電路基礎教案（一）

教案首頁課程名稱電路基礎專業(yè)班級層次高職授課教師職稱課型（大、?。┬W時2授課題目（章、節(jié)）第一章授課方式理論課（理論課；討論課；實驗課；實習/實訓課；其他）教材及主要參考書電路基礎教學目的與要求：深刻理解、牢固拿握電路的基本概念、基本定律和常用定理。寧握直流電路中回路和支路概念，掌握KCL和KVL的基本應用，對支路電流法冇深層次的應用。教學過程設計（內(nèi)容、吋間安排、教學方法等）：直流電路的概述部分安排大約30分鐘；支路電流部分安排1小時。采用多媒體教學，老師授課。教學重點、難點：重點：KCL、KVL,支路電流等解析方法。難點：采用這些定理進行電路的分析。教研室審閱意見：教研室主任簽名：年月曰第—1_次（單元）課授課吋間：2006.2.27第2章電阻電路分析2.1圖與電路方程一、圖如前(1.3節(jié))所述，當僅研究電路中各元件的相互連接關系時，一個二端元件可用一條線段來表示，稱為支路；各支路的連接點畫為黑點，稱為節(jié)點(或結(jié)點)，這樣，就能畫出與原電路圖相對應的線形圖或拓撲圖，簡稱為圖。有時為了方便，也可把某些元件的串聯(lián)組合(如數(shù)個電阻串聯(lián)或電壓源與電阻串聯(lián)等)或并聯(lián)組合(如數(shù)個電阻并聯(lián)或電流源與電阻并聯(lián)等)當作一條支路來看待。這里用圖論圖論是研究點和線連接關系的一門學問，是數(shù)學的一個分支。的一些知識來研究元件相互連接的規(guī)律性。圖是節(jié)點和支路(圖論中分別常稱為頂點和邊)的集合。每條支路的兩端都必須連接到相應的節(jié)點上。移去一條支路并不把它相應的節(jié)點移去;而移去一個節(jié)點，則應當把與該節(jié)點相連的全部支路都同時移去。所以，圖中不能冇不與節(jié)點相連的支路，但可以有孤立的節(jié)點，如圖2.1?1(a)所示。全部節(jié)點都被支路所連通的圖稱為連通圖，否則稱為非連通圖。圖2.1-1(a)是非連通圖，山圖可知，它山相互分離的四個部分組成，稱其分離度P=4；圖2.1?1(b)是連通圖，其分離度P=lo我們主要關心的是連通圖。(°) (b)(°) (b)圖2.1-1連通圖與非連通圖全部支路都標有方向?qū)τ诓煌膯栴}，支路方向的含義也不同。單向通行的道路、信號流圖等，其中的方向表示只能按箭頭方向運動，不能作反方向運動。我們這里的方向是支路電流的參考方向。的圖稱為有向圖(如圖2」?1(b)),否則稱為無向圖。如果有一個圖G,從圖G中去掉某些支路和某些節(jié)點所形成的圖H,稱為圖G的子圖。顯然，子圖H的所有支路和節(jié)點都包禽在圖G中。因此，子圖可定義為，包禽在圖G內(nèi)的圖H稱為圖G的子圖。例如,圖2.1-2(b)和(c)都是圖(a)中圖G的子圖。能夠畫在一個平面上，并FL除端點外所冇支路都沒冇交叉的圖稱為平面圖，否則稱為非平面圖。圖2.1-3(a),無論把支路伸縮或是把支路拉伸到外側(cè)，耍想把該圖畫在平面上，而各支路都不交叉是不可能的，因而它是非平面圖。(a)圖G (b)(a)圖G (b)圖G的子圖(c)圖G的子詔圖2.1-2圖與子圖如圖2.1-3(c),則各支路都不交叉,對于圖2」?3(b),只要將支路2和如圖2.1-3(c),則各支路都不交叉,而圖（b）是平面圖。二、回路、割集、樹1.回路與某一節(jié)點相連的支路數(shù)稱為該節(jié)點的次數(shù)或度數(shù)。如圖2.1?4中，節(jié)點a的次數(shù)為3,節(jié)點b的次數(shù)為4。在圖屮，從某一節(jié)點（可稱為始點）出發(fā)，連續(xù)經(jīng)過一些支路和節(jié)點，且各節(jié)點只經(jīng)過一次（顯然，其所經(jīng)支路也只經(jīng)過一次），最后到達另一節(jié)點（終點）的支路序列稱為路徑。（a）非平面圖 （b）平面圖 （c）圖（〃）的拉伸圖2.1-3平面圖與非平面圖圖2?1-4圖G圖2.1?4中支路序列｛1｝, ｛2, 3｝, ｛4, 8, 7｝, ｛4, 5, 6, 7｝等都是節(jié)點a至c的路徑。顯然，路徑屮始節(jié)點和終節(jié)點的次數(shù)為1,其余節(jié)點的次數(shù)為2o一個閉合路徑，即始節(jié)點和終節(jié)點為同一節(jié)點的路徑，稱為回路。這樣，始節(jié)點以及終節(jié)點的次數(shù)也為2。因此，回路町定義為：全部節(jié)點的次數(shù)均為2的連通子圖稱為回路。圖2.1?4屮，支路集｛1, 3, 2｝、｛1, 3, 5, 4｝、｛2, 5, 4｝、｛2, 3, 7, 8, 4｝等都是圖G的回路。在平而圖中，構成冋路的各支路用成一個區(qū)域。在區(qū)域內(nèi)部不包含支路和節(jié)點的冋路常稱為網(wǎng)孔。圖2」?4屮，｛1, 3, 2｝、 （2, 5, 4｝、 ｛5, 6, 8）＞ ｛3, 7, 6）都是網(wǎng)孔。支路集｛1,7,8,4｝稱為外網(wǎng)孔，因為如果將平面圖G畫在球I何上，則從另一側(cè)看去，支路集｛1,7,8,4｝也將圍成一個區(qū)域，?口.該區(qū)域中沒有其它支路和節(jié)點。2.割集在連通圖G中，這樣的支路集S稱為割集，若從圖G屮移去（或割斷）屬于S的所冇支路，則圖G恰好被分成兩個互相分離的部分，但只要少移去其中的一條支路，則圖仍然是連通的。割集可定義為：把連通圖分割為兩個連通子圖所需移去的最少支路集。圖2」?

5屮，支路集｛1, 2, 4｝、 [2, 3, 6, 5｝、 ｛4, 5, 6, 3, 1｝、｛4, 5, 6,7)等都是割集，如圖中的虛線所示。3?樹樹是圖論中一個非常重要的概念。包禽連通圖G中的所有節(jié)點，但不包禽冋路的連通子圖，稱為圖G的樹。圖2-1-5割集圖2.1-6中畫出了圖G(圖(a)所示)的幾種樹(如圖(b))?？梢?，同一個圖有許多種樹。圖G中，組成樹的支路稱為樹支，不屬于樹的支路稱為連支。例如圖2.1-6中，若選樹支為｛4, 5, 6, 7),則支路｛1, 2, 3, 8｝為連支。一個冇n個節(jié)點，b條支路的連通圖G,其任何一個樹的樹支數(shù)T=n-1 (2」?1)對應于任一棵樹的連支數(shù)L=b-T=b-n+l (2.1?2)這是因為，若把圖G的n個節(jié)點連接成一棵樹時，第一條支路連接2個節(jié)點，此后每增加1條新支路就連接上1個新節(jié)點，直到把n個節(jié)點連接成樹，所以樹支數(shù)比節(jié)點數(shù)少lo(a)圖G卩)圖G(a)圖G卩)圖G的幾科椅圖2.1-6圖G的樹例如2.1?6(a)的連通圖G,共有5個節(jié)點，8條支路，其樹支數(shù)T=4,連支數(shù)L=40由樹以及回路、割集的定義可知，在連通圖G屮，由于樹是連通的，因而任何割集至少包含1條樹支；由于樹不包禽冋路，因而任何冋路至少包禽1條連支。4.基本回路和基本割集在連通圖G中，任意選定一個樹，由于樹連接了圖G的全部節(jié)點(但不包含回路)，因而在樹上增加一條連支，此連支與其它樹支就構成一個回路。僅包含一條連支(其余為樹支)的冋路稱為單連支冋路或基本冋路。全部單連支回路組成了基本回路組。對于冇n個節(jié)點，b條支路的連通圖，一個基本回路組中有口僅有L=b-n+l個基本回路。圖2.1-7(a)中，支路｛2, 3, 5, 8｝是樹，回路｛1,3, 2｝、 ｛2, 5, 4｝、 ｛5, 6, 8｝和｛3, 7, 8, 5｝都是基本回路。在連通圖G中，任意選定一個樹，由于樹是連通的，因而移去一條樹支，此樹支與移去的其它連支就形成一個割集僅包含一條樹支(其余為連支)的割集稱為單樹支割集或基本割集。全部單樹支割集組成基本割集組。對于冇n個節(jié)點的連通圖，一個基本割集組中有且僅有T=n?l個基本割集。圖2.1-7(b)中，支路集｛2,3,5,8｝是樹，割集｛1,2, 4｝、｛1,3,7｝、 ｛4,5,6,7｝和｛8,6,7｝都是基本割集。(a)基本回路 (b)基本割集It支一一—連支圖2.1-7基本回路和基本割集在冇向圖中還應規(guī)定基本冋路和基本割集的方向。我們選定，基本回路的方向與該回路中連支的方向一致；基本割集的方向與該割集中樹支的方向一致，如圖2」?8所示。三、KCL和KVL的獨立方程設某電路的拓撲圖如圖2.1-9(a)所示，對其各節(jié)點和支路分別編號，支路的參考方向(即支路電流的方向，支路電壓取關聯(lián)參考方向)如圖所示。對于節(jié)點a、b、c、d可列出KCL方程(電流流出節(jié)點取“+”號，流入取“』號)為il+i2+i4=0?i2+i3+i5=0?il?i3+?i6=0-i4-i5-i6=0在以上方程組中，每一個支路電流都!B現(xiàn)兩次，其前面的符號一次為另一次為這是因為每一個支路都連接2個節(jié)點，支路電流必從一個節(jié)點流出，而從另一節(jié)點流入。因此，將以上其中的任意3個方程相加，就得到另一個方程。也就是說，式(2」?3)中的4個方程中，最多有3個是相互獨立的。如果取圖2」?9(a)屮的樹為｛4, 5, 6｝,如圖(b)所示，容易看出，與節(jié)點a、b、c相連的支路集｛1, 2,4｝、｛2, 3, 5｝、｛1, 3, 6｝都是基本割集。由于每個基本割集都包含一條其它基本割集所不包含的樹支，因此，按KCL所列的基本割集的電流方程是互相獨立的。也就是說，圖2.1-9(a)的方程式(2.1?3)屮有3個方程是互相獨立的。對于有n個節(jié)點的連通圖，有n?l個基本割集，因而根據(jù)KCL可列出ml個獨立方程。由于按KCL列寫基本割集電流方程需要選樹和確定基本割集，手續(xù)較繁，因而在電路分析中，通常都列寫節(jié)點電流方程。圖2.1-8基本回路和基本割集的［（町 ⑹圖2.1-9KCL的獨立方程可以證明，對于有n個節(jié)點的連通圖，任選n-1個節(jié)點所列的KCL方程都是獨立的。這些方程所對應的節(jié)點稱為獨立節(jié)點，另外一個節(jié)點選為參考節(jié)點。對于圖2.1?9（a）的連通圖，若選樹支為｛4,5,6）,如圖2.1-10中實線所示，則支路｛1,2, 3｝為連支（圖屮虛線所示）。于是有基木冋路｛1, 6, 4｝、｛2, 5, 4｝、｛3,6,5｝,將它們分別編號為I、II、III,選基本回路方向與連支方向一致。按KVL,可列擊回路電壓方程（支路電壓AJ回路方向一致取“+"號，支路電壓與回路方向和反取號）為u1-u4+u6=0u2?u4+u6=0-u3-u5+u6=0由于每個基本回路都包含i條其它基本回路所不包含的連支，因此，上述基本回路方程是互相獨立的，即圖2」?10的基本回路方程式（2」?4）的3個方程是互和獨立的。對于it個節(jié)點，b條支路的連通圖，有L=b-n+l個基本冋路，根據(jù)KVL可列出L二b?n+l個相互獨立的電壓方程。在電路分析中，對于平而圖，也常根據(jù)KVL列寫網(wǎng)孔方程。可以證明，平而電路中網(wǎng)孔數(shù)為b-n+1個，按KVL所列寫的網(wǎng)孔電壓方程也是相互獨立的。

圖2.1-10KVL的獨立方程2.2 2b法和支路法一、2b法對一個具有b條支路和n個節(jié)點的電路，當以支路電壓和支路電流為變量列寫方程時,共有2b個未知變量。根據(jù)KCL町列出(n?l)個獨立方程；根據(jù)KVL可列出(b-n+1)個獨立方程；根據(jù)元件的伏安關系，每條支路乂可列出b個支路電壓和電流關系方程。于是所列出的2b個方程，足以用來求解b個支路電壓和b個支路電流。這種選取未知變量列方程求解電路的方法稱為2b法。下面通過一個示例來介紹它的具體步驟。設有如圖2.2?1(a)的電路，其各電源和電阻均已知。我們把R1和受控源ri2的串聯(lián)組合、R4與電壓源的串聯(lián)組合以及R6與電流源的并聯(lián)組合各看作為一條支路。這樣，圖2.2?1(a)便有4個節(jié)點，6條支路，其拓撲圖如圖(b)所示。各支路電流與電壓均為關聯(lián)參考方向，圖Q)所標示。圖2.2-1(b)的獨立節(jié)點數(shù)為ml=3。選節(jié)點a、b、c為獨立節(jié)點，根據(jù)KCL可列得電流方程為il+i3?i4=0?i2+i3+i5=0?il—i3+i6=0這樣，共得到6個獨立方程(a)(a)圖2.2-12b法示例ul=Rl訂+ri2u2=R2i2u3=R3i3u4=R4i4-uS4u5=R5i5u6=R6(i6+iS6)=R6i+R6is6

6條支路共列出6個方程，顯然，它們是獨立的。這樣，圖2.2?1(a)的電路共有12個未知量,恰冇12個獨立方程。求解方程式(2.2-1)、(2.2?2)和(2.2?3),就可求得各支路電壓和電流。二、支路法如果以支路電流(或電圧)為電路變量列出方程，求解支路電流(或電壓)，則稱為支路電流(或電壓)法。下而主要介紹支路電流法。以圖2.2-1⑷為例。將式(2.2-3)的各支路電壓代入式(2.2-2),消去各電壓變量得Rlil+ri2-R3i3?R2i2=0R2i2+R5i5+R4i4-us4=0R3i3+R6i6+R6is6-R5i5=0整理后，可得Rlil+(r-R2)i2-R3i3=0R2i2+R4i4+R5i5=us4R3i3+R6i6-R5i5=-R6is6綜上所述，支路電流法列寫電路方程的步驟為：選定各支路電流的參考方向；對(ml)個獨立節(jié)點，按KCL列出電流方程；選定(b-n+1)個獨立回路，指定回路繞行方向，根據(jù)KVL,按式(225)的形式列出電壓方程。支路電流法共冇b個方程，能直接解得b個支路電流，這比2b法方便了許多。不過支路電流法要求每一條支路的電壓都能用支路電流來表示，否則就難以寫成如式(2.2-5)的形式。例2.2-1如圖2.2-2的電路，求各支路電流。解圖2.2?2的電路中，如將電壓源(受控電壓源)與電阻的串聯(lián)組合看作是1條支路，則該電路共有2個節(jié)點，3條支路。用支路電流法可列出1個KCL方程，2個KVL方程。選節(jié)點a為獨立節(jié)點，可列出KCL方程為一訂+i2+i3=0 (2.2?6a)選網(wǎng)孔為獨立回路，如圖所示。對列出KVL方程為3il+i2=9—i2+2i3=-2.5il—i2+2i3=-2.5il(2.2?6b)(2.2?6c)或?qū)憺?.5il一i2+2i3=0圖2.2-2圖2.2-2例2?2-l由式(2.2?6)的3個方程可解得il=2A,i2=3A,i3=-lA。例2.2-2如圖2.2-3(a)的電路,求電流訂、i5和電壓u2、u2。解在圖2.2-3(a)的電路中，我們把us耳R1的串聯(lián)組合看作是1條支路，把受控源和R5分別看作是2條支路。這樣，共有5條支路，3個節(jié)點。因而可列出2個KCL方程和3個KVL方程選節(jié)點a和b為獨立節(jié)點，可列出KCL方程為il-i2+i3=0i