2021·貴州六盤水·八年級期中）臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心在周圍上百千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強的破壞力．如圖所示，有一臺風中心沿東西方向由A向B移動，已知點C為一海港，且點C與直線上的兩點A，B的距離分別為：，以臺風中心為圓心周圍以內(nèi)為受影響區(qū)域．（1）請計算說明海港C會受到臺風的影響；（2）若臺風的速度為，則臺風影響該海港持續(xù)的時間有多長？【答案】（1）計算見解析；（2）臺風影響該海港持續(xù)的時間為7小時【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，進而利用三角形面積得出CD的長，進而得出海港C是否受臺風影響；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的長，進而得出臺風影響該海港持續(xù)的時間．【詳解】解：（1）如圖，過點C作于點D∵∴∴是直角三角形∴∴∴∵以臺風中心為圓心周圍以內(nèi)為受影響區(qū)域∴海港C會受臺風影響；（2）當時，臺風在上運動期間會影響海港C在中在中∴∵臺風的速度為20千米/小時∴（小時）答：臺風影響該海港持續(xù)的時間為7小時．【點睛】本題考查了勾股定理在實際生活中的運用，解答此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理解答．9．（2021·江蘇興化·八年級期中）某路段限速標志規(guī)定：小汽車在此路段上的行駛速度不得超過70km/h，如圖，一輛小汽車在該筆直路段l上行駛，某一時刻剛好行駛到路對面的車速檢測儀A的正前方30m的點C處，2s后小汽車行駛到點B處，測得此時小汽車與車速檢測儀A間的距離為50m．(1)求BC的長．(2)這輛小汽車超速了嗎？并說明理由．【答案】(1)40(2)超速【解析】【分析】（1）首先結(jié)合題目中所給的數(shù)據(jù)，，，根據(jù)勾股定理求出BC的長；（2）求出小汽車的時速與限定時速比較即可得出答案．(1)解：則根據(jù)題意可以得到，根據(jù)勾股定理可得：，∴BC的長為40m.(2)解：∵該小汽車的速度為：，，這輛小汽車超速了．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)已知得出BC的長是解題關(guān)鍵．10．（2021·四川省巴中中學八年級期中）八（1）班小明和小亮同學學習了“勾股定理”之后，為了測得下圖風箏的高度，他們進行了如下操作：①測得的長度為米；②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風箏線的長為米；③牽線放風箏的小明身高為米．（1）求風箏的高度；（2）若小亮讓風箏沿方向下降了米到點（即米），則他往回收線多少米？【答案】（1）19.68米，（2）4米．【解析】【分析】（1）在中，利用勾股定理可求得，根據(jù)，可求得風箏的高度；（2）連接，根據(jù)，，可得，利用勾股定理可求得，再根據(jù)可求得往回收線的長度．【詳解】解：（1）在中，由勾股定理得，，∴（取正），∴（米，∴風箏的高度為19.68米．（2）如圖示，連接∵，∴，在中，由勾股定理得，，∴（取正），∴往回收線的長度是：（米）【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟悉勾股定理，能從實際問題中抽象出勾股定理是解題的關(guān)鍵．11．（2021·吉林九臺·八年級期末）如圖，在一條繃緊的繩索一端系著一艘小船．河岸上一男孩拽著繩子另一端向右走，繩端從移動到，同時小船從移動到，且繩長始終保持不變．、、三點在一條直線上，．回答下列問題：（1）根據(jù)題意可知：（填“＞”、“＜”、“＝”）．（2）若米，米，米，求小男孩需向右移動的距離（結(jié)果保留根號）．【答案】（1）=；（2）小男孩需向右移動的距離為米．【解析】【分析】（1）根據(jù)男孩拽繩子前后始終保持不變即可得；（2）由勾股定理分別求出AC，BC的長，然后根據(jù)（1）中結(jié)論求解即可．【詳解】解：（1）∵AC的長度是男孩拽之前的繩長，是男孩拽之后的繩長，繩長始終未變，∴，故答案為：=；（2）∵A、B、F三點共線，∴在中，，∵，∴在中，，由（1）可得：，∴，∴小男孩需移動的距離為米．【點睛】題目主要考查勾股定理的應(yīng)用，理解題意，熟練運用勾股定理是解題關(guān)鍵．12．（2021·陜西長安·八年級期中）有一個如圖所示的長方體透明玻璃水缸，高，水深，在水面線上緊貼內(nèi)壁處有一粒食物，且，一只小蟲想從水缸外的處沿水缸壁爬到水缸內(nèi)的處吃掉食物．（1）你認為小蟲應(yīng)該沿怎樣的路線爬行才能使爬行的路線最短，請你畫出它爬行的最短路線，并用箭頭標注．（2）求小蟲爬行的最短路線長（不計缸壁厚度）．【答案】（1）見解析；（2）100cm【解析】【分析】(1)做出A關(guān)于BC的對稱點A’，連接A’G，與BC交于點Q，由兩點之間線段最短，此時A’G最短，即AQ+QG最短；(2)A’G為直角△A’EG的斜邊，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：(1)如下圖所示，作點A關(guān)于BC所在直線的對稱點，連接，與交于點，由兩點之間線段最短，此時A’G最短，則為最短路線．(2)∵，∴，∴．在中，，，∴．由對稱性可知，∴．故小蟲爬行的最短路線長為100cm．【點睛】本題考查的是利用勾股定理求最短路徑問題，本題的關(guān)鍵是根據(jù)對稱性作出A的對稱點A’，再根據(jù)兩點之間線段最短，從而可找到路徑求出解．13．（2020·江西南豐·八年級期中）如圖，地面上放著一個小凳子，點距離墻面，在圖①中，一根細長的木桿一端與墻角重合，木桿靠在點處，．在圖②中，木桿的一端與點重合，另一端靠在墻上點處．（1）求小凳子的高度；（2）若，木