解三角形及其應(yīng)用（含答案）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

專題08解三角形及其應(yīng)用

（思維構(gòu)建+知識(shí)盤點(diǎn)+重點(diǎn)突破+方法技巧）

避01正變定理驛三角形

轆02余走定理悔三角形

轆03判貯角形的的形狀

雌04三角形的解的個(gè)數(shù)

翅05三角形的面積及應(yīng)用

型06三小瞪-i?誦

避07解三角形中的是屣國訶題

型08三跳的中線儂、角平分線

凝09多三角曦酶確解三角形

^01測^離問題

魁02測星角度可題

壁03測量角度問題

口識(shí)盤點(diǎn)?置翡撲與

知識(shí)點(diǎn)1正、余弦定理及應(yīng)用

1、正、余弦定理與變形

定理正弦定理余弦定理

a2=b2+c1—2/?ccosA；

內(nèi)容q=q=q=2Rb2=c2+a2—2cacosB；

sinAsinBsinC

c2=a2+b2—2abcosC

b2+c2-a2

(l)〃=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；cosA—2bc；

(2)a:b:c=sinA*sinB'sinC；c2+a2~b2

變形cosB-2ac；

”+/?+c_a

⑶sinA+sin8+sinCsinA2A層+02一。2

cosC-2ab

【注意】若己知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形時(shí)，可用正弦定理.在根據(jù)另一邊所對(duì)角的正弦值確定

角的值時(shí)，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意結(jié)合“大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊”及三角形內(nèi)角

和定理去考慮問題.

2、解三角形中的常用結(jié)論

(1)二角形內(nèi)角和定理：在△A3C中，A+B+C=7i；變形：-2-=2一~2-

(2)三角形中的三角函數(shù)關(guān)系

^A+5C與A~\~BC

(l)sin(A+B)=sinC；(2)cos(A+B)=—cosC；③sin--=cosy；④cos-~=siny.

(3)三角形中的射影定理：在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.

(4)三角形中的大角對(duì)大邊：在△A3C中，A>B^a>b^>smA>smB.

3、三角形常用面積公式

(1)力(心表示邊〃上的高)；

(2)S=^absinC=^acsinB=^bcsinA；

(3)S=$(a+6+c)0"為內(nèi)切圓半徑).

知識(shí)點(diǎn)2解三角形的實(shí)際應(yīng)用

名稱意義圖形表示

/目標(biāo)

在目標(biāo)視線與水平視線所成的角中，目標(biāo)/視線

鉛/翁角水平

仰角與俯角視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視垂

線y角—視線

、目標(biāo)

線在水平視線下方的叫做俯角

視線

從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針方向到北」

方位角目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角，方位(35°東

FT

角。的范圍是0。*<360。

例：(1)北偏東a：(2)南偏西a：

正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的

方向角4北f1北f

銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)

【注意】(1)方位角和方向角本質(zhì)上是一樣的，方向角是方位角的一種表達(dá)形式，是同一問題中對(duì)角的不

同描述.

(2)將三角形的解還原為實(shí)際問題時(shí)，要注意實(shí)際問題中的單位、近似值要求，同時(shí)還要注意所求的結(jié)果

是否符合實(shí)際情況.

點(diǎn)突破?看分?必檢

重難點(diǎn)01解三角形中的最值范圍問題

1、三角形中的最值、范圍問題的解題策略

(1)定基本量：根據(jù)題意或幾何圖形厘清三角形中邊、角的關(guān)系，利用正、余弦定理求出相關(guān)的邊、角

或邊角關(guān)系，并選擇相關(guān)的邊、角作為基本量，確定基本量的范圍.

（2）構(gòu)建函數(shù)：根據(jù)正、余弦定理或三角恒等變換將待求范圍的變量用關(guān)于基本量的函數(shù)解析式表示.

（3）求最值：利用基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性等求最值.

2、求解三角形中的最值、范圍問題的注意點(diǎn)

（1）涉及求范圍的問題，一定要搞清已知變量的范圍，利用已知的范圍進(jìn)行求解，己知邊的范圍求角的

范圍時(shí)可以利用余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

（2）注意題目中的隱含條件，如A+8+C=?t,0<A<TT,b-c<a<b+c,三角形中大邊對(duì)大角等.

類型1角或三角函數(shù)值的最值范圍

【典例1］（23-24高三下?山西?模擬預(yù)測）鈍角AABC中，角A,民C的對(duì)邊分別為。，6,c,若acos3=csinA,

則sinA+A/2sinB的最大值是.

【典例2］（23-24高三下?福建廈門?三模）記銳角AABC的內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若2cosC=--y,

ab

則B的取值范圍是.

類型2邊或周長的最值范圍

【典例1］（23-24高三下.江蘇?月考）在中，內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為a,6,c,已知〃一〃=℃

（1）若8=60。求C的大??；

b

（2）若為銳角三角形，求2的取值范圍.

A

【典例2］（23-24高三下.安徽淮北.二模）記的內(nèi)角A民C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知。-6=2。$五彳

（1）試判斷AABC的形狀；

（2）若c=l,求"LBC周長的最大值.

類型3三角形面積的最值范圍

【典例1］（23-24高三下?廣東茂名?一模）在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是且

A+C

Z?sin(B+C)=asin

2

（1）求3的大小；

（2）若。是AC邊的中點(diǎn)，且BD=2,求AABC面積的最大值.

【典例2](23-24高三下.湖北武漢.二模)在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,6,c,已知

2a—c^cosB—bcosC=0.

(1)求B；

(2)已知人=百，求;。+2c的最大值.

重難點(diǎn)02解三角形角平分線的應(yīng)用

如圖，在A4BC中，4D平分NB4C,角力、B,C所對(duì)的邊分別問a,b,c

(1)利用角度的倍數(shù)關(guān)系：4BAC=2ABAD=24CAD

(2)內(nèi)角平分線定理：2。為AABC的內(nèi)角乙B2C的平分線，則要=器.

說明：三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理將分對(duì)邊所成的線段比轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的兩邊之比，再結(jié)合抓星結(jié)構(gòu)，就

可以轉(zhuǎn)化為向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”類問題，運(yùn)用向量知識(shí)解決起來都較為簡捷。

⑶等面積法：因?yàn)镾A4BD+SAACD=S”BC，所以如加%嗚+”■ADsiW=^bcsi九4,

所以(6+c)4D=2兒cos-,整理的：4。匕(角平分線長公式)

2b+c

【典例1](23-24高三下.江西?模擬預(yù)測)在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為“,6,c,其外接圓的半徑

為26，且AcosC=a^csrnB.

3

(1)求角B；

(2)若的角平分線交AC于點(diǎn)。,BD=g,點(diǎn)E在線段AC上，EC=2EA,求的面積.

【典例21(23-24高三下?河北滄州?模擬預(yù)測)在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知"=c(c+6).

(1)求證：B+3C=7t；

(2)若NABC的角平分線交AC于點(diǎn)。，且。=12,6=7,求8。的長.

重難點(diǎn)03解三角形中線的應(yīng)用

1、中線長定理：在A4BC中，力。是邊上的中線，貝"482+4。2=2（B￡）2+力。2）

【點(diǎn)睛】靈活運(yùn)用同角的余弦定理，適用在解三角形的題型中

2、向量法：AD2=-（_b2+c2+2bccosX）

4

【點(diǎn)睛】適用于已知中線求面積（已知黑的值也適用）.

【典例1］（23-24高三下?山西?三模）在AABC中，內(nèi)角A8,C所對(duì)的邊分別為a八c.已知

27r

A=T，62+C2=24,AABC的外接圓半徑R=2后,￡＞是邊AC的中點(diǎn)，則8。長為（）

A.6+1B.2季C.6夜D.721

【典例2］（23-24高三下?黑龍江哈爾濱?三模）已知AABC的內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊分別為"c,且a=5BC

邊上中線AD長為1,則兒最大值為（）

77

A.—B.-C.6D.2^/3

42

法技巧?逆襲學(xué)霸

一、利用正、余弦定理求解三角形的邊角問題，實(shí)質(zhì)是實(shí)現(xiàn)邊角的轉(zhuǎn)化，解題的思路是：

1、選定理.

（1）已知兩角及一邊，求其余的邊或角，利用正弦定理；

（2）己知兩邊及其一邊的對(duì)角，求另一邊所對(duì)的角，利用正弦定理；

（3）已知兩邊及其夾角，求第三邊，利用余弦定理；

（4）已知三邊求角或角的余弦值，利用余弦定理的推論；

（5）己知兩邊及其一邊的對(duì)角，求另一邊，利用余弦定理；

2、巧轉(zhuǎn)化：化邊為角后一般要結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理與三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化；若將條件轉(zhuǎn)化為邊之間

的關(guān)系，則式子一般比較復(fù)雜，要注意根據(jù)式子結(jié)構(gòu)特征靈活化簡.

3、得結(jié)論：利用三角函數(shù)公式，結(jié)合三角形的有關(guān)性質(zhì)（如大邊對(duì)大角，三角形的內(nèi)角取值范圍等），并

注意利用數(shù)形結(jié)合求出三角形的邊、角或判斷出三角形的形狀等。

【典例1］（23-24高三下.浙江金華.三模）在AABC中，角AB,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若”=近，b=2,

A=60°,則c為（）

A.1B.2C.3D.1或3

【典例2］（23-24高三下.江蘇.二模）設(shè)鈍角AABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,若。=2,

sinA=V3,c=3,貝!16=.

【典例3](23-24高三下?廣東江門?二模)尸是AABC內(nèi)一點(diǎn)，ZABP=45°,ZPBC=ZPCB=ZACP=30°,

則tanNBAP=()

D-I

二、判定三角形形狀的兩種常用途徑

1、角化邊：利用正弦定理、余弦定理化角為邊，通過代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷；

2、邊化角：通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷

【典例1］（23-24高三下?湖南衡陽?模擬預(yù)測）在MBC中，角A,3,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若sin2A=sin2B,

則的形狀為.

【典例2］（23-24高三下.河北秦皇島.三模）在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，6,c,且B=2C,

b-0a,貝!1（）

A.AABC為直角三角形B.AABC為銳角三角形

C.AABC為鈍角三角形D.AABC的形狀無法確定

三、三角形的面積及應(yīng)用

1、三角形面積公式的使用原則：對(duì)于面積公式S=5加inC=%csinB=*>csinA,一般是使用哪一個(gè)角就使

用哪一個(gè)公式；

2、與面積有關(guān)的問題：一般要用到正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊角互化；

3、三角形的周長問題：一般是利用余弦定理和公式/+/=3+加2_2ab將問題轉(zhuǎn)化為求兩邊之和的問題。

【典例1］（23-24高三下?重慶?三模）（多選）在AABC中，角A,民C的對(duì)邊為a,b,c,若b=2也,c=2,C=%,

則AABC的面積可以是（）

A.6B.3C.2布D.373

【典例2］（23-24高三下?福建莆田?三模）在AABC中，內(nèi)角A民C的對(duì)邊分別為a,6,c,且

Z?（cosC+l）=c（2-cosB）.

（1）證明：a+b=2c.

9

(2)右a=6,cosC=—~,求ZiABC的面積.

16

四、利用正弦定理解三角形的外接圓

利用正弦定理：一匕=-^―==2R可求解三角形外接圓的半徑。

sinAsinBsinC

若要求三角形外接圓半徑的范圍，一般將R用含角的式子表示，再通過三角函數(shù)的范圍來求半徑的范圍。

【典例1］（23-24高三下?云南?月考）在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,記^ABC的面

積為S,已知（Hep-4=4>/*,b=2,c=3,求AABC外接圓半徑R與內(nèi)切圓半徑「之比為（）

A7+3近?7+5A/706-"「6+36

A.---------D.-----------C.---------D.----------

9988

【典例2］（23-24高三下?河南?模擬預(yù)測）在AABC中，角AB。的對(duì)邊分別為久久c,且

ccosB+2acosA+bcosC=0.

TT

（2）如圖所示，。為平面上一點(diǎn)，與AABC構(gòu)成一個(gè)四邊形ABDC,且/Br>C=w，若c=26=2,求AD

的最大值.

五、利用解三角形解決測量距離問題

1、解決方法：選擇合適的輔助測量點(diǎn)，構(gòu)造三角形，將問題轉(zhuǎn)化為求某個(gè)三角形的邊長問題，從而利用正、

余弦定理求解。

2、求距離問題的注意事項(xiàng)

（1）選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，要先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接解；若有未知量，

則把未知量放在另一確定三角形中求解.有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程（組），解方程（組）得

出所要求的量.

（2）確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理.

【典例1］（23-24高三下?吉林?二模）如圖，位于某海域A處的甲船獲悉，在其北偏東60。方向C處有一艘

漁船遇險(xiǎn)后拋錨等待營救.甲船立即將救援消息告知位于甲船北偏東15。，且與甲船相距gnmile的B處的

乙船，已知遇險(xiǎn)漁船在乙船的正東方向，那么乙船前往營救遇險(xiǎn)漁船時(shí)需要航行的距離為（）

A.V2nmileB.2nmileC.2V2nmileD.30nmile

【典例2］（23-24高三上.廣東廣州?月考）如圖，A、8兩點(diǎn)在河的同側(cè)，且A、8兩點(diǎn)均不可到達(dá).現(xiàn)需

測A、8兩點(diǎn)間的距離，測量者在河對(duì)岸選定兩點(diǎn)C、D,測得C￡>=@km,同時(shí)在C、。兩點(diǎn)分別測得

2

ZADB=ZCDB=30°,ZACD=60°,ZACB=45°,則A、3兩點(diǎn)間的距離為（）

A-TC'TD'T

六、求解高度問題應(yīng)注意的三個(gè)問題

1、要理解仰角、俯角的定義；

2、在實(shí)際問題中可能遇到空間與平面（底面）同時(shí)研究的問題，這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一

個(gè)平面圖形；

3、注意山或塔垂直于底面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題。

【典例1］（23-24高三下?寧夏石嘴山?模擬預(yù)測）海寶塔位于銀川市興慶區(qū)，始建于北朝晚期，是一座方形

樓閣式磚塔，內(nèi)有木梯可盤旋登至頂層，極目遠(yuǎn)眺，巍巍賀蘭山，綿綿黃河水，塞上江南景色盡收眼底.如

圖所示，為了測量海寶塔的高度，某同學(xué)（身高173cm）在點(diǎn)A處測得塔頂。的仰角為45°,然后沿點(diǎn)A向

塔的正前方走了38m到達(dá)點(diǎn)3處，此時(shí)測得塔頂。的仰角為75°,據(jù)此可估計(jì)海寶塔的高度約為

m.（計(jì)算結(jié)果精確到0.1）

?"W"飛D

【典例2］（23-24高三下.廣東湛江.二模）財(cái)富匯大廈坐落在廣東省湛江市經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)，是湛江經(jīng)濟(jì)技

術(shù)開發(fā)區(qū)的標(biāo)志性建筑，同時(shí)也是已建成的粵西第一高樓.為測量財(cái)富匯大廈的高度，小張選取了大廈的一

個(gè)最高點(diǎn)A,點(diǎn)A在大廈底部的射影為點(diǎn)。，兩個(gè)測量基點(diǎn)8、C與。在同一水平面上，他測得8c=102"

米，ZBOC=120°,在點(diǎn)8處測得點(diǎn)A的仰角為。（tand=2）,在點(diǎn)C處測得點(diǎn)A的仰角為45。，則財(cái)富

匯大廈的高度OA=米.

參考答案與試題解析

專題08解三角形及其應(yīng)用

（思維構(gòu)建+知識(shí)盤點(diǎn)+重點(diǎn)突破+方法技巧）

維構(gòu)建?耀精曉紿

rK^gg>-()

K正、余弦印與變形＞

----(b'-J+f—ZcacosB)

-Qg~—xofecosC

K內(nèi)角和定理）-c轆01正空定理麻三角形

轆02余型定穌三角形

健03判后匍杉的的形狀

壁04三匐秒的好的個(gè)數(shù)

凝05三角形的面積及應(yīng)用

_（o知識(shí)點(diǎn)一正、余弦定理及應(yīng)用）

人三角形中的三角函數(shù)關(guān)系）-三0E三角二三廠亳淳

型07解三角形中的星鰥圉礴

-（解三角形中的常用結(jié)論》

轆08三角形的中緣型、角物線

轆09多三角腱甌形的解三匍K

a=iKOsC-tcaB

&=acosC-CCOBJ

c=bcGsA-acaB

解三角形及其應(yīng)用＜三角形）---（」＞3€?心占疝」＞疝3）

■（三角形常用面積公式）

碓與否—在目標(biāo)視線與水平視斷成的角中，目標(biāo)視線在水平視

一線方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線方的叫做俯角

壁01測毀離問題

一。知識(shí)點(diǎn)二解三角形的實(shí)際應(yīng)用】方特角以晟點(diǎn)力田向送陰皈寺方向乳三標(biāo)方向近亙超02測星角度問題

_______________________________＞的夾角叫做方位角，方位角6的范圉是0”6＜360°'轆03測量角度問題

一正正南方向線與目標(biāo)方向的成的角，通常表達(dá)為北癰漏東㈣

口雙盤點(diǎn)?置；層撲與

知識(shí)點(diǎn)1正、余弦定理及應(yīng)用

1、正、余弦定理與變形

定理正弦定理余弦定理

4i2=/?2+c2—2Z?ccosA；

a_____b_____c___

內(nèi)容bz=c2+a2-2cacosB；

sinAsinBsinC

c1=a2-\-b2-2abcosC

/+。2—〃2

(l)〃=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；cosA—2bc；

(2)a:b:c=sinAIsinBIsinC；c^+c^—b2

變形cos8-2ac；

〃+/?+c_a_

⑶

sinA+sin8+sinCsinA2Aa2+b2~c2

cosC~2ab

【注意】若已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形時(shí)，可用正弦定理.在根據(jù)另一邊所對(duì)角的正弦值確定

角的值時(shí)，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意結(jié)合“大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊”及三角形內(nèi)角

和定理去考慮問題.

2、解三角形中的常用結(jié)論

A+8TTC

(1)三角形內(nèi)角和定理：在△A5C中，A+B+C=7L；變形：-2一=2—2--

(2)三角形中的三角函數(shù)關(guān)系

o?,三A~\~BC三A~\~BC

①sin(A十3)=sinC；②cos(A十8)=—cosC；③sin-5-=cosy；④cos--=siny.

(3)三角形中的射影定理：在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.

(4)三角形中的大角對(duì)大邊：在△ABC中，A>B<=>a>b^smA>sinB.

3、三角形常用面積公式

(1)5=%九(總表示邊〃上的高)；

(2)S=]〃bsinC=]〃csin3=]Z?csinA；

(3)S=5(〃+/?+c)(r為內(nèi)切圓半徑).

知識(shí)點(diǎn)2解三角形的實(shí)際應(yīng)用

名稱意義圖形表示

/目標(biāo)

在目標(biāo)視線與水平視線所成的角中，目標(biāo)/視線

鉛/軸角水平

仰角與俯角視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視垂

線y角—視線

、目標(biāo)

線在水平視線下方的叫做俯角

視線

從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針方向到北

。不

方位角目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角，方位SR35i

角。的范圍是0。*<360。

例：（1）北偏東a：（2）南偏西a：

正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的

方向角北f北t

銳角，通常表達(dá)為北（南）偏東（西）

【注意】（1）方位角和方向角本質(zhì)上是一樣的，方向角是方位角的一種表達(dá)形式，是同一問題中對(duì)角的不

同描述.

（2）將三角形的解還原為實(shí)際問題時(shí)，要注意實(shí)際問題中的單位、近似值要求，同時(shí)還要注意所求的結(jié)果

是否符合實(shí)際情況.

X聿點(diǎn)突破?看分?必拓

重難點(diǎn)01解三角形中的最值范圍問題

1、三角形中的最值、范圍問題的解題策略

（1）定基本量：根據(jù)題意或幾何圖形厘清三角形中邊、角的關(guān)系，利用正、余弦定理求出相關(guān)的邊、角

或邊角關(guān)系，并選擇相關(guān)的邊、角作為基本量，確定基本量的范圍.

（2）構(gòu)建函數(shù)：根據(jù)正、余弦定理或三角恒等變換將待求范圍的變量用關(guān)于基本量的函數(shù)解析式表示.

（3）求最值：利用基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性等求最值.

2、求解三角形中的最值、范圍問題的注意點(diǎn)

（1）涉及求范圍的問題，一定要搞清已知變量的范圍，利用已知的范圍進(jìn)行求解，己知邊的范圍求角的

范圍時(shí)可以利用余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

（2）注意題目中的隱含條件，如A+8+C=TC,0<A<7i,b-c<a<b+c,三角形中大邊對(duì)大角等.

類型1角或三角函數(shù)值的最值范圍

【典例1］（23-24高三下?山西?模擬預(yù)測）鈍角AABC中，角A,氏C的對(duì)邊分別為“"，c,若々cos3=csinA,

則sinA+>/2sinB的最大值是.

【答案】7

【解析】因?yàn)镼COsB=csinA,由正弦定理得sinAcos5=sinCsinA,

ITIT

又因?yàn)锳e（0,兀），可得sinA^O,所以sinC=cosB,貝ijC=或C=一+8.

22

當(dāng)C=g-3時(shí)，可得A=與AABC是鈍角三角形矛盾，所以C=g+B,

八/兀

0<A<—

2

JTTTJT

由《0<3v—,貝！JA=^—23>O,可得0<3<二，

224

A+3+C=九

所以sinA+A/2sinB=sin（B+C）+及sinB-cos2B+V2sinB

=-2sin2B+^sinB+1=-2sinB-if

所以當(dāng)sin5=1^時(shí)，sinA+J^sinB的最大值為

【典例2】（23-24高三下?福建廈門?三模）記銳角AABC的內(nèi)角A,'C的對(duì)邊分別為〃也c若2cosc=亞-：，

ab

則6的取值范圍是一

7171

【答案】

6'2

【解析】因?yàn)?cosc=及一所以2HCOSC=362-〃,

ab

由余弦定理可得：2abcosC=a2+b2-c2?

可得從="1c2,在銳角“IBC中，由余弦定理可得:

22

222a+C

a+c-b'3

cosB=--------------=---------

laclac2ac4a

a2+/--c2>c2

a2+b2>c2口口2Qc2

因?yàn)閎2+c2>a2,即'，即"＞產(chǎn)所町〈存

a2~—c2+c2>a2

2

_3c32G71兀

所以cosB=-----<,所以BE

4a4y/3~26'2）

類型2邊或周長的最值范圍

【典例1］（23-24高三下.江蘇?月考）在“BC中，內(nèi)角A民C的對(duì)邊分別為a,6,c,已知〃一〃=如

（1）若5=60。求C的大??；

b

（2）若"RC為銳角三角形，求一的取值范圍.

a

【答案】（1）90°；（2）（V2,V3）

【解析】（1）由題意，在AABC中，b2-a2=ac.,

由余弦定理得，a2+c2-lac-cosB=b1

a1+c2—2ac-cosB—a2=acf/.c—2acosB=a,

A+B+C=180°,

sin(A+5)-2sinAcosB=sinA=>cosAsinB—sinAcosB=sinA,

/.sin(B-A)=sinA:.B-A=A^B-A+A=TI(舍)，:.B=2A

VB=60°,/.A=30°,/.C=180-A-B=90°.

（2）由題意及（1）得，在AABC中，B=2A,

.bsinBsin2A

由正弦定理得，一=——=-----=2cosA,

asinAsinA

???△ABC為銳角三角形,

Q<A<-

2

71,71

0<2A<-解得:—<A<—,

264

71

0<7t-A-2A<-

2

/.^2<2cosA<^3，

A

【典例2］（23-24高三下?安徽淮北?二模）記△ABC的內(nèi)角ABC的對(duì)邊分別為。也。，已知c-

（1）試判斷AABC的形狀;

（2）若。=1,求"RC周長的最大值.

【答案】（1）△ABC是直角三角形；（2）V2+1

^c-b=2csm2-,可得sin24=所以1-cosAc-b

【解析】（1）

222c2

1cosA1b匚b

即5-丁=5一五,所以cosA=]

又由余弦定理得“+廣一"2=2,可得“2+62=。2,所以C=g,

2bcc2

所以AABC是直角三角形

(2)由（1）知，AABC是直角三角形，且。=1,可得a=sinA,Z?=cosA,

所以AABC周長為1+sinA+cos